KONTROL OPTIMAL
PERSAMAAN EULER LAGRANGE
Oleh: Miranda Eliyan
1212 201 207
Dosen Pengampu: Dr. Subchan, M.Sc
EULER LAGRANGE
Miranda Eliyan
Institut Teknologi Sepuluh November
eliyanmiranda@gmail.com
October 9, 2013
1
MASALAH DASAR VARIASI
TEOREMA 1:
Untuk x∗(t) menjadi optimum, variasi pertama dari J haruslah bernilai nol pada x∗(t),
de-ngan kata lain δJ(x∗(t), δ(t)) = 0 berlaku untuk semua nilai dari δx(t). Untuk kondisi
minimum apabila variasi keduaδ2
J >0 dan kondisi maksimum apabila δ2
J <0
Misalkan x(t) suatu fungsi skalar yang kuntinu pada turunan pertama dan begitu juga vek-tornya. Persoalannya yaitu mencari fungsi optimalx∗(t) untuk persamaan fungsional
J(x(t)) = tf Z
t0
V(x(t),x˙(t), t)dt...(1)
yang relatif optimum.Dalam hal ini diasumsikan bahwa integrand V memiliki turunan parsial pertama dan kedua yang kontinu.
x(t =t0) =x0;x(t=tf) =xf...(2)
berdasarkan Teorema 1 dinyatakan bahwa kondisi optimumx∗(t) dicapai apabila variasi
per-tama dariJ adalah nol atau dengan kata lainδJ(x∗(t), δ(t)) = 0 untuk semua nilai dariδx(t)
Berikut ini adalah beberapa langkah-langkah untuk mencari solusi optimal: Langkah 1:
Asumsi dari suatu nilai optimum:
misalkan bahwax∗(t) adalah optimum dari fungsi x(t).
x∗(t). Fungsixa(t) memenuhi kodisi awal yaitu
δx(t0) =δx(tf) = 0...(3)
Langkah 2:
Variasi dan Increment. Didefinisikan bahwa
∆J(x∗(t), δx(t)) =J(x∗(t) +δx(t),x˙∗(t) +δx˙(t), t)−J(x∗(t),x˙∗(t), t)
yang kombinasi integralnya dapat ditulis sebagai
∆J(x∗(t), δx(t)) =
P erluasanVpadaperubahanderettaylortentangtitikx∗(t) dan ˙x∗(t), perubahan ∆J menjadi
V(x∗(t),x˙ ∗(t), t)
Sekarang,diperoleh variasi bentuk linier pada δx(t) dan δx˙(t) sebagai berikut
untuk mengekspresikan hubungan variasi pertama (8)seluruhnya mengandung δx(t) (karena
dari persamaan diatas kita menggunakan formula integrasi yang sudah dikenal yaituR
udv=uv−R
vdu
dimanau= ∂V
∂x˙ danv =δx(t). Menggunakan persamaan (9),persamaan (8)untuk variasi
per-tama menjadi
menggunakan persamaan (3) untuk batas variasi pada (10),didapatkan
δJ(x∗(t), δx(t)) =
Kita aplikasikan Teorema 1 yang merupakan teorema utama kalkulus variasi, dengan kata lain variasi dariJ harus optimum. Begitu juga untuk optimum x∗(t) yang adaδJ(x∗(t), δx(t)) =
0. Sehingga persamaannya menjadi
tf
fungsi δx(t) harus bernilai nol pada titik t0 dan tf, tetapi disini berubah-ubah.
Langkah 5:
Lemma 1:
Jika setiap fungsi g(t) yang kontinu tf Z
t0
g(t)δx(t)dt= 0...(13)
dimana fungsi δx(t) adalah kontinu pada interval [t0, tf], maka fungsi g(t) haruslah bernilai nol dimana saja pada interval [t0, tf].
Langkah 6:
Persamaan Euler Lagrange:
Menggunakan Lemma 1 pada persamaan(12),kondisi perlu untuk x∗(t) agar optimal maka
fungsi J pada persamaan (1) adalah
∂V(x∗(t),x˙∗(t), t
∂x
!
∗
− d
dt
∂V(x∗(t),x˙∗(t), t
∂x˙
!
∗
= 0...(14)
atau dengan sederhana dapat dinotasikan
∂V ∂x
!
∗
− d
dt ∂V
∂x˙
!
∗
= 0...(15)
2
BENTUK PERSAMAAN EULER-LAGRANGE
Berikut ini adalah persamaan lagrange:
Vx− d
dx(Vx) = 0...(16)
dimana
Vx=
∂V
∂x =Vx(x
∗(t), x·∗(t), t)
Vx˙ =
∂V
∂x˙ =Vx˙(x
∗(t), x·∗(t), t)...(17)
V adalah suatu fungsi dengan tiga argumen x∗(t),x·∗(t), dan t, dimana x∗(t),dan x·∗(t)
me-rupakan fungsi turunan pada t, didapatkan
d dt
∂V ∂x˙
!
= d
dt
∂V(x∗(t),x˙∗(t), t)
˙
x
!
= d
dt ∂2
V ∂x∂x˙dx+
∂2
V ∂x∂˙ x˙dx˙ +
∂2
V ∂t∂x˙dt
!
∗
= d
dt ∂2
V ∂x∂x˙dx+
∂2
V ∂x∂˙ x˙dx˙ +
∂2
V ∂t∂x˙dt
!
∗
=Vxx˙x˙∗(t) +Vx˙x˙x¨∗(t) +Vtx˙...(18)
3
KASUS-KASUS PADA PERSAMAAN EULER
LA-GRANGE
Berikut ini beberapa kasus yang terjadi pada Euler-Lagrange:
KASUS I:
V adalah dependent dari ˙x(t), dan t yaitu V =V( ˙x(t), t). Karena Vx = 0. Persamaan Euler Lagrange(16) menjadi
d
dt(Vx) = 0˙ ...(20)
sehingga
Vx˙ =
∂V( ˙x∗(t), t)
KASUS II:
V merupakan dependent dari ˙x(t) saja,makaV =V( ˙x(t)). KarenaVx = 0. Persamaan Euler Lagrange menjadi
d
dt(Vx) = 0˙ →Vx˙ =C...(22)
Secara umum, solusi dari persamaan (21) dan (22) menjadi
˙
x∗(t) = C
1 →x∗(t) =C1t+C2...(23)
KASUS III:
V adalah dependent dari x(t) dan ˙x(t), maka V = V( ˙x(t)). Karena Vtx˙ = 0. Menggunakan
persamaan Euler lagrange(2.3.19) didapatkan
Vxx˙x˙∗(t) +Vx˙x˙x¨∗(t) +Vtx˙ = 0...(24)
perkalian pada persamaan sebelumnya oleh ˙x∗(t), didapatkan
˙
x∗(t)[V
xx˙x˙∗(t) +Vx˙x˙x¨∗(t) +Vtx˙ = 0]...(25)
dapat pula ditulis
d
dt(V −x˙
∗(t)V
˙
x) = 0 →V −x˙∗(t)V
˙
x =C...(26)
KASUS IV:
V merupakan dependent darix(t), danV =V((t), t), makaVx˙ dan persamaan Euler lagrange
(16) menjadi
∂V(x∗(t), t)
