• Tidak ada hasil yang ditemukan

BAB 11 TRANSFORMASI LINIER - Matriks – BAB 11 Transformasi Linier 1

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2018

Membagikan "BAB 11 TRANSFORMASI LINIER - Matriks – BAB 11 Transformasi Linier 1"

Copied!
16
0
0

Teks penuh

(1)

BAB 11 TRANSFORMASI LINIER

11.1 TRANSFORMASI LINIER

DEFINISI

Pandang 2 buah himpunan A dan B. Kemudian dengan suatu aturan/cara tertentu f, kitta mengaitkan atau menggandengkan atau mengkawankan setiap x є A dengan satu dan hanya satu y є B. Dikatakan : terdapat suatu fungsi f : A →

B.

Contoh 1 :

Misalkan A = {x1, x2, x3}

B = {y1, y2}

A B

X1 Y1

X2

X3 Y2

X1 f Y2

X2 f Y2

X3 f Y1

(2)

Contoh 2 :

Misalkan A = {x1, x2, x3}

B = {y1, y2}

A B

X1 Y1

X2

X3 Y2

Terlihat bahwa tidak semua x є A mempunyai pasangan, di sini X2 tidak

(3)

Contoh 3 :

Misalkan A = {x1, x2, x3}

B = {y1, y2}

A B

X1 Y1

X2

X3 Y2

Terlihat bahwa terdapat x є A di sini X1 mempunyai lebih dari satu pasangan, Y1 dan

Y2 є B. Jadi juga bukan fungsi.

Catatan 1 :

Apabila himpunan A dan B di atas merupakan himpunan bilangan riil R1 (atau

kompleks C1) atau himpunan bagiannya, cara/aturan pengaitan umumnya

dapat dirumuskan dalam suatu hubungan matematis.

Catatan 2 :

Fungsi f : R1 R1 dimana setiap x є R1 dikaitkan dengan kuadratnya є R1

(4)

Catatan 3 :

Himpunan A di atas disebut DOMAIN Dan himpunan B di atas disebut CODOMAIN dari fungsi f tersebut.

Yang menjadi pokok pembicaraan di dalam bab ini adalah fungsi-fungsi dimana DOMAIN Dan CODOMAIN nya merupakan RUANG VEKTOR, pada khususnya adalah Rn, ruang vektor yang anggota-anggotanya n-tupel berurutan bilangan riil (tetapi

sedikit-sedikit disinggung pula Cn atau ruang vektor lain. Untuk ini, kita memilih

menggunakan perkataan lain yaitu TRANSFORMASI atau MAPPING atau PEMETAAN sebagai penganti perkataan fungsi .

Contoh 4 :

Diketahui suatu transformasi T : R3 R3 dengan rumus transformasi T[x

1, x2, x3] =

[2x1 – x2, x2+x3, x32], untuk setiap x = [x1, x2, x3] є R3. Vektor [2,1,-1] akan

ditransfomasikan oleh T menjadi : T[2,1,-1] = [2.2-1, 1-1, (-1)2] = [3,0,1]

Kita katakan : vektor [3,0,1] adalah peta dari vektor [2,1,-1], sebaliknya : vektor [2,1,-1] adalah prapeta dari vektor [3,0,1].

Contoh lain : T[1,2,3] = [0,5,9]

(5)

11.2 TRANSFORMASI VEKTOR LINIER

DEFINISI

T : V → W suatu transformasi dari ruang vektor V ke ruang vektor W. Tranformasi T disebut transformasi vektor linier bila terpenuhi :

1) Untuk setiap v1, v2 є V T(v1)+ T(v2) = T(v1+v2), Dan

2) Untuk setiap v є V dan λ skalar berlaku λT(v) = T(λv)

Contoh :

Diketahui T : R3 R3 dimana :

T’[x1,x2,x3] = [2x1+x2, x2, x3+1] untuk setiap [x1,x2,x3] є R3.

T adalah transformasi vektor yang tidak linier karena syarat 1), misalnya tak terpenuhi. Ambil v1 = [1,0,0], v2 = [1,0,1] maka T(v1) + T(v2) = [2,0,1] + [2,0,2]

= [4,0,3], sedang T(v1+v2) =T[2,0,1]=[4,0,2].

(6)

11.2.1 MATRIKS DAN TRANSFORMASI VEKTOR LINIER

Pandang T : Rn Rm suatu transformasi vektor linier.

{ei}, i = 1,2, …, n, basis natural dari Rn

{εi}, i = 1,2, …, m, basis natural dari Rm

T(e1) , T(e2) , …, T(en) adalah vektor-vektor di Rm sehingga merupakan kombinasi

linier dari {εi}

Misalnya : T(e1) = a11 ε1 + a21 ε2 + … + am1 εm

T(e2) = a12 ε1 + a22 ε2 + … + am2 εm

(*)

T(en) = a1n ε1 + a2n ε2 + … + amn εm DEFINISI

Transpose dari matriks koefisien di atas :

[T]e berukuran (mxn)

Disebut MATRIKS REPRESENTASI dari transformasi linier T, singkatnya matriks transformasi dari T, relatif terhadap basis-basis natural {ei} dan {εi}.

a11 a12 ….

a1n

a21 a22 ….

a2n

(7)

Contoh :

T : R3 R3 ssuatu transformasi linier dimana T[x

1, x2, x3] = [x1, 2x2, x1+x3].

Mencari matriks transformasi tak lain daripada mencari peta dari vektor-vektor basis. (Bila tak disebutkan apa-apa selalu dimaksudkan relatif terhadap basis natural).

(8)

Catatan :

Suatu sifat transformasi linier yang penting adalah bahwa suatu transformasi linier ditentukan (tertentu) secara natural tunggal oleh peta dari vektor-vektor basis. Jadi jika peta dari vektor-vektor basis diketahui maka peta dari sebarang vektor yang lain dapat ditentukan.

(9)

11.2.2 RUANG PETA DAN RUANG NOL

T : Rn Rm suatu transformasi linier, belum tentu semua vektor di Rm

menjadi peta dari vektor di Rn.

Contoh :

T : R2 R3 dimana T[x

1,x2] = [x2,0,x1].

Maka vektor [1,1,1] є R3 bukan peta dari vektor manapun di R2. Kalau terjadi

demikian, kita katakan transformasi tersebut tidak onto.

DEFINISI

T : Rn Rm suatu transformasi linier, maka Im(T) = {w | w = T(v), v є Rn},

suatu himpunan bagian dari Rm, disebut RUANG PETA (IMAGE) dari

transformasi linier T.

Ternyata bahwa Im(T) adalah suatu ruang vektor bagian dari Rm.

Catatan 1 :

(10)

Contoh :

T : R2 R2 dimana T[x

1, x2] = [x1+2x2, 2x1+4x2], terlihat bahwa :

T[0, 0] = [0, 0]

T[2,-1] = [0, 0]

T[-8, 4] = [0, 0]

dan lain-lain vektor lagi yang mempunyai peta [0, 0]. Jadi T tidak one-one.

DEFINISI KERNEL

T : Rn Rm suatu transformasi linier, maka Ker(T) = {v | v є Rn, T(v) = 0},

suatu himpunan bagian dari Rn, disebut RUANG NOL (KERNEL) dari

transformasi linier T.

Ternyata bahwa Ker(T) adalah suatu ruang vektor bagian dari Rn.

Catatan 1 :

Dibedakan antara ruang nol dengan ruang berdimensi nol (yaitu ruang vektor yang anggotanya hanya vektor nol). Anggota ruang nol, selain 0 mungkin juga vektor ≠ 0.

Catatan 2 :

Kalau T : Rn Rn mempunyai matriks transformasi A (matriks bujur

(11)

Catatan 3 :

Kalau A adalah matriks transformasi dari T, maka dimensi IM(T) = rank(A). Hal ini jelas karena kolom-kolom dari A adalah T(e1), T(e2), . . .,

T(en) yang membentuk ruang kolom dari A. Dengan perkataan lain Im(T) = L

{T(e1), T(e2), . . . , T(en)}, berarti dimensi Im(T) = dimensi L{T(e1),

T(e2), . . ., T(en)} = rank(A).

Catatan 4 :

Dimensi Ker(T) = n – rank(A).

Mudah dilihat bahwa bila v є Ker(T) maka T(v) = Av = 0.

Susunan persamaan linier homogen Av=0 mempunyai ruang jawab yang berdimensi n – rank(A). Dengan perkataan lain : mencari Ker(T) tak lain daripada mencari jawab susunan persamaan linier homogeny Av = 0.

Contoh :

Diketahui T : R3 R3 dimana :

T[x,y,z] = [x+2y+z, 2x+3z, 3x+2y+4z]

(12)

Jawab :

Pertama kita tentukan dulu matriks transformasi A :

T[1,0,0] = [1, 2, 3]

T[0,1,0] = [2, 0, 2]

T[0,0,1] = [1, 3, 4]

A = [T]e e =

Rank matriks A (secara kolom) :

K21(-2) K23(4)

K31(-1)

Rank(A)= 2. Jadi dimensi Im(T) = 2 dan basisnya dapat diambil {[1,2,3], [0,1,1]}.

(13)

Untuk mencari Ker(T) :

Misalkan v = [v1, v2, v3] є Ker(T), maka Av = 0 atau :

= , dimensi Ker(T) = n – rank(A) = 3 – 2 = 1

Kita menghitung jawab susunan persamaan linier homogen di atas :

cukup diambil 2 persamaan yang bebas :

v1 + 2v2 + v3 = 0

2v1 + 0v2 + 3v3 = 0

Ambil 1 parameter, misalnya v2 = λ, maka v1 = -6λ, v3 = 4λ.

Jadi v = λ[-6,1,4] ; Ker(T) mempunyai basis (-6, 1, 4)

Atau Ker(T) = L {[-6, 1, 4]}. 1 2

1

2 0 3

V1

V2

V3

0

0

(14)

11.2.3 PRODUK TRANSFORMASI

Pandang 2 buah transformasi linier :

T : Vn Wr

S : Wr Um

dengan matriks transformasi berturut-turut A Dan B.

(dimensi Vn = n, dimensi Wr = r, dimensi Um = m)

Setiap vektor v є Vn oleh transformasi T dipetakan menjadi w = Av, kemudian

hasilnya w є Wr oleh transformasi S dipetakan menjadi u = Bw = B(Av) = (BA)v.

v є Vn → w є Wr u є Um

ST

v → u dapat dipandang sebagai suatu transformasi baru ST, dengan matriks transformasi BA.

ST disebut produk transformasi dari S dan T.

(15)

Contoh :

T : R3 R3 dengan T[x

1,x2, x3] = [2x2+x3, 3x1+x2+x3, x2] dan

S : R3 R3 dengan S[x

1, x2, x3] = [2x1+x2+x3, x1+x3, 2x1+x2+2x3]

Maka produk transformasi ST mempunyai rumus :

(16)

Referensi

Dokumen terkait

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhanahu Wata’ala atas segala rahmat dan karunia-Nya, sehingga dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul “Purifikasi Fraksi

Desa Sidodadi dan Karanglo Kecamatan Tawangnangu Kabupaten Karanganyar. Kegiatan ini bertujuan untuk: 1) meningkatkan motivasi wirausaha mitra; 2) meningkatkan pemahaman mitra

Temukunci (Boesenbergia pandurata) merupakan salah satu tanaman herbal di negara-negara Asia beriklim tropis yang digunakan dalam masakan dan juga sebagai tanaman obat..

Meningkatkan Kesejahteraan Hidup Umat” .Tesis ini melakukan komparasi ke negara lain, agar didapatkan konsep pengelolahan wakaf tunai yang lebih optimal di negara

Antaranya ialah kima,putu,dan Tompe atau tinompeh.Makanan tradisional kima adalah nama sejenis kerang laut dan terdapat dalam beberapa spesies,antaranya lapiran,kima

a. Daftar item kegiatan yang berisi seluruh jenis kegiatan pekerjaan yang ada dalam rencana pelaksanaan pembangunan. Urutan pekerjaan dari daftar item kegiatan tersebut

Tradisi yang hingga saat ini masih berlangsung di masyarakat pedesaan itu mempunyai makna simbolis, hubungan diri orang Jawa dengan para leluhur, dengan sesama, dan

Hal ini mengandung makna bahwa siswa merasa model INSTAD sesuai diterapkan untuk materi sistem koordinasi manusia, sehingga timbul keinginan untuk menerapkannya