Dimensi partisi graf bipartit minus matching

Bab IV Dimensi Partisi Graf Multipartit

IV.2 Dimensi partisi graf bipartit minus matching

Sebuah graf bipartit lengkap dengan subhimpunan simpul V₁ dan V₂, dengan |V₁| = m dan |V₂| = n, disimbolkan dengan K_m,n. Dimensi partisi dari graf bipartit telah ditunjukkan oleh (Chartrand, Salehi dan Zhang, 2000) sebagaimana telah ditun-jukkan dalam Teorema II.16 dan II.17. Pada subbab ini akan ditunditun-jukkan dimensi partisi graf bipartit minus sebuah matching.

Sebuah matching dalam graf G adalah subhimpunan M ⊆ E(G) sedemikian hingga tidak ada dua sisi di M mempunyai titik ujung bersama. Perfect matching, disim-bolkan dengan M_p adalah sebuah matching sedemikian hingga setiap simpul v ∈ V (G) merupakan simpul ujung dari sisi-sisi matching. Matching dengan banyak sisi terbesar pada sebuah graf G disebut maximum matching dan disimbolkan dengan M_q. Misalkan V₁ = {a_i|i = 1, 2, · · · , n} dan V₂ = {b_i|i = 1, 2, · · · , n} adalah subhimpunan simpul graf bipartit Kn,n. Sebuah perfect matching dari graf K_n,nadalah himpunan sisi M_psedemikian hingga M = {a_ib_i|i = 1, 2, · · · , n}. Sisi putus-putus Gambar IV.2.a menunjukkan sebuah perfect matching Mp pada graf bipartit K_4,4 dan sisi putus-putus Gambar IV.2.b menunjukkan sebuah maximum matchingM_mpada graf bipartit K_4,6.

Pandang sebuah graf bipartit minus sebuah perfect matching, yaitu G ∼= Kn,n− M . Andaikan terdapat suatu partisi pembeda Π untuk V (G). Untuk setiap simpul v ∈ V (G), notasi [v] dimaksudkan untuk menyatakan bahwa sebuah kelas partisi di Π yang memuat simpul v. Dengan demikian, untuk dua simpul sebarang u, v ∈ V (G), jika [u] = [v] maka simpul u dan v termuat dalam kelas partisi yang sama, katakan u, v ∈ X dimana X ∈ Π.

subhim-punanV₁danV₂. Misalkan simpula_i, a_j ∈ V₁ danb_i, b_j ∈ V₂, dengan1 ≤ i 6= j ≤ n. Jika [a_i] = [a_j], dimana 1 ≤ i 6= j ≤ n, maka [b_i] 6= [b_j].

Bukti. Misalkan [b_i] = [b_j]. Karena simpul b_i dan bj termuat dalam kelas partisi yang sama, katakan bi, bj ∈ X dengan X ∈ Π, maka d(ai, X) = d(aj, X) = 1. Lebih jauh, d(a_i, Y ) = d(a_j, Y ) = 1 untuk semua kelas partisi Y ∈ Π. Dengan

demikian, r(ai|Π) = r(a_j|Π), sebuah kontradiksi. 

Lema IV.3. ♦ Misalkan K_n,n adalah graf bipartit order2n dengan dua subhim-punan V₁ dan V₂. Misalkan simpul a_i, a_j, a_k, a_l ∈ V₁ dan b_i, b_j, b_k, b_l ∈ V₂, dengan 1 ≤ i 6= j 6= k 6= l ≤ n. Jika [a_i] = [a_j] dan [a_k] = [a_l], dengan 1 ≤ i 6= j 6= k 6= l ≤ n, maka simpul b_i, b_j, b_k danb_l harus termuat dalam kelas partisi yang berbeda diΠ.

Bukti. Misalkan terdapat sedikitnya dua simpul b_i, b_j, b_kdan b_ltermuat dalam kelas partisi yang sama. Tanpa kehilangan keumuman, misalkan [bj] = [b_k] = X dengan X ∈ Π. Oleh karena itu, d(b_j, X) = d(b_k, X) = 0. Selanjutnya, karena [a_i] = [a_j], katakan [a_i] = [a_j] = Y dengan Y ∈ Π, maka d(b_j, Y ) = d(b_k, Y ) = 1. Demikian pula halnya dengan d(bj, Z) = d(bk, Z) untuk sebuah kelas partisi Z di Π sedemikian hingga X 6= Y 6= Z. Dengan demikian, r(b_j|Π) = r(b_k|Π), sebuah

kontradiksi. 

Teorema IV.2 berikut ini menunjukkan dimensi partisi sebuah graf bipartit minus sebuah perfect matching.

Teorema IV.2. ♦ Misalkan K_n,n adalah graf bipartit order 2n dengan dua subhimpunanV₁ dan V₂ danM_p adalah sebuah perfect matching di K_n,n. Maka, untukn ≥ 3, pd(K_n,n− M_p) = ( bn 2c + 2 , jika n gasal, bn 2c + 1 , jika n genap.

Bukti. Misalkan terdapat suatu partisi pembeda Π = {S₁, S₂,· · · , S_k} untuk V (K_n,n− M_p) sedemikian hingga:

Untuk n gasal: S_k=        {a₁, a₂, · · · , a_dn 2e} , jika k = 1, {bdn 2e, bdn 2e+1, · · · , bn} , jika k = 2, {adn 2e+k−2, b_k−2} , jika 3 ≤ k ≤ bⁿ₂c + 2. Untuk n genap: S_k =        {a₁, a₂, · · · , an 2, bn 2, bn 2+1, · · · , b_n} , jika k = 1, {a_n} , jika k = 2, {an 2+k−2, bk−2} , jika 3 ≤ k ≤ bⁿ₂c + 1.

Untuk memastikan bahwa Π adalah partisi pembeda, pandang sebarang dua simpul berbeda u, v ∈ V (K_n,n − M_p) sedemikian hingga u, v dalam kelas partisi yang sama. Tinjau dua kasus berikut:

Kasus 1: n gasal

Jika u = ai dan v = aj sedemikian hingga u, v ∈ S1maka u dan v dibedakan oleh [b_i] dan [b_j]. Demikian pula jika u = b_i dan v = b_j sedemikian hingga u, v ∈ S₂ maka u dan v dibedakan oleh [a_i] dan [a_j]. Selanjutnya, jika u = a_i dan v = b_j sedemikian hingga u, v ∈ Sq, dimana 3 ≤ q ≤ bⁿ₂c+2 maka u dan v dibedakan oleh S₁ dan S₂. Oleh karena itu, untuk setiap v ∈ V (K_n,n− M_p), simpul v mempunyai representasi unik.

Kasus 2: n genap

Pandang sebarang dua simpul berbeda u dan v sedemikian hingga u, v ∈ S1. Jika u = a_i dan v = a_j (atau u = b_i dan v = b_j) maka u dan v dibedakan oleh [b_i] dan [b_j] atau [a_i] dan [a_j]. Jika u = a_i dan v = bj maka u dan v dibedakan oleh kelas partisi S2. Kelas partisi S2 adalah kelas partisi singleton, dengan demikian simpul yang termuat dalam S₂mempunyai representasi yang unik. Selanjutnya, jika u = a_i dan v = bj sedemikian hingga u, v ∈ Sq, dimana 3 ≤ q ≤ bⁿ₂c + 1, maka u dan v dibedakan oleh S₂. Oleh karena itu, untuk setiap dua simpul u, v ∈ V (K_n,n− M_p), maka r(u|Π) 6= r(u|Π).

Dengan demikian, pd(K_n,n− M_p) ≤ bⁿ₂c + c, dengan c = 2 jika n gasal dan c = 1 jika n genap.

Selanjutnya, untuk menunjukkan batas bawah dimensi partisi untuk graf K_n,n − M_p, misalkan Π = {S1, S₂, · · · , S_r} suatu partisi pembeda dari V (K_n,n − M_p). Definisikan A₁ = {S ∈ Π : |S ∩ V₁| = 1} dan A₂ = {S ∈ Π : |S ∩ V₁| > 1}. Karena setiap simpul v ∈ V₁harus termuat dalam sebuah kelas partisi, maka simpul v termuat dalam A1 atau A2. Sekarang, pandang tiga kasus berikut:

Kasus 1: |A₁| ≥ bn 2c + 1

Jika n genap maka |Π| ≥ |A₁| = bn

2c + 1 dan oleh karena itu, Kasus 1 terpenuhi. Sekarang, pandang n gasal untuk n ≥ 5. Maka, A₂harus mempunyai paling sedikit satu anggota yang berbeda dengan seluruh anggota A1. Oleh karena itu, ketika digabung dengan seluruh kelas partisi di A₁ diperoleh |Π| ≥ |A₁| + 1 = bn

2c + 2. Jika n = 3 maka |A1| haruslah bernilai tiga. Oleh karena itu, dalam kasus ini juga diperoleh |Π| ≥ bⁿ₂c + 2.

Kasus 2: |A1| = bn 2c

Karena A₂ mempunyai paling sedikit satu anggota, maka untuk kasus dengan n genap diperoleh |Π| ≥ |A1|+|A₂| = bn

2c+1 dan, oleh karena itu, Kasus 2 terpenuhi. Sekarang, misalkan n adalah sebuah bilangan gasal dan [a₁], [a₂], · · · , [abn

2c] anggota dari A₁. Jika A₂ mempunyai dua anggota maka |Π| ≥ bⁿ₂c + 2 dan, oleh karena itu, Kasus 2 terpenuhi. Asumsikan A2 mempunyai satu anggota, dan misalkan T ∈ A₂. Perhatikan bahwa T = [abn

2c+1] = {abn

2c+1, abn

2c+2, · · · , a_n}. Sekarang, kami menunjukkan bahwa himpunan yang membentuk Π bukan hanya T dan himpunan di A₁. Asumsikan Π = A₁ ∪ {T }. Misalkan K₁ = {1, 2, · · · , bⁿ₂c} dan K₂ = {bⁿ₂c + 1, bn

2c + 2, · · · , n}. Berdasarkan Lema IV.2, [b_i] 6= [b_j] untuk sebarang i, j ∈ K2 yang berbeda. Oleh karena itu, terdapat suatu bijeksi f : K₂ → K₁∪ {bn

2c + 1} sedemikian hingga [b_x] = [a_{f (x)}] untuk setiap x ∈ K₂. Hal ini berarti terdapat satu simpul b_j0, untuk suatu j₀ ∈ K₂, yang harus termuat dalam kelas partisi T . Oleh karena itu, r(bj0|Π) = r(aj0|Π), suatau kontradiksi, karena terdapat dua simpul berjarak 1 ke seluruh himpunan kelas partisi yang lain di Π. Dengan demikian, pd(G) ≥ bⁿ₂c + c, dengan c = 2 jika n gasal dan c = 1 jika n genap.

Kasus 3: 1 ≤ |A1| ≤ bn 2c − 1

Banyaknya simpul yang tidak termuat dalam A₁ paling sedikit sebesar bⁿ₂c + c, dengan c = 2 jika n gasal dan c = 1 jika n genap. Simpul-simpul ini membentuk kelas partisi tidak singleton ( di A₂). Oleh karena itu, berdasarkan Lemma IV.3, simpul yang bersesuaian di V₂ haruslah termuat dalam kelas partisi yang berbeda.

Oleh karena itu, |Π| ≥ bⁿ₂c + c, dengan c = 2 jika n gasal dan c = 1 jika n

genap. 

Untuk n = 1 dan n = 2, graf Kn,n − M_p, yaitu graf K1,1 − M_p dan K2,2 − Mp merupakan graf tak terhubung. Dengan demikian, dimensi partisi kedua graf tersebut tidak didefinisikan.

Sekarang, pandang sebuah graf bipartit K_m,n, dengan m > n. Karena setiap sisi pada Km,n mempunyai satu simpul ujung di ai ∈ V₁ dan simpul ujung lainnya di bj ∈ V2 untuk suatu i dan j pada selang tertutup 1 ≤ i ≤ m dan 1 ≤ j ≤ n, maka maksimum matching M_q di K_m,n mempunyai kardinalitas n. Tanpa kehilangan keumuman, misalkan Mq = {a_ib_i|a_i ∈ V₁, b_i ∈ V₂ dan 1 ≤ i ≤ n}.

Akibat IV.2 berikut ini merupakan akibat dari Lema II.1.

Akibat IV.2. ♦ Misalkan Π adalah suatu partisi pembeda untuk V (K_m,n − M_q) dengan kardinalitas subhimpunan simpul|V₁| = m dan |V₂| = n. Jika a_i, a_j ∈ V₁, dengann + 1 ≤ i 6= j ≤ m, maka a_idana_j harus termuat dalam kelas partisi yang berbeda diΠ.

Bukti. Misalkan ai, a_j ∈ V₁ sedemikian hingga n + 1 ≤ i 6= j ≤ m. Karena d(a_i, w) = d(a_j, w) untuk semua simpul w ∈ V (K_m,n) − {a_i, a_j}, maka berdasarkan Lema II.1, simpul ai dan aj harus termuat dalam kelas partisi yang

berbeda di Π. 

Teorema IV.3 berikut ini menunjukkan dimensi partisi graf bipartit Km,n minus sebuah maksimum matching M_q, dengan n + 1 ≤ m.

Teorema IV.3. ♦ Misalkan K_m,n− M_qadalah graf bipartit lengkapK_m,n minus suatu maksimum matchingM_q, dengann + 1 ≤ m. Maka,

pd(K_m,n− M_q) = (

dm

2e + 1 , jikan + 1 ≤ m < 2n + 1, m − n , jika2n + 1 ≤ m.

Bukti. Untuk menunjukkan batas atas, definisikan suatu partisi pembeda Π = {S₁, S₂,· · · , S_k} dari graf K_m,n − M_q sedemikian hingga memenuhi dua kasus berikut:

Kasus 1: n + 1 ≤ m < 2n + 1 Pandang empat subkasus berikut: Subkasus 1.1:n gasal dan m gasal

S_k=        {a₁, a₂, · · · , adm 2e} , jika k = 1, {b_dm 2e, b_dm 2e+1, b_dm 2e+2, · · · , b_n} , jika k = 2, {bdm 2e+k−2, b_k−2} , jika 3 ≤ k ≤ d^m₂e + 1, Subkasus 1.2:n gasal dan m genap

S_k =        {a₁, a₂, · · · , am 2} , jika k = 1, {bm 2 , bm 2+1, bm 2+2, · · · , b_n, a_m} , jika k = 2, {bm 2+k−2, b_k−2} , jika 3 ≤ k ≤ d^m₂e + 1, Subkasus 1.3:n genap dan m gasal.

Sk=        {a₁, a₂, · · · , a_bm 2c} , jika k = 1, {bbm 2c+1, bbm 2c+2, · · · , b_n, a_m} , jika k = 2, {bbm 2c+k−2, b_k−2} , jika 3 ≤ k ≤ d^m₂e + 1, Subkasus 1.4:n genap dan m genap

S_k=        {a₁, a₂, · · · , am 2−1, a_m−1} , jika k = 1, {bm 2, bm 2+1, · · · , b_n, a_m} , jika k = 2, {bm 2+k−2, b_k−2} , jika 3 ≤ k ≤ d^m₂e + 1,

Untuk memastikan Π adalah partisi pembeda dari graf Km,n−M_q, periksa sebarang dua simpul berbeda u, v ∈ V (K_m,n − M_q) sedemikian hingga u, v dalam kelas partisi yang sama. Jika u = a_i dan v = a_j sedemikian hingga u, v ∈ S₁, maka u dan v dibedakan oleh [bi] dan [bj]. Jika u = ai, dengan i ≤ n, dan v = aj, dengan n + 1 ≤ j, maka u dan v dibedakan oleh [b_i], karena d(u, [b_i]) = 2 dan d(v, [b_i]) = 1. Dengan demikian, r(u|Π) 6= r(v|Π). Sekarang, pandang sebarang dua simpul berbeda u, v ∈ S₂. Jika u = b_i dan v = b_j, maka u dan v dibedakan oleh [a_i] dan [a_j]. Untuk m genap, a_m, b_n ∈ S₂ dan jika u = a_mdan v = b_n maka u dan v dibedakan oleh kelas partisi S1, karena d(u, S1) = 2 dan d(v, S1 = 1). Dengan demikian, r(u|Π) 6= r(v|Π). Demikian pula hanya dengan kelas partisi

S_k, dengan 3 ≤ k ≤ ^m₂ + 1. S_k mempunyai anggota dua buah simpul, katakan u dan v, sedemikian hingga u ∈ V1 dan v ∈ V2. Oleh karenanya, u dan v dibedakan oleh kelas partisi S₁, yaitu 2 = d(u, S₁) 6= d(v, S₁) = 1, dan oleh karena itu r(u|Π) 6= r(v|Π). Dengan demikian, k ≤ d^m₂e + 1.

Untuk menunjukkan batas bawah dimensi partisi graf K_m,n− M_q, perhatikan Lema IV.2 dan Lema IV.3. Kedua lema tersebut memastikan bahwa jika simpul ai dan a_j, dengan 1 ≤ i 6= j ≤ n, termuat dalam kelas partisi yang sama, maka simpul b_i dan b_j harus termuat dalam kelas yang berbeda. Lebih dari itu, paling banyak hanya satu, [bi] saja atau [bj] saja, yang mempunyai anggota simpul lain, katakan b_k, sedmikian hingga b_k ∈ V₂. Selanjutnya, perhatikan pula Akibat IV.2. Akibat tersebut memastikan setiap simpul al ∈ V₁, dengan n + 1 ≤ l ≤ m harus termuat dalam kelas partisi yang berbeda.

Misalkan Π adalah partisi pembeda dari graf Km,n− Mq dan S ∈ Π. berdasarkan Lema IV.2 dan Lema IV.3, jika kelas partisi a_i ∈ S, untuk 1 ≤ i ≤ dm

2e, maka terdapat d^m₂e kelas partisi di V₂. Untuk nilai m yang semakin besar, jumlah kelas partisi di V₂, yaitu d^m₂e, juga semakin besar sampai maksimum dm

2e = n.

Definisikan B1 = {S ∈ Π : |S ∩ V2| = 1} dan B2 = {S ∈ Π : |S ∩ V2| > 1}. Karena setiap simpul b ∈ V₂harus termuat dalam sebuah kelas partisi, maka simpul b termuat dalam B₁ atau B2. Sekarang, pandang tiga kasus berikut:

Kasus 1.1:|B₁| > dm 2e Jika |B₁| ≥ dm

2e maka B₂ harus mempunyai paling sedikit satu anggota yang berbeda dengan seluruh anggota B1. Oleh karena itu, ketika digabung dengan seluruh kelas partisi di B₁diperoleh |Π| ≥ |B₁| + 1 = dm

2e + 1. Kasus 1.2:|B₁| = dm

2e

Karena B₂ mempunyai paling sedikit satu anggota, maka diperoleh |Π| ≥ |B₁| + |B₂| = dm

2e + 1. Dengan demikian, Kasus 2 terpenuhi. Kasus 1.3:1 ≤ |B₁| < dm

2e

Banyaknya simpul yang tidak termuat dalam B₁ paling sedikit sebesar d^m₂e. Simpul-simpul ini membentuk kelas partisi tidak singleton ( di B₂). Oleh karena itu, berdasarkan Lemma IV.3, simpul yang bersesuaian di V1 haruslah termuat dalam kelas partisi yang berbeda. Oleh karena itu, |Π| ≥ d^m₂e + 1.

Kasus 2: 2n + 1 ≤ m

Untuk menunjukkan batas atas, definisikan suatu partisi pembeda Π = {S1, S₂, · · · , S_k} untuk V (K_m,n− M_q) sedemikian hingga,

S_k =        {a₁, a₂, · · · , a_n, a_n+1} , jika k = 1, {an+k, bk−1} , jika 2 ≤ k ≤ n + 1, {a_n+k} , jika n + 2 ≤ k ≤ m − n,

Pandang sebarang dua simpul berbeda u, v ∈ V (K_m,n − M_q) sedemikian hingga simpul u dan v termuat dalam kelas partisi yang sama. Misalkan simpul u, v ∈ S₁. Jika u = ai dan v = aj, dengan 1 ≤ i 6= j ≤ n, maka u dan v dibedakan oleh [b_i] atau [b_j], karena d(u, [b_i]) = 2 dan d(v, [b_i]) = 1 (atau d(u, [b_j]) = 1 dan d(v, [b_j]) = 2). Jika u = a_i, untuk suatu i dalam selang 1 ≤ i ≤ n, dan v = an+1, maka u dan v dibedakan oleh [b_i], karena d(u, [b_i]) = 2 dan d(v, [b_i]) = 1. Dengan demikian, r(u|Π) 6= r(v|Π). Selanjutnya, pandang sebarang dua simpul berbeda u, v ∈ S_k, dengan 2 ≤ k ≤ n + 1. Jika u = ai dan v = bj, dengan n + 2 ≤ i ≤ 2n + 1 dan 1 ≤ j ≤ n, maka u dan v dibedakan oleh S₁, yaitu d(u, S₁) = 2 dan d(v, S₁) = 1. Dengan demikian, r(u|Π) 6= r(v|Π). Lebih jauh, kelas partisi S_k, dengan n + 2 ≤ k ≤ m − n, adalah kelas partisi singleton, oleh karena itu setiap simpul di dalamnya mempunyai representasi unik. Dengan demikian, k ≤ m − n. Pandang simpul a_i ∈ V₁ pada graf K_m,n− M_q, dengan n + 1 ≤ i ≤ m. Misalkan terdapat suatu partisi pembeda Π untuk graf Km,n − M_q. Akibat IV.2 memastikan bahwa setiap simpul ai, dengan n + 1 ≤ i ≤ m, termuat dalam kelas partisi yang

berbeda. Oleh karena itu, |Π| ≥ m − n.