Dimensi partisi graf lintasan korona graf bintang

Bab V Dimensi Partisi Graf Hasil Operasi Korona

V.3 Dimensi partisi graf lintasan korona graf bintang

n + 1 , jika m ≤ n + 2, n + 2 , jika m ≥ n + 3.

Dimensi partisi graf lintasan order m Pm dan graf lengkap order n Knadalah 2 dan n berturut-turut (Chartrand, Salehi dan Zhang, 2000). Oleh karena itu, Teorema V.2 dan V.3, untuk m ≥ n + 3, memenuhi batas atas Teorema V.1. Dengan demikian, Teorema V.1 memberi batas atas yang ketat.

V.3 Dimensi partisi graf lintasan korona graf bintang

Misalkan Pmadalah graf lintasan order m dan K1,nadalah graf bintang order n + 1. Pada subbab ini akan dibahas dimensi partisi graf hasil korona G ∼= Pm  K_1,n. Graf hasil korona G ∼= Pm  K_1,n mempunyai m buah kopi graf bintang K1,n. Untuk penyederhanaan, kopi graf bintang ke-i dinotasikan dengan Hi untuk suatu i dalam selang [1, m]. Graf hasil korona G ∼= Pm  K_1,n terdiri atas himpunan simpul V (G) = {x1, x₂, · · · , x_m} ∪ {c_i, a_ij|1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} dan himpunan sisi E(G) = {x_ia_ij, x_ic_i|1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} ∪ {c_ia_ij|1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n + 1} ∪ {x_ix_i+1|1 ≤ i ≤ m − 1}. Pandang subgraf x_i H_i ⊂ P_m K_1,n. Karena jarak d(ci, v) = 1 untuk semua simpul v ∈ V (xi Hi) − {ci} dan jarak d(xi, v) = 1 untuk semua simpul v ∈ V (x_i H_i) − {x_i}, maka x_i dan c_i disebut simpul pusat dari subgraf xi H_i.

Dimensi partisi graf P_m K_1,n, dengan m ≥ 1, n ≥ 3 diberikan oleh Teorema V.4 berikut ini.

Teorema V.4. ♦ Misalkan P_madalah graf lintasan orderm dan K_1,nadalah graf bintang ordern + 1. Untuk m ≥ 1, n ≥ 3, dimensi partisi dari sebuah graf hasil koronaPm K1,nadalah sebagai berikut:

pd(P_m K_1,n) = (

n , jika m ≤ bn

2c, n + 1 , jika m > bⁿ₂c. Bukti. Pandang dua kasus berikut.

Untuk sebarang dua simpul berbeda u, v ∈ V (H_i) − c_i, untuk sebuah i dalam selang [1, m], d(u, w) = d(v, w), dengan w ∈ V (H_i) − {u, v}. Dengan Lema II.1, simpul u dan v harus termuat dalam kelas partisi yang berbeda. Jadi, subgraf H_i ⊂ (P_m K_1,n) mempunyai sedikitnya n buah kelas partisi. Oleh karena itu, pd(G) ≥ n. Selanjutnya, definisikan suatu partisi pembeda Π = {S₁, S₂, · · · , S_k} dari graf G ∼= P_m K_1,nsedemikian hingga: S_k=        {c_k, a_1k, a_2k, · · · , a_mk} , jika 1 ≤ k ≤ m {x_k−m, a_1k, a_2k, · · · , a_mk} , jika m < k ≤ 2m {a_1k, a_2k, · · · , a_mk} , jika 2m < k ≤ n

Kami akan menunjukkan bahwa, untuk sebarang dua simpul berbeda u, v ∈ V (G) sedemikian hingga u, v ∈ Si, mempunyai r(u|Π) 6= r(v|Π). Jika u = aij dan v = c_i (atau v = x_i), untuk suatu j dalam selang [1, n], maka 2 = d(u, S) 6= d(v, S) = 1 dengan S adalah kelas partisi di Π yang tidak memuat baik simpul pusat cl maupun xl. Oleh karena itu, representasi r(u|Π) 6= r(v|Π). Selanjutnya, jika u = a_li dan v = a_mi, untuk 1 ≤ l 6= m ≤ n, maka d(u, S_l) = 1 dan d(u, S_m) = 2 (atau d(v, S_l) = 2 dan d(v, S_m) = 1). Oleh karena itu, r(u|Π) 6= r(v|Π). Dengan demikian, setiap simpul v ∈ V (G) mempunyai representasi yang unik. Jadi, pd(G) ≤ n.

Kasus 2: m > bⁿ₂c.

Misalkan Π = {S1, S₂, · · · , S_n} adalah suatu partisi pembeda dari graf G. Simpul v didefinisikan sebagi simpul dominan jika v ∈ V (G) maka d(v, S) = 1 untuk semua kelas partisi S ∈ Π yang tidak memuat v. Dengan demikian, setiap simpul pusat, yaitu ci dan xi, adalah simpul dominan di graf G. Karena m > bⁿ₂c, maka graf G mempunyai sedikitnya n + 1 simpul dominan. Oleh karena itu, terdapat sedikitnya dua simpul pusat, katakan x dan c, termuat dalam kelas partisi yang sama. Dengan demikian, r(x|Π) 6= r(c|Π), suatu kontradiksi. Jadi, pd(G) ≥ n + 1.

Selanjutnya, definisikan suatu partisi Π = {S1, S₂, · · · , S_k} dari graf G sedemikian hingga:

S_k =            {c₁, c₂, · · · , c_m, a₁₁, a₂₁, · · · , a_m1} , jika k = 1, {x₁, x₂, · · · , x_m−1, a₂₁, a₂₂, · · · , a_m2} , jika k = 2, {a_1k, a_2k, · · · , a_mk} , jika 3 ≤ k ≤ n, {xm} , jika k = n + 1.

Pandang sebarang dua simpul berbeda u, v ∈ V (G) sedemikian hingga u, v ∈ S_i untuk sebuah i. Jika u = aij dan v = ci(atau v = xi), untuk 1 ≤ j ≤ n, maka jarak d(u, S) = 2 dan d(v, S) = 1, dengan S adalah kelas partisi di Π yang tidak memuat simpul clmaupun xl. Oleh karena itu r(u|Π) 6= r(v|Π). Selanjutnya, jika u = ali

dan v = a_mi, dengan 1 ≤ l 6= m ≤ n (karena d(u, S_n+1) 6= d(v, S_n+1)) maka r(u|Π) 6= r(v|Π). Selanjutnya, karena jarak d(c_k, S_n+1) 6= d(c_l, S_n+1), dengan k 6= l, setiap simpul pusat di graf G mempunyai representasi yang berbeda. Dengan demikian bahwa batas atas partisi dimensi G adalah pd(G) ≤ n + 1 untuk m > bn

2c. 

Untuk graf bintang K_1,ndengan n = 2, dimensi partisi P_m  K_1,2 diberikan oleh Teorema V.5.

Teorema V.5. ♦ Misalkan P_madalah graf lintasan orderm dan K_1,2adalah graf bintang order3. Untuk m ≥ 1, dimensi partisi sebuah graf hasil korona P_m K_1,2 adalah

pd(P_m K_1,2) = (

3 , jika 1 ≤ m ≤ 3, 4 , jika m ≥ 4. Bukti. Pandang dua kasus berikut:

Kasus 1: 1 ≤ m ≤ 3.

Chartrand, Salehi dan Zhang (2000) membuktikan bahwa pd(G) = 2 jika dan hanya jika G adalah sebuah graf lintasan Pm. Karena G ∼= Pm K1,2 bukan sebuah graf lintasan, maka batas bawah pd(G) ≥ 3.

Selanjutnya, definisikan suatu partisi Π = {S₁, S₂, S₃} sedemikian hingga:

S_k =        {c₁, c3, x1, x3, a11, a31} , jika k = 1, {c₂, x₂, a₂₁, a₁₂} , jika k = 2, {a₂₂, a₃₂} , jika k = 3.

Dapat ditunjukkan bahwa setiap simpul v ∈ V (G) mempunyai representasi r(v|Π) berbeda. Representasi simpul a11, c₁, x₁ ∈ S₁ masing-masing adalah (0, 2, 3), (0, 1, 3), (0, 1, 2), (0, 2, 2), (0, 2, 1) dan (0, 1, 1). Karena sebarang dua simpul berbeda u, v ∈ S₂mempunyai d(u, S₁) 6= d(v, S₁), maka r(u|Π) 6= r(v|Π). Selan-jutnya, untuk a22, a32 ∈ S3 masing-masing mempunyai representasi (2, 1, 0) dan (1, 2, 0). Oleh karena itu, batas atas pd(G) ≤ 3. Jadi, pd(P_m K_1,2) = 3.

Kasus 2: m ≥ 4.

Sekarang kami akan menunjukkan bahwa jika m ≥ 4 maka pd(P_m  K_1,2) = 4. Untuk kontradiksi, misalkan terdapat suatu partisi pembeda Π dari graf Pm K1,2, yaitu Π = {S₁, S₂, S₃}. Karena simpul a_i1 dan a_i2, untuk i = 1, 2, · · · , m, mempunyai jarak sama ke simpul w ∈ V (Pm K_1,2) − {a_i1, a_i2, }, maka menurut Lema II.1, kedua u dan v harus termuat dalam kelas partisi yang berbeda di Π. Karena hanya terdapat tiga kelas partisi, maka paling banyak terdapat tiga kombinasi-2 kelas partisi untuk pasangan simpul tersebut, yaitu (S1, S2), (S1, S3) dan (S₂, S₃). Oleh karena itu, jika m ≥ 4 maka terdapat paling sedikit dua pasang simpul mempunyai kombinasi-2 yang sama.

Definisikan z_i = b jika tidak ada simpul dari H_i yang termuat dalam S_b. Selan-jutnya, pandang dua kasus berikut ini.

Kasus 2.1:z_i = z_i+1 = 3 untuk 1 ≤ i ≤ m − 1.

tanpa kehilangan keumuman, misalkan z1 = z₂ = 3, yaitu a₁₁, a₂₁ ∈ S₁ dan a₁₂, a₂₂ ∈ S₂. Karena z₃ 6= 3, paling sedikit sebuah simpul v ∈ V (H₃) sedemikian hingga v ∈ S₃. Satu dari {c₁, c₂, x₁, x₂} harus termuat dalam kelas partisi S₃, katakan c1 ∈ S₃. Oleh karena itu, terdapat tiga simpul dominan pada subgraf x₁  H₁. Jika tidak, untuk w ∈ V (H₂) − c₂, d(x₁, S₃) = d(w, S₃). Selanjutnya, r(x₁|Π) = r(w|Π), sebuah kontradiksi. Karena c₁ ∈ S₃, simpul {c₂, x₂} harus termuat dlam kelas partisi yang sama. Jika tidak, jarak d(x2, S3) = d(u, S3) dan r(x₂|Π) = r(u|Π), dengan u ∈ V (H₂) − {c₂}. Misalkan x₁ ∈ S₁ dan x₂, c₂ ∈ S₂. Pandang simpul x3. Jika x3 ∈ S₁ (atau x3 ∈ S₃) maka x1 (atau x2) adalah sebuah simpul dominan, sebuah kontradiksi. Sekarang, misalkan x₃ ∈ S₂. Pandang x₄. Karena z₄ 6= 3, paling sedikit terdapat sebuah simpul v ∈ V (H₄) sedemikian hingga v ∈ S3. Jika x4 ∈ S1 maka x4 adalah simpul dominan. Jika x4 ∈ S2 maka c3 dan x₄ harus dibedakan oleh sebuah w ∈ S₁ dengan w ∈ V (H₄). Akan tetapi, untuk w ∈ V (H₄) sedemikian hingga w ∈ S₁, menjadikan x4 sebagai simpul dominan, sebuah kontradiksi. Dengan penjelasan yang sama, jika x₄ ∈ S₃ maka x₄ adalah simpul dominan, sebuah kontradiksi.

D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D

Gambar V.2: a.Partisi pembeda graf P_m  K_1,2 dengan m = 3 dan b.Partisi pembeda graf Pm K1,2 dengan m = 4

Kasus 2.2:z_i = z_i+2 = 3 untuk 1 ≤ i ≤ m − 2.

tanpa kehilangan keumuman, misalkan z₁ = z₃ = 3, yaitu a₁₁, a₃₁ ∈ S₁ dan a₁₂, a₃₂ ∈ S₂. Karena z2 6= 3, maka sedikitnya satu simpul v ∈ V (H₂) sedemikian hingga v ∈ S₃. Selanjutnya, satu dari {c₁, c₂, x₁, x₂} harus termuat dalam kelas partisi S3, katakan c1 ∈ S₃. Oleh karena itu, terdapat tiga buah simpul dominan pada subgraf x1  H1. Jika tidak, untuk sebuah u ∈ V (H1) dan v ∈ V (H3), d(u, S₃) = d(v, S₃) dan r(u|Π) = r(v|Π), sebuah kontradiksi. Karena c₁ ∈ S₃, maka simpul {c3, x₃} harus termuat dalam kelas partisi yang sama. Jika tidak, d(x₁, S₃) = d(u, S₃) dan r(x₁|Π) = r(u|Π), dengan u ∈ V (H₃). Misalkan x₁ ∈ S₁ dan x₃, c₃ ∈ S₂. Simpul x₂ menjadi sebuah simpul dominan untuk setiap kelas partisi yang memuat x2, sebuah kontradiksi. Oleh karena itu, batas bawah pd(G) ≥ 4.

Selanjutnya, definisikan suatu partisi pembeda Π = {S₁, S₂, S₃, S₄} dari graf G ∼= P_m K_1,2 sedemikian hingga: S_k =            {c_i, a_i1|1 ≤ i ≤ m} , jika k = 1, {a_i2|1 ≤ i ≤ m} , jika k = 2, {x_i|1 ≤ i ≤ m − 1} , jika k = 3, {xm} , jika k = 4.

Sebarang dua simpul berbeda u, v ∈ S₁ dibedakan oleh kelas partisi S₂ dan S₄. sebarang dua simpul berbeda u, v ∈ S2dibedakan oleh kelas partisi S4. Selanjutnya, sebarang dua simpul berbeda u, v ∈ S₃ dibedakan oleh kelas partisi S₄. Karena kelas partisi S₄ adalah singleton, maka dengan sendirinya representasi r(x_m|Π) unik. Dengan demikian, batas atas pd(G) ≤ 4. Jadi, pd(G) = 4.