MATEMATIKA DISKRIT II ( 2 SKS)

(1)

Graf (Lanjutan) dan Pohon 1 2006

MATEMATIKA DISKRIT

II

( 2 SKS)

Rabu, 18.50 – 20.20

Ruang Hard Disk

PERTEMUAN XI, XII

RELASI

Dosen

Lie Jasa

(2)

Lintasan dan Sirkuit Euler

• Lintasan Euler

ialah lintasan yang melalui

masing-masing sisi di dalam graf tepat

satu kali.

• Sirkuit Euler ialah sirkuit yang melewati

masing-masing sisi tepat satu kali..

• Graf yang mempunyai sirkuit Euler disebut

graf Euler

(

Eulerian graph

). Graf yang

mempunyai lintasan Euler dinamakan juga

graf

semi-Euler

(

semi-Eulerian graph

).

contoh

bukan graf semi-Euler atau graf Euler

(3)

Teorema-teorema

• TEOREMA 6.2.

Graf tidak berarah memiliki lintasan Euler jika

dan hanya jika terhubung dan memiliki dua buah simpul

berderajat ganjil atau tidak ada simpul berderajat ganjil sama

sekali.

• TEOREMA 6.3.

Graf tidak berarah

G

adalah graf Euler

(memiliki sirkuit Euler) jika dan hanya jika setiap simpul

berderajat genap.

• (Catatlah bahwa graf yang memiliki sirkuit Euler pasti

mempunyai lintasan Euler, tetapi tidak sebaliknya)

• TEOREMA 6.4.

Graf berarah

G

memiliki sirkuit Euler jika dan

hanya jika

G

terhubung dan setiap simpul memiliki

derajat-masuk dan derajat-keluar sama.

G

memiliki lintasan Euler jika

dan hanya jika

G

terhubung dan setiap simpul memiliki

derajat-masuk dan derajat-keluar sama kecuali dua simpul,

yang pertama memiliki keluar satu lebih besar

derajat-masuk, dan yang kedua memiliki derajat-masuk satu lebih

besar dari derajat-keluar.

(4)

Hamiltonian cycles

• Traveling salesperson

problem

– To visit every vertex of a

graph G only once by a

simple cycle.

– Such a cycle is called a

Hamiltonian cycle

.

– If a connected graph G

has a Hamiltonian cycle,

G is called a

Hamiltonian graph

.

Lintasan dan Sirkuit Hamilton

• Lintasan Hamilton

ialah lintasan yang melalui

tiap simpul di dalam graf tepat satu kali.

• Sirkuit Hamilton

ialah sirkuit yang melalui tiap

simpul di dalam graf tepat satu kali, kecuali

simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang dilalui

dua kali.

• Graf yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan

graf Hamilton

, sedangkan graf yang hanya

memiliki lintasan Hamilton disebut

graf

(5)

Ilustrasi

Teorema

• TEOREMA 6.5.

Syarat cukup (jadi bukan syarat perlu)

supaya graf sederhana

G

dengan

n

(

≥

3) buah simpul

adalah graf Hamilton ialah bila derajat tiap simpul paling

sedikit

n

/2 (yaitu,

d

(v)

≥

n

/2 untuk setiap simpul

v

di

G

).

• TEOREMA 6.6.

Setiap graf lengkap adalah graf

(6)

contoh

• (Persoalan pengaturan tempat duduk).

Sembilan anggota sebuah klub bertemu

tiap hari untuk makan siang pada sebuah

meja bundar. Mereka memutuskan duduk

sedemikian sehingga setiap anggota

mempunyai tetangga duduk berbeda pada

setiap makan siang. Berapa hari

pengaturan tersebut dapat dilaksanakan?

• Jumlah pengaturan tempat duduk yang

(7)

45

50 10

35 30

3 15

15 40

20 10 20

1 2

3 4 6

(8)

Beberapa Aplikasi Graf

1. Lintasan Terpendek (

Shortest Path)

• graf berbobot (

weighted graph

),

• lintasan terpendek: lintasan yang memiliki total bobot minimum.

• Contoh aplikasi:

1. Menentukan jarak terpendek/waktu tempuh tersingkat/ongkos

termurah antara dua buah kota

2. Menentukan waktu tersingkat pengiriman pesan (

message

)

antara dua buah terminal pada jaringan komputer.

• Terdapat beberapa jenis persoalan lintasan terpendek, antara lain:

1. Lintasan terpendek antara dua buah simpul tertentu.

2. Lintasan terpendek antara semua pasangan simpul.

3. Lintasan terpendek dari simpul tertentu ke semua simpul yang

lain.

4. Lintasan terpendek abtara dua buah simpul yang melalui

beberapa simpul tertentu.

==> Di dalam kuliah ini kita memilih jenis persoalan 3.

Uraian Persoalan

• Diberikan graf berbobot

G

= (

V

,

E

) dan sebuah simpul

a

. Tentukan lintasan terpendek dari

a

ke setiap simpul

lainnya di

G

. Asumsi yang kita buat adalah bahwa

semua sisi berbobot positif.

(9)

Graf (Lanjutan) dan Pohon 17

(10)

Algoritma lintasan terpendek

(11)

(12)

Pohon /

tree

• Pohon

adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak

mengandung sirkuit

Hutan

(

forest

)

• kumpulan pohon yang saling lepas, atau

graf tidak terhubung yang tidak mengandung sirkuit.

Setiap komponen di dalam graf terhubung tersebut

adalah pohon.

Hutan yang terdiri dari tiga buah pohon

(13)

Sifat-sifat Pohon

• Teorema.

Misalkan

G

= (

V

,

E

) adalah graf tak-berarah

sederhana dan jumlah simpulnya

n

. Maka, semua

pernyataan di bawah ini adalah ekivalen:

–

G

adalah pohon.

– Setiap pasang simpul di dalam

G

terhubung dengan lintasan

tunggal.

–

G

terhubung dan memiliki

m = n

– 1 buah sisi.

–

G

tidak mengandung sirkuit dan memiliki

m = n

– 1 buah sisi.

–

G

tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi pada graf

akan membuat hanya satu sirkuit.

–

G

terhubung dan semua sisinya adalah jembatan.

• Teorema di atas dapat dikatakan sebagai definisi lain

dari pohon.

Pohon Merentang (

spanning tree

)

• Pohon merentang dari graf terhubung adalah

upagraf merentang yang berupa pohon.

(14)

Aplikasi Pohon Merentang

(15)

Algortima Prim

• Langkah 1: ambil sisi dari graf

G

yang berbobot

minimum, masukkan ke dalam

T

.

• Langkah 2: pilih sisi (

u

,

v

) yang mempunyai

bobot minimum dan bersisian dengan simpul di

T

, tetapi (

u

,

v

) tidak membentuk sirkuit di

T

.

Masukkan (

u

,

v

) ke dalam

T

.

• Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak

n

– 2

kali.

• Jumlah langkah seluruhnya di dalam algoritma

Prim adalah

• 1 + (

n

– 2) =

n

– 1

• yaitu sebanyak jumlah sisi di dalam pohon

rentang dengan

n

buah simpul.

(16)

(17)

Algoritma Kruskal

• ( Langkah 0: sisi-sisi dari graf sudah diurut

menaik berdasarkan bobotnya – dari

bobot kecil ke bobot besar)

(18)

Algoritma Kruskal

(19)

(20)

Pohon Berakar

Terminologi pada Pohon Berakar

(21)

Derajat (

Degree

)

(22)

Tinggi (

height

) atau Kedalaman (

depth

)

(23)

Pohon Biner

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)