DIMENSI PARTISI GRAF MULTIPARTIT DAN GRAF HASIL
KORONA DUA GRAF TERHUBUNG
DISERTASI
Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Doktor dari
Institut Teknologi Bandung
Oleh
DARMAJI
NIM: 30107003
Program Studi Doktor Matematika
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
2011
Abstrak
DIMENSI PARTISI GRAF MULTIPARTIT DAN GRAF HASIL
KORONA DUA GRAF TERHUBUNG
Oleh Darmaji
NIM: 30107003
Penentuan basis/partisi pembeda dari suatu graf adalah kajian menarik dalam teori graf karena mempunyai banyak aplikasi. Klasifikasi senyawa kimia, navigasi robot dan jaringan, dan perancangan sensor adalah tiga contoh aplikasi tersebut. Slater (1975) dan Harary dan Melter (1976) mengenalkan konsep himpunan pembeda dalam suatu graf. Misalkan G = (V, E) adalah suatu graf terhubung. Untuk W ={w1, w2,· · · , wk} ⊆V(G)danv ∈V(G),representasiv terhadapW adalah
r(v|W) = (d(v, w1), d(v, w2),· · ·, d(v, wk)). Himpunan W disebut himpunan
pembeda dari V(G) jika r(u|W) 6= r(v|W) untuk sebarang dua simpul berbeda u, v ∈ V(G). Dimensi metrik dari suatu graf G, disimbolkan dim(G), adalah bilangan bulat terkecil k sedemikian hingga G mempunyai sebuah himpunan pembeda dengank anggota.
Selanjutnya, Chartrand dkk. (1998) mengenalkan ragam lain dari konsep dimensi metrik yang disebut dimensi partisi graf. Misalkan v ∈ V(G) dan S ⊆ V(G), jarak antarav danS adalahd(v, S) = min {d(v, x)|x ∈ S}. Untuk sebuah partisi Π = {S1, S2,· · ·, Sk}dariV(G),representasi v terhadapΠ adalah
r(v|Π) = (d(v, S1), d(v, S2),· · ·,d(v, Sk)). PartisiΠdisebutpartisi pembedadari
G jika semua representasi dari setiap simpulv ∈ V(G) berbeda. Dimensi partisi pd(G) adalah bilangan bulat terkecil k sedemikian hingga G mempunyai sebuah partisi pembeda dengankanggota.
Penelitian dalam dimensi partisi graf telah mendapatkan banyak perhatian. Sebagai hasil pertama, Chartrand dkk. (1998) menentukan dimensi partisi dari beberapa kelas pohon, yaitu graf bintang ganda dan graf ulat. Selanjutnya, dalam (Chartrand, Salehi dan Zhang, 2000), mereka mengkarakterisasi semua graf order ndengan dimensi partisi2, ndann−1berturut-turut. Mereka juga menunjukkan bahwa pd(Km,n) = max{m, n}. Kemudian, Tomescu (2008) mengkarakterisasi
semua graf order n dengan partisi dimensi n −2. Mereka juga meneliti dimensi partisi beberapa graf tak-hingga. Akan tetapi, penentuan dimensi partisi dari sebarang graf secara umum diklasifikasikan sebagaiNP-hard problem (Chartrand, Salehi dan Zhang, 2000).
Dalam disertasi ini, kami menentukan dimensi partisi dari pohon kelas tertentu, yaitu graf ulat (caterpillar), graf kembang api (firecracker), dan graf pohon
pisang (banana tree). Kami juga menentukan dimensi partisi graf multipartit, graf bipartit lengkap minus matching, dan graf tripartit lengkap minus matching. Hasil penelitian ini memperbaiki hasil dari Chartrand dkk. (1998) dan Chartrand, Salehi dan Zhang (2000).
Untuk graf G dan H, graf hasil korona G H didefinisikan sebagai graf yang yang diperoleh dari G dan H dengan mengambil sebuah kopi graf G dan
|V(G)|kopi grafHdan kemudian menghubungkan setiap simpul dari kopi ke-igraf H dengan sebuah titik ke-idari G. Kami mendapatkan batas atas dimensi partisi grafGH jika diameterHpaling banyak 2, yaitupd(GH)≤pd(G) +pd(H). Kami menunjukkan bahwa batas atas ini ketat. Untuk kasus tertentu, kami mendapatkanpd(GH), jika Gadalah graf lintasan Pm, graf bintang K1,m atau
graf lengkapKm danH adalah graf lengkapKm, graf bintangK1,matau beberapa
kopi saling lepas dari graf lengkapKm.
Kata kunci: himpunan pembeda, partisi pembeda, dimensi metrik, dimensi partisi, graf multipartisi, matching, graf hasil korona.
Abstract
THE PARTITION DIMENSION OF MULTIPARTITE
GRAPHS AND CORONA PRODUCT OF TWO CONNECTED
GRAPHS
by DarmajiNIM: 30107003
Finding a set of vertices of a connected graph so that representations of all vertices to such a set are distinct is an interesting research domain in Graph Theory, due to many applications. Compound classification in chemistry, robotic navigation and network, and censor design are some examples for these appli-cations. Slater (1975) dan Harary dan Melter (1976) introduced the concept of a resolving partition for a graph. Let G = (V, E) be a connected graph. For W = {w1, w2,· · · , wk} ⊆ V(G) and v ∈ V(G), the representation of v with
respect toW isr(v|W) = (d(v, w1),d(v, w2),· · ·,d(v, wk)). The setW is called a
resolving setforV(G)ifr(u|W)=6 r(v|W)for any two verticesu, v ∈V(G). The metric dimensiondim(G)is the smallest integer k such thatGhas a resolving set withk elements.
Furthermore, Chartrand dkk. (1998) introduced a variant of metric dimension concept called partition dimension of a graph, as follows. Let v ∈ V(G) and S ⊆ V(G), the distance between v and S is d(v, S) = min {d(v, x)|x ∈ S}. For an ordered partition Π = {S1, S2, · · · , Sk} of V(G), the representation of v
with respect toΠ is r(v|Π) = (d(v, S1), d(v, S2), · · · , d(v, Sk)). The partition Π
is called a resolving partition of G if all representations of vertices are distinct. The partition dimension of a graph G is the smallest integer k such that Ghas a resolving partition withkelements.
The investigations on the partition dimension of graphs have been receiving much attention. As the first result, Chartrand dkk. (1998) determined the partition dimension of special classes of trees, namely double stars and certain caterpillars. Furthermore, in Chartrand, Salehi dan Zhang (2000), they characterized all graphs on n vertices with partition dimension 2, n and n − 1 respectively. They also showed that pd(Km,n) = max{m, n}. Lately, Tomescu (2008) characterized all
graphs on n vertices with partition dimension(n−2). They also investigated the partition dimension for some infinite graphs. However, determining of the partition dimension of any graph in general is classified as anN P-hard problem (Chartrand, Salehi dan Zhang, 2000).
of trees, namely caterpillars, firecrackers and banana trees. Our result for cater-pillars improved the result of Chartrand dkk. (1998). We also determine the partition dimension of multipartite graphs, complete bipartite graphs minus a matchings and complete tripartite graphs minus matchings. These works are an improvement of the results in Chartrand dkk. (1998) dan Chartrand, Salehi dan Zhang (2000).
For graphs G and H, the corona product G H is defined as the graph obtained fromGandH by taking one copy ofGand|V(G)|copies ofH and then joining each vertex of theith-copy ofH with the ith-vertex of Gby an edge . We
shall derive an upper bound of the partition dimension ofGH if the diameter of H is at most 2, namelypd(GH)≤pd(G) +pd(H). We show that this bound is tight. For specific cases, we investigatepd(GH), ifGis either a pathPm, a star
K1,m or a complete graphKm andHis a complete graphKm, a starK1,mor some
disjoin copies ofKm.
Key words: resolving set, resolving partition, metric dimension, partition dimension, multipartite graph, matching, corona product graph.
DIMENSI PARTISI GRAF MULTIPARTIT DAN GRAF HASIL
KORONA DUA GRAF TERHUBUNG
Oleh Darmaji NIM: 30107003
Program Studi Doktor Matematika Institut Teknologi Bandung
Menyetujui
Tim Pembimbing
Tanggal 14 Juni 2011
Ketua
Prof. Dr. Edy Tri Baskoro
Anggota Anggota
Karena paduka memintaku terus berguru maka aku terus berguru. Peluh dalam berguru adalah kegembiraan tiada berbilang
karena cinta paduka menebar tak berkesudahan, di dalam setiap ihtiar dan perolehan.
Pedoman Penggunaan Disertasi
Disertasi Doktor yang tidak dipublikasikan ini terdaftar dan tersedia di Perpus-takaan Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di Institut Teknologi Bandung.
Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya.
Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh disertasi haruslah seizin Dekan Sekolah Pascasarjana, Institut Teknologi Bandung.
Ucapan Terima Kasih
Yang ada hanya cinta karena yang kita sebut sebagai bukan cinta sesungguhnya adalah cinta jua, hanya saja ia tak menemukan wilayah untuk tumbuh dan bersemi. Karena cinta pula penulis dapat menyelesaikan pendidikan Program Doktor Matematika ITB. Kegembiraan penulis adalah kegembiraan karena cinta yang menebar.
Cinta dari Prof. Dr. Edy Tri Baskoro (promotor), Dr. Saladin Uttunggadewa (ko-promotor I) dan Dr. Rinovia Simanjuntak (ko-promotor II) adalah cinta yang melimpah mengalir tak berkesudahan dalam diskusi dan pembimbingan. Cinta beliau adalah cinta yang menggerakkan untuk menjadi matematikawan yang baik karena beliau matematikawan yang sangat baik. Beliau mumpuni dalam keilmuan, jernih dalam penyampaian, dan terampil dalam memadukan kepakaran akademik dan indahnya silaturahim.
Cinta dari Prof. Martin Baˇca adalah cinta yang memberi makna pada indahnya keragaman dan hangatnya komunikasi akademik pada tiga bulan masa-masa program sandwich-like di Technical University of Kosice, Republik Slovakia.
Cinta dari segenap kolega di Institut Teknologi Bandung adalah cinta yang menguak cakrawala keilmuan, memberi sejumlah petunjuk dan memandu bergerak ke depan. Terus bergerak. Belajar tak berkesudahan sambil tetap menjaga kerendah-hatian.
Cinta dari segenap kolega di Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya adalah cinta sawah ladang yang memberi kesuburan bagi tumbuh-kembangnya kehidupan akademik penulis. Cinta dari segenap kolega di Jurusan Matematika ITS adalah cinta yang memberi kerelaan ketika harus melakoni tugas, yang semestinya menjadi tugas penulis, selama masa-masa menempuh jenjang pendidikan S3.
Cinta dari Kementerian Negara Pendidikan Nasional dan Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi adalah cinta yang memfasilitasi dengan beragam skema pendanaan: BPPS (Beasiswa Pendidikan Pasca Sarjana), Program Sandwich-like, Program Penelitian Doktor, dan Program Insentif Penulisan untuk Jurnal
Interna-sional.
Cinta dari istri, anak, dan keluarga besar adalah cinta yang men-samudra. Ke mana hendak berlayar, samudra memberi air dan kapal. Ke mana hendak bergerak, samudra memberi layar, angin dan bintang. Ketika letih menjadi kenis-cayaan, samudra dan segala anasirnya bersekutu memberi energi. Cinta istri dan anak adalah cinta yang juga mewujud dalam bentuk kesanggupan mengambil porsi sangat besar peran ayah pada masa-masa si ayah menempuh jenjang pendidikan S3.
Cinta dari kawan-kawan di Program Doktor Matematika Program Pasca Sarjana (PPS) ITB adalah cinta yang memurnikan melaui beragam diskusi dan perbin-cangan yang mencerahkan; adalah cinta yang tak memberi ruang bagi segala hal yang tak membahagiakan; adalah cinta yang selalu hadir ketika semua yang bernama keluarga berada dalam jarak ratusan kilometer dari Bandung.
Karena cinta dan atas nama cinta, penulis menghaturkan terima kasih tak berkesudahan kepada semua yang telah memberikan cinta kepada penulis.
Karena cinta penulis tumbuh dari ketulusan, tentulah ia bergerak meninggi, menjangkau langit, dan sampai jua ke Sang Maha Cinta.
Bandung, 14 Juni 2011
Daftar Isi
Abstrak . . . ii
Abstract . . . iv
Pedoman Penggunaan Disertasi . . . viii
Ucapan Terima Kasih . . . ix
Daftar Isi . . . xi
Daftar Gambar . . . xiii
Daftar Lambang . . . xv
Bab I Pendahuluan . . . 1
I.1 Latar Belakang . . . 1
I.2 Tujuan dan Lingkup Penelitian . . . 4
I.3 Sistematika Penulisan Disertasi . . . 4
Bab II Berbagai Konsep Dimensi dalam Graf . . . 6
II.1 Definisi dan operasi . . . 6
II.2 Dimensi metrik . . . 8
II.3 Dimensi partisi . . . 12
II.4 Kaitan antara dimensi partisi dan parameter lainnya . . . 14
II.5 Dimensi partisi graf asal dan graf hasil operasi . . . 18
Bab III Dimensi Partisi Sejumlah Graf Pohon . . . 28
III.1 Dimensi partisi graf ulat . . . 28
III.2 Dimensi partisi graf kembang api . . . 36
III.3 Dimensi partisi graf pohon pisang . . . 43
Bab IV Dimensi Partisi Graf Multipartit . . . 48
IV.1 Dimensi partisi graf multipartit lengkap . . . 48
IV.2 Dimensi partisi graf bipartit minusmatching. . . 52
IV.3 Dimensi partisi graf tripartit minusmatching . . . 59
Bab V Dimensi Partisi Graf Hasil Operasi Korona . . . 63
V.1 Batas atas dimensi partisi graf hasil operasi korona . . . 63
V.2 Dimensi partisi graf lintasan korona graf lengkap . . . 64
V.3 Dimensi partisi graf lintasan korona graf bintang . . . 68
V.4 Dimensi partisi graf lengkap korona graf lengkap . . . 73
V.5 Dimensi partisi graf persahabatan . . . 78
V.6 Dimensi partisi graf kincir . . . 79
V.7 Dimensi partisi graf bintang korona graf lengkap . . . 81
Bab VI Simpulan dan Masalah Terbuka . . . 85
VI.1 Simpulan . . . 85
VI.2 Masalah terbuka . . . 86
Daftar Gambar
Gambar II.1 Graf terhubungGdengandiam(G) = 4. . . 6
Gambar II.2 a.Union graf lintasan P3 dan P5, dan b.Join graf lintasanP3 danP5 . . . 7
Gambar II.3 a.Graf lengkap K3 dan graf lintasan P3, b.Graf hasil kartesianP3×K3, dan c.Graf hasil koronaP3K3 . . . 8
Gambar II.4 Himpunan pembeda dari K2,4: a.W1 = {a1, b1, b2, b3, b4}, b.W2 ={a1, b1, b2, b3}, dan c.W3 ={a1, b1, b2}. . . . 9
Gambar II.5 Sebuah grafGdenganq∈∂(G)danp /∈∂(G) . . . 10
Gambar II.6 Partisi pembeda dariK2,4: a.Π1 ={S1, S2, S3, S4, S5}, b.Π2 ={S1, S2, S3, S4}, dan c.Π3 ={S1, S2, S3} . . . 13
Gambar II.7 a.pd(Z2, ε 4) = 3dan b.pd(Z2, ε8) = 4, namun dimensi metrik kedua graf tak berhingga . . . 16
Gambar II.8 a.Dimensi partisi dari grafG dinyatakan oleh banyak simpul anting pada simpul x1 dan b.Dimensi metrik dari grafGdinyatakan oleh banyak simpul putih pada graf tersebut . . . 17
Gambar II.9 Graf bintang gandaT(r, s)dengandeg(u) = r+ 1dan deg(v) = s+ 1. . . 19
Gambar II.10 Graf pohon dengan4t(T) = 3 . . . 20
Gambar II.11 Graf girG8 dan graf helmH4. . . 21
Gambar II.12 Graf bunga matahariSF4 . . . 22
Gambar III.1 a.Graf ulat homogen C(3; 4) dan b.Graf ulat tak-homogenC(4; 4,3,2,4) . . . 29
Gambar III.2 Dua kondisi subgraf graf ulat K1,ni dan K1,nj yang berjarak sama . . . 30
Gambar III.3 Partisi pembeda minimum graf C(10; 3,4,3,1, 3,4, 2,2,4,4) . . . 33
Gambar III.4 Partisi pembeda minimum grafC(11; 3,4,3,1,3,4,2, 2,4,4,4) . . . 34
Gambar III.5 a.Partisi pembeda minimum graf C(6; 1,1,1,1,1,1) dan b.Partisi pembeda minimum grafC(4; 2,2,2,2). . . . 35
Gambar III.6 a.Graf kembang api homogen dan b.Graf kembang api tak-homogen . . . 36
Gambar III.7 Dua kondisi subgraf kembang api K1,ni dan K1,nj berjarak sama . . . 37
Gambar III.8 a.Partisi pembeda minimum dari graf F(2; 3) dan b.Partisi pembeda minimum dari grafF(2; 4) . . . 41
Gambar III.9 Partisi pembeda minimum grafF(6; 2,2,2,2,2,2). . . 42
Gambar III.10 Graf pohon pisang homogenB(3; 5). . . 44
Gambar III.11 Partisi pembeda minimum graf pohon pisangB(3; 5). . . 45
Gambar IV.1 a.Graf tripartit K4,4,4 dan b.Contoh himpunan
ber-indeksIi . . . 49
Gambar IV.2 a.Graf bipartitK4,4 minusperfect matchingdan b.Graf bipartitK4,6minusmaximum matching . . . 52
Gambar IV.3 a.Sisi perfect matching graf K4,4,4 dan b.Sisi near-perfect matchinggrafK5,5,5 . . . 60
Gambar V.1 Partisi pembeda grafP6K4 . . . 65
Gambar V.2 a.Partisi pembeda grafPmK1,2 denganm = 3 dan b.Partisi pembeda grafPmK1,2 denganm= 4 . . . 72
Gambar V.3 Partisi pembeda grafK11K3 . . . 74
Gambar V.4 a.Graf persahabatanf4 dan b.Graf kincirW44 . . . 80
Daftar Lambang
Pemakaian
Lambang Keterangan pertama kali
pada halaman
B(m;n) Graf pohon pisang homogen . . . 43
C(m;n) Graf ulat homogen . . . 29
C(m;n1, n2,· · · , nm) Graf ulat tak-homogen . . . 29
cpd(G) Dimensi partisi terhubung grafG. . . 14
deg(v) Derajat simpulv. . . 19
diam(G) Diameter grafG. . . 7
dim(G) Dimensi metrik grafG. . . 1
d(u, v) Jarak dari simpulukev . . . 6
d(v, S) Jarak dari simpuluke subhimpunanS. . . 7
4t(T) = 3 Derajat terminal maksimum simpul mayor eksterior dari pohonT . . . 21
F(m;n) Graf kembang api homogen . . . 36
F(m;n1, n2,· · · , nm) Graf kembang api tak-homogen . . . 36
g(n, d) Bilangan bulat positif terkecil k sedemikian hingga (d + 1)k ≥n . . . 18
G1+G2 GrafG1 joinG2 . . . 7
G1×G2 GrafG1 kartesianG2. . . 7
G1G2 GrafG1 koronaG2. . . 8
G1∪G2 GrafG1 unionG2. . . 7
Hn Graf helm order2n+ 1 . . . 22
K1,n Graf bintang ordern+ 1 . . . 4
Kn Graf lengkap ordern. . . 2
Kn1,n2,···,nr Grafr-partit lengkap . . . 48
Kn,n,n Graf tripartit homogen lengkap . . . 59
mKn mbuah kopi disjoin dari graf lengkapKn. . . 4
pd(G) Dimensi partisi grafG. . . 2
ppd(G) Dimensi partisi lintasan grafG. . . 14
Pn Graf lintasan ordern. . . 2
spd(G) Dimensi partisi bintang grafG. . . 14
SFn Graf bunga matahari order2n+ 1. . . 22
V(G) Himpunan simpul grafG= (V, E). . . 1
w∈W Simpulwanggota himpunanW. . . 1
Wnm Graf kincir ordermn+ 1. . . 4
Wn Graf roda ordern+ 1. . . 3
W ⊆V(G) W himpunan bagian dari atau sama denganV(G). . . 1
(Z2, ε 4) Graf planar teratur-4. . . 3
(Z2, ε 8) Graf teratur-8. . . 3
Bab I
Pendahuluan
Pada Bab I ini diberikan latar belakang pemilihan topik penelitian dalam disertasi, tujuan dan ruang lingkup, dan sistematika penulisan.
I.1
Latar Belakang
Representasi dan klasifikasi senyawa kimia adalah salah satu masalah yang dihadapi oleh para kimiawan. Permasalahan ini dapat diuraikan sebagai berikut: Pertama, bagaimana merepresentasikan dua atau lebih senyawa kimia yang mempunyai rumus kimia sama tetapi mempunyai struktur berbeda. Kedua, bagaimana merepresentasikan dua senyawa kimia yang mempunyai rumus kimia berbeda tetapi mempunyai struktur sama. Dalam reaksi kimia, struktur sebuah senyawa kimia menentukan karakteristik senyawa tersebut. Representasi yang unik akan memudahkan klasifikasi sebuah senyawa kimia.
Johnson (1993), seorang kimiawan pada sebuah perusahaan farmasi, menggunakan konsephimpunan pembedayang dikenalkan secara terpisah oleh Slater (1975) dan oleh Harary dan Melter (1976). Dengan konsep ini, senyawa kimia direpresen-tasikan secara unik sebagai objek matematika. Klasifikasi senyawa kimia dilakukan dengan mempelajari dan mengklasifikasi objek matematika ini (Chartrand dan Zhang, 2003). Senyawa kimia direpresentasikan dalam bentuk graf. Simpul graf menyatakan atom, dan sisi graf menyatakan ikatan valensi antara dua atom. MisalkanV(G)adalah himpunan semua simpul di grafGdanW adalah himpunan sejumlah simpul terurut, dengan W ⊆ V(G). Dengan menghitung jarak setiap simpul v ∈ V(G) terhadap setiap simpul w ∈ W, konsep himpunan pembeda memastikan setiap simpul v ∈ V(G) mempunyai representasi berbeda. Jika dua senyawa berbeda mempunyai himpunan V(G)dan jarakv kewyang sama, untuk semuav ∈V(G)danw∈W, maka kedua senyawa tersebut dalam satu klasifikasi.
Selanjutnya, Chartrand dkk. (1998) mengenalkan konsep partisi pembeda yang merupakan bentuk serupa dari himpunan pembeda suatu graf. Chartrand dkk. (1998) melakukan pengelompokan simpul di graf G ke dalam sejumlah kelas partisi dan menghitung jarak setiap simpul diGterhadap semua kelas partisi untuk
merepresentasikan setiap simpul pada grafG.
Himpunan pembeda W memastikan representasi berbeda untuk semua simpul di grafG, yaitu dengan menunjukkan jarak simpulv ∈V(G)ke semua simpul diW ⊆
V(G)dan dimensi metrik memastikan kardinalitasW adalah minimal. Sedangkan partisi pembedaΠmemastikan representasi berbeda untuk semua simpul di grafG, yaitu dengan menunjukkan jarak simpulv ∈V(G)ke semua kelas partisi dalamΠ dan dimensi partisi memastikan kardinalitasΠadalah minimal.
Pada paper pertama tentang dimensi partisi, Chartrand dkk. (1998) menunjukkan dimensi partisi graf bintang ganda T dan memberikan batas atas dan batas bawah dimensi partisi graf ulat (caterpillar). Dua tahun kemudian Chartrand, Salehi dan Zhang (2000) membuktikan bahwa sebuah grafGmempunyaipd(G) = 2jika dan hanya jikaGadalah graf lintasan Pn dan menunjukkan bahwa grafGmempunyai
pd(G) =njika dan hanya jikaG∼=Kn.
Selain itu, Chartrand, Salehi dan Zhang (2000) mengkarakterisasi semua graf terhubungGordernyang mempunyai dimensi partisi(n−1). JikaGadalah graf terhubung ordern ≥2makapd(G) =n−1jika dan hanya jikaGadalah salah satu dari graf berikut:K1,n−1,Kn−e, atauK1+ (K1∪Kn−2). Karakterisasi berikutnya
dilakukan oleh Tomescu (2008), yaitu mengkarakterisasi semua graf terhubung G order n yang mempunyai dimensi partisi (n−2). Tomescu (2008) menunjukkan hanya terdapat 23 graf tak-isomorfik yang mempunyai dimensi partisin−2. Dengan demikian, dimensi partisi dari sebarang graf terhubung Gorder n lainnya terletak pada selang[3,(n−3)]. Namun, problem penentuan dimensi partisi untuk sebarang graf terhubungGadalahNP-Complete(Garey dan Johnson, 1979).
Dimensi partisi untuk beberapa kelas graf tertentu telah dikaji oleh banyak peneliti, misalnya dimensi partisi graf pohon (graf bintang ganda, graf ulat (Chartrand dkk., 1998), graf bintang, graf bipartit (Chartrand, Salehi dan Zhang, 2000)), graf roda (Tomescu dkk., 2007), dan graf mirip roda (graf gir, graf helm, graf bunga matahari (Javaid dan Shokat, 2008)). Lebih jauh, Chartrand dkk. (1998) dan Yero dkk. (2010) menentukan dimensi partisi graf hasil operasi kartesian antara dua graf terhubung.
Penelitian dimensi partisi untuk graf tak hingga dimulai oleh Tomescu (2008). Ia menunjukkan graf planar teratur-4 (Z2, ε
4)mempunyai dimensi partisi 3 dan graf
teratur-8 (Z2, ε
8) mempunyai dimensi partisi 4. Graf planar teratur-4 (Z2, ε4)
graf (Z2, ε
4) adalah semua pasangan simpul di(Z2, ε4) yang memiliki jarak blok
kota 1. Jarak blok kota dari dua simpul (i, j) dan (i0, j0) pada (Z2, ε
4)
didefi-nisikan dengan d4((i, j),(i0, j0)) = |i− i0| +|j − j0|. Semua daerah pada graf
planar teratur-4 (Z2, ε
4) berupa bujursangkar. Graf teratur-8 (Z2, ε8) adalah graf
yang memiliki himpunan simpulV((Z2, ε8)) =Z2dan himpunan sisi graf(Z2, ε8)
adalah semua pasangan simpul di(Z2, ε
8)yang memiliki jarak papan catur1.Jarak
papan catur dari dua simpul (i, j) dan (i0, j0) pada (Z2, ε
8) didefinisikan sebagai
d8((i, j),(i0, j0)) = maks(|i−i0|,|j −j0|). Graf teratur-8 (Z2, ε8)dapat diperoleh
dengan menggambarkan semua diagonal pada setiap daerah bujursangkar dari graf (Z2, ε4).
Dalam hal nilai dimensi partisi dari suatu graf belum dapat ditentukan, peneliti memberikan batas atas dan batas bawah dimensi partisi dari graf tersebut. Misalkan graf rodaWn, dimensi partisi graf rodapd(Wn)diberikan dalam selangd(2n)1/3e ≤
pd(Wn) ≤ p + 1, dengan p adalah bilangan prima terkecil sedemikian hingga
p(p−1)≥n(Tomescu dkk., 2007).
Di antara banyak kelas graf, graf pohon termasuk kelas graf sederhana yang penting karena digunakan secara luas tidak hanya di banyak bidang aplikasi tetapi juga dalam Teori Graf sendiri. Graf pohon adalah graf terhubung yang tidak memuat siklus. Graf pohon digunakan antara lain pada analisis hirarki bisnis, penentuan biaya minimum pada jaringan transportasi, dan dasar struktur data pada ilmu komputer (B´ona, 2002). Ketika berdiskusi tentang suatu konsep atau dugaan dalam teroi graf, biasanya orang mengkaji konsep tersebut atau memeriksa dugaan tersebut pada kelas pohon terlebih dahulu (Bin dan Zhongyi, 2010).
Dalam hal dimensi metrik, Chartrand, Eroh, Johnson dan Oellermann (2000) telah berhasil memberikan dimensi metrik untuksebaranggraf pohonT secara lengkap. Namun, tidak demikian untuk dimensi partisi graf pohon. Hanya beberapa graf dalam kelas pohon yang telah diketahui dimensi partisinya, seperti graf bintang ganda dan graf bintang. Lebih jauh, dimensi partisi graf ulat baru didapatkan batas atas dan batas bawahnya (Chartrand dkk., 1998). Untuk itu, kami akan membahas dimensi partisi beberapa graf dalam kelas pohon, yaitu graf ulat (caterpillar), graf kembang api (firecracker), dan graf pohon pisang (banana tree).
Chartrand, Salehi dan Zhang (2000) mengawali penelitian dimensi partisi untuk kelas graf multipartit dengan menentukan dimensi partisi graf bipartit. Oleh karena
baru dimensi partisi graf bipartit yang telah diketahui, dalam disertasi ini kami membahas pula dimensi partisi graf r-partit, graf bipartit minus sebuah matching, dan graf tripartit minus sebuah matching.
Demikian pula halnya dengan penentuan dimensi partisi graf hasil operasi biner antara dua graf. Chartrand dkk. (1998) dan Yero dkk. (2010) memberikan dimensi partisi graf hasil operasi kartesian antara dua graf terhubung. Dalam disertasi ini kami membahas dimensi partisi graf hasil operasi korona antara dua graf terhubung.
I.2
Tujuan dan Lingkup Penelitian
Penelitian dalam disertasi ini mempunyai 3 tujuan berikut:
Pertama, menentukan dimensi partisi graf kelas pohon, yaitu graf ulat, graf kembang api, dan graf pohon pisang .
Kedua, menentukan dimensi partisi grafr-partit. Tujuan kedua ini dapat dipandang sebagai perumuman dari dimensi partisi graf bipartit hasil penelitian (Chartrand, Salehi dan Zhang, 2000). Lebih dari itu, kami juga menentukan dimensi partisi graf bipartit minus sebuah matching dan graf tripartit minus sebuah matching.
Ketiga, menentukan dimensi partisi graf hasil operasi korona antara dua graf terhubung, yaituF ∼=GH. Kami menentukan batas atas dimensi partisiGH untuk sebarang graf G dan graf H berdiameter paling banyak 2. Untuk kasus tertentu, kami menentukan dimensi partisi graf dari:PmKn,PmK1,n,KmKn,
K1mKn, danK1,mKn, denganPm, Km, K1,mdanmKnmasing-masing adalah
graf lintasan orderm, graf lengkap orderm, graf bintang orderm+ 1, danmkopi disjoin graf lengkapKn. GrafK1mKnisomorf dengan graf kincirWnm. Untuk
n = 2graf kincirWm
n isomorf dengan graf persahabatanfm.
I.3
Sistematika Penulisan Disertasi
Disertasi ini ditulis dengan sistematika sebagai berikut.
Bab I memberi paparan tentang latar belakang dan perumusan masalah. Peta jalan (road map) penelitian dalam bidang dimensi partisi, dari sejak awal sebagai topik penelitian sampai penelitian terbaru, juga diberikan dalam bab ini. Dengan demikian, pembaca akan menemukan keterkaitan penelitian dalam disertasi ini
dengan hasil-hasil yang sudah diperoleh oleh para peneliti sebelumnya dan, pada saat yang sama, dapat melihat kecenderungan penelitian dalam bidang ini pada masa yang akan datang.
Dasar-dasar teori graf, definisi dan peristilahan yang diperlukan dalam pembahasan dimensi partisi sebuah graf diberikan dalam Bab II. Seperti disampaikan di atas, dimensi partisi dapat dipandang sebagai ragam lain dari konsep himpunan pembeda dan dimensi metrik sebuah graf. Dengan demikian, agar pembaca lebih mudah memahami konsep dimensi partisi, paparan tentang dimensi metrik diberikan mendahului paparan tentang konsep dimensi partisi. Pada bagian akhir Bab II diberikan teorema-teorema dimensi partisi hasil penelitian peneliti sebelumnya. Sejumlah teorema yang terkait langsung dengan penelitian dalam disertasi ini disertai dengan pembuktiannya.
Hasil-hasil penelitian dalam disertasi ini diberikan dalam Bab III dan Bab IV. Bab III berisi bahasan dimensi partisi dari sejumlah graf dalam kelas pohon, seperti graf ulat, graf kembang api, dan graf pohon pisang. Pada bagian akhir Bab III diberikan bahasan dimensi partisi dari graf multipartit, graf bipartit minus sebuah matching, dan graf tripartit minus sebuah matching.
Hasil-hasil dan pembahasan dimensi partisi graf hasil operasi korona antara dua graf terhubungGdanH diberikan dalam Bab IV. Pembahasan diawali dengan teorema yang memberi batas atas dari dimensi partisi graf F ∼= GH dengan diameter diam(H) ≤ 2. Graf hasil operasi korona yang juga dibahas dimensi partisinya dalam bab ini adalah grafPmKn,PmK1,n,KmKn,K1mKn, danK1,mKn.
Bab V berisi simpulan dan sejumlah masalah terbuka dalam penelitian dimensi partisi. Masalah terbuka pada bab ini diharapkan dapat menjadi bahan diskusi dan stimulasi dimulainya penelitian lanjut dalam bidang dimensi partisi sebuah graf terhubungG.
Hasil utama penelitian disertasi ini dinyatakan dalam bentuk lema, teorema, dan akibat yang diberi tanda♦.
Bab II
Berbagai Konsep Dimensi dalam Graf
Pada Bab II ini akan dipaparkan beberapa definisi dan istilah dalam teori graf yang terkait dengan dimensi partisi sebuah graf terhubung G. Di bagian akhir bab ini juga diberikan hasil-hasil penelitian dalam bidang dimensi partisi dari para peneliti sebelumnya.
II.1
Definisi dan operasi
GrafG= (V, E)didefinisikan sebagai suatu sistem yang terdiri atas dua himpunan, yaitu himpunan tak kosong V(G) yang elemennya disebut simpul (vertex) dan himpunan (mungkin kosong)E(G) ⊆ V2 ={{u, v}|u, v ∈ V}. Setiap elemen di
E(G)disebutsisi (edge). Jikae = {u, v} ∈ E(G)makaudikatakanbertetangga denganv dan sisiedikatakanmelekatpada simpuludanv. Untuk penyederhanaan penulisan, sisie={u, v}ditulise=uv dan grafG= (V, E)ditulisG.
Simpul u dikatakanterhubung dengan simpul v jika terdapat lintasan dari u kev di G. Dalam hal ini, simpul v disebut dapat dicapai (accessible) dari simpul u. Jika simpuludanvterhubung maka panjang lintasan terpendek dariukev disebut jarak dari u ke v dan dinotasikan dengan d(u, v). Jika Gtidak memiliki lintasan dariukevmaka didefinisikand(u, v) = ∞. GrafGdikatakanterhubungjika setiap dua simpul berbedau, v ∈ V(G)terhubung. GrafGpada Gambar II.1 adalah graf terhubung. Jarak simpulakeg,d(a, g) = 3.
Jika simpul u ∈ V(G) dan subhimpunan S ⊂ V(G), maka jarak dari u ke S didefinisikan sebagai min{d(u, x)|x ∈ S} dan dinotasikan dengan d(u, S). Jelas, untuk u ∈ S, d(u, S) = 0. Diameter dari graf G didefinisikan sebagai
D D D D D D D D a D b c d e f g h i S
Gambar II.1: Graf terhubungGdengandiam(G) = 4 .
D D D D D D D D D D D D D D D D 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 1 2 3
Gambar II.2: a.Union graf lintasanP3 danP5, dan b.Join graf lintasanP3 danP5
.
max{d(x, y)|x, y ∈ V(G)}dan dinotasikan dengan diam(G). Perhatikan graf G pada Gambar II.1,d(a, S) = 2dandiam(G) = 4.
MisalkanG1 = (V1, E1) danG2 = (V2, E2) dua graf terhubung. Suatu graf baru
Gdapat dibangun dengan mengenakan operasi biner pada grafG1 danG2. Berikut
ini diberikan empat contoh operasi biner, yaitu union, join, kartesian, dan korona. Union G ∼= G1 ∪G2 adalah graf G(V, E) denganV(G) = V(G1)∪V(G2)dan
E(G) =E(G1)∪E(G2). Jadi, grafG∼=G1∪G2 terdiri atas sebuah kopi grafG1
bersama-sama dengan sebuah kopi graf G2. Gambar II.2.a memberikan gambaran
graf hasil operasi unionP3danP4.
Joindua grafG1danG2, dinotasikan denganG∼=G1+G2, mempunyai himpunan
simpul V(G) = V(G1)∪V(G2) dan himpunan sisi E(G) = E(G1)∪E(G2)∪ {uv|u ∈ V(G1)danv ∈ V(G2)}. Dengan kata lain, grafG ∼=G1 +G2 diperoleh
dengan menambahkan padaG1∪G2sisi-sisi yang mempunyai satu simpul ujung di
G1 dan simpul ujung lainnya di G2. Jika grafG1 dan G2 masing-masing berorder
mdann, maka untuk mendapatkan grafG1+G2 kita menambahkanmnbuah sisi
pada grafG1∪G2. Gambar II.2.b memberikan gambaran graf hasil operasi joinP3
danP4.
Hasil kali kartesian antara graf G1 dan graf G2, dinotasikan dengan G ∼= G1 ×
G2, menghasilkan sebuah graf baruGyang mempunyai himpunan simpulV(G) =
V(G1)×V(G2)dan himpunan sisiE(G) = E(G1)×V(G2)∪V(G1)×E(G2).
Simpul ujung sisi (d, v) ∈ E(G)×V(G2)adalah simpul-simpul(x, v)dan(y, v)
denganxdanyadalah simpul ujung dari sisid∈E(G1). Simpul ujung sisi(u, e)∈
V(G)×E(G2)adalah simpul(u, s)dan(u, t), dengansdantadalah simpul ujung
dari sisie ∈E(G2). Gambar II.3.b mengilustrasikan graf hasil kali kartesianP3×
D x D D D b1 (c) a1 D y D D D D z D D D D D D D D D D D D (a,x) (a) D D D D D D x y z a b c (b,x) (c,x) (a,y) (c,y) (b,y) (a,z) (c,z) (b,z) K3: P3: c1 b2 c2 b3 c3 a2 a3 (b)
Gambar II.3: a.Graf lengkapK3 dan graf lintasan P3, b.Graf hasil kartesianP3×
K3, dan c.Graf hasil koronaP3K3
Hasil kali korona G ∼= G1 G2 didefinisikan sebagai graf yang yang diperoleh
dariG1 danG2 dengan mengambil sebuah kopi dariG1 dan|V(G1)| kopi dariG2
dan kemudian menghubungkan dengan sebuah sisi setiap simpul dari kopi ke-idari G2 dengan sebuah simpul ke-i dariG1, dengan 1 ≤ i ≤ |V(G1)|, Gambar II.3.b
mengilustrasikan graf hasil kali koronaP3K3.
MisalkanGi
2 adalah kopi ke-idari grafG2 dalamG1 G2. Karena semua simpul
pada Gi2 dihubungkan dengan sebuah simpul di G1, dan bila diam(G2) ≥ 3,
maka operasi korona menyebabkan diam(Gi
2 K1) = 2. Jika diam(G2) ≤ 2,
makadiam(Gi
2)K1tidak berubah. Seperti ditunjukkan pada Gambar II.3.b, graf
lengkapK3mempunyaidiam(K3) = 1 =diam(K3ixi)untuk suatuipada selang
[1,3].
II.2
Dimensi metrik
Slater (1975) mengenalkan konsep himpunan pembeda dengan istilah locating set, sedangkan Harary dan Melter (1976) menamakan konsep tersebut dengan resolving set. Misalkan G = (V, E) adalah graf dengan himpunan simpul V(G) dan himpunan sisi E(G). Jika subhimpunan terurut W ⊆ V(G), dengan W = {w1,w2,· · · , wk}, danv ∈ V(G)makarepresentasi v terhadapW
didefini-sikan sebagai pasangan-kterurut(d(v, w1),d(v, w2),· · ·, d(v, wk))dan dinotasikan
dengan r(v|W). Jika untuk setiap dua simpul berbeda u, v ∈ V(G) berlaku r(u|W) 6= r(v|W), maka W disebut himpunan pembeda dari V(G). Himpunan pembeda W dengan kardinalitas minimum disebut himpunan pembeda minimum atau basis dariG. Semua simpul anggota basis dariGdisebutsimpul basisdariG. Dimensi metrikdari grafG, dinotasikandim(G), adalah banyak simpul dalam basis
(c) (a) (b) D a1 a2 b1 b2 b3 b4 D a1 a2 b1 b2 b3 b4 D a1 a2 b1 b2 b3 b4
Gambar II.4: Himpunan pembeda dari K2,4: a.W1 = {a1, b1, b2, b3, b4}, b.W2 = {a1, b1, b2, b3}, dan c.W3 ={a1, b1, b2}
G. Jikadim(G) = kmakaGdikatakanberdimensi metrikk.
Representasi dari dua sebarang simpul wi, wj ∈ W, dengan i 6= j,
masing-masing mempunyai ’0’ pada koordinat ke-idan ke-j. Oleh karena itu, representasi r(wi|W) 6= r(wj|W)berbeda untuk i 6= j .Dengan demikian, untuk menentukan
apakah W adalah sebuah himpunan pembeda pada graf G, pemeriksaan cukup dilakukan pada semua simpul diV(G)−W. Jikad(u, x)6=d(v, x)maka simpulx dikatakanmembedakansimpuludanv, atau simpuludanv dapatdibedakanoleh simpul x. Hal yang sama, jikar(u|W) 6= r(v|W), maka dikatakan himpunanW membedakansimpuludanv, atau simpuludanv dibedakanoleh himpunanW. Gambar II.4 mengilustrasikan suatu himpunan terurut W ⊆ K2,4 untuk graf
bipartit lengkapK2,4. Gambar II.4.a menunjukkan bahwaW1 ={a1, b1, b2, b3, b4}
adalah himpunan pembeda karena semua simpul di K2,4 mempunyai representasi
yang berbeda. Akan tetapi, kardinalitasW1 tidak minimum, karena pada Gambar
II.4.b dapat ditunjukkan bahwa W2 = {a1, b1, b2, b3} adalah himpunan pembeda.
Himpunan W3 = {a1, b1, b2} pada Gambar II.4.c bukanlah himpunan pembeda,
karena representasi r(b3|W3) = r(b4|W3) = (1,2,2). Selanjutnya, kami
menunjukkan himpunan pembeda dari K2,4 mempunyai kardinalitas sedikitnya 4.
Misalkan terdapat himpunan pembeda W dari K2,4 dengan|W| = 3 dan V1 dan
V2 masing-masing adalah partisi dari K2,4. Karena order K2,4 sama dengan 6,
maka sedikitnya terdapat dua simpul u, v ∈ V1 atau u, v ∈ V2 sedemikian hingga
u, v 6∈ W. Oleh karena d(u, w) = d(v, w)untuk semua w ∈ V(K2,4)− {u, v},
maka r(u|W) = r(v|W), kontradiksi dengan pemisalan W sebagai himpunan pembeda. Jadi, |W| ≥ 4. Dengan demikian, W2 adalah salah satu himpunan
pembeda minimum dariK2,4 dan karena itu dimensi metrik dari grafK2,4 adalah 4.
Saputro dkk. (2010) memberikan Teorema II.1 untuk menentukan dimensi metrik dari grafr-partit lengkap untukr≥2.
D
D D D
D
D D D
D D
Gambar II.5: Sebuah grafGdenganq∈∂(G)danp /∈∂(G) .
Teorema II.1. (Saputro dkk., 2010) JikaG∼=Kn1,n2,···,nr adalah graf multipartit
lengkap untukr≥2denganmpartisi tunggal, maka
dim(G) =
(
|V(G)| −1−(r−m) , jika m >0,
|V(G)| −r , jika m=0.
Lebih jauh, Chartrand, Eroh, Johnson dan Oellermann (2000) memberikan batas bawah dan batas atas untuk dimensi metrik G, dim(G), yang dinyatakan dalam diameter dariGpada Teorema II.2 berikut ini.
Teorema II.2. (Chartrand, Eroh, Johnson dan Oellermann, 2000) Misalkan G adalah graf terhubung dengan diameterk dan orden ≥ 2, dimanak < n. Maka, berlaku
f(n, k)≤dim(G)≤n−k,
f(n, k)adalah bilangan bulat positif terkecilrsedemikian hinggak+kr ≥n.
Pandang sebuah graf G = (V, E). Misalkan u, v ∈ V(G). Simpul u disebut simpul batasdari simpulv jikad(w, v) ≤ d(u, v)untuk setiapw ∈ N(u), dengan N(u) adalah himpunan semua simpul di G yang bertetangga dengan u. Selan-jutnya, simpul u disebut simpul batas dari G jika u adalah sebuah simpul batas untuk suatu simpul diG. Himpunan semua simpul batas dariGdisebut batasdari G, dinotasikan dengan ∂(G) (Chartrand dkk., 2003). Gambar II.5 menunjukkan bahwa simpulqadalah simpul batas dariptapi tidak untuk sebaliknya. Lebih jauh, simpulp /∈∂(G).
Caceres dkk. (2005) menyatakan bahwa batas atas dimensi metrik suatu graf G adalah kardinalitas himpunan batas G sebagaimana yang dinyatakan dalam
Teorema II.3 berikut ini.
Teorema II.3. (Caceres dkk., 2005) MisalkanGadalah graf terhubung tak trivial dan∂(G)adalah himpunan batas dariG. Makadim(G)≤∂(G).
Dimensi metrik untuk beberapa graf G dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema II.2. Jika G = Pn maka diameter G adalah n − 1 dan fungsi f(n, k)
pada II.2 bernilai 1. Dengan menggunakan Teorema II.2, diperolehdim(Pn) = 1.
Selanjutnya, andaikan ada graf lainGyang terhubung orden dengandim(G) = 1 dan basis W = {w}. Untuk setiap simpul v ∈ G, r(v|W) = d(v, w) adalah suatu bilangan bulat tak negatif yang kurang darin. Karena representasi dari setiap simpul v ∈ V(G) terhadap W berbeda maka terdapat sebuah simpul u ∈ V(G) sedemikian hinggad(u, w) = n−1. Oleh karena itu, diameterGadalahn−1dan mengakibatkanG∼=Pn.
MisalkanG = Kn dengan n ≥ 2danW adalah basis dariG. Jikau /∈ W maka
setiap komponen dari representasi r(u|W) bernilai 1. Sehingga setiap himpunan pembeda pada G harus memuat semua simpul kecuali satu simpul dari G. Jadi, dim(Kn) =n−1. Dengan menggunakan Teorema II.2, jikaGgraf terhubung yang
bukan graf lengkap makadim(G)≤n−2. Dengan demikian, jikadim(G)≤n−2 maka haruslah grafG6∼=Kn.
Selain mengkarakterisasidim(G) = 1dann−1seperti pada dua paragraf di atas, Chartrand, Eroh, Johnson dan Oellermann (2000) juga menunjukkan karakterisasi dim(G) = n−2, dan menentukan dimensi metrik dari graf lingkaranCn dan graf
pohonT. Hasil-hasil di atas ditulis dalam Teorema II.4 berikut ini dan merupakan hasil fundamental untuk dimensi metrik grafG.
Teorema II.4. (Chartrand, Eroh, Johnson dan Oellermann, 2000) Misalkan G adalah sebuah graf terhubung dengan orden ≥2.
(i) dim(G)= 1 jika dan hanya jikaG=Pn.
(ii) dim(G) = n−1jika dan hanya jikaG=Kn.
(iii) Untukn ≥3, dim(Cn)= 2.
(iv) Untuk n ≥ 4, dim(G) = n− 2 jika dan hanya jika G = Kr,s,(r, s ≥ 1),
(v) JikaT adalah graf pohon yang bukan lintasan maka dim(T)=σ(T)−ex(T), dimanaσ(T)menyatakan jumlah derajat terminal dari simpul utamaT, dan ex(T)menyatakan jumlah simpul utama bagian luarT.
II.3
Dimensi partisi
Dimensi partisi dari sebuah graf G dikenalkan oleh Chartrand dkk. pada tahun 1998. Mereka mengelompokkan semua simpul diGke dalam sejumlah kelas partisi dan menentukan jarak setiap simpul terhadap setiap kelas partisi tersebut. Secara tepat, misalkan Π = {S1, S2,· · · , Sk} merupakan partisi terurut dari V(G) dan
v ∈V(G). Representasidariv ∈V(G)terhadapΠdidefinisikan sebagai pasangan-k terurut (d(v, S1), d(v, S2),· · ·, d(v, Sk)). Jika untuk setiap dua simpul berbeda
u, v ∈V(G)berlakur(u|Π)=6 r(v|Π), makaΠdisebutpartisi pembedadariV(G). Partisi pembedaΠdengan kardinalitas minimum disebutpartisi pembeda minimum dariG. Dimensi partisipd(G)dari grafGadalah kardinalitas dari partisi pembeda minimum dariG.
MisalkanΠ = {S1, S2,· · ·, Sk}adalah partisi terurut dariV(G). Jikau ∈ Si dan
v ∈ Sj, dan i 6= j, maka jelas bahwa r(u|Π) 6= r(v|Π) (karena d(u, Si) = 0
tetapi d(v, Si) 6= 0). Dengan demikian, ketika diberikan sebuah partisi Π dari
V(G)dan hendak menentukan apakahΠadalah partisi pembeda untuk V(G)atau bukan, pemeriksaan cukup dilakukan pada semua simpul yang termasuk dalam suatu kelas partisi yang sama. Jika semua simpul dalam setiap kelas partisi yang sama mempunyai representasi berbeda terhadap Π, maka Π merupakan partisi pembeda. Jika d(u, Si) 6= d(v, Si), maka kelas partisi Si dikatakan memisahkan
simpul udan v di G. Sebuah kelas partisi yang mempunyai satu anggota disebut kelas partisi singleton. Dengan sendirinya, simpul dalam kelas partisi singleton mempunyai representasi yang unik.
Sekarang, pandang dua simpul berbedau, v ∈V(G). Jikad(u, w) =d(v, w)untuk setiap w ∈ V(G)− {u, v} makau dan v harus termuat dalam kelas partisi yang berbeda diG. Hal ini jelas, karena jika tidak demikian,r(u|Π) = r(v|Π). Dengan demikian diperoleh Lema II.1 berikut ini.
Lema II.1. (Chartrand, Salehi dan Zhang, 2000) Misalkan G suatu graf terhubung tak-trivial. MisalkanΠsuatu partisi pembeda dariGdanu, v ∈V(G).
(c) (a) (b) D a1 a2 b1 b2 b3 b4 D a1 a2 b1 b2 b3 b4 D a1 a2 b1 b2 b3 b4 S1 S2 S3 S4 S1 S2 S3 S4 S5 S3 S2 S1
Gambar II.6: Partisi pembeda dari K2,4: a.Π1 = {S1, S2, S3, S4, S5}, b.Π2 = {S1, S2, S3, S4}, dan c.Π3 ={S1, S2, S3}
Jika d(u, w) = d(v, w) untuk setiap w ∈ V(G)− {u, v}, maka u dan v harus termuat dalam kelas partisi yang berbeda diΠ.
Pada bab-bab selanjutnya Lema II.1 ini banyak digunakan dalam menentukan dimensi partisi sebuah graf terhubungG.
Pada Gambar II.6, diilustrasikan sebuah partisi untuk graf bipartit lengkap K2,4.
Gambar II.6.a menunjukkan bahwaΠ1 = {S1, S2, S3, S4, S5}, denganS1 = {b1},
S2 = {a1, b2}, S3 = {a2},S4 = {b3} dan S5 = {b4}, adalah partisi pembeda
karena semua simpul diK2,4 mempunyai representasi terhadap Π1)yang berbeda.
Akan tetapiΠ1 bukan partisi pembeda minimum karena pada Gambar II.4.b dapat
ditunjukkan bahwa Π2 = {S1, S2, S3, S4} dengan S1 = {b1}, S2 = {a1, b2},
S3 = {a2, b3} dan S4 = {b4}, adalah partisi pembeda dari G juga. Partisi
Π3 = {S1, S2, S3}, denganS1 = {a1, b1}, S2 = {a2, b2}dan S3 = {b3, b4}, pada
Gambar II.6.c bukanlah partisi pembeda karenar(b3|Π3) = r(b4|Π3) = (1,1,0).
Untuk menunjukkan pd(K2,4) = 4, andaikan terdapat partisi pembedaΠ dariK2,4
dan|Π| = 3. MisalkanV(K2,4)terdiri atas partit V1 dan V2 dengan|V1| = 2dan |V2| = 4. Maka, sedikitnya terdapat dua simpulu, v ∈ V2 sedemikian hinggau, v
termuat dalam kelas partisi yang sama. Oleh karenad(u, w) =d(v, w)untuk semua w ∈ V(K2,4)− {u, v}, makar(u|W) = r(v|W), kontradiksi dengan pemisalanΠ
sebagai partisi pembeda. Jadi,|Π| ≥4dan karena Gambar II.6.b telah memberikan partisi pembeda dengan 4 anggota dariK2,4makapd(K2,4) = 4.
Fehr dkk. (2006) mengembangkan konsep dimensi partisi graf berarah dengan menerapkan dimensi partisi pada graf berarah D. MisalkanDadalah sebuah graf berarah dan u, v ∈ V(D). Sisi berarah e ∈ E(D) disebut busur. Kemudian jarakdariuke v, dinotasikan dengand(u, v), adalah jumlah busurdalam lintasan
terpendek dari u ke v. Jika S ⊂ V(D), jarak v ke S didefinisikan dengan d(v, S) = min{d(v, x)|x ∈ S}. Sebagaimana pada graf tak berarah, simpul x ∈ V(D)(atau subhimpunanS ⊂ V(D))membedakandua simpul udan v jika d(u, x)6=d(v, x)(ataud(u, S)6=d(v, S).
Saenpholphat dan Zhang (2002) mengenalkan konsep partisi pembeda terhubung. Suatu himpunan partisi Π = {S1, S2,· · · , Sk} disebutpartisi pembeda terhubung
jika(1) Πsuatu partisi pembeda dariGdan(2)setiap subgraf yang diinduksi oleh Si adalah graf terhubung diG, dengan1 ≤ i ≤ k. Nilai minimumk sedemikian
hingga terdapat suatuk-partisi pembeda terhubung dariV(G)adalah nilaidimensi partisi terhubungdariGdan dituliscpd(G) =k.
Selanjutnya, Ruxandra (2009) mengkaji partisi pembeda dari suatu graf yang setiap subgraf hSii berbentuk lintasan. Suatu himpunan partisi Π = {S1, S2,· · · , Sk}
disebut partisi pembeda lintasan jika (1) Π suatu partisi pembeda dan (2) setiap subgraf yang diinduksi olehSi adalah graf lintasan diG, dengan1 ≤ i ≤ k. Jika
kadalah kardinalitas minimum dari sebarang partisi pembeda lintasan untukV(G) makadimensi partisi lintasandariGadalahkdan ditulisppd(G) =k.
Lebih jauh, Marinescu-Ghemeci dan Tomescu (2010) mengenalkan partisi pembeda bintang. Suatu himpunan partisi Π = {S1, S2,· · · , Sk} disebut partisi pembeda
bintangjika(1) Πsuatu partisi pembeda dan(2)setiap subgraf yang diinduksi oleh Si adalah graf bintang di G, dengan 1 ≤ i ≤ k. Nilai k minimum sedemikian
hingga terdapat suatu k-partisi pembeda bintang dari V(G) adalah nilai dimensi partisi bintang dariGdan ditulisspd(G) =k.
II.4
Kaitan antara dimensi partisi dan parameter lainnya
MisalkanGsuatu graf dengan dimensi metrikkdanW ={w1, w2,· · · , wk}adalah
himpunan pembeda dari G. Pandang partisi terurutΠ = {S1, S2,· · · , Sk+1}dari
V(G), denganSi ={wi}, bilai∈[1, k], danSk+1 =V(G)−W. Maka, diperoleh
r(v|Π) = (d(v,{w1}), d(v,{w2}),· · · , d(v,{wk}),0)berbeda untuk semua simpul
v ∈ Sk+1 karena W himpunan pembeda dari G. Selain itu, bila v = wi, untuk
suatui∈[1, k], makar(wi|Π)mempunyai nilai0pada entri ke-itetapi tidak untuk
entri lainnya. Dengan demikian,r(wi|Π)juga unik. Oleh karena itu,Πmerupakan
Teorema II.5. (Chartrand, Salehi dan Zhang, 2000) Jika G adalah graf terhubung tak-trivial, makapd(G)≤dim(G) + 1.
Batas atas Teorema II.5 dipenuhi di antaranya oleh graf lintasanPn, graf siklusCn,
graf lengkapKndan graf bintangK1,n.
Dimensi partisi dari grafGtidak selalu sedikit lebih kecil dari dimensi metriknya. Hal ini ditunjukkan oleh graf planar teratur-4 (Z2, ε4) dan graf teratur-8 (Z2, ε8)
yang memiliki dimensi metrik tidak berhingga (Melter dan Tomescu, 1984), namun dimensi partisinya berturut-turut3dan4(Tomescu, 2008). Graf(Z2, ε4)adalah graf
planar 4 yang daerahnya berbentuk bujursangkar, sedangkan graf teratur-8 (Z2, ε
8) dapat diperoleh dengan menggambarkan semua diagonal pada daerah
bujursangkar pada graf (Z2, ε4). Indeks 4 dan 8 masing-masing menunjukkan
banyak simpul berjarak1 dari sebarang simpul pada graf tersebut. Simpulupada Gambar II.7.a mempunyai empat buah simpul tetangga dan simpulv pada Gambar II.7.b mempunyai delapan buah simpul tetangga.
Teorema II.6. (Tomescu, 2008) Dimensi partisi graf planar teratur 4 pd(Z2, ε4) = 3dan dimensi partisi graf teratur 8pd(Z2, ε8) = 4.
Bukti. Misalkan Π1 = {S1, S2, S3} adalah partisi pembeda dari graf (Z2, ε4)
denganS1 = {(x, y) ∈ Z2|x ≥ 0, y ≥ 0}, S2 = {(x, y) ∈ Z2|x ≤ −1, y ≥ 0}
dan S3 = {(x, y) ∈ Z2|y ≤ −1} (lihat Gambar II.7.a). Maka, dapat
ditun-jukkan bahwa setiap simpul v ∈ V((Z2, ε
4)) mempunyai representasi r(v|Π1)
unik. Dengan demikian,pd(Z2, ε4)≤3. Selanjutnya, Chartrand, Salehi dan Zhang
(2000) menunjukkan bahwapd(G) = 2jika dan hanya jikaGadalah graf lintasan. Oleh karena itu,pd(Z2, ε
4)≥3. Jadi,pd(Z2, ε4) = 3.
Selanjutnya, misalkan Π2 = {S1, S2, S3, S4} adalah partisi pembeda dari graf
(Z2, ε8) dengan S1 = {(x, y) ∈ Z2|x ≥ 0, y ≥ 0}, S2 = {(x, y) ∈ Z2|x ≤ −1, y ≥ 0}, S3 = {(x, y) ∈ Z2|x ≥ 0, y ≤ −1} dan S4 = {(x, y) ∈ Z2|x ≤ −1, y ≤ −1} (lihat Gambar II.7.b). Maka, dapat ditunjukkan bahwa setiap dua simpul berbeda u, v ∈ V((Z2, ε8)) mempunyai r(u|Π2) 6= r(v|Π2). Dengan
demikian, pd(Z2, ε
8) ≤ 4. Lebih jauh, dapat ditunjukkan bahwa jika terdapat
suatu partisi pembeda Π2 dari graf (Z2, ε8) maka terdapat sedikitnya sebarang
dua simpul berbeda u, v ∈ V((Z2, ε
8)) sedemikian hingga r(u|Π2) = r(v|Π2),
2 1
3 4
1 2
3
Gambar II.7: a.pd(Z2, ε4) = 3dan b.pd(Z2, ε8) = 4, namun dimensi metrik kedua
graf tak berhingga
Lebih jauh, dalam Teorema II.7 berikut, Chartrand, Salehi dan Zhang (2000) menunjukkan bahwa untuk setiap pasang bilangan bulat positifa, b, dengandb
2e+
1 ≤ a ≤ b+ 1, terdapat suatu graf terhubungGyang mempunyaipd(G) =adan dim(G) = b. Misalkan Ks,t adalah graf bipartit dengan s = a, t = b −a+ 2,
dan memenuhi db
2e + 1 ≤ a ≤ b + 1. Teorema II.4 menunjukkan bahwa
dim(Ks,t) = s +t −2 = a + (b − a + 2) −2 = b. Selanjutnya, jelas dari
nilai s, t, dan syarat yang diberikan, bahwa s > t. Menurut Teorema II.17, pd(Ks,t) = max{s, t}=s=a.
Teorema II.7. (Chartrand, Salehi dan Zhang, 2000) Untuk setiap pasang bilangan bulat positifa, bdengandb
2e+1≤a≤b+1, terdapat suatu graf terhubung
Gyang mempunyai dimensi partisipd(G) = adan dimensi metrikdim(G) = b.
Dari Teorema II.7, muncul pertanyaan baru, yakni apakah ada grafGyang memiliki dimensi partisi kurang dari separuh dimensi metriknya. Pertanyaan ini selanjutnya dijawab oleh Chappell dkk. (2008) dengan menunjukkan bahwa graf seperti pada Gambar II.8 mempunyai dim(G) = b, pd(G) = a dan 3 ≤ a ≤ b + 1 dengan himpunan pembeda dan partisi pembedanya ditunjukkan pada Gambar II.8.a dan Gambar II.8.b , berturut-turut.
Karena terdapatabuah simpul anting yang terkait dengan simpulx1, dana adalah
banyak simpul anting maksimum di grafG, maka berdasarkan Lema II.1pd(G)≥
D D D D D ... D D D D D D D D D ... D D D x1 x2 x3 x4 D D ... D D D D D D ... D D (a) a (b) b-a+1 a b-a+2 xb-a+2 x1 x2 x3 x4 xb-a+2 1 2 a-1 a 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2
Gambar II.8: a.Dimensi partisi dari graf Gdinyatakan oleh banyak simpul anting pada simpul x1 dan b.Dimensi metrik dari graf G dinyatakan oleh
banyak simpul putih pada graf tersebut
{xi, ui1|1≤i≤b−a+2},S2 ={ui2|1≤i≤b−a+2}danSi ={u1i|3≤i≤a}.
Karena semuar(u|Π) berbeda untuk semua simpulu ∈ G, makaΠadalah partisi pembeda untukV(G)danpd(G)≤a. Jadi,pd(G) = a.
Misalkan grafGmempunyai simpul pemutus (cut-vertex)vdanUadalah himpunan ksimpul terisolasi pada grafG−{v}. Maka himpunan pembeda minimum dari graf Gterdiri atas paling sedikitk−1simpul diU. Pandang graf ulatGpada Gambar II.8.b. Dengan demikiandim(G) = (a−1) + (b−a+ 1) =b.
Teorema II.8. (Chappell dkk., 2008) Untuk setiap pasang bilangan bulat positif a, bdengan3 ≤ a ≤ b+ 1, terdapat sebuah graf terhubungGsedemikian hingga mempunyai dimensi partisipd(G) = adan dimensi metrikdim(G) =b.
Untuk beberapa graf, dimensi partisinya relatif konstan (tidak bergantung pada order dari graf tersebut), misalnya lintasan dan siklus. Namun, secara umum, Chartrand, Salehi dan Zhang (2000) menunjukkan hubungan antara dimensi partisi, order dan diameter sebagai berikut.
Teorema II.9. (Chartrand, Salehi dan Zhang, 2000) Jika G adalah graf order (n ≥ 3) dan diameter d, maka g(n, d) ≤ pd(G) ≤ n −d + 1, dengan g(n, d) merupakan bilangan bulat positif terkecilksedemikian hingga(d+ 1)k≥n.
Bukti. Pandang sebuah graf G order n, diameter d dan V(G) =
{v1, v2,· · ·,vd, vd+1,· · · , vn}. Ambil u, v ∈ V(G) yang memenuhi d(u, v) = d.
Misalkanu = v1, v2,· · · , vd+1 = v adalah lintasan dari ukev dengan panjangd.
V(G), denganS1 ={v1, v2,· · · , vd}danSi ={vi+d−1}untuk2≤i≤n−d+ 1.
Oleh karena itu,pd(G)≤n−d+ 1.
Selanjutnya, definisikang(n, d)sebagai bilangan bulat positif terkecilksedemikian hingga (d + 1)k ≥ n. Misalkan terdapat suatu partisi pembeda Π untuk V(G) dan |Π| = k. Karena representasi setiap simpul di G adalah vektor-k, maka setiap koordinat dari vektor-ktersebut adalah bilangan bulat tak-negatif yang tidak melebihid. KarenaΠadalah partisi pembeda, makanbuah simpul diGmempunyai representasi berbeda terhadapnya. Oleh karena itu, (d + 1)k ≥ n. Jadi, dan
g(n, d) = k ≤pd(G).
Selanjutnya, Chappell dkk. (2008) menunjukkan hubungan antara dimensi partisi, order dan diameter dari sebuah grafGpada Teorema II.10 berikut ini.
Teorema II.10. (Chappell dkk., 2008) JikaGadalah graf ordern(≥3), dimensi partisik dan diameterd, makan≤kdk−1.
Bukti. Pandang sebuah graf G order n dengan diameter d. Misalkan Π =
{S1, S2,· · ·, Sk} adalah suatu partisi pembeda minimum dari graf G. Karena
Π adalah partisi pembeda, maka representasi r(v|Π) unik untuk setiap simpul v ∈ V(G). Dengan kata lain, graf G mempunyai sedikitnya n buah representasi berbeda. Karena simpul v berada tepat di satu Si ∈ Π, dengan1 ≤ i ≤ k, maka
representasir(v|Π)memuat tepat satu0dan koordinat lainnya adalah bilangan bulat tak negatif dari 1 sampai k. Posisi 0 dalam r(v|Π) mempunyai k pilihan posisi. Setiap koordinat padak−1sisa representasik-vektor adalah satu daridnilai yang
berbeda. Oleh karena itu,n ≤kdk−1.
II.5
Dimensi partisi graf asal dan graf hasil operasi
Dalam subbab ini diberikan beberapa hasil yang telah diketahui dari beberapa graf dalam kelas pohon, yaitu graf bintang ganda, dan graf ulat. Pada bagian lain, diberikan juga pengetahuan tentang dimensi partisi dari graf mirip roda (seperti graf gir, graf helm, dan graf bunga matahari) dan dimensi partisi graf hasil operasi kartesian.
Sebuah graf pohon disebutgraf bintang gandajika graf pohon tersebut mempunyai tepat dua simpuludanv berderajat lebih dari satu. Jikaudanvberderajatr+ 1dan
D D D D 3 D D D D D 1 2 3 r 1 2 s
Gambar II.9: Graf bintang gandaT(r, s)dengandeg(u) =r+1dandeg(v) =s+1
s+1berturut-turut maka graf bintang ganda ini dinotasikan denganT(r, s). Gambar II.9 adalah graf bintang gandaT(r, s)dengandeg(u) =r+ 1dandeg(v) = s+ 1.
Graf bintang ganda order 4 adalah sebuah lintasan P4 yang mempunyai dimensi
partisi2. Graf bintang ganda order5mempunyai dimensi partisi3. Secara umum, dimensi partisi graf bintang ganda diberikan oleh Teorema II.11.
Teorema II.11. (Chartrand dkk., 1998) Misalkan T(r, s) adalah graf bintang ganda order n ≥ 6, dengan u dan v adalah simpul yang berderajat r + 1 dan s+ 1, berturut-turut. Maka,pd(T(r, s)) = max{r, s}.
Bukti. Misalkan r ≥ s, simpul u1, u2,· · ·, ur adalah simpul ujung dari T(r, s)
yang terkait ke simpuludan simpulv1, v2,· · · , vsadalah simpul ujungT(r, s)yang
terkait ke simpulv. Dua simpul sebarangui, uj, dengan1≤i6=j ≤r, mempunyai
jarak sama ke semua simpul diT − {ui, uj}. Menurut Lema II.1 simpului danuj
harus termuat dalam kelas partisi yang berbeda. Karenar ≥s, makapd(T(r, s))≥
r.
Sekarang akan ditunjukkan bahwapd(T(r, s))≤r. Pandang dua kasus berikut: Kasus 1.r =s.
MisalkanΠ = {S1, S2,· · · , Sr} adalah partisi pembeda dengan S1 = {u, u1, v1},
S2 = {v, u2, v2}danSi = {ui, vi}untuk3 ≤ i ≤ r. Periksa representasi simpul
di S1: r(u1|Π) = (0,2,2,2,· · · ,2), r(v1|Π) = (0,1,2,2,· · · ,2) dan r(u|Π) =
(0,1,1,1,· · · ,1). Demikian pula simpul di S2: r(u2|Π) = (1,0,2,2,· · · ,2),
r(v2|Π) = (2,0,2,2,· · · ,2) danr(v|Π) = (1,0,1,1,· · · ,1). Untuk 3 ≤ i ≤ r,
r(ui|Π) = (1,2,· · · ,0,· · ·)danr(vi|Π) = (2,1,· · · ,0,· · ·)dengan koordinat
ke-i pada setiap representasi adalah 0. Dapat dilihat bahwa setiap simpul di T(r, s) mempunyai representasi yang berbeda. Oleh karena itu, Πadalah partisi pembeda danpd(T(r, s))≤r.
D D D D D D D 1 D D D D D 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5
Gambar II.10: Graf pohon dengan4t(T) = 3
Kasus 2.r > s. Pandang dua subkasus dalam Kasus 2 ini. Subkasus 2.1. s= 1.
Karena n ≥ 6, dengan sendirinya r ≥ 3. Misalkan Π = {S1, S2,· · · , Sr}
adalah partisi pembeda dengan S1 = {u, u1}, S2 = {v, u2}, S3 = {u3, v1},
dan Si = {ui} untuk 4 ≤ i ≤ r. Karena r(u1|Π) = (0,2,2,∗,∗,· · · ,∗),
r(u2|Π) = (1,0,2,∗,∗,· · · ,∗), r(u3|Π) = (1,2,0,∗,∗,· · · ,∗),
r(u|Π) = (0,1,1,∗,∗,· · · ,∗), r(v|Π) = (1,0,1,∗,∗,· · · ,∗) dan r(v1|Π) = (2,1,0,∗,∗,· · · ,∗) dengan ∗ adalah koordinat yang tidak
berpen-garuh. Dengan demikian,Πadalah partisi pembeda danpd(T(r, s))≤r.
Subkasus 2.2. s≥2.
MisalkanΠ = {S1, S2,· · · , Sr} adalah partisi pembeda dengan S1 = {u, u1, v1},
S2 ={v, u2, v2},Si ={ui, vi}untuk3≤i≤sdanSi ={ui}untuks+ 1 ≤i≤r.
Dengan pembuktian yang serupa dengan Subkasus 2.1., dapat ditunjukkan bahwa
Πadalah partisi pembeda danpd(T(r, s))≤r.
Graf ulatadalah sebuah graf pohonT yang mempunyai sifat apabila semua daunnya dihilangkan, graf pohon tersebut menjadi sebuah lintasan. Sebuah simpul di graf pohonT dengan derajat paling sedikit3disebutsimpul mayordariT. Simpul ujung u ∈ V(T) disebut simpul terminal dari simpul mayor v ∈ V(T) jika d(u, v) < d(u, w)untuk setiap simpul mayorw∈V(T)− {v}. Derajat terminaldari simpul mayor v adalah banyak simpul terminal dari v. Sebuah simpul mayor v ∈ V(T) disebutsimpul mayor eksteriordariT jikavmempunyai derajat terminal positif. Sebagai contoh, graf pohon pada Gambar II.10 mempunyai empat simpul mayor v1, v2, v3, v4. Simpul terminal dari v1 adalah u1 dan u2, simpul terminal dari v3
8 0 1 2 3 4 5 6 7 4 0 1 2 3 0 1 2 3
Gambar II.11: Graf girG8dan graf helmH4
tidak mempunyai simpul terminal dan, karenanya,v2bukan simpul mayor eksterior
dariT. Misalkan4t(T)menyatakan derajat terminal maksimum dari semua simpul
mayor eksterior dari pohon T. Gambar II.10 menunjukkan sebuah graf pohon T dengan 4t(T) = 3. Maka, (Chartrand dkk., 1998) menunjukkan batas atas
dan batas bawah dari dimensi partisi graf T yang dinyatakan dalam 4t(T) pada
Teorema II.12 berikut ini.
Teorema II.12. (Chartrand dkk., 1998) Misalkan T adalah graf ulat dengan
4t(T)≥3. Maka,4t(T)−2≤pd(T)≤ 4t(T) + 1.
Selain graf pohon, graf mirip roda juga menjadi kajian menarik dalam penelitian dimensi partisi. Graf mirip roda adalah graf yang diperoleh dengan memberi perubahan kecil, misalkan dengan penambahan simpul atau sisi, pada sebuah graf roda. Graf gir, graf helm, dan graf bunga matahari adalah tiga contoh graf mirip roda.
Graf girG2ndidefinisikan sebagai graf yang diperoleh dari sebuah graf siklus genap
C2n dengan himpunan simpul V(C2n) = {v0, v1,· · · , v2n−1}, dengan n ≥ 2dan
sebuah simpul barucyang terkait dengannbuah simpulC2n, yaituv0, v2,· · ·v2n−2.
Graf gir G2n mempunyai order 2n + 1 dan 3n sisi. Dengan cara lain, graf gir
G2ndiperoleh dari sebuah graf rodaWndengan menambah sebuah simpul di antara
sepasang simpul (bukan pusat) yang bertetangga di graf roda Wn. Gambar II.11.a
memberi ilustrasi graf girG8.
Teorema II.13. (Javaid dan Shokat, 2008) Misalkan n ≥ 2 dan k menyatakan partisi dimensi dari graf girG2n. Maka berlaku2n+ 1<3k4(k+ 2)2k−7.
0 1 2 3 0 1 2 3
Gambar II.12: Graf bunga matahariSF4
Graf Helm Hn adalah sebuah graf yang diperoleh dari sebuah roda Wn dengan
siklus Cn dengan menambah sebuah simpul anting (pendant) yang terkait dengan
setiap simpul (bukan pusat) dari siklus tersebut. Graf helmHnterdiri atas himpunan
simpulV(Hn) ={vi|0≤i≤ n−1} ∪ {ai|0≤i ≤n−1} ∪cdan himpunan sisi
E(Hn) ={vivi+1|0≤i ≤n−1} ∪ {viai|0≤ i≤n−1} ∪ {vic|0 ≤i≤ n−1}
dengani+ 1diambil modulon. Gambar II.11.b memberi ilustrasi graf girH4.
Teorema II.14. (Javaid dan Shokat, 2008) Misalkan n ≥ 3 dan k menyatakan partisi dimensi dari graf helmHn. Maka, berlaku 2n+ 1 < 2k−1+P3i=02k−i−1
k−1 i (k−i)+P1 j=0 P2 i=02 k−i−j−2 k−1 i,j (k−i−j+ 1).
Graf bunga matahari didefinisikan sebagai graf yang diperoleh dari sebuah graf rodaWn, yang terdiri simpul pusatcdann-siklusv0, v1,· · · , vn−1, dan penambahan
nbuah simpul tambahanw0, w2,· · ·wn−1, denganwi dihubungkan oleh sebuah sisi
kevi, vi+1 untuk setiapi = 1,2,· · · , n1 dani+ 1diambil modulo n. Graf bunga
matahariSFnmempunyai order2n+ 1dan4nsisi. Gambar II.12 memberi ilustrasi
graf bunga matahariSF4. SFn
Teorema II.15. (Javaid dan Shokat, 2008) Misalkan n ≥ 3 dan k menyatakan partisi dimensi dari graf bunga matahariSFn. Maka,2n+ 1<2k−1+
P4 i=02k −i−2 k−1 i (k−i+ 1)+P2 j=0 P4 i=02 k−i−j−1 k−1 i,j (k−i−j).
Selanjutnya, Chartrand, Salehi dan Zhang (2000) menunjukkan dimensi partisi graf bipartitG((V1, V2), E)dalam Teorema II.16 berikut ini.Graf bipartitadalah sebuah
graf yang himpunan simpulnya dapat dipartisi dalam dua subhimpunan, katakanV1
danV2, sedemikian hingga setiap sisie ∈ E(G)mempunyai sebuah simpul ujung
Teorema II.16. (Chartrand, Salehi dan Zhang, 2000) Jika graf G((V1, V2), E)
adalah graf bipartit dengan partisi V1 dan V2, dimana |V1| = m dan |V2| = n,
maka
pd(G((V1, V2), E))≤
(
m+ 1 , jika m =n, max{m, n} , jika m 6=n.
Bukti. MisalkanG((V1, V2), E)adalah graf bipartit, denganV1 ={a1, a2,· · · , am}
danV2 ={b1, b2,· · · , bn}. Pandang dua kasus berikut:
Kasus 1. m =n.
Misalkan Π = {S1, S2,· · · , Sm+1} adalah partisi pembeda untuk graf
G((V1, V2), E), dengan Si = {ai, bi} dengan 1 ≤ i ≤ m −1, Sm = {am} dan
Sm+1 = {bn}. Jarak d(ai, Sm)selalu genap dan jarak d(bi, Sm)selalu gasal. Jadi,
r(ai|Π) 6=r(bi|Π)untuk1 ≤ i ≤ m−1. Selanjutnya,Sm danSm+1 adalah kelas
partisi singleton, makaamdanbm mempunyai representasi yang unik. Oleh karena
itu,pd(Km,n)≤m+ 1.
Kasus 2.m 6=n.
MisalkanΠ ={S1, S2,· · · , Sm}adalah partisi pembeda untuk grafG((V1, V2), E),
denganSi ={ai, bi}untuk1≤ i≤ ndanSi ={ai}untukn+ 1≤i ≤m. Jarak
d(ai, Sm) selalu genap dan jarak d(bi, Sm) selalu gasal. Jadi, r(ai|Π) 6= r(bi|Π)
untuk1≤i≤n. Selanjutnya, karenaSiuntukn+ 1≤i ≤madalah kelas partisi
singleton, maka ai ∈ Si mempunyai representasi yang unik. Dengan demikian
pd(Km,n)≤m.
Pandang graf bipartit graf G((V1, V2), E). Jika setiap simpul u ∈ V1 bertetangga
dengan semua simpul v ∈ V2 dan setiap simpulv ∈ V2 bertetangga dengan semua
simpulu ∈ V1 maka graf bipartitG((V1, V2), E)disebut graf bipartit lengkapdan
dinotasikan dengan Km,n, dengan m dan n masing-masing adalah kardinalitas V1
dan V2. Teorema II.17 berikut ini menunjukkan bahwa batas atas Teorema II.16
dipenuhi oleh graf bipartit lengkap.
bipartit lengkap dengan kardinalitas partisi masing-masingmdann, maka
pd(Km,n) =
(
m+ 1 , jika m=n, max{m, n} , jika m6=n.
Bukti. MisalkanKm,nadalah graf bipartit lengkap , dengan|V1|=mdan|V2|=n.
Pandang dua kasus berikut: Kasus 1. m =n.
Menurut Teorema II.16, kita cukup menunjukkan batas bawah daripd(Km,n). Jika
simpulai, aj ∈V(Km,n)danai, aj ∈V1, dengan1≤i6=j ≤mmaka berdasarkan
Lema II.1,ai danaj harus berada pada partisi yang berbeda. Lebih jauh, jikaai ∈
V1, bi ∈ V2 dan keduanya termuat dalam kelas partisi yang sama, katakanSi ∈ Π,
makaaidanbiharus dibedakan oleh sedikitnya sebuah kelas partisi yang beranggota
simpul-simpul diV1 saja (atauV2 saja). Jika tidak,r(ai|Π) =r(bi|Π). Oleh karena
itu,pd(Km,n)≥m+ 1.
Kasus 2. m 6=n.
Menurut Lema II.1pd(Km,n)≥max{m, n}dan Teorema II.16 memberi batasnya,
yaitupd(Km,n)≤max{m, n}. Dengan demikian,pd(Km,n) = max{m, n}.
Menentukan dimensi partisi dari suatu graf baru yang dibangun dengan operasi biner pada dua graf asal merupakan ranah riset yang menarik. Operasi bineradalah operasi yang dikenakan pada dua buah graf operan, misalkan G dan H, untuk mendapatkan sebuah graf baruF. Operasi kartesian dan operasi korona merupakan dua contoh dari operasi biner. Caceres dkk. (2005) dan Caceres dkk. (2007) menun-jukkan hubungan antara dimensi metrik graf hasil operasi kartesian dengan dimensi metrik graf faktornya. Sedangkan Chartrand dkk. (1998) dan Yero dkk. (2010) menunjukkan hubungan antara dimensi partisi graf hasil operasi kartesian dengan dimensi partisi graf faktornya.
Teorema II.18. (Chartrand dkk., 1998) Untuk setiap graf terhubung tak-trivial G,pd(G×K2)≤pd(G) + 1.
Bukti. Misalkan G ∼= H × K2, dengan H adalah graf terhubung non-trivial.
Misalkanpd(H) = kdanΠ = {S1, S2,· · · , Sk}merupakan suatu partisi pembeda
dari V(H). Untuk dua kopi graf H dalam konstruksi G, misalkan H1 dan H2.
merupakan partisi pembeda masing-masing dari V(H1) danV(H2). Kami klaim
bahwa
Π∗ ={W1 ∪U1, W2∪U2,· · · , Wk−1∪Uk−1, Wk, Uk}
merupakan partisi pembeda dariV(G). Misalkanx, y ∈ V(G)sedemikian hingga r(x|Π∗) =r(y|Π∗). Akan ditunjukkan bahwax=y. Pandang dua kasus berikut: Kasus 1. x, y ∈H1 (ataux, y ∈H2).
Tanpa mengurangi keumuman, katakan x, y ∈ H1. Maka, untuk1 ≤ i ≤ k−1,
dG(x, Wi ∪ Ui) = dH1(x, Wi), dG(y, Wi ∪ Ui) = dH1(y, Wi) dG(x, Wk) =
dH1(x, Wk), dG(y, Wk) = dH1(y, Wk), dG(x, Uk) = dH1(x, Wk) + 1, dan
dG(y, Uk) = dH1(y, Wk) + 1. Andaikan x 6= y. Karena Π1 merupakan partisi
pembeda dari V(H1), maka dH1(x, Wi) 6= dH1(y, Wi) untuk sebuah i dengan
1≤i≤k. Oleh karena itu,dG(x, Wi)6=dG(y, Wi), kontradiksi dengan kenyataan
r(x|Π∗) =r(y|Π∗). Dengan demikian,x=y.
Kasus 2. x∈H1dany∈H2 (ataux∈H2dany∈H1).
Tanpa mengurangi keumuman, katakan x ∈ H1 dan y ∈ H2. Dalam kasus ini,
dG(x, Wk) = dG(x, Uk)−1 dandG(y, Wk) = dG(y, Uk) + 1. Jadi, dG(x, Wk) 6=
dG(y, Wk) dan dG(x, Uk) 6= dG(y, Uk), kontradiksi dengan r(x|Π∗) = r(y|Π∗).
Dengan demikian,x=y.
Secara umum, pada Teorema II.19, Yero dkk. (2010) menunjukkan batas atas dari dimensi partisi graf hasil operasi kartesian antara dua graf terhubung G1 dan G2
sebarang, dan menyatakannya dalampd(G1)danpd(G2).
Teorema II.19. (Yero dkk., 2010) Untuk sebarang graf terhubung G1 dan G2,
pd(G1×G2)≤pd(G1) +pd(G2).
Bukti. Misalkan Π1 = {W1, W2,· · · , Wk} dan Π2 = {U1, U2,· · · , Ul}
masing-masing merupakan partisi pembeda dariG1 = (V1, E1)danG2 = (V2, E2). Kami
akan menunjukkan bahwaΠ1 ={W1×U1, W1×U2,· · · , W1×Ul, W2×U1, W3×
U1,· · · , Wk×U1, C}, denganC = (V1×V2)−((V1×U1)∪(W1×V2)), merupakan
partisi pembeda dariG1×G2.
Pandang dua simpul berbeda(a, b),(c, d) ∈V(V1×V2). Jikaa =cmaka terdapat
Ui ∈ Π2 sedemikian hingga dG2(b, Ui) 6= dG2(d, Ui). Oleh karena itu, terdapat
dG1×G2((c, d), W1×Ui).
Sekarang, jikaa6=c, periksa dua kasus berikut: Kasus 1. a ∈Wi danc∈Wj, dengani6=j.
JikadG1×G2((a, b), Wi ×U1) = dG1×G2((c, d), Wi×U1), dandG1×G2((a, b), Wj ×
U1) = dG1×G2((c, d), Wj × U1), maka dG2(b, U1) = dG1×G2((a, b), Wi ×
U1) = dG1×G2((c, d), Wi × U1) = dG1(c, Wi) + dG2(d, U1) = dG1(c, Wi) +
dG1×G2((c, d), Wj×U1) = dG1(c, Wi) +dG1×G2((a, b), Wj ×U1) = dG1(c, Wi) +
dG1(c, Wj) +dG2(b, U1), sebuah kontradiksi.
Kasus 2. a, c∈Wi.
Kasus 2.1. b, d ∈ Ul. Misalkan Wj ∈ Π1 sedemikian hingga dG1(a, Wj) 6=
dG1(c, Wj). Dalam kasus ini, jika dG2(b, U1) = dG2(d, U1) maka terdapat
dG1×G2((a, b), Wj ×U1)= dG1(a, Wj) +dG2(b, U1) 6= dG1(c, Wj) +dG2(d, U1)=
dG1×G2((c, d), Wj ×U1). Sebaliknya, jika dG2(b, U1) 6= dG2(d, U1)maka terdapat
dG1×G2((a, b), Wi×U1)=dG2(b, U1)=6 dG2(d, U1)=dG1×G2((c, d), Wi×U1)
Kasus 2.2. b∈Uj dand∈Ul, j 6=l.
Kasus ini serupa dengan Kasus 1. Oleh karena itu, setiap simpul berbeda (a, b),(c, d)∈V(V1 ×V2), terdapatr((a, b)|Π)6=r((c, d)|Π).
Dari Teorema II.5 dan Teorema II.19 diperoleh akibat berikut ini.
Akibat II.1. Untuk sebarang dua graf terhubung G1 dan G2, pd(G1 ×G2) ≤
pd(G1) +dim(G2) + 1.
Lebih jauh, Yero dkk. (2010) memperbaiki batas yang diberikan oleh Akibat II.1 dan menyatakannya dalam Teorema II.20.
Teorema II.20. (Yero dkk., 2010) Untuk sebarang graf terhubung G dan H, pd(G×H)≤pd(G) +dim(H).
Bukti. MisalkanΠ1 = {W1, W2,· · ·, Wk}merupakan suatu partisi pembeda dari
G1 = (V1, E1) dan S = {u1, u2,· · · , ut} merupakan suatu himpunan pembeda
dari G2 = (V2, E2). Misalkan C = (V1 ×V2)−((V1 × {u1})∪(W1 × {u2})∪ · · · ∪(W1× {ut})). Sekarang, kami menunjukkan bahwaΠ1 ={W1× {u1}, W2× {u1},· · · , Wk× {u1}, W1× {u2}, W1× {u3},· · · , W1× {ut}, C}merupakan suatu
partisi pembeda dariG1×G2.
Pandang dua simpul berbeda (a, b),(c, d) ∈ V(V1 ×V2). Jika a = c maka b 6=
d. Oleh karena itu, terdapat uj ∈ S sedemikian hingga dG2(b, uj) 6= dG2(d, uj).
Selanjutnya,dG1×G2((a, b), W1× {uj})=dG1(a, W1) +dG2(b, uj)6=dG1(c, W1) +
dG2(d, uj)=dG1×G2((c, d), W1× {uj}).
Sekarang, jikaa6=c, maka periksa dua kasus berikut: Kasus 1. a ∈Wi danc∈Wj,i6=j.
Misalkan, dG2(b, u1) ≤ dG2(d, u1). Dalam kasus ini terdapatdG1×G2((a, b), Wi×
{u1})=dG2(b, u1) ≤dG2(d, u1) < dG1(c, Wi) +dG2(d, u1)=dG1×G2((c, d), Wi×
{u1}). Dengan cara yang serupa, jika dG2(b, u1) ≥ dG2(d, u1), maka terdapat
dG1×G2((a, b), Wj× {u1})> dG1×G2((c, d), Wj × {u1}).
Kasus 2. a, c∈Wi.
Misalkan dG2(b, u1) = dG2(d, u1). Karena terdapat j 6= i sedemikian hingga
dG(a, Wj) 6= dG(c, Wj), maka dG1×G2((a, b), Wj × {u1}) = dG1(a, Wj) +
dG2(b, u1)6=dG1(c, Wj)+dG2(d, u1)=dG1×G2((c, d), Wj×{u1}). JikadG2(b, u1)6=
dG2(d, u1), maka terdapatdG1×G2((a, b), Wi × {u1}) = dG2(b, u1) 6= dG2(d, u1)=
dG1×G2((c, d), Wi×{u1}). Oleh karena itu, untuk setiap simpul berbeda(a, b),(c, d)
terdapatr((a, b)|Π)6=r((c, d)|Π).
Dari Teorema II.5 dan Teorema II.20 diperoleh Akibat II.2 berikut ini.
Akibat II.2. Untuk sebarang dua graf terhubung G dan H, pd(G × H) ≤
