BAB 11 TRANSFORMASI LINIER
11.1 TRANSFORMASI LINIER
DEFINISI
Pandang 2 buah himpunan A dan B. Kemudian dengan suatu aturan/cara tertentu f, kitta mengaitkan atau menggandengkan atau mengkawankan setiap x є A dengan satu dan hanya satu y є B. Dikatakan : terdapat suatu fungsi f : A →
B.
Contoh 1 :
Misalkan A = {x1, x2, x3}
B = {y1, y2}
A B
X1 Y1
X2
X3 Y2
X1 f Y2
X2 f Y2
X3 f Y1
Contoh 2 :
Misalkan A = {x1, x2, x3}
B = {y1, y2}
A B
X1 Y1
X2
X3 Y2
Terlihat bahwa tidak semua x є A mempunyai pasangan, di sini X2 tidak
Contoh 3 :
Misalkan A = {x1, x2, x3}
B = {y1, y2}
A B
X1 Y1
X2
X3 Y2
Terlihat bahwa terdapat x є A di sini X1 mempunyai lebih dari satu pasangan, Y1 dan
Y2 є B. Jadi juga bukan fungsi.
Catatan 1 :
Apabila himpunan A dan B di atas merupakan himpunan bilangan riil R1 (atau
kompleks C1) atau himpunan bagiannya, cara/aturan pengaitan umumnya
dapat dirumuskan dalam suatu hubungan matematis.
Catatan 2 :
Fungsi f : R1 → R1 dimana setiap x є R1 dikaitkan dengan kuadratnya є R1
Catatan 3 :
Himpunan A di atas disebut DOMAIN Dan himpunan B di atas disebut CODOMAIN dari fungsi f tersebut.
Yang menjadi pokok pembicaraan di dalam bab ini adalah fungsi-fungsi dimana DOMAIN Dan CODOMAIN nya merupakan RUANG VEKTOR, pada khususnya adalah Rn, ruang vektor yang anggota-anggotanya n-tupel berurutan bilangan riil (tetapi
sedikit-sedikit disinggung pula Cn atau ruang vektor lain. Untuk ini, kita memilih
menggunakan perkataan lain yaitu TRANSFORMASI atau MAPPING atau PEMETAAN sebagai penganti perkataan fungsi .
Contoh 4 :
Diketahui suatu transformasi T : R3 → R3 dengan rumus transformasi T[x
1, x2, x3] =
[2x1 – x2, x2+x3, x32], untuk setiap x = [x1, x2, x3] є R3. Vektor [2,1,-1] akan
ditransfomasikan oleh T menjadi : T[2,1,-1] = [2.2-1, 1-1, (-1)2] = [3,0,1]
Kita katakan : vektor [3,0,1] adalah peta dari vektor [2,1,-1], sebaliknya : vektor [2,1,-1] adalah prapeta dari vektor [3,0,1].
Contoh lain : T[1,2,3] = [0,5,9]
11.2 TRANSFORMASI VEKTOR LINIER
DEFINISI
T : V → W suatu transformasi dari ruang vektor V ke ruang vektor W. Tranformasi T disebut transformasi vektor linier bila terpenuhi :
1) Untuk setiap v1, v2 є V T(v1)+ T(v2) = T(v1+v2), Dan
2) Untuk setiap v є V dan λ skalar berlaku λT(v) = T(λv)
Contoh :
Diketahui T : R3→ R3 dimana :
T’[x1,x2,x3] = [2x1+x2, x2, x3+1] untuk setiap [x1,x2,x3] є R3.
T adalah transformasi vektor yang tidak linier karena syarat 1), misalnya tak terpenuhi. Ambil v1 = [1,0,0], v2 = [1,0,1] maka T(v1) + T(v2) = [2,0,1] + [2,0,2]
= [4,0,3], sedang T(v1+v2) =T[2,0,1]=[4,0,2].
11.2.1 MATRIKS DAN TRANSFORMASI VEKTOR LINIER
Pandang T : Rn→ Rm suatu transformasi vektor linier.
{ei}, i = 1,2, …, n, basis natural dari Rn
{εi}, i = 1,2, …, m, basis natural dari Rm
T(e1) , T(e2) , …, T(en) adalah vektor-vektor di Rm sehingga merupakan kombinasi
linier dari {εi}
Misalnya : T(e1) = a11 ε1 + a21 ε2 + … + am1 εm
T(e2) = a12 ε1 + a22 ε2 + … + am2 εm
(*)
T(en) = a1n ε1 + a2n ε2 + … + amn εm DEFINISI
Transpose dari matriks koefisien di atas :
[T]e berukuran (mxn)
Disebut MATRIKS REPRESENTASI dari transformasi linier T, singkatnya matriks transformasi dari T, relatif terhadap basis-basis natural {ei} dan {εi}.
a11 a12 ….
a1n
a21 a22 ….
a2n
Contoh :
T : R3 → R3 ssuatu transformasi linier dimana T[x
1, x2, x3] = [x1, 2x2, x1+x3].
Mencari matriks transformasi tak lain daripada mencari peta dari vektor-vektor basis. (Bila tak disebutkan apa-apa selalu dimaksudkan relatif terhadap basis natural).
Catatan :
Suatu sifat transformasi linier yang penting adalah bahwa suatu transformasi linier ditentukan (tertentu) secara natural tunggal oleh peta dari vektor-vektor basis. Jadi jika peta dari vektor-vektor basis diketahui maka peta dari sebarang vektor yang lain dapat ditentukan.
11.2.2 RUANG PETA DAN RUANG NOL
T : Rn → Rm suatu transformasi linier, belum tentu semua vektor di Rm
menjadi peta dari vektor di Rn.
Contoh :
T : R2→ R3 dimana T[x
1,x2] = [x2,0,x1].
Maka vektor [1,1,1] є R3 bukan peta dari vektor manapun di R2. Kalau terjadi
demikian, kita katakan transformasi tersebut tidak onto.
DEFINISI
T : Rn → Rm suatu transformasi linier, maka Im(T) = {w | w = T(v), v є Rn},
suatu himpunan bagian dari Rm, disebut RUANG PETA (IMAGE) dari
transformasi linier T.
Ternyata bahwa Im(T) adalah suatu ruang vektor bagian dari Rm.
Catatan 1 :
Contoh :
T : R2 → R2 dimana T[x
1, x2] = [x1+2x2, 2x1+4x2], terlihat bahwa :
T[0, 0] = [0, 0]
T[2,-1] = [0, 0]
T[-8, 4] = [0, 0]
dan lain-lain vektor lagi yang mempunyai peta [0, 0]. Jadi T tidak one-one.
DEFINISI KERNEL
T : Rn → Rm suatu transformasi linier, maka Ker(T) = {v | v є Rn, T(v) = 0},
suatu himpunan bagian dari Rn, disebut RUANG NOL (KERNEL) dari
transformasi linier T.
Ternyata bahwa Ker(T) adalah suatu ruang vektor bagian dari Rn.
Catatan 1 :
Dibedakan antara ruang nol dengan ruang berdimensi nol (yaitu ruang vektor yang anggotanya hanya vektor nol). Anggota ruang nol, selain 0 mungkin juga vektor ≠ 0.
Catatan 2 :
Kalau T : Rn → Rn mempunyai matriks transformasi A (matriks bujur
Catatan 3 :
Kalau A adalah matriks transformasi dari T, maka dimensi IM(T) = rank(A). Hal ini jelas karena kolom-kolom dari A adalah T(e1), T(e2), . . .,
T(en) yang membentuk ruang kolom dari A. Dengan perkataan lain Im(T) = L
{T(e1), T(e2), . . . , T(en)}, berarti dimensi Im(T) = dimensi L{T(e1),
T(e2), . . ., T(en)} = rank(A).
Catatan 4 :
Dimensi Ker(T) = n – rank(A).
Mudah dilihat bahwa bila v є Ker(T) maka T(v) = Av = 0.
Susunan persamaan linier homogen Av=0 mempunyai ruang jawab yang berdimensi n – rank(A). Dengan perkataan lain : mencari Ker(T) tak lain daripada mencari jawab susunan persamaan linier homogeny Av = 0.
Contoh :
Diketahui T : R3→ R3 dimana :
T[x,y,z] = [x+2y+z, 2x+3z, 3x+2y+4z]
Jawab :
Pertama kita tentukan dulu matriks transformasi A :
T[1,0,0] = [1, 2, 3]
T[0,1,0] = [2, 0, 2]
T[0,0,1] = [1, 3, 4]
A = [T]e e =
Rank matriks A (secara kolom) :
K21(-2) K23(4)
K31(-1)
Rank(A)= 2. Jadi dimensi Im(T) = 2 dan basisnya dapat diambil {[1,2,3], [0,1,1]}.
Untuk mencari Ker(T) :
Misalkan v = [v1, v2, v3] є Ker(T), maka Av = 0 atau :
= , dimensi Ker(T) = n – rank(A) = 3 – 2 = 1
Kita menghitung jawab susunan persamaan linier homogen di atas :
cukup diambil 2 persamaan yang bebas :
v1 + 2v2 + v3 = 0
2v1 + 0v2 + 3v3 = 0
Ambil 1 parameter, misalnya v2 = λ, maka v1 = -6λ, v3 = 4λ.
Jadi v = λ[-6,1,4] ; Ker(T) mempunyai basis (-6, 1, 4)
Atau Ker(T) = L {[-6, 1, 4]}. 1 2
1
2 0 3
V1
V2
V3
0
0
11.2.3 PRODUK TRANSFORMASI
Pandang 2 buah transformasi linier :
T : Vn→ Wr
S : Wr→ Um
dengan matriks transformasi berturut-turut A Dan B.
(dimensi Vn = n, dimensi Wr = r, dimensi Um = m)
Setiap vektor v є Vn oleh transformasi T dipetakan menjadi w = Av, kemudian
hasilnya w є Wr oleh transformasi S dipetakan menjadi u = Bw = B(Av) = (BA)v.
v є Vn → w є Wr → u є Um
ST
v → u dapat dipandang sebagai suatu transformasi baru ST, dengan matriks transformasi BA.
ST disebut produk transformasi dari S dan T.
Contoh :
T : R3→ R3 dengan T[x
1,x2, x3] = [2x2+x3, 3x1+x2+x3, x2] dan
S : R3→ R3 dengan S[x
1, x2, x3] = [2x1+x2+x3, x1+x3, 2x1+x2+2x3]
Maka produk transformasi ST mempunyai rumus :