Bab V Dimensi Partisi Graf Hasil Operasi Korona
V.4 Dimensi partisi graf lengkap korona graf lengkap
Misalkan Km dan Knadalah graf lengkap order m dan n berturut-turut. Teorema V.6 berikut ini menunjukkan dimensi partisi graf hasil operasi korona graf lengkap Km dengan graf lengkap Kn. Graf G ∼= Km Kn terdiri atas himpunan simpul V (G) = {xi|1 ≤ i ≤ m} ∪ {aij|1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} dan himpunan sisi E(G) = {xixj|1 ≤ i < j ≤ m} ∪ {xiaij|1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} ∪ {aikail|1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ k < l ≤ n}. Subgraf Hi ⊂ (Km Kn) didefinisikan sebagai kopi graf Knyang terkait dengan sebuah simpul xi ∈ V (Km). Himpunan simpul subgraf Hi adalah V (Hi) = {ai1, ai2, · · · , ain}.
Teorema V.6. ♦ Misalkan Km dan Kn adalah graf lengkap order m dan n berturut-turut. MisalkanG ∼= Km Kn, denganm ≥ 2 dan n ≥ 3. Maka,
a. pd(G) = n + 1 jika dan hanya jika 2 ≤ m ≤ n+1n , b. pd(G) = n + 2 jika dan hanya jika n+1n + 1 ≤ m ≤ n+2
n + 1, c. pd(G) ≤ n + k, jika n+k−1n + 1 ≤ m ≤ n+k
n , dan k ≥ 3.
Bukti. Kami akan membagi pembuktian teorema ini ke dalam tiga kasus berikut. Kasus 1: 2 ≤ m ≤ n+1n .
Pandang simpul dari Hi di graf G, untuk sebuah i. Berdasarkan Lemma II.1, sebarang dua simpul berbeda dari Hiharus termuat dalam kelas partisi yang berbeda di Π untuk graf G. Oleh karena itu, diperlukan sedikitnya n buah kelas partisi di Π untuk simpul-simpul di Hisaja. Tetapi, karena m ≥ 2 maka |Π| ≥ n + 1. Sekarang, jika m ≤ n+1n , definisikan sebuah partisi Π = {S1, S2, · · · , Sn+1} untuk V (G) sedemikian hingga:
a. Semua simpul xi, untuk i = 1, 2, · · · , m termuat dalam kelas partisi S1,
b. Untuk setiap i, distribusikan secara merata n buah simpul di Hi ke n buah kelas partisi yang berbeda selain Si.
Kemudian, berdasarkan definisi ini, hasil pemeriksaan memastikan bahwa Π adalah sebuah partisi pembeda untuk V (G). Sekarang, untuk kontradiksi, misalkan m ≥
n+1
n + 1 dan |Π| = n + 1. Maka, terdapat dua Hidan Hjyang berbeda sedemikian hingga masing-masing simpulnya didistribusikan ke kombinasi yang sama dari n buah kelas partisi di Π. Misalkan ci = cj = b jika tidak ada simpul di Hi(Hj) termuat dalam kelas partisi Sb. Maka, simpul xi dan xj harus termuat dalam kelas partisi yang berbeda dan salah satu dari simpul {xi, xj} termuat dalam kelas partisi
H1 C1={1,2} 3 4 5 1 H2 C2={1,2} 3 4 5 2 H3 C3={1,3} 2 4 5 2 H4 C4={1,4} 2 3 5 2 H5 C5={1,5} 2 3 4 2 H6 C6={2,3} 1 4 5 1 H7 C7={2,4} 3 1 5 1 H8 C8={2,5} 3 1 4 1 H9 C9={3,4} 2 1 5 2 H10 C10={3,5} 2 1 4 2 H11 C11={4,5} 2 1 3 2 K11
Gambar V.3: Partisi pembeda graf K11 K3
Sb, katakan simpul xi. Akan tetapi, sekarang representasi r(xj|Π) = r(w|Π) untuk sebuah simpul w ∈ V (Hi). Kontradiksi. Oleh karena itu, pernyataan pertama dan batas bawah pernyataan kedua telah terbukti.
Kasus 2: n+1n + 1 ≤ m ≤ n+2 n + 1.
Misalkan T = {seluruh kombinasi-n dari n + 2 buah bilangan yang berbeda}. Misalkan Π = {S1, S2, · · · , Sn+2}. Karena seluruh simpul dari setiap Hi harus termuat dalam n buah kelas partisi yang berbeda, maka setiap Hi dapat diasosi-asikan dengan sebuah kombinasi-n di himpunan T . Sekarang, definisikan ci = {a, b} jika Sadan Sbdua-duanya tidak memuat sebuah simpul di Hi. Untuk menun-jukkan bahwa pd(G) = n + 2, definisikan partisi pembeda Π sedemikian hingga a. Tandai simpul-simpul Hi, untuk i = 1, 2, · · · , m dengan kombinasi-n anggota
dari T sedemikian hingga c1 = {1, 2}, c2 = {1, 2} , c3 = {1, 3}, c4 = {1, 4}, · · · , cm−1, cmberada di sebuah urutan lexico-graphical,
b. x1 ∈ S1, x2 ∈ S2, dan
c. Untuk i = 3, 4, · · · , m, letakkan simpul xidalam kelas partisi S1jika 2 ∈ ci; Jika tidak, letakkan simpul xi dalam kelas partisi S2. Pandang Gambar V.3.
Dengan pemeriksaan, kami mendapatkan bahwa Π sebuah partisi pembeda dari V (G). Ambil sebarang dua simpul berbeda u, v yang termuat dalam kelas partisi yang sama di Π. Jika simpul u ∈ Hi dan simpul v ∈ Hj, dengan i < j, maka jarak d(u, Sb) 6= d(v, Sb) dengan b ∈ ci − cj dan b 6= 1, 2 (diperoleh ci − cj 6= ∅; jika tidak, b = 1). Oleh karena itu, representasi r(u|Π) 6= r(v|Π). Jika simpul u ∈ Hi dan simpul v = xj untuk sebuah i dan j, maka simpul {u, v} ⊂ S1 atau simpul {u, v} ⊂ S2. Pada kedua kasus tersebut, kami mendapatkan d(u, Sb) 6= d(v, Sb)
dengan b ∈ ci− cj dan b 6= 1, 2 (diberikan i 6= j; jika tidak, ambil sebarang b ∈ ci). Oleh karena itu, sekali lagi, representasi r(u|Π) 6= r(v|Π). Sekarang, misalkan simpul u ∈ xi dan simpul v ∈ xj untuk i < j. Dengan menggunakan alasan yang sama kami dapat menunjukkan bahwa r(u|Π) 6= r(v|Π). Oleh karena itu, Π adalah sebuah partisi pembeda untuk V (G) untuk n+1n + 1 ≤ m ≤ n+2
n + 1.
Selanjutnya, kami menunjukkan bahwa jika pd(Km Kn) = n+2 maka n+1n +1 ≤ m ≤ n+2n + 1. Untuk kontradiksi, asumsikan pd(Km Kn) = n + 2 untuk m = n+2n + 2 . Misalkan Π sebuah partisi pembeda dari Km Kn. Karena m = n+2n + 2, maka terdapat i, j, l dan i < j < l sedemikian hingga ci = cj = cl = {a, b} atau terdapat i, j, l, s dan i < j < l < s sedemikian hingga ci = cj = {a, b} dan cl = cs= {s, t}.
Untuk kasus pertama, tanpa kehilangan keumuman, asumsikan ci = cj = cl = {1, 2}. Untuk membedakan seluruh simpul di Hi, Hj, dan Hl, simpul xi, xj, xl
harus termuat dalam partisi yang berbeda di Π dan dua di antara mereka harus termuat dalam kelas partisi S1 dan S2, misalkan simpul xi ∈ S1, simpul xj ∈ S2, simpul xl ∈ S3. Maka, tiga simpul xi, xj, xltersebut adalah simpul dominan, yaitu simpul dengan ordinat representasinya adalah 1. Sekarang, pandang simpul simpul xr1 bertetangga dengan Hr1 dengan cr1 = {1, 3}. Akibatnya, xr1 menjadi simpul dominan juga. Oleh karena itu, simpul xr1 6∈ S1 ∪ S2 ∪ S3. Asumsikan xr1 ∈ S4. Sekarang, pandang simpul xr2 bertetangga dengan Hr2 dengan cr2 = {1, 4}. Dengan cara yang serupa, Asumsikan simpul xr2 ∈ S5. Jika proses ini dilakukan untuk seluruh simpul xhdi Kmmaka dapat diketahui bahwa semua simpul tersebut adalah dominan. Oleh karena terdapat lebih dari n + 2 buah simpul dominan, maka terjadi sebuah kontradiksi. Dengan demikian, kasus pertama tidak mungkin. Untuk kasus kedua, tanpa kehilangan keumuman, asumsikan, (ci = cj = {1, 2} dan cl = cs = {1, 3}) atau (ci = cj = {1, 2} dan cl = cs = {3, 4}). Pertama, misalkan ci = cj = {1, 2} dan cl = cs = {1, 3}. Untuk membedakan seluruh simpul di Hi, Hj dan Hl, Hs, salah satu dari simpul {xi, xj} harus termuat dalam kelas partisi S1atau S2, dan salah satu dari simpul {xl, xs} harus termuat dalam kelas partisi S1 atau S3. Berdasarkan sifat simetri, dapat diasumsikan bahwa simpul x1, xl ∈ S1. Sekarang, pandang simpul xj dan xs. Jika simpul xj ∈ S2 maka xi dan xj simpul dominan. Simpul xstidak dapat termuat dalam kelas partisi S3, karena jika tidak, xl menjadi simpul dominan (terlalu banyak dominan di S1, yaitu lebih dari satu simpul
dalam kelas partisi S1 menjadi simpul dominan). Jadi, simpul xs termuat dalam kelas partisi S2 atau St untuk t ≥ 4. Jika simpul xs ∈ S2, maka pandang simpul xr1 bertetangga dengan Hr1 dengan cr1 = {2, 3}. Untuk meyakinkan, simpul xr1 tidak dapat termuat dalam kelas partisi S1 ∪ S2, karena jika tidak, representasinya akan sama dengan salah satu dari xlatau xs. Tetapi, simpul xr1 tidak dapat termuat dalam kelas partisi S3 untuk menghindari xl dan xi menjadi simpul dominan dari kelas partisi yang sama. Oleh karena itu, simpul xr1 harus termuat dalam St, t ≥ 4, misalkan simpul xr1 ∈ S4. Sekarang, pandang simpul xr2 bertetangga dengan Hr2 dengan cr2 = {2, 4}. Maka, simpul xr2 harus berupa simpul dominan karena xr2 bertetangga dengan simpul xj dan xr1. Sehingga, tanpa kehilangan keumuman, cr2 ∈ S4 atau S5.
Kami melakukan proses ini untuk seluruh xhdi Kmdan mendapatkan bahwa semua simpul ini menjadi dominan. Oleh karena itu, terdapat lebih dari n + 2 buah simpul dominan, maka terjadi sebuah kontradiksi. Berikutnya, pandang simpul xj ∈ S2
dan xs ∈ S4. Pada kasus ini, xi, xj menjadi simpul dominan. Sekarang, pandang simpul xr1 bertetangga dengan Hr1 dengan cr1 = {1, 4}. Simpul xr1 juga dominan, karena bertetangga dengan simpul xidan xs. Oleh karena itu, simpul xr1 juga harus termuat dalam kelas partisi St, dengan t ≥ 4. Misalkan, simpul xr1 ∈ S4. Jika proses ini dilakukan pada semua simpul xh di Km, maka dapat diketahui bahwa semua simpul tersebut adalah dominan. Oleh karena terdapat lebih dari n + 2 buah simpul dominan, maka terjadi sebuah kontradiksi.
Selanjutnya, pandang simpul xi, xl ∈ S1 dan xj ∈ S3. Pada kasus ini, xl menjadi simpul dominan. Untuk memastikan, simpul xstidak dapat termuat dalam kelas partisi S2 (karena xi dan xl dua-duanya menjadi simpul dominan) atau S3 (berdasarkan alasan simetri di atas). Oleh karena itu, simpul xs harus termuat dalam St, dengan t ≥ 4. Misalkan, tanpa kehilangan keumuman, simpul xs ∈ S4. Sekarang, pandang simpul xr1 bertetangga dengan Hr1 dengan cr1 = {1, 4}. Sehingga, xr1 haruslah simpul dominan. Oleh karena itu, simpul xr1 harus termuat dalam kelas partisi St, dengan t ≥ 3, misalkan simpul xr1 ∈ S3. Tetapi,hal tersebut mengakibatkan simpul xs juga menjadi simpul dominan. Sekarang, misalkan simpul xr2 bertetangga dengan Hr2dengan cr2 = {3, 4}. Maka, xr2 haruslah simpul dominan karena xr2bertetangga dengan simpul xsdan xr1. Dengan demikian, tanpa kehilangan keumuman, cr2 ∈ S5. Kami lakukan proses ini untuk seluruh xh di Km
dan mendapatkan seluruh simpul ini menjadi simpul dominan. Oleh karena itu, kami mempunyai lebih dari n + 2 buah simpul dominan dan menyebabkan sebuah
kontradiksi.
Kedua, pandang ci = cj = {1, 2} dan cl = cs = {3, 4}. Untuk membe-dakan seluruh simpul di Hi, Hj dan Hl, Hs, maka simpul xi dan xj harus termuat dalam kelas partisi yang berbeda dan salah satu dari simpul {xi, xj} termuat dalam kelas partisi S1 atau S2, dan salah satu dari simpul {xl, xs} harus termuat dalam kelas partisi S3 atau S4 dan mereka termuat dalam kelas partisi yang berbeda. Berdasarkan sifat simetri, kami dapat mengasumsikan bahwa simpul xi ∈ S1 dan xl ∈ S3. Sekarang, pandang simpul xj dan xs. Jika salah satu dari simpul xj 6∈ S3 atau xs 6∈ S1 terpenuhi maka kami mempunyai tiga buah kelas partisi yang memuat simpul xi, xj, xl, xs. Dengan cara yang sama, dua kombinasi sebarang akan memberikan simpul dominan yang lain, yaitu xr1. Kami melakukan proses ini pada semua xhdi Kmdan mendapatkan bahwa semua simpul ini adalah simpul dominan. Oleh karena itu, kami mempunyai lebih dari n + 2 buah simpul dominan, sebuah kontradiksi.
Sekarang, kasus yang tersisa adalah simpul xi ∈ S1, simpul xl ∈ S3, simpul xj ∈ S3 dan simpul xs ∈ S1. Pandang simpul xr1 bertetangga Hr1 dengan cr1 = {1, 3}. Karena simpul xr1 juga bertetangga dengan simpul xi dan xl maka xr1 haruslah simpul dominan. Jika simpul xr1 6∈ S1 ∪ S3 maka kami mempunyai tiga buah kelas partisi yang memuat simpul xi, xj, xl, xs dan xr1. Oleh karena itu, dengan menggunakan metode yang sama di atas, kami mempunyai terlalu banyak simpul dominan dan menyebabka sebuah kontradiksi. Dengan, xr1 ∈ S1. Tetapi, sekarang pandang simpul xr2 bertetangga dengan Hr2 dengan cr2 = {2, 3}. Simpul ini tidak dapat termuat dalam kelas partisi S1 ∪ S2 ∪ S3. Oleh karena itu, simpul xr2 ∈ St, dengan t ≥ 4. Sehingga, kami mempunyai tiga kelas partisi yang memuat simpul-simpul ini. Hal ini mengakibatkan akan terdapat terlalu banyak simpul-simpul dominan dan menyebabkn suatu kontradiksi. Hal ini melengkapi bukti dari pernyataan kedua. Kasus 3: n+k−1n + 1 ≤ m ≤ n+k
n , dan k ≥ 3.
Misalkan T = {semua kombinasi-n dari n + k buah bilangan yang berbeda}. Misalkan Π = {S1, S2, · · · , Sn+k}. Karena seluruh simpul di setiap Hi harus termuat dalam n buah kelas partisi yang berbeda maka setiap Hi dapat diasosiasi dengan kombinasi-n anggota himpunan T . Selanjutnya, definisikan Π sedemikian hingga
a. Tandai simpul-simpul Hi, untuk i = 1, 2, · · · , m dengan kombinasi-n anggota dari T sedemikian hingga tidak ada dua dari Hi, Hj yang telah mempunyai
kombinasi-n anggota yang sama dari T ,
b. Letakkan seluruh simpul xike dalam kelas partisi S1.
Dapat dilihat bahwa Π adalah sebuah partisi pembeda untuk V (G). Oleh karena itu,
pada kasus ini, pd(G) ≤ n + k.