DEFINISI UKURAN PEMUSATAN DATA

Malim Muhammad, M.Sc.

UKURAN

PEMUSATAN DATA

J U R U S A N A G R O T E K N O L O G I F A K U L T A S P E R T A N I A N

DEFINISI UKURAN PEMUSATAN DATA

Ukuran pemusatan adalah suatu ukuran yang

menunjukkan dimana suatu data memusat atau

suatu kumpulan pengamatan memusat

menunjukkan dimana suatu data memusat atau

suatu kumpulan pengamatan memusat

(mengelompok)

Ukuran pemusatan merupakan penyederhanaan

data untuk mempermudah peneliti membuat

Ukuran pemusatan data meliputi :

1.

Rata-rata

(average)

a)

Rata-rata hitung

(arithmetic mean)

b)

Rata-rata ukur

(geometric mean)

b)

Rata-rata ukur

(geometric mean)

c)

Rata-rata harmonis

(harmonic mean)

2.

Median

1A. RATA-RATA HITUNG

Dirumuskan :

Rata-rata hitung = jumlah semua nilai data banyaknya nilai data banyaknya nilai data

Bila data merupakan pengamatan dari n sampel, maka:

atau

Bila data merupakan pengamatan dari N

populasi, katakanlah masing-masing nilai data mengulang dengan frekuensi tertentu, maka:

n X

n

X X

X X

X

n

i

i n 





  



 1 2 3 ... 1

n X X 



mengulang dengan frekuensi tertentu, maka:

atau

n

n n

f f

f f

X f X

f X

f X

f X

 

 

 

 



... ...

3 2

1

3 3 2

2 1

1







CONTINUE..

Contoh 1 (pengamatan dari n sampel):



Nilai ujian statistik 5 mahasiswa pertanian adalah

80, 60, 75, 70, 65, maka nilai rata-rata hitungnya

80, 60, 75, 70, 65, maka nilai rata-rata hitungnya

adalah?

1 2 3

...

80 60 75 70 65

70

5

n

X

X

X

X

X

n





 

   







Solusi :

70

5

X

n

Contoh 2 (pengamatan dari N populasi):

Nilai ujian statistika 15 mahasiswa adalah sebagai berikut : 2 mahasiswa mendapat nilai 95,

4 mahasiswa dengan nilai 80, 5 mahasiswa mendapat nilai 65, 3 mahasiswa dengan nilai 60 dan

1 mahasiswa mendapat nilai 50, maka nilai rata-rata hitungnya adalah?

1 1 2 2 3 3 ... n n

f X f X f X f X

X     

Solusi :

1 1 2 2 3 3

1 2 3

... ...

(2 95) (4 80) (5 65) (3 60) (1 50) 1065

71

2 4 5 3 1 15

n n

n

f X f X f X f X

X

f f f f

x x x x x

   



   

   

  

Contoh 3 (data kelompok distribusi frekuensi)

Misalkan peneliti melakukan penelitian terhadap tinggi

pohon pinus (dalam cm) dari 40 batang pohon yang disajikan pada tabel distribusi frekuensi berikut, maka tentukanlah

nilai rata-rata hitungnya!

Solusi :

Kelas (Tinggi) Nilai Tengah (X) Frekuensi (f) fX

112-120 121-129 130-138 139-147 148-156 157-165

116 125 134 143 152 161

4 5 8 12

5 4

464 625 1072

1716 760 644 Solusi :

157-165 166-174

161 170

4 2

644 340



f 40



fX 5621

525 ,

140 40

5621  







Contoh 4 (

data kelompok distribusi frekuensi

menggunakan kode (U))



Rumus :

   

   





fU c

X X ₀

Dimana x adalah nilai tengah kelas yang berhimpit dengan

nilai U (0), c adalah lebar kelas, U adalah kode kelas



Berdasarkan data dari contoh soal no 3 dengan

menggunakan rumus diatas maka tentukanlah nilai

rata-rata hitungnya!

   

   



f c

X X ₀

CONTINUE..

Kelas Nilai Tengah (X) U Frekuensi (f) fU

112-120 116 -3 4 -12

Solusi : 112-120 121-129 130-138 139-147 148-156 157-165 166-174 116 125 134 143 152 161 170 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 8 12 5 4 2 -12 -10 -8 0 5 8 6



f 40



fU 11

  





_fU

1B. RATA-RATA UKUR

Digunakan jika data memiliki ciri tertentu,

banyaknya nilai data satu sama lain saling

berkelipatan sehingga data berukuran tetap atau

berkelipatan sehingga data berukuran tetap atau

hampir tetap.

Dirumuskan :



Untuk data sampel :

   

  

 atau G



X

G n

x

x

x

x

. . ... log log log



Untuk data berkelompok :

   

  





n G

atau

G n

n

x

x

x

x

₁. ₂. ₃... log log

 



f log X





















n

X

anti

G

atau

log

log

    

   





f X f

anti

Contoh 5(untuk data sampel )



Tentukanlah rata-rata ukur dari 2,4,8!

9031 , 0 8 log 6021 , 0 4 log 3010 , 0 2

log   

Contoh 6 (untuk data kelompok):

Perhatikan tabel data tinggi pohon pinus pada soal-soal

sebelumnya. Tentukanlah rata-rata ukur dari data tersebut!

Kelas (Modal) Nilai Tengah (X) Frekuensi (f) log X f log X

112-120 116 4 2,064 8,256

112-120 121-129 130-138 139-147 148-156 157-165 166-174 116 125 134 143 152 161 170 4 5 8 12 5 4 2 2,064 2,097 2,127 2,155 2,182 2,207 2,230 8,256 10,485 17,016 25,860 10,910 8,828 4,460 815 , 85

log   





_{f X}

40

f 





f log X  85,815

757 , 139 ) 145 , 2 log( 40 815 , 85 log log

log   

              





_{anti anti}

f X f

1C. RATA-RATA HARMONIS

Digunakan jika data memiliki ciri tertentu, data dalam bentuk pecahan atau desimal

Dirumuskan : Dirumuskan :

Untuk data sampel:

Untuk data berkelompok :

1

H

n R

X

 

 

 



 

 

   _{ }  





Untuk data berkelompok :

   

 

   

 

   

  





Contoh 7(untuk data sampel):



Tentukanlah rata-rata harmonis dari 2,4,8!

43 , 3 7 3 1 1 1 3 1                                    



n R_H



Tentukanlah rata-rata harmonis dari 1/3,2/5,3/7,4/9!

8 7 8 1 4 1 2 1 1                     



_X

40

,

0

397

,

0

08

,

10

4

9

7

5

4

1





























































n

R

_H

0

,

397

0

,

40

08

,

10

4

9

3

7

2

5

3

1















Contoh 8(

untuk data kelompok)

:

Perhatikan tabel data tinggi pohon pinus pada soal-soal sebelumnya. Tentukanlah rata-rata harmonisnya!

Kelas (Modal) Nilai Tengah (X) Frekuensi (f) f/X

112-120 116 4 0,034

112-120 121-129 130-138 139-147 148-156 157-165 166-174 116 125 134 143 152 161 170 4 5 8 12 5 4 2 0,034 0,040 0,060 0,084 0,033 0,025 0,012   40 f 



f _85,815

2. MEDIAN

Median adalah nilai tengah dari kelompok data yang

telah diurutkan Dirumuskan : Dirumuskan :

Untuk data sampel :

Median data ganjil = nilai yang paling tengah

Median data genap = rata-rata dari dua nilai tengah

Untuk data berkelompok

:

   



  

 F

n c L

Med 2

median

batas bawah kelas modus

Med L

 

 

 



  

f c

L

Med ₀ 2 ₀ batas bawah kelas modus lebar kelas

banyak data

= jumlah frekuensi sebelum kelas median banyak frekuensi kelas median

L c n F

f

 



CONTINUE..

Contoh 9:



Median dari data 3,4,4,5,6,8,8,9,10 adalah?

Nilai ke-5, yaitu 6

Nilai ke-5, yaitu 6



Himpunan bilangan 11,12,5,7,9,5,18,15, memiliki

median?

Bilangan terurut : 5,5,7,9,11,12,15,18

Mediannya adalah





5

ke

nilai

4

ke

nilai

2

1







9

11



10

2

1

2





CONTINUE..

Contoh 10:



Perhatikan tabel data tinggi pohon pinus pada soal-soal

sebelumnya. Tentukanlah median dari data tersebut!

sebelumnya. Tentukanlah median dari data tersebut!

Kelas (Modal) Frekuensi (f)

112-120 121-129 130-138 139-147 148-156 157-165 4 5 8 12 5

4 c 147,5 138,5 9

3. MODUS

Modus menyatakan gejala yang paling sering terjadi atau paling banyak muncul.

Dirumuskan : Dirumuskan :

Untuk data sampel :

Modus = nilai yang paling sering muncul

Untuk data berkelompok :

         2 1 1 0 b b b c L Mod dengan modus kelas frekuensi antara selisih kelas lebar modus kelas bawah batas modus 1 0     b c L Mod   b1 b2

CONTINUE..

Contoh 11:



Modus dari data 3,4,4,5,6,8,8,8,9 adalah?

Mod = 8

Mod = 8



Himpunan bilangan 3,4,4,6,8,8,9,10, memiliki modus?

Memiliki 2 modus yaitu Mod = 4 dan Mod = 8



Data 3,4,5,6,8,9,10 memiliki modus?

Tidak mempunyai modus



Data 3,3,3,3,3,3,3 memiliki modus?



Data 3,3,3,3,3,3,3 memiliki modus?

CONTINUE..

Contoh 12:

Perhatikan tabel data tinggi pohon pinus pada soal-soal sebelumnya. Tentukanlah modus dari data tersebut!

sebelumnya. Tentukanlah modus dari data tersebut!

Kelas (Modal) Frekuensi (f)

112-120 121-129 130-138 139-147 148-156 157-165 166-174 4 5 8 12 5 4 2 4 7 5 12 4 8 12 9 5 , 138 5 , 147 5 , 138 maka 12, terbesar frekuensi dengan 147, 139 kelas pada terletak Modus 2 1 0              b b c L 157-165 166-174 4 2 77 , 141 7 4 4 9 5 ,

138  

TUGAS

Perhatikan nilai ujian statistika untuk 80 orang mahasiswa berikut:

79 49 48 74 81 98 87 80 80 84 90 70 91 93 82 78

70 71 92 38 56 81 74 73 68 72 85 51 65 93 83 86

Hitunglah:

A. Rata-rata hitung, Rata-rata ukur & Rata-rata harmonis

90 35 83 73 74 43 86 88 92 93 76 71 90 72 67 75

80 91 61 72 97 91 88 81 70 74 99 95 80 59 71 77

63 60 83 82 60 67 89 63 76 63 88 70 66 88 79 75

A. Rata-rata hitung, Rata-rata ukur & Rata-rata harmonis

B. Median & modus (untuk data terkelompok)

Dikumpul via email : malim.matematikaump@gmail.com

Paling lambat :Senin, 25 Mei 2015 Pukul 03.00