Graf
Bahan Kuliah
IF2120 Matematika Diskrit
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Pendahuluan
Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut.
Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan peta jaringan jalan raya yang menghubungkan sejumlah kota di Provinsi Jawa Tengah.
Brebes Tegal
Slawi
Pemalang
Purwokerto
Cilacap
Banjarnegara Wonosobo
Kebumen
Purworejo
Kendal
Semarang Pekalongan
Purbalingga
Magelang
Salatiga
Klaten
Solo
Purwodadi Demak Kudus
Rembang
Blora
Sukoharjo
Wonogiri Sragen
Boyolali
Kroy a
Temanggung
Sejarah Graf: masalah jembatan Königsberg (tahun 1736)
Gambar 1. Masalah Jembatan Königsberg
Graf yang merepresentasikan jembatan Königsberg:
Simpul (vertex) menyatakan daratan Sisi (edge) menyatakan jembatan
Bisakah melalui setiap jembatan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat semula?
C
A
B
D
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Leonhard Euler
15 April 1707 – 18 September 1783
Konigsberg Bridge Problem
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Definisi Graf
Graf G = (V, E), yang dalam hal ini:
V = himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul (vertices)
= { v 1 , v 2 , ... , v n }
E = himpunan sisi (edges) yang menghubungkan sepasang simpul
= {e 1 , e 2 , ... , e n }
G
1G
2G
3Gambar 2. (a) graf sederhana, (b) graf ganda, dan (c) graf semu
Contoh 1. Pada Gambar 2, G
1adalah graf dengan
V = { 1, 2, 3, 4 } E = { (1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4) }
G
2adalah graf dengan V = { 1, 2, 3, 4 }
E = { (1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 4) } = { e
1, e
2, e
3, e
4, e
5, e
6, e
7}
G
3adalah graf dengan V = { 1, 2, 3, 4 }
E = { (1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 4), (3, 3) }
= { e , e , e , e , e , e , e , e }
1 1 1
2 3
4
2 3
4
2
4
3 e1
e2 e3
e4
e5 e6 e7
e1 e2
e3 e4
e5 e6 e7
e8
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
G
1G
2G
3Gambar 2. (a) graf sederhana, (b) graf ganda, dan (c) graf semu
Pada G
2, sisi e
3= (1, 3) dan sisi e
4= (1, 3) dinamakan sisi- ganda (multiple edges atau paralel edges) karena kedua sisi ini menghubungi dua buah simpul yang sama, yaitu simpul 1 dan simpul 3.
Pada G
3, sisi e
8= (3, 3) dinamakan gelang atau kalang (loop) karena ia berawal dan berakhir pada simpul yang sama.
1 1 1
2 3
4
2 3
4
2
4
3 e1
e2 e3
e4
e5 e6 e7
e1 e2
e3 e4
e5 e6 e7
e8
Jenis-Jenis Graf
Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, maka graf digolongkan menjadi dua jenis:
1. Graf sederhana (simple graph).
Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda dinamakan graf sederhana. G 1 pada Gambar 2 adalah contoh graf sederhana
2. Graf tak-sederhana (unsimple-graph).
Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan
graf tak-sederhana (unsimple graph). G 2 dan G 3 pada
Gambar 2 adalah contoh graf tak-sederhana
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas 2 jenis:
1. Graf tak-berarah (undirected graph)
Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah. Tiga buah graf pada Gambar 2 adalah graf tak-berarah.
2. Graf berarah (directed graph atau digraph)
Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut
sebagai graf berarah. Dua buah graf pada Gambar 3 adalah
graf berarah.
(a) G4 (b) G5
Gambar 3 (a) graf berarah, (b) graf-ganda berarah
1 1
2 3
4
2 3
4
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Tabel 1 Jenis-jenis graf [ROS99]
Jenis Sisi Sisi ganda
dibolehkan?
Sisi gelang dibolehkan?
Graf sederhana Graf ganda
Graf semu Graf berarah
Graf-ganda berarah
Tak-berarah Tak-berarah Tak-berarah Bearah
Bearah
Tidak Ya Ya Tidak Ya
Tidak
Tidak
Ya
Ya
Ya
Contoh Terapan Graf
1. Rangkaian listrik.
(a) (b)
A B
C
E D F
A
B C
E D
F
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
2. Isomer senyawa kimia karbon
metana (CH
4) etana (C
2H
6) propana (C
3H
8)
C H
H
H H
3. Jejaring makanan (Biologi)
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
4. Pengujian program
read(x);
while x <> 9999 do
begin
if x < 0 then
writeln(‘Masukan tidak boleh negatif’) else
x:=x+10;
read(x);
end;
writeln(x);
Keterangan: 1 : read(x) 5 : x := x + 10 2 : x <> 9999 6 : read(x) 3 : x < 0 7 : writeln(x) 4 : writeln(‘Masukan tidak boleh negatif’);
1 2
3
4
5
6 7
5. Pemodelan Mesin Jaja ( vending Machine)
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Graf kelakuan mesin jaja: (misal mesin jaja yang menjual coklat 15 sen)
Keterangan:
a : 0 sen dimasukkan b : 5 sen dimasukkan c : 10 sen dimasukkan
d : 15 sen atau lebih dimasukkan
a b c d
P P P
P
5 5
10
10
10
10
5 5
Latihan
Gambarkan graf yang menggambarkan sistem pertandingan sistem ½
kompetisi ( round-robin tournaments )
yang diikuti oleh 5 tim.
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Terminologi Graf
1. Ketetanggaan (Adjacent)
Dua buah simpul dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung.
Tinjau graf G 1 : simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan 3, simpul 1 tidak bertetangga dengan simpul 4.
G
1G
2G
31
2 3
4
1
2
3
4 5 1
2
e1 e2
e3
e4 3 e5
2. Bersisian (Incidency)
Untuk sembarang sisi e = (v
j, v
k) dikatakan e bersisian dengan simpul v
j, atau e bersisian dengan simpul v
kTinjau graf G
1: sisi (2, 3) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3, sisi (2, 4) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 4,
tetapi sisi (1, 2) tidak bersisian dengan simpul 4.
G
1G
2G
31
2 3
4
1
2
3
4 5 1
2
e1 e2
e3
e4 3 e5
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
3. Simpul Terpencil (Isolated Vertex)
Simpul terpencil ialah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya.
Tinjau graf G
3: simpul 5 adalah simpul terpencil.
G
1G
2G
31
2 3
4
1
2
3
4 5 1
2
e1 e2
e3
e4 3 e5
4. Graf Kosong (null graph atau empty graph)
Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong (N
n).
Graf N
5:
1
2
3 4
5
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
5. Derajat (Degree)
Derajat suatu simpul adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut.
Notasi: d(v)
Tinjau graf G
1: d(1) = d(4) = 2 d(2) = d(3) = 3
Tinjau graf G
3: d(5) = 0 simpul terpencil
d(4) = 1 simpul anting-anting (pendant vertex)
Tinjau graf G
2: d(1) = 3 bersisian dengan sisi ganda
d(2) = 4 bersisian dengan sisi gelang (loop)
G
1G
2G
31
2 3
4
1
2
3
4 5 1
2
e1 e2
e3
e4 3 e5
Pada graf di atas, derajat setiap simpul ditunjukkan
pada masing-masing simpul
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
G
4G
5Tinjau graf G
4:
d
in(1) = 2; d
out(1) = 1 d
in(2) = 2; d
out(2) = 3 d
in(3) = 2; d
out(3) = 1 d
in(4) = 1; d
out(3) = 2
1 1
2 3
4
2 3
4
1
2 3
4
1
2
3
4 5 1
2
e1 e2
e3
e4 3 e5
Lemma Jabat Tangan. Jumlah derajat semua simpul pada suatu graf adalah genap, yaitu dua kali jumlah sisi pada graf tersebut.
Dengan kata lain, jika G = (V, E), maka d v E
V v
2 )
(
Tinjau graf G
1: d(1) + d(2) + d(3) + d(4) = 2 + 3 + 3 + 2 = 10 = 2 jumlah sisi = 2 5 Tinjau graf G
2: d(1) + d(2) + d(3) = 3 + 3 + 4 = 10
= 2 jumlah sisi = 2 5 Tinjau graf G
3: d(1) + d(2) + d(3) + d(4) + d(5)
= 2 + 2 + 3 + 1 + 0 = 8
= 2 jumlah sisi = 2 4
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Akibat dari lemma ( corollary ):
Teorema: Untuk sembarang graf G,
banyaknya simpul berderajat ganjil
selalu genap.
Contoh 2. Diketahui graf dengan lima buah simpul. Dapatkah kita menggambar graf tersebut jika derajat masing-masing simpul adalah:
(a) 2, 3, 1, 1, 2 (b) 2, 3, 3, 4, 4
Penyelesaian:
(a) tidak dapat, karena jumlah derajat semua simpulnya ganjil (2 + 3 + 1 + 1 + 2 = 9).
(b) dapat, karena jumlah derajat semua simpulnya genap
(2 + 3 + 3 + 4 + 4 = 16).
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Latihan
Mungkinkah dibuat graf-sederhana 5 simpul dengan derajat masing-masing simpul
adalah:
(a) 5, 2, 3, 2, 4 (b) 4, 4, 3, 2, 3 (c) 3, 3, 2, 3, 2 (d) 4, 4, 1, 3, 2
Jika mungkin, berikan satu contohnya, jika
tidak mungkin, berikan alasan singkat.
Jawaban:
(a) 5, 2, 3, 2, 4: Tidak mungkin, karena ada simpul berderajat 5
(b) 4, 4, 3, 2, 3: Mungkin [contoh banyak]
(c) 3, 3, 2, 3, 2: Tidak mungkin, karena jumlah simpul berderajat ganjil ada 3 buah (alasan lain, karena jumlah derajat ganjil)
(d) 4, 4, 1, 3, 2: Tidak mungkin, karena simpul-
1 dan simpul-2 harus bertetangga dengan
simpul sisanya, berarti simpul-3 minimal
berderajat 2 (kontradiksi dengan simpul-3
berderajat 1)
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Diskrit 32
6. Lintasan (Path)
Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v
0ke simpul tujuan v
ndi dalam graf G ialah barisan berselang-seling simpul-simpul dan sisi-sisi yang berbentuk v
0, e
1, v
1, e
2, v
2,... , v
n –1, e
n, v
nsedemikian sehingga e
1= (v
0, v
1), e
2= (v
1, v
2), ... , e
n= (v
n-1, v
n) adalah sisi-sisi dari graf G.
Tinjau graf G
1: lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan dengan barisan sisi (1,2), (2,4), (4,3).
Panjang lintasan adalah jumlah sisi dalam lintasan tersebut. Lintasan 1, 2, 4, 3 pada G
1memiliki panjang 3.
G G G
1
2 3
4
1
2
3
4 5 1
2
e1 e2
e3
e4 3 e5
7. Siklus (Cycle) atau Sirkuit (Circuit)
Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus.
Tinjau graf G
1: 1, 2, 3, 1 adalah sebuah sirkuit.
Panjang sirkuit adalah jumlah sisi dalam sirkuit tersebut. Sirkuit 1, 2, 3, 1 pada G
1memiliki panjang 3.
G
1G
2G
31
2 3
4
1
2
3
4 5 1
2
e1 e2
e3
e4 3 e5
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
8. Terhubung (Connected)
Dua buah simpul v
1dan simpul v
2disebut terhubung jika terdapat lintasan dari v
1ke v
2.
G disebut graf terhubung (connected graph) jika untuk setiap pasang simpul v
idan v
jdalam himpunan V terdapat lintasan dari v
ike v
j.
Jika tidak, maka G disebut graf tak-terhubung (disconnected graph).
Contoh graf tak-terhubung:
1
2
3
4 5
6
7 8
Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tidak berarahnya terhubung (graf tidak berarah dari G diperoleh dengan menghilangkan arahnya).
Dua simpul, u dan v, pada graf berarah G disebut terhubung kuat (strongly connected) jika terdapat lintasan berarah dari u ke v dan juga lintasan berarah dari v ke u.
Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi terhubung pada graf
tidak berarahnya, maka u dan v dikatakan terhubung lemah
(weakly coonected).
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Graf berarah G disebut graf terhubung kuat (strongly connected graph) apabila untuk setiap pasang simpul sembarang u dan v di G, terhubung kuat. Kalau tidak, G disebut graf terhubung lemah.
graf berarah terhubung lemah graf berarah terhubung kuat
1
2
3 4
1
2 3
8. Upagraf (Subgraph) dan Komplemen Upagraf
Misalkan G = (V, E) adalah sebuah graf. G
1= (V
1, E
1) adalah upagraf (subgraph) dari G jika V
1 V dan E
1 E.
Komplemen dari upagraf G
1terhadap graf G adalah graf G
2= (V
2, E
2) sedemikian sehingga E
2= E - E
1dan V
2adalah himpunan simpul yang anggota-anggota E
2bersisian dengannya .
(a) Graf G
1(b) Sebuah upagraf (c) komplemen dari upagraf (b)
1
2
3
4 5
6
1
6
5
3 1
2
3
2 5
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Komponen graf (connected component) adalah jumlah maksimum upagraf terhubung dalam graf G.
Graf G di bawah ini mempunyai 4 buah komponen .
1
2 3 4
5
6 7
8
9
10 11
12
13
Pada graf berarah, komponen terhubung kuat (strongly connected component) adalah jumlah maksimum upagraf yang terhubung kuat.
Graf di bawah ini mempunyai 2 buah komponen terhubung kuat:
2 3
4
5
1
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
9. Upagraf Rentang (Spanning Subgraph)
Upagraf G
1= (V
1, E
1) dari G = (V, E) dikatakan upagraf rentang jika V
1=V (yaitu G
1mengandung semua simpul dari G).
(a) graf G, (b) upagraf rentang dari G, (c) bukan upagraf rentang dari G
1
2 3
4 5
1
2 3
4 5
1
2 3
10. Cut-Set
Cut-set dari graf terhubung G adalah himpunan sisi yang bila dibuang dari G menyebabkan G tidak terhubung. Jadi, cut-set selalu menghasilkan dua buah komponen.
Pada graf di bawah, {(1,2), (1,5), (3,5), (3,4)} adalah cut-set.
Terdapat banyak cut-set pada sebuah graf terhubung.
Himpunan {(1,2), (2,5)} juga adalah cut-set, {(1,3), (1,5), (1,2)}
adalah cut-set, {(2,6)} juga cut-set,
tetapi {(1,2), (2,5), (4,5)} bukan cut-set sebab himpunan bagiannya, {(1,2), (2,5)} adalah cut-set.
1
3 4
5 2
6
1 2
3 5
4
6
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
11. Graf Berbobot (Weighted Graph)
Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga (bobot).
a
b
d c e
10 12
8
15 9
11
14
Beberapa Graf Khusus
a. Graf Lengkap (Complete Graph)
Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua simpul lainnya. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan K
n. Jumlah sisi pada graf lengkap yang terdiri dari n buah simpul adalah n(n – 1)/2.
K1 K2 K3 K4 K5 K6
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
b. Graf Lingkaran
Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua.
Graf lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan C
n.
c. Graf Teratur (Regular Graphs)
Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut graf
teratur. Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut disebut
sebagai graf teratur derajat r. Jumlah sisi pada graf teratur adalah nr/2.
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Latihan
Berapa jumlah maksimum dan jumlah
minimum simpul pada graf sederhana
yang mempunyai 16 buah sisi dan tiap
simpul berderajat sama dan tiap simpul
berderajat ≥ 4 ?
Jawaban: Tiap simpul berderajat sama -> graf teratur.
Jumlah sisi pada graf teratur berderajat r adalah e = nr/2. Jadi, n = 2e/r = (2)(16)/r = 32/r.
Untuk r = 4, jumlah simpul yang dapat dibuat adalah maksimum, yaitu n = 32/4 = 8.
Untuk r yang lain (r > 4 dan r merupakan pembagi bilangan bulat dari 32):
r = 8 -> n = 32/8 = 4 -> tidak mungkin membuat graf sederhana.
r = 16 -> n = 32/16 = 2 -> tidak mungkin membuat graf sederhana.
Jadi, jumlah simpul yang dapat dibuat adalah 8 buah
(maksimum dan minimum).
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
d. Graf Bipartite (Bipartite Graph)
Graf G yang himpunan simpulnya dapat dipisah menjadi dua himpunan bagian V
1dan V
2, sedemikian sehingga setiap sisi pada G menghubungkan sebuah simpul di V
1ke sebuah simpul di V
2disebut graf bipartit dan dinyatakan sebagai G(V
1, V
2).
V
1V
2Graf G di bawah ini adalah graf bipartit, karena simpul-simpunya dapat dibagi menjadi V
1= {a, b, d} dan V
2= {c, e, f, g}
G
graf persoalan utilitas (K
3,3), topologi bintang
H2 H3
W G E
H1
a b
c
d e
f
g
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Representasi Graf
1. Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix)
A = [a
ij],
1, jika simpul i dan j bertetangga a
ij= {
0, jika simpul i dan j tidak bertetangga
Contoh:
4 3 2
1 1 2 3 4 5 1 2 3 4
4 3 2 1
0 1 1 0
1 0 1 1
1 1 0 1
0 1 1 0
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0
5 4 3 2 1
4 3 2 1
0 1 1 0
0 0 0 1
1 1 0 1
0 0 1 0
(a) (b) (c)
1 2 3 4
3
2 1
2 1 1 2
1 1 0 1
0 2 1 0 1
2 3
4
1
2 3
4 5
1
2 3
4
1
2
4
3 e1
e2 e3
e4
e5 e6 e7
e8
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Derajat tiap simpul i:
(a) Untuk graf tak-berarah d(v
i) =
n
j
aij 1
(b) Untuk graf berarah,
d
in(v
j) = jumlah nilai pada kolom j =
n
i
aij 1
d
out(v
i) = jumlah nilai pada baris i =
n
j
aij 1
a b c d e
15 8
10
15 14
11
14 9
8 11 9 12
10 12
e d c b a
a
b
d c e
10 12
8
15 9
11
14
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
2. Matriks Bersisian (incidency matrix)
A = [a
ij],
1, jika simpul i bersisian dengan sisi j a
ij= {
0, jika simpul i tidak bersisian dengan sisi j
e1 e2 e3 e4 e5
4 3 2 1
1 0 0 0 0
1 1 1 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 1 1
1 2
3 4 e1
e2 e3 e4
e5
3. Senarai Ketetanggaan (adjacency list)
Simpul Simpul Tetangga Simpul Simpul Tetangga Simpul Simpul Terminal
1 2, 3 1 2, 3 1 2
2 1, 3, 4 2 1, 3 2 1, 3, 4
3 1, 2, 4 3 1, 2, 4 3 1
4 2, 3 4 3 4 2, 3
5 -
(a) (b) (c)
1
2 3
4
1
2 3
4 5
1
2 3
4
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Graf Isomorfik
Diketahui matriks ketetanggaan ( adjacency matrices ) dari sebuah graf tidak berarah.
Gambarkan dua buah graf yang yang bersesuaian dengan matriks tersebut .
0 1 0 1 1
1 0 1 1 0
0 1 1 1 0
1 1 1 0 1
1
0
0
1
0
Jawaban:
Dua buah graf yang sama (hanya
penggambaran secara geometri berbeda)
isomorfik!
1
1
2 3
3 5 4
5 4
2
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Graf Isomorfik
Dua buah graf yang sama tetapi secara geometri berbeda disebut graf yang saling isomorfik.
Dua buah graf, G
1dan G
2dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisi- sisi keduaya sedemikian sehingga hubungan kebersisian tetap terjaga.
Dengan kata lain, misalkan sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G
1, maka sisi e’ yang berkoresponden di G
2harus bersisian dengan simpul u’
dan v’ yang di G
2.
Dua buah graf yang isomorfik adalah graf yang sama, kecuali penamaan
simpul dan sisinya saja yang berbeda. Ini benar karena sebuah graf dapat
digambarkan dalam banyak cara.
(a) G
1(b) G
2(c) G
3Gambar 6.35 G
1isomorfik dengan G
2, tetapi G
1tidak isomorfik dengan G
33
4
1 2
d c
a b
v w
x y
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
(a) G
1(b) G
2Gambar 6.36 Graf (a) dan graf (b) isomorfik [DEO74]
a b c d e x y w v z
A
G1=
e d c b a
0 1 0 0 0
1 0 1 0 1
0 1 0 1 1
0 0 1 0 1
0 1 1 1 0
A
G2=
z v w
y x
0 1 0 0 0
1 0 1 0 1
0 1 0 1 1
0 0 1 0 1
0 1 1 1 0
z
d c
a
b
e
x
v w
y
(a)
(b)
Gambar 6.38 (a) Dua buah graf isomorfik, (b) tiga buah graf isomorfik
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Dari definisi graf isomorfik dapat dikemukakan bahwa dua buah graf isomorfik memenuhi ketiga syarat berikut [DEO74]:
1. Mempunyai jumlah simpul yang sama.
2. Mempunyai jumlah sisi yang sama
3. Mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu
Namun, ketiga syarat ini ternyata belum cukup menjamin. Pemeriksaan secara visual perlu dilakukan.
(a) (b)
x
u
v
w
y
Latihan
Apakah pasangan graf di bawah ini isomorfik?
a
b
c d
e f g
h u
v w
t p
q
r
s
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Latihan
Apakah pasangan graf di bawah ini isomorfik?
a b
c d
e f
p q
r s
t
u
Latihan
Gambarkan 2 buah graf yang isomorfik
dengan graf teratur berderajat 3 yang
mempunyai 8 buah simpul
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Jawaban:
Graf Planar ( Planar Graph ) dan Graf Bidang ( Plane Graph )
Graf yang dapat digambarkan pada bidang datar
dengan sisi-sisi tidak saling memotong (bersilangan) disebut graf planar,
jika tidak, maka ia disebut graf tak-planar.
K
4adalah graf planar:
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
K 5 adalah graf tidak planar:
Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan disebut graf bidang (plane graph).
(a) (b) (c)
Tiga buah graf planar. Graf (b) dan (c) adalah graf bidang
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Persoalan utilitas (utility problem)
(a) (b)
(a) Graf persoalan utilitas (K
3,3), (b) graf persoalan utilitas bukan graf planar.
H2 H3
W G E
H2 H3
W G E
H1 H1
Aplikasi Graf Planar
Aplikasi Graf Planar
Perancangan IC ( Integrated Circuit )
Tidak boleh ada kawat-kawat di dalam IC- board yang saling bersilangan dapat menimbulkan interferensi arus listrik
malfunction
Perancangan kawat memenuhi prinsip graf
planar
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Latihan
Gambarkan graf (kiri) di bawah ini sehingga
tidak ada sisi-sisi yang berpotongan (menjadi
graf bidang). (Solusi: graf kanan)
Sisi-sisi pada graf bidang membagi bidang datar
menjadi beberapa wilayah ( region ) atau muka ( face ).
Graf bidang pada gambar di bawah initerdiri atas 6 wilayah (termasuk wilayah terluar):
R
1R
2R
3
R
5R
4R
6Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Hubungan antara jumlah simpul ( n ), jumlah sisi ( e ), dan jumlah wilayah ( f ) pada graf bidang:
n – e + f = 2 (Rumus Euler)
Pada Gambar di atas, e = 11 dan n = 7, f = 6, maka 7 – 11 + 6 = 2.
R1
R2 R3
R5
R4
R6
Latihan
Misalkan graf sederhana planar memiliki 24 buah simpul, masing-masing simpul
berderajat 4. Representasi planar dari graf tersebut membagi bidang datar menjadi
sejumlah wilayah atau muka. Berapa banyak
wilayah yang terbentuk?
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Jawaban:
Diketahui n = jumlah simpul = 24, maka jumlah derajat seluruh simpul = 24 4 = 96.
Menurut lemma jabat tangan,
jumlah derajat = 2 jumlah sisi, sehingga
jumlah sisi = e = jumlah derajat/2 = 96/2 = 48 Dari rumus Euler, n – e + f = 2, sehingga
f = 2 – n + e = 2 – 24 + 48 = 26 buah.
Pada graf planar sederhana terhubung dengan f
buah wilayah, n buah simpul, dan e buah sisi ( e > 2) selalu berlaku:
e 3 n – 6
Ketidaksamaan yang terakhir dinamakan ketidaksamaan Euler,
yang dapat digunakan untuk menunjukkan keplanaran suatu graf sederhana
kalau graf planar, maka ia memenuhi ketidaksamaan Euler, sebaliknya jika tidak planar maka
ketidaksamaan tersebut tidak dipenuhi.
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Contoh: Pada K
4, n = 4, e = 6, memenuhi ketidaksamaan Euler, sebab
6 3(4) – 6. Jadi, K
4adalah graf planar.
Pada graf K
5, n = 5 dan e = 10, tidak memenuhi ketidaksamaan Euler sebab
10 3(5) – 6. Jadi, K
5tidak planar
K
4K
5K
3,3Ketidaksamaan e 3n – 6 tidak berlaku untuk K 3,3 karena
e = 9, n = 6
9 (3)(6) – 6 = 12 (jadi, e 3n – 6) padahal graf K 3,3 bukan graf planar!
Buat asumsi baru: setiap daerah pada graf planar dibatasi oleh paling sedikit empat buah sisi,
Dari penurunan rumus diperoleh
e 2n - 4
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Contoh Graf K 3,3 pada Gambar di bawah memenuhi ketidaksamaan e 2n – 4, karena
e = 9, n = 6
9 (2)(6) – 4 = 8 (salah) yang berarti K 3,3 bukan graf planar.
H2 H3
W G E
H2 H3
W G E
H1 H1
Teorema Kuratoswki
Berguna untuk menentukan dengan tegas keplanaran suat graf.
(a) (b) (c)
Gambar (a) Graf Kuratowski pertama (K
5) (b) Graf Kuratowski kedua (K
3, 3)
(c) Graf yang isomorfik dengan graf Kuratowski kedua
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Kazimierz Kuratowski (February 2, 1896 – June 18, 1980) was a Polish mathematician and logician. He was one of the leading representatives of the Warsaw School of Mathematics.
(Sumber: Wikipedia)
Sifat graf Kuratowski adalah:
1. Kedua graf Kuratowski adalah graf teratur.
2. Kedua graf Kuratowski adalah graf tidak-planar
3. Penghapusan sisi atau simpul dari graf Kuratowski menyebabkannya menjadi graf planar.
4. Graf Kuratowski pertama adalah graf tidak-planar
dengan jumlah simpul minimum, dan graf
Kuratowski kedua adalah graf tidak-planar dengan
jumlah sisi minimum.
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
TEOREMA Kuratowski. Graf G bersifat planar jika dan hanya jika ia tidak mengandung upagraf yang isomorfik dengan salah satu graf Kuratowski atau homeomorfik (homeomorphic) dengan salah satu dari keduanya.
G1 G2 G3
Gambar Tiga buah graf yang homemorfik satu sama lain.
v
x y
Contoh: Kita gunakan Teorema Kuratowski untuk memeriksa keplanaran graf. Graf G di bawah ini bukan graf planar karena ia mengandung upagraf (G 1 ) yang sama dengan K 3,3 .
Graf G tidak planar karena ia mengandung upagraf yang sama dengan K
3,3.
a b
c
e d f
a b
c
e d f
G G1
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Graf G tidak planar karena ia mengandung upagraf (G 1 ) yang homeomorfik dengan K 5 (dengan membuang simpul-simpul yang berderajat 2 dari G 1 , diperoleh K 5 ).
G G
1K
5Gambar Graf G, upagraf G
1dari G yang homeomorfik dengan K
5.
a
b
c d
e f
g h
a
b
c d
e f
g h
i i
a
c
e g
h
Latihan
Perlihatkan dengan teorema Kuratowski
bahwa graf Petersen tidak planar.
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Jawaban:
1
2
3
4 5
6 7
8 9
10
1
2
3
4 5
6 7
8 9
1
2
3
4 5
6
(a) Graf Petersen, G (b) G
1 (c) G
2
(d) K3,3 1
2 4 6
3 5
Gambar (a) Graf Petersen
(b) G1 adalah upagraf dari G (c) G2 homeomorfik dengan G1 (d) G2 isomorfik dengan K3,3
Lintasan dan Sirkuit Euler
Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui masing-masing sisi di dalam graf tepat satu kali.
Sirkuit Euler ialah sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu kali..
Graf yang mempunyai sirkuit Euler disebut graf Euler (Eulerian
graph). Graf yang mempunyai lintasan Euler dinamakan juga graf
semi-Euler (semi-Eulerian graph).
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Contoh.
Lintasan Euler pada graf (a) : 3, 1, 2, 3, 4, 1
Lintasan Euler pada graf (b) : 1, 2, 4, 6, 2, 3, 6, 5, 1, 3
Sirkuit Euler pada graf (c) : 1, 2, 3, 4, 7, 3, 5, 7, 6, 5, 2, 6, 1 Sirkuit Euler pada graf (d) : a, c, f, e, c, b, d, e, a, d, f, b, a Graf (e) dan (f) tidak mempunyai lintasan maupun sirkuit Euler
(a) dan (b) graf semi-Euler (c) dan (d) graf Euler
(e) dan (f) bukan graf semi-Euler atau graf Euler
2 1
3 4
1 2
3
4
5 6
1
2 3
4 5
6 7
a
b
e d
c f
a b
c d
1 2
3
4 5 e
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
TEOREMA. Graf tidak berarah memiliki lintasan Euler jika (graf semi-Euler) dan hanya jika terhubung dan memiliki dua buah simpul berderajat ganjil atau tidak ada simpul berderajat ganjil sama sekali.
TEOREMA. Graf tidak berarah G adalah graf Euler
(memiliki sirkuit Euler) jika dan hanya jika setiap
simpul berderajat genap.
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
TEOREMA. (a) Graf berarah G memiliki sirkuit Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama.
(b) G memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama kecuali dua simpul, yang pertama memiliki derajat-keluar satu lebih besar derajat-masuk, dan yang kedua memiliki derajat-masuk satu lebih besar dari derajat-keluar.
Gambar (a) Graf berarah Euler (a, g, c, b, g, e, d, f, a) (b) Graf berarah semi-Euler (d, a, b, d, c, b)
(c) Graf berarah bukan Euler maupun semi-Euler
a
b
c
d e
f g
a b
c d
a b
c d
(a) (b) (c)
Latihan
Manakah di antara graf di bawah ini yang dapat
dilukis tanpa mengangkat pensil sekalipun?
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Lintasan dan Sirkuit Hamilton
Lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali.
Sirkuit Hamilton ialah sirkuit yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang dilalui dua kali.
Graf yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan graf Hamilton,
sedangkan graf yang hanya memiliki lintasan Hamilton disebut graf
semi-Hamilton.
(a) (b) (c)
(a) graf yang memiliki lintasan Hamilton (misal: 3, 2, 1, 4) (b) graf yang memiliki lintasan Hamilton (1, 2, 3, 4, 1)
(c) graf yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton
1 2
4 3
1
3 2
4
1 2
3
4
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
(a) (b)
(a) Dodecahedron Hamilton,
(b) graf yang mengandung sirkuit Hamilton
TEOREMA. Syarat cukup supaya graf sederhana G dengan n ( 3) buah simpul adalah graf Hamilton ialah bila derajat tiap simpul paling sedikit n/2 (yaitu, d(v) n/2 untuk setiap simpul v di G). (coba nyatakan dalam “jika p maka q”)
TEOREMA. Setiap graf lengkap adalah graf Hamilton.
TEOREMA. Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul
(n 3), terdapat (n – 1)!/2 buah sirkuit Hamilton.
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
TEOREMA. Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n 3 dan n ganjil), terdapat (n – 1)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas (tidak ada sisi yang beririsan). Jika n genap dan n 4, maka di dalam G terdapat (n – 2)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas.
Contoh. Sembilan anggota sebuah klub bertemu tiap hari untuk makan siang pada sebuah meja bundar. Mereka memutuskan duduk sedemikian sehingga setiap anggota mempunyai tetangga duduk berbeda pada setiap makan siang. Berapa hari pengaturan tersebut dapat dilaksanakan?
Jawaban: Jumlah pengaturan tempat duduk yang berbeda adalah (9 – 1)/2 = 4.
Gambar Graf yang merepresentasikan persoalan pengaturan tempat duduk.
1
2
3 5
6 7
8
9
Beberapa graf dapat mengandung sirkuit Euler dan sirkuit Hamilton sekaligus, mengandung sirkuit Euler tetapi tidak mengandung sirkuit Hamilton, dan sebagainya..
(a) (b)
(a) Graf Hamilton sekaligus graf Euler
(b) Graf Hamilton sekaligus graf semi-Euler
6 5
4 1
3 2
5
1 2
3
4
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Latihan
Gambar di bawah ini adalah denah lantai dasar sebuah gedung. Apakah dimungkinkan berjalan
melalui setiap pintu di lantai itu hanya satu kali saja jika kita boleh mulai memasuki pintu yang mana
saja?
Jawaban:
Nyatakan ruangan sebagai simpul dan pintu antar ruangan sebagai sisi.
Setiap pintu hanya boleh dilewati sekali (tidak harus kembali ke titik asal) melewati sisi tepat sekali lintasan Euler
Di dalam graf tersebut ada 2 simpul berderajat ganjil (simpul 1 dan 6), selebihnya genap pasti ada lintasan Euler
Kesimpulan: setiap pintu dapat dilewati sekali saja
1 2 3
4 5 6
7
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Beberapa Aplikasi Graf
Lintasan terpendek ( shortest path )
(akan dibahas pada kuliah IF3051)
Persoalan pedagang keliling ( travelling salesperson problem )
Persoalan tukang pos Cina ( chinese postman problem )
Pewarnaan graf ( graph colouring )
Persoalan Pedagang Keliling
( travelling salesperson problem ( TSP )
Diberikan sejumlah kota dan diketahui jarak antar kota. Tentukan tur terpendek yang harus dilalui oleh seorang pedagang bila pedagang itu berangkat dari sebuah kota asal dan menyinggahi setiap kota tepat satu kali dan kembali lagi ke kota asal
keberangkatan.
==> menentukan sirkuit Hamilton
yang memiliki bobot minimum.
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Aplikasi TSP:
1. Pak Pos mengambil surat di kotak pos yang tersebar pada n buah lokasi di berbagai sudut kota.
2. Lengan robot mengencangkan n buah mur pada beberapa buah peralatan mesin dalam sebuah jalur perakitan.
3. Produksi n komoditi berbeda dalam sebuah
siklus.
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
Jumlah sirkuit Hamilton di dalam graf lengkap dengan n simpul: (n – 1)!/2.
Graf di atas memiliki (4 – 1)!/2 = 3 sirkuit Hamilton, yaitu:
a b
c d
12
8
15
10 5 9
a b
c d
12
8
15 10
a b
c d
12
15 9 5
a b
c d
10 5 9 8
I
1= ( a , b , c , d , a ) bobot = 10 + 12 + 8 + 15 = 45 I
2= ( a , c , d , b , a ) bobot = 12 + 5 + 9 + 15 = 41 I
3= ( a , c , b , d , a) bobot = 10 + 5 + 9 + 8 = 32
Sirkuit Hamilton terpendek: I
3= ( a , c , b , d , a ) dengan bobot = 10 + 5 + 9 + 8 = 32.
• Jika jumlah simpul n = 20 akan terdapat (19!)/2 sirkuit Hamilton atau sekitar 6 10
16penyelesaian.
a b
c d
12
8
15 10
a b
c d
12
15 9 5
a b
c d
10 5 9 8
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika
![Tabel 1 Jenis-jenis graf [ROS99]](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/123dok/3902471.3988041/12.1080.16.1068.32.722/tabel-jenis-jenis-graf-ros.webp)
![Gambar 6.36 Graf (a) dan graf (b) isomorfik [DEO74]](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/123dok/3902471.3988041/60.1080.51.1066.15.787/gambar-graf-a-dan-graf-b-isomorfik-deo.webp)
