MATEMATIKA DISKRIT II ( 2 SKS)

(1)

Graf 1 2006

MATEMATIKA DISKRIT

II

( 2 SKS)

Rabu, 18.50 – 20.20 Ruang Hard Disk

PERTEMUAN X, XI

GRAF

Dosen

Lie Jasa

GRAF

Oerip S Santoso

(2)

Graf 3 2006

Pendahuluan

• Graf digunakan untuk merepresentasikan

objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek-objek-objek

tersebut

• Representasi dari graf adalah dgn menyatakan

objek sebagai noktah, bulatan atau titik,

sedangkan hubungan antar objek dinyatakan dgn

garis.

• Contoh : Sebuah peta jaringan jalan raya yg

menghubungkan sejumlah kota pd sebuah

propinsi. Sesungguhnya peta tsb adalah sebuah

graf, yg dalam hal ini kota dinyatakan sebagai

noktah, sedangkan jalan raya dinyatakan sbg

garis

.

Contoh

• Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan peta jaringan jalan raya yang menghubungkan sejumlah kota di Provinsi Jawa Tengah

(3)

Graf 5 2006

Sejarah Graf

• Masalah jembatan Königsberg (tahun

1736). Di kota Königsberg (sebelah timur

negara bagian Prussia, Jerman), yg

sekarang bernama kota Kaliningrad,

terdapat sungai Pregal yg mengalir

mengintari pulau Kneiphof lalu bercabang

menjadi dua buah anak sungai. Ada 7

buah jembatan yg menghubungkan

daratan yg dibelah oleh sungai tsb.

Masalah Jembatan Königsberg

C

A

B

D

• Graf yang merepresentasikan jembatan

Königsberg:

– Simpul (vertex) _à menyatakan daratan – Sisi (edge) àmenyatakan jembatan

(4)

Graf 7 2006

Definisi Graf

• Graf

G

= (

V

,

E

), yang dalam hal ini:

– V = himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul (vertices) = { v₁, v₂, ... , v_n}

– E= himpunan sisi (edges) yang menghubungkan sepasang simpul = {e₁, e₂ , ... , e_n}

• Definisi diatas mengatakan bahwa V tidak boleh

kosong, sedangkan E boleh kosong.

• Jadi sebuah graf dimungkinkan tidak

mempunyai sisi satu buah pun, tetapi simpulnya

harus ada.

G₁: graf sederhana

G1 adalah graf dengan

V= { 1, 2, 3, 4 }

E= { (1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4) }

G₂: graf ganda

V= { 1, 2, 3, 4 }

E= { (1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 4) } = { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}

G₃: graf semu

(5)

Graf 9 2006

Contoh

• Pada

G

₂

, sisi

e

₃

= (1, 3) dan sisi

e

₄

= (1,

3) dinamakan

sisi-ganda

(

multiple edges

atau

paralel edges

) karena kedua sisi ini

menghubungi dua buah simpul yang

sama, yaitu simpul 1 dan simpul 3.

• Pada

G

₃

, sisi

e

₈

= (3, 3) dinamakan

gelang

atau

kalang

(

loop

) karena ia

berawal dan berakhir pada simpul yang

sama.

Jenis-Jenis Graf

• Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi

ganda pada suatu graf, maka graf digolongkan

menjadi dua jenis:

1. Graf sederhana(simple graph).

Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda dinamakan graf sederhana. G₁pada contoh graf sederhana

2. Graf tak-sederhana(unsimple-graph).

Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan graf tak-sederhana (unsimple graph). G₂

(6)

Graf 11 2006

• Berdasarkan jumlah simpul pada suatu

graf, maka secara umum graf dapat

digolongkan menjadi dua jenis:

1. Graf berhingga

(

limited graph

)

Graf berhingga adalah graf yang jumlah

simpulnya,

n

, berhingga.

2. Graf tak-berhingga

(

unlimited graph

)

Graf yang jumlah simpulnya,

n

, tidak

berhingga banyaknya disebut

graf

tak-berhingga

.

Jenis-Jenis Graf (cont.)

Jenis-jenis Graf (cont.)

• Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas 2 jenis:

1. Graf tak-berarah(undirected graph)

Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah. Tiga buah graf pada contoh a,b,dan c adalah graf tak-berarah.

2. Graf berarah(directed graphataudigraph)

Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah.

Contoh Graf berarah : 1

(7)

Graf 13 2006

Tabel Jenis-jenis Graf

(8)

Graf 15 2006

Contoh Terapan Graf

(cont.)

(9)

Graf 17 2006

Contoh Terapan Graf

(cont.)

(10)

Graf 19 2006

Terminologi Graf

(cont.)

(11)

Graf 21 2006

Terminologi Graf (

cont.)

Lemma Jabat Tangan

• Jumlah derajat semua simpul pada suatu graf adalah genap, yaitu dua kali jumlah sisi pada graf tersebut.

Dengan kata lain, jika G= (V, E), maka

• Tinjau graf G₁: d(1) + d(2) + d(3) + d(4) = 2 + 3 + 3 + 2 = 10 = 2 × jumlah sisi = 2 ×5

• Tinjau graf G₂: d(1) + d(2) + d(3) = 3 + 3 + 4 = 10 = 2 × jumlah sisi = 2 ×5

• Tinjau graf G₃: d(1) + d(2) + d(3) + d(4) + d(5) = 2 + 2 + 3 + 1 + 0 = 8

= 2 × jumlah sisi = 2 ×4

E

v

d

V v

2 )

(

=

(12)

Graf 23 2006

Contoh

• Diketahui graf dengan lima buah simpul. Dapatkah kita menggambar graf tersebut jika derajat masing-masing simpul

adalah:

(a) 2, 3, 1, 1, 2 (b) 2, 3, 3, 4, 4 Penyelesaian:

a. tidak dapat, karena jumlah derajat semua simpulnya ganjil

(2 + 3 + 1 + 1 + 2 = 9).

b. dapat, karena jumlah derajat semua simpulnya genap

(2 + 3 + 3 + 4 + 4 = 16).

6. Lintasan (

Path

)

• Lintasan

yang panjangnya

n

dari simpul awal

v

₀

ke simpul tujuan

v

_n

di dalam graf

),

... ,

e

_n

= (

v

_n_-1

,

v

_n

) adalah sisi-sisi dari graf

G

.

• Tinjau graf

G

₁

: lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan

dengan barisan sisi (1,2), (2,4), (4,3).

• Panjang lintasan

adalah jumlah sisi dalam

lintasan tersebut. Lintasan 1, 2, 4, 3 pada

G

₁

(13)

Graf 25 2006

7. Siklus (

Cycle

) atau Sirkuit (

Circuit

)

• Lintasan yang berawal dan berakhir pada

simpul yang sama disebut

sirkuit

atau

siklus

.

• Tinjau graf

G

₁

: 1, 2, 3, 1 adalah sebuah

sirkuit.

• Panjang sirkuit

adalah jumlah sisi dalam

sirkuit tersebut. Sirkuit 1, 2, 3, 1 pada

G

₁

memiliki panjang 3.

8. Terhubung (

Connected

)

• Dua buah simpul v₁dan simpulv₂disebut terhubungjika terdapat lintasan dari v1 ke v₂.

• G disebutgraf terhubung(connected graph) jika untuk setiap pasang simpulv_idan v_jdalam himpunanVterdapat lintasan dari v_ikev_j.

• Jika tidak, makaGdisebutgraf tak-terhubung

(disconnected graph).

1

(14)

Graf 27 2006

Graf terhubung kuat dam lemah

• Dua simpul, udan v, pada graf berarahGdisebut terhubung kuat

(strongly connected) jika terdapat lintasan berarah dari ukevdan juga lintasan berarah dari vkeu. • Jikaudan vtidak terhubung kuat

tetapi terhubung pada graf tidak berarahnya, makau dan v

dikatakanterhubung lemah

(weakly coonected). • Graf berarahG disebut graf

terhubung kuat(strongly connected graph) apabila untuk setiap pasang simpul sembarangu

dan vdi G, terhubung kuat. Kalau tidak, Gdisebut graf terhubung lemah.

graf berarah terhubung kuat

9. Upagraf (

Subgraph

) dan Komplemen Upagraf

• Misalkan G= (V, E) adalah sebuah graf. G₁ = (V₁, E₁) adalah

upagraf(subgraph) dari Gjika V₁ ⊆Vdan E₁⊆E.

• Komplemendari upagraf G₁ terhadap graf Gadalah graf G₂

= (V₂, E₂) sedemikian sehingga E₂= E-E₁dan V₂adalah himpunan simpul yang anggota-anggota E₂bersisian dengannya.

(15)

Graf 29 2006

10. Upagraf Rentang (

Spanning Subgraph

)

• Upagraf

G

₁

= (

V

₁

,

E

₁

) dari

G

= (

V

,

E

) dikatakan

rentang dari G

11. Cut-Set

• Cut-setdari graf terhubung Gadalah himpunan sisi yang bila

dibuang dari Gmenyebabkan Gtidak terhubung. Jadi, cut-set

selalu menghasilkan dua buah komponen.

• Pada graf di bawah, {(1,2), (1,5), (3,5), (3,4)} adalah cut-set. Terdapat banyak cut-set pada sebuah graf terhubung.

• Himpunan {(1,2), (2,5)} juga adalah cut-set, {(1,3), (1,5), (1,2)} adalah cut-set, {(2,6)} juga cut-set,

• tetapi {(1,2), (2,5), (4,5)} bukancut-set sebab himpunan bagiannya, {(1,2), (2,5)} adalahcut-set.

(16)

Graf 31 2006

12. Graf Berbobot (

Weighted Graph

)

• Graf berbobot

adalah graf yang setiap sisinya

diberi sebuah harga (bobot).

a

b

c d

e

10 12 8

15 9

11

14

(17)

Graf 33 2006

(18)

Graf 35 2006

Representasi Graf

Contoh :

Contoh

adjacency matrix

(19)

Graf 37 2006

Derajat tiap simpul

i

(20)

Graf 39 2006

3. Senarai Ketetanggaan (

adjacency list

)

(21)

Graf 41 2006

Contoh

(22)

Graf 43 2006

contoh

Graf Planar (

Planar Graph

)

• Graf yang dapat digambarkan pada

bidang datar dengan sisi-sisi tidak saling

memotong disebut sebagai

graf planar

,

(23)

Graf 45 2006