Fungsi dan Grafik
Sudaryatno Sudirham1
Pokok Bahasan mencakup
1. Pengertian Tentang Fungsi
2. Fungsi Linier
3. Gabungan Fungsi Linier
4. Mononom dan Polinom
5. Bangun Geometris
6. Fungsi Trigonometri
7. Gabungan Fungsi Sinus
8. Fungsi Logaritma Natural
9. Fungsi Eksponensial
10. Fungsi Hiperbolik
11. Fungsi dalam Koordinat Polar
2
Pembatasan
Pembahasan Fungsi dan Grafik
dibatasi hanya padafungsi dengan peubah
bebas tunggal yang berupa bilangan nyata
3 4
Fungsi
Apabila suatu besaran y
maka dikatakan bahwa
memiliki nilai yang tergantung
dari nilai besaran lain x
y
merupakan fungsi x
5
panjang sebatang batang logam (= y)
merupakan fungsi temperatur (= x)
Secara umum pernyataan bahway merupakan fungsix dituliskan
) (x f y=
ydisebutpeubah tak bebas
nilainya tergantungx
xdisebutpeubah bebas
bisa bernilai sembarang
Dalam pelajaran ini kita hanya akan melihat x yang berupa bilangan nyata.
Selain bilangan nyata kita mengenal bilangan kompleks yang dibahas dalam pelajaran mengenaibilangan kompleks. Walaupun nilaixbisa berubah secara bebas, namun nilaix
tetap harus ditentukan sebatas mana ia boleh bervariasi
Contoh:
Domain
Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebasx bervariasi.
a b
rentang terbuka
a < x< b a dan b tidak termasuk dalam rentang
rentang setengah terbuka a b
a ≤≤≤≤x< b amasuk dalam rentang, tetapi btidak
rentang tertutup a b
a ≤≤≤≤x≤≤≤≤b adan b masuk dalam rentang Ada tiga macam rentang nilai yaitu:
7
Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku
P[2,1] Q[-2,2]
R[-3,-3]
S[3,-2]
-4 -3 -2 -1 1 2 3
y
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x
IV I II
III
sumbu-x sumbu-y
Bidang dibatasi oleh dua sumbu, yaitu sumbu mendatar yang kita sebut sumbu-x dan sumbu tegak yang kita sebutsumbu-y.
Bidang terbagi dalam 4 kuadran yaitu Kuadran I, II, III, dan IV
(koordinat Cartesian, dikemukakan olehdes Cartes)
Posisi titik pada bidang dinyatakan dalam
koordinat [x, y]
8
Kurva dari Suatu Fungsi
x y=0,5
Setiap nilaixakan menentukan satu nilaiy
x -1 0 1 2 3 4 dst.
y -0,5 0 0,5 1 1,5 2 dst.
-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
-1
0 1 2 3 4x
y
∆x ∆y
P
R Q
x y=0,5 Kurva
Titik P, Q, R, terletak pada kurva
Kemiringan kurva: x y ∆ ∆ Kita lihat fungsi:
(kita baca: “delta x per delta y”)
9
Kekontinyuan
Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputusdalam rentang tersebut.
Suatu fungsi y= f(x) yang terdefinisi di sekitar x= cdikatakan kontinyu di x= cjika dipenuhi dua syarat:
(1)fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x= c;
(2)nilai f(x) akan menuju f(c) jika xmenuju c; pernyataan ini kita tuliskan sebagai
yang kita baca:limit f(x) untuk x menuju c sama dengan f(c). )
( ) ( limf x fc
c x→ =
10
Contoh:
y= 1/x
y= 1/x y
x
-1 0 1
-10 -5 0 5 10
Tak terdefinisikan di x= 0 y= u(x)
1
y
x
0 0
Terdefinisikan di x= 0 yaituy|x=0 = 1
(y untukx = 0 adalah 1)
(y untukx = 0 tidak dapat ditentukan nilainya)
11
Simetri
1. Jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −xmaka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;
2. Jika fungsi tidak berubah apabila xdan y dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.
3. Jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.
4. Jika fungsi tidak berubah jika xdan ydiganti dengan −xdan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].
Contoh:
y= 0,3x2
y= 0,05x3
y2+x2 = 9
x
-6 -3 0 3 6
-6 -3 0 3 6
y
tidak berubah jika xdan ydiganti dengan −xdan −y
tidak berubah bila x diganti −x
tidak berubah jika: x diganti −x
xdan ydiganti dengan −xdan −y xdan y dipertukarkan y diganti dengan −y
(simetris terhadap sumbu-y)
(simetris terhadap titik [0,0])
13
Pernyataan Fungsi Bentuk Implisit
8 1
1
2 2 2
2 2
= + + = =
= +
y xy x
x y
xy y x
) (x f y= Pernyataan fungsi
Pernyataan bentuk implisit
Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x akan memberikan satu atau lebih nilai
peubah-tak-bebas y
dapat diubah ke bentukeksplisit
/ 1
1 2
x y
x y
x y
= =
− =
0 ) 8 (2
2+ + − =
x xy y
2 ) 8 ( 4 2
2
2− −
± −
= x x x
y disebut bentukeksplisit.
-8 -4 0 4 8
-4 -2 0 2 4
x y
14
Fungsi Bernilai Tunggal
Fungsi bernilai tunggal adalah fungsi yang hanya memiliki satu nilai peubah-tak-bebas
untuk setiap nilai peubah-bebas
0 4 8
-1 0 1 2 3 4x y
2
5 , 0 x y=
0 0,8 1,6
0 1 2x
y
x y=+
-1,6 -0,8 0
0 1 2x
y y=− x
-0,8 0 0,8
0 1 2 3 4
x
y y=log10x
0 2 4
-4 -2 0 2 4x
y
2
x x y= = Contoh:
15
Fungsi Bernilai Banyak
-2 -1 0 1 2
0 1 2 3
x y
x y=±
Fungsi bernilai banyak adalah fungsi yang memiliki lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas
untuk setiap nilai peubah-bebas
-10 -5 0 5 10
0 1 2 3
x y
x
y2=1/ y=±1/x
Contoh:
16
Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas
Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banyak peubah-bebas:
) , , , , (xyzuv f w=
Fungsi dengan banyak peubah bebas juga mungkin bernilai banyak, misalnya
2 2 2 2
z y x + + = ρ
Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinyatakan sebagai
2 2 2
z y x + + + = ρ
17
Sistem Koordinat Polar
Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam skala sumbu-xdan sumbu-y, kita mengenal pula sistem
koordinat polar.
Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinyatakan oleh jarak titik ke titik-asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang
terbentuk antara rdengan sumbu-x yang diberi simbol θ
Hubungan antara koordinat sudut siku dan koordinat polar adalah sebagai berikut
θ =rsin y
θ =rcos x
2
2 y
x r= +
) / ( tan−1yx = θ
x
P
θ
r y
rsinθ
rcosθ
Contoh:
-3 -2 -1 0 1 2 3
-5 -3 -1 1
y
x r
θ P[r,θ]
Bentuk ini disebutcardioid
)
cos
1
(
2
−
θ
=
r
19
-1 -0,5
0 0,5 1 1,5
2
-1 0 1 2 x 3
y
r
θ P[r,θ]
y= 2
2
=
θ
r
Contoh:20
21
Fungsi Tetapan
Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai xdari −∞sampai +∞.
k y=
x
-4 0 5
-5 0 5
y y = 4
5 . 3
− =
y
Contoh:
22
Persamaan Garis Lurus yang melalui [0,0]
mx y=
kemiringan garis lurus
∆ ∆ = =
" delta "
" delta " : dibaca , kemiringan
x y x
y m 0
1 2
-1
0 1 2 3 4x
y
∆x ∆y
-6 -4 -2 0 2 4 6 8
-1 0 1 2 3 4x
y
y = 0,5x y = x y = 2x
y = -1,5x
m> 0
m< 0
Contoh:
garis lurus melalui [0,0]
23
Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis Lurus
y= 2x y−2 = 2x
-4 -2 0 2 4 6 8 10
-1 0 1 2 3 x 4
y
mx b y− )= (
y = 2x
y =2(x–1)
-4 -2 2 4 6 8
-1 0 1 2 3 x 4
y
0
) (x a m
y= −
Secara umum, persamaan garis lurus yang tergeser sebesar bke arah sumbu-y
positif adalah
menunjukkan pergeseran sebesara ke arah sumbu-x positif
titik potong dengan sumbu-y
titik potong dengan sumbu-x
b mx y= +
a mx y= +′
Bentuk umum persamaan garis lurus pergeseran ke
arah sumbu-y
pergeseran ke arah sumbu-x
menunjukkan
Contoh:
Persamaan garis: y−4=−2x
2 0 2 4 0 1 2 1
2 =−
− − = − − = ∆ ∆ = x x y y x y m -4 -2 2 4 6 8
-1 0 1 2 3 x 4
y
0
memotong sumbuydi 4
memotong sumbuxdi 2
atau y=−2(x−2)
4 2 + −
= x
y
dapat dilihat sebagai garis melalui (0,0) yaitu
y = -2x yang tergeser kearah sumbu-y atau tergeser kearah sumbu-x
25 1 2 1 2 x x y y m − − = x x x y y mx y 1 1 1 2 − − = = Persamaan Garis Lurus yang melalui dua titik
[x1,y1]
[x2,y2]
-4 -2 0 2 4 6 8
-1 0 1 x 3
y 2 -4 -2 2 4 6 8
-1 0 1 2 3 x 4
y 0 [1,4] [3,8] 2 1 3 4 8 1 2 1 2 = − − = − − = x x y y m
persamaan garis:y−b=2x atau y=2(x−a)
2
4−b= 8=2(3−a) 2
=
b a=−1
x
y−2=2 y=2(x+1)
2 2 + = x y Contoh:
Persamaan garis lurus melalui [0,0] yang sejajar dengan garis yang melalui
P dan Q P
Q
Garis ini harus digeser hingga melalui P dan Q
26
Perpotongan Garis Lurus
1 1
1 ax b
y= + y2=a2x+b2
2 2 1
1x b ax b
a + = +
2 P 2 P 1 P 1 P 2 1 1 2 P atau b x a y b x a y a a b b x + = + = ⇒ − − = ⇒ Contoh: 8 4 dan 3 2 2
1= x+ y = x−
y 5 , 5 8 4 3 2 2
1=y → x+ = x− →x=
y 14 3 5 , 5 2 3 2 + = × + = = x
y
Koordinat titik potong P harus memenuhi persamaan y1maupuny2. Dua garis:
Koordinat titik potong P harus memenuhi: dan -30 -20 -10 0 10 20 30
-10 -5 0 5 10
y x y2 y1 P xP yP
Titik potong:P[(5,5),14] 27
Contoh-Contoh Fungsi Linier dalam Peristiwa Nyata
Suatu benda dengan massa myang mendapat gaya Fakan memperoleh percepatana
ma
F= v(t)=v0+at
]]]] anoda katoda l Contoh: Contoh: e e m F a= Beda tegangan antara anoda dan katoda dalam tabung katoda adalah V
Kuat medan listrik: l V E=
Gaya pada elektron: l eV eE Fe= =
Percepatan pada elektron:
gaya fungsi linier dariV
percepatan fungsi linier dariFe
Apakah percepatan elektron fungsi linier dari V ? 28
Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula apabila tarikan yang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaya tarikan merupakan fungsi linier dari panjang tarikan.
Contoh:
kx F=
Contoh:
Dalam sebatang konduktor sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar ijika antara ujung-ujung konduktor diberi perbedaan tegangan sebesar V. Arus merupakan fungsi linier dari tegangan.
R V GV i= =
R G=1
A l R=ρ RA
V A i j= =
gaya panjang tarikan konstanta pegas
konduktansi resistansi
kerapatan arus
resistivitas G danR adalah tetapan
Luas penampang konduktor
panjang konduktor
29
Contoh:
materi masuk di xa
materi keluar di x
xa x
Ca
Cx
∆x
Peristiwa difusi mencapai keadaan mantap,jika konsentrasi materiCadi xadan
Cxdi xbernilai konstan
InilahHukum Fick Pertamayang secara formal menyatakan bahwa fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi.
Peristiwa difusi: materi menembus materi lain
dx dC D Jx=−
gradien konsentrasi
koefisien difusi
Fluksi materi yang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi
Fluksi materi yang berdifusi ke arahx
31
Fungsi Anak Tangga
0 untuk 0
0 untuk 1 ) (
< =
≥ =
x x x u
) (x ku y=
muncul pada x= 0
amplitudo
Fungsi ini memiliki nilai yang terdefinisi
di x= 0
Fungsi anak tangga satuan
Secara umum
0 2
0 x5
y
1 1
) (x u y=
) (x u y=
Contoh:
-4 0 5
0 x5
y y=3,5u(x)
) ( 5 , 2 ux
y=− 32
) (x a ku
y= −
Fungsi anak tangga tergeser
-4 0 5
0 x5
y
1
) 1 ( 5 ,
3 −
= ux y
Pergeseran sebesarake arah sumbu-x positif
Contoh:
33
Fungsi Ramp
y
=
axu
(
x
)
0 1 2 3 4 5 6
-1 0 1 2 3 x 4
y y
1= xu(x)
y2= 2xu(x)
y3= 1,5(x-2)u(x-2)
Fungsi ramp tergeser: y=a(x−g)u(x−g)
Fungsi ramp satuan: y=xu(x)
Contoh:
kemiringana= 1 kemiringan
Fungsi ini baru muncul padax= 0 karena ada faktoru(x)yang didefinisikan muncul padax = 0
(fungsi anak tangga)
Pergeseran searah sumbu-x
34
Pulsa Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu nilaix1tertentu dan menghilang padax2 > x1
) ( ) (x x1 aux x2 au
y= − − −
: persamaan
1 2
x −x
: pulsa lebar
{
( 1) ( 2)}
2 − − −
= ux ux
y1=2u(x-1)
y2 = −2u(x−2)
y1 + y2 = 2 u(x-1) – 2 u(x-2)
lebar pulsa
-2 -1 0 1 2
-1 0 1 2 3x 4
perioda
x y
Deretan Pulsa:
Contoh:
35
Perkalian Ramp dan Pulsa
{
( ) ( )}
)
(x Aux x1 ux x2 mxu
y= × − − −
{
u(x x1) u(x x2)}
mAx
y= − − −
ramp pulsa hanya mempunyai nilai dalam selang lebarnya
y1=2xu(x) y2=1,5{u(x-1)-u(x-3)}
y3 = y1y2
0 2 4 6 8 10
-1 0 1 2 3 4x5
y Contoh:
makayjuga akan bernilai dalam selang lebar pulsa saja
y2 = {u(x)-u(x-b)} y1 = mxu(x) y3 = y1y2
= mx{u(x)-u(x-b)}
0 2 4 6 8 10
-1 0 1 2 3 4 5
y
y
x
b Contoh:
37
Gabungan Fungsi Ramp
... ) ( ) ( ) ( ) ( )
( + − 1 − 1+ − 2 − 2 +
=axux bx x ux x cx x ux x
y
Contoh:
y1= 2xu(x)
y2= −2(x−2)u(x−2)
y3= 2xu(x)−2(x−2)u(x−2)
y
-8 -4 0 4 8 12
0 1 2 3 4 x 5
Kemiringan yang berlawanan membuaty3 bernilai konstan mulai darixtertentu
38
y1=2xu(x)
y2= −4(x−2)u(x−2)
y3= 2xu(x)−4(x−2)u(x−2)
-10 -5 0 5 10 15
0 1 2 3 4x 5
y
y2lebih cepat menurun dariy1 maka y3menurun mulai darixtertentu
Contoh:
39
y1= 2xu(x)
y2= −4(x-2)u(x-2)
y3= {2xu(x)−4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)}
-10 -5 0 5 10 15
0 1 2 3 4 x 5
y
Pulsa ini membuaty3hanya bernilai dalam selang 1≤x≤3
Contoh:
40
41
Mononom
Mononom
Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kxn Mononom Pangkat Dua: y=kx2
y = x2
y = 3x2
y = 5x2
y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3 -2 -1 0 1 2 x 3 -100
-80 -60 -40 -20 0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y
x
2 10x y=−
2 2x y=− Contoh:
y memiliki nilai maksimum Karenax2≥0,maka
jikak> 0 →y > 0 jikak< 0 →y< 0
y memiliki nilai minimum
43
y1= 10x2
y2= 10(x−2)2
y3= 10(x−2)2+ 30 Pergeseran kurva mononom pangkat dua
-5 -3 3 x 5
0 50 100
-1 1
y
Pergeseran ke arah sumbu-xpositif Pergeseran ke arah
sumbu-y positif
44
Mononom Pangkat Genap pada umumnya
y2= 2x4 y3= 2x6
y1= 2x2
0 1 2 3 y
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 x1.5
0 2 4 6 8
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
y= x6 y= 3x4 y= 6x2 y
x
Pada mononom berpangkat genap, makin besar pangkat makin melandai
kurva di sekitar titik puncak
Jika kurva-kurva ini memiliki nilaikyang sama maka mereka
berpotongan di titik P[1,k]
Koordinat titik potong antara kurva
( )
2 12 3 dan 22 3 6
3 dan 6 : Kurva
4 2 4 2
4 2
= = = →
= → =
= =
y x
x x x
x y x y
( )
3 81 dan 33 3
3 dan : Kurva
6 2 4 6
4 6
= = = →
= → =
= =
y x
x x x
x y x y
Contoh:
Kurva mononom pangkat genap simetris terhadap sumbu-y 45
Mononom Pangkat Ganjil
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
y = 2x y = 2x5
y = 2x3
y
x
Pangkat ganjil terendah: linier
Jika kurva-kurva ini memiliki nilaikyang sama maka mereka
berpotongan di titik P[1,k] Makin tinggi pangkat mononom, makin landai kurva di sekitar titik [0,0] yaitu titik yang merupakan
titik belok
Kurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [0,0]
46
Mononom Pangkat Tiga
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500
-2 -1 0 1 y
-5 -4 -3 2 3 4 5
x
3
3x y=−
3
2x y=
Mononom pangkat tiga
Simetris terhadap [0,0]
y = 10(x−2)3 y = 10(x−2)3+ 100
y = 10x3
-5 -3 3x 5
-600 -400 -200 0 200 400 600
-1 1
y
Pergeseran mononom pangkat tiga ke arah
sumbu-x positif Pergeseran ke arah
sumbu-y positif
47
Polinom
Polinom Pangkat Dua
c
bx
ax
y
=
2+
+
y1=2x2
y3=13
y2=15x
x -10 y -150 0 150 0 10 13 15 22+ +
= x x
y
y1=2x2
y4= 2x2+15x
y2=15x x = −15/2
y -150 0 150 0 x -10 10 Kurva masing-masing komponen (mononom) dari polinom: Penjumlahan mononom
pertama dan ke-dua: y=2x2+15x
Perpotongan dengan sumbu-x
2 15 15 2
0= x2+ x⇒x=−
49
y4 = 2x2+15x
−15/2
x y -150 0 150 -10 0
sumbu simetri
−15/4
10
y4 = 2x2+15x
x y -150 0 150 -10 0
sumbu simetri y5 = 2x2+15x+13
10
Sumbu simetri dariy=2x2+15x
memotong sumbu-x di: 4 15
− = x
Penambahan komponeny3= 13 memberikan:
13 15
22+ +
= x x
y Koordinat titik puncak:
125 , 15 13 4 15 15 4 15 2 75 , 3 4 / 15 2 − = + − + − = = − = y x 50
y = ax2 +bx +c
y = ax2
y
x 0
0
Polinom Pangkat Dua secara umum
x2 x1 Sumbu simetri: a b x 2 − = a ac b a b x a c a b a b x a c x a b x a y 4 4 2 4 2 2 2 2 2 2 − − + = + − + = + + = Pergeseran ke arah kiri sumbu-x
Pergeseran ke arah negatif sumbu-y
− − a ac b 4 4 2 51
Penjumlahan: y3= y1 + y2 -2000
0 2000
-10 0 x 10
y y1 y2 200 80 19
43 2
3= x + x − x−
y
Polinom Pangkat Tiga: mononom pangkat tiga + polinom pangkat dua
d cx bx ax
y= 3+ 2+ +
Mononom pangkat tiga (y1)
Dan Polinom pangkat dua (y2)
-2000 0 2000
-10 0 10
y
x
y1= 4x3 200 80 19 2
2= x − x−
y
y3 memotong sumbu-x di 3 titik
Hal ini tidak selalu terjadi Tergantung dari nilai koefisieny152
2000
-10 10
y2
y1 y3= y1 + y2
-2000
Kasus:akurang positif Penurunan kurva y1di daerah x
negatif tidak terlalu tajam Kurva terlihat hanya memotong
sumbu-x di 2 titik Titik potong ke-3 jauh di sumbu-x
negatif -2000 2000 -10 15 y1 y2
y3=y1+y2
Kasus:aterlalu positif Penurunan y1di daerah negatif
sangat tajam Tak ada titik potong dengan sumbu
di daerahx negatif Hanya ada satu titik potong di x
positif 3 1 ax y = d cx bx ax
y= 3+ 2+ +
3
1 ax
y =
53
y3= y1 + y2 y1
y2
-2000 0
-10 0 15
2000 d cx bx ax
y= 3+ 2+ +
y3= y1 + y2
-2000 0 2000
-10 0 15
3 3
1 ax kx
y = =−
d cx bx y2= 2+ +
a < 0
Kurva y3berpotongan dengan sumbu-xdi
tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah xpositif
Jika aterlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat
55
• jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x
maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y; • jika fungsi tidak berubah apabila xdan y dipertukarkan,
kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.
• jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x. • jika fungsi tidak berubah jika xdan ydiganti dengan −x
dan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].
Simetri
56
Nilai Peubah
Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata dari y dan xyang kita perhatikan
Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks
Contoh:
1
22
+
=
x
y
2
1
x
y
=
±
−
Apabila |x|> 1, maka (1 -x2)< 0
1 1≤ ≤
− y
Karena kurva ini simetris terhadap garis y= x, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang
1 1≤ ≤
− x
Dalam hal demikian ini kita membatasi xhanya pada rentang
57
Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat
Koordinat titik potong dengan sumbu-xdapat diperoleh dengan memberi nilai y= 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x = 0. Apabila dengan cara demikian tidak diperoleh nilaiyataupunxmaka kurva tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y
Contoh:
1
2
2+x =
y
Titik potong dengan sumbu-xadalah P[1,0] dan Q[−1,0]. Titik potong dengan sumbu-yadalah R[0,1] dan S[0,−1]
xy= 1
Kurva fungsi ini tidak memotong sumbu-xmaupun sumbu-y
58
Asimptot
Suatu garis yang didekati oleh kurva namun tidak mungkin menyentuhnya, disebut asimptot
Contoh:
10 )
(2 2
2x −x =x +
y
) 1 (
10
2
− + ± =
x x x y
tidak boleh < 0 agar x(x−1) > 0
haruslah x< 0 atau x> 1
Tidak ada bagian kurva yang berada antara x= 0 dan x= 1. Garis vertikal x= 0 dan x= 1 adalah asimptot dari kurva
-4 0 4
-4 0 4
y
x
59
Jarak Antara Dua Titik
Jika P[xp,yp) dan Q[xq,yq], maka
2
2 ( )
) (
PQ= xp−xq + yp−yq
Contoh:
-4 -2 2 4 6 8
-1 0 1 2 3 x 4
y
0 [1,4]
[3,8]
20 ) 4 8 ( ) 1 3 (
PQ= − 2+ − 2=
Parabola
Bentuk kurva y=kx2 disebutparabola
[0,0] y
x y=kx2
P terletak pada kurva Q terletak di sumbu-y y= −p garis sejajar sumbu-x R terletak pada garisy
ada suatu nilai ksedemikian rupa sehingga PQ = PR
Q disebut titik fokus parabola Garisy disebutdirektrik Titik puncakparabola berada di tengah
antara titik fokus dan direktriknya
x p py y x p y x p 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) PR ( PQ + + − = + − = + − = p y ) (
PR= +
p y x p py y2−2 + 2+2= +
p x y 4 2 = p k 4 1 = k p 4 1 = 2 4 1 x p y= P[x,y] Q[0,p]
R[x,−p]
61
Contoh:
Parabola y=0,5x2
dapat kita tuliskan
2 2 5 , 0 4 1 2 1 x x y × = =
Direktrik:
y
=
−
p
=
−
0
,
5
Titik fokus: Q[0,(0,5)]
62
Lingkaran
Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu
yang disebut titik pusat lingkaran
Jika titik pusat lingkaran adalah [0,0] dan jari-jari lingkaran adalahr
2
2 y
x
r= + 2 2 2
r y x + =
persamaan lingkaran berjari-jarir berpusat di [0.0]
2 2
2 ( )
)
(x−a + y−b =r Pergeseran titikpusat lingkaran
sejauha kearah sumbu-x dan sejauhbke arah sumbu-y
Persamaan umum lingkaran berjari-jarirberpusat di (a,b)
63 -1 1 -1 1 0,5 0,5 [0,0] x y
r = 1
1
2
2+y =
x r
2 2 2 ( 0,5)
) 5 , 0
(x− + y− =r Contoh:
64
Elips Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan
Dua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips
X[x,y]
P[-c, 0] Q[c, 0] x y
2 2
) (
XP= x+c +y XQ= (x−c)2+y2
( ) a y c x y c x a 2 ) ( ) ( misalkan kita 2 XQ XP 2 2 2
2+ + − + =
+ ⇒ = + 2 2 )
(x c y
x a c a− = − +
2 2 2 2 2 2
2 4 4 ( ) ( )
)
(x+c +y = a− a x−c +y +x−c +y
2 2 2 2 2 ( )
)
(x+c +y = a− x−c +y
2 2 2 2 2 2
2 2 x x 2cx c y a
c cx
a− + = − + + 2 2 1
2 2 2 = − + c a y a x kwadratkan kwadratkan sederhanakan 2 2 2 2 XQ XP : PXQ segitiga
di + =a>c→ a>c
1 2 2 2 2 = + b y a x 2 2 2 a c b= −
65 1 2 2 2 2 = + b y a x
X[x,y]
P[-c, 0] Q[c, 0] x y
[
−
a,0] [a,0][0,b]
[0,−b]
sumbu panjang = 2a
sumbu pendek = 2b
Elips tergeser 1 ) ( ) ( 2 2 2 2 = − + − b q y a p
x 2a=2→a=1
5 , 0 1 2b=→b= 1
-1 0
-1 0 1 x2
Hiperbola
Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya antara dua titik tertentu adalah konstan
X(x,y)
P[-c,0] Q[c,0]
y
x
2 2
) ( XP= x+c +y
2 2
) ( XQ= x−c +y
a y c x y c x XQ XP
2 ) ( ) (
+ 2+ 2− − 2+ 2=
= −
2 2 2 2 2 ( )
)
(x+c +y = a+ x−c +y
2 2
) ( ) /
(cax−a= x−c +y
1
2 2
2 2 2
= − −
a c
y a x
Dalam segitiga PXQ, selisih (XP−XQ) < PQ
→2c< 2a→c2−a2= b2
1
2 2
2 2
= −
b y a x
kwadratkan dan sederhanakan kwadratkan
persamaan hiperbola 67
1
2 2
2 2
= −
b y a x
+∞
−∞ X(x,y)
-c c
y
x
[-a,0] [a,0]
Kurva tidak memotong sumbu-y
Tidak ada bagian kurva yang terletak antara x =
−
adan x = a 22
2 c a
b = −
68
Kurva Berderajat Dua
Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua
Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah
0
2 2+ + + + + =
F Ey Dx Cy Bxy Ax
Persamaan parabola: B=C=D=F=0; A=1; E=−4p
Lingkaran: B=D=E=0; A=1; C=1; F = −1
Bentuk Ax2dan Cy2adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas. Namun bentuk Bxy yang juga merupakan bentuk berderajat dua,
belum kita temui dan akan kita lihat berikut ini
69
Perputaran Sumbu Koordinat
Hiperbola dengan titik fokus tidak pada sumbu-x
a a y a x a y a
x ) ( ) ( ) ( ) 2
( + 2+ + 2− − 2+ − 2=
2 2 ( )
)
(x a y a
a y
x+ − = − + −
2
2xy=a
Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garisy = x,
2 2 2
2 ( ) 2 ( ) ( )
)
(x+a +y+a =a+ x−a +y−a
Kurva hiperbola ini memiliki sumbu simetri yang terputar 45o berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri hiperbola sebelumnya, yaitu
sumbu-x. -5
0 5
-5 0 x
y
P[-a,-a] Q[a,a]
y
x
X[x,y]
70
Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-satuan, r = 1
Fungsi sinus
PQ PQ sinθ= =
r
Fungsi Cosinus
OQ OQ cosθ= =
r
Fungsi Tangent
θ θ = = θ
cos sin OQ PQ tan
θ − = − = ′ = θ
− tan
OQ PQ OQ
Q P ) tan(
Fungsi Cotangent
θ θ = = θ
sin cos PQ OQ cot
θ − = − = ′ = θ
− cot
PQ OQ Q P OQ ) cot(
Fungsi Secan Fungsi Cosecan
OQ 1 cos
1
sec =
θ = θ
PQ 1 sin
1 cscθ= θ=
P
Q θ O [0,0]
-1 1
-1 1x
y
r = 1
P’ -θ θ + θ =sin2 cos2
1
Relasi-Relasi
sinα
α
-1 1
-1 [0,0] 1x
y
β cosα
cosαcosβ cosαsinβ β
sinαsinβ sinαcosβ
73 Relasi-Relasi sinα α -1 1
-1 [0,0] 1x
y
β cosα
cosαcosβ cosαsinβ β
sinαsinβ sinαcosβ
)
sin(α+β=sinαcosβ+cosαsinβ
)
cos(α+β =cosαcosβ−sinαsinβ
β α + β α = β − α β α − β α = β − α sin sin cos cos ) cos( sin cos cos sin ) sin( Karena β − = β −) sin sin(
β = β −) cos cos( 74 Contoh:
α
α
=
α
α
+
α
α
=
α
+
α
=
α
)
sin(
)
sin
cos
cos
sin
2
sin
cos
2
sin(
a).
α
−
α
=
α
α
−
α
α
=
α
+
α
=
α
)
cos(
)
cos
cos
sin
sin
cos
2sin
22
cos(
b).
α
+
α
=
2 2sin
cos
1
α
=
+
α
)
1
2
cos
22
cos(
1 cos 2 ) 2cos(α= 2α−
α − = − α) 1 2sin2
2 cos( α − = α 2 sin 2 1 ) 2 cos(
α
−
α
=
α
)
cos
2sin
22
cos(
c).
75β
α
+
β
α
=
β
+
α
)
sin
cos
cos
sin
sin(
2 ) sin( ) sin( cossinα β= α+β+ α−β
2 ) cos( ) cos( cos
cosα β= α+β+ α−β
β α + β α = β −
α ) cos cos sin sin
cos( 2 ) cos( ) cos( sin
sinα β= α−β− α+β
β α − β α = β +
α ) cos cos sin sin
cos( β α + β α = β −
α ) cos cos sin sin
cos( Contoh:
β
α
−
β
α
=
β
−
α
)
sin
cos
cos
sin
sin(
d).β
α
=
β
−
α
+
β
+
α
)
sin(
)
2
sin
cos
sin(
e). cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
β
α
=
β
−
α
+
β
+
α
)
cos(
)
2
cos
cos
cos(
f). β α = β + α − β −α ) cos( ) 2sin sin
cos(
76
Fungsi Trigonometri Normal
77
Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y
perioda -1 0 1 0 x y 2π π −π x y -1 0 1 0
−π π 2π
−2π
perioda ) 2 / cos( ) sin( = −π
= x x
y
pergeseran fungsi cosinus sejauh π/2 ke arah sumbu-xpositif
Contoh: o o o o 34 cos ) 90 56 cos( 56
sin = − =
) sin(x
y= y=cos(x)
Fungsi Sinus Fungsi Cosinus
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3π/4 -π/2 -π/4 0 π/4 π/2 3π/4
Fungsi Tangent
θ = θ θ = θ
cot 1 cos sin tan
asimptot
Rentang: -π/4 < tanθ< π/4 π/4 < tanθ< 3π/4
dst. Lebar rentang: π/2
θ θ
cos sin
79
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
-3π/4 -π/2 -π/4 π/4 π/2 3π/4
Fungsi Cotangent
θ = θθ = θ
tan 1 sin cos cot asimptot
Rentang: 0 < tanθ< π/2 -π/2 < tanθ< 0 dst. Lebar rentang: π/2
θ θ
cos sin
80
Fungsi Secan
Fungsi Cosecan
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π
) cos(
1 ) sec(
x x
y= =
) sin(
1 ) csc(
x x
y= =
Rentang: -π/2 < tanθ< π/2 π/2 < tanθ< 3π/2
dst. Lebar rentang: π
Rentang: 0 < tanθ< π -π< tanθ< 0 dst. Lebar rentang: π asimptot
81
Fungsi Trigonometri Inversi
82
Sinus Inversi
x x y
1
sin
atau arcsin
− = =
x y
-1 00 1
−π π 2π
−2π
-0,5π -0,25π 0 0,25π 0,5π
-1 -0,5 0 0,5 x1 y
Kurva lengkap
Kurva nilai utama
-π/2 < sin-1x<π/2
-1 < x< 1
y x
1
2
1−x
x y=sin−1
2 2
1 tan
1 cos
x x y
x y
− =
− =
Sudutyyang sinusnya = x
x y= sin
83
Cosinus Inversi
x y
-1 00 1
−π π
0 0,25π 0,5π 0,75π 1π
-1 -0,5 0 0,5x1 y
Kurva lengkap
Kurva nilai utama
0 < cos-1x< π
-1 < x< 1 x y=cos−1
y x
1 2
1−x
x y=cos−1
x x y
x y
2 2
1 tan
1 sin
− =
− = y
x=cos
Tangent Inversi y 1x
tan−
=
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1,5π -π -0,5π
0 0,5π π 1,5π
y
x
-0,5π -0,25π 0 0,25π 0,5π
-10 -5 0 5 x 10
y
2 tan 2
1 <π
< π
− −x
Kurva lengkap
Kurva nilai utama y x=tan
y x
1
2
1+x
x y=tan−1
2 2
1 1 cos
1 sin
x y
x x y
+ =
+ =
85
Cotangent inversi x y=cot−1
dengan nilai utama
π < < −1x
cot 0
0 0,5π 1π
-10 -5 0 5 10
y
x
π < <cot−1x
0
Kurva nilai utama
y x=cot
y
x 1
2
1+x
x y=tan−1
2 2
1 cos
1 1 sin
x x y
x y
+ =
+ =
86
Secan Inversi
x x y=sec−1 =cos−11
dengan nilai utama π ≤ ≤ −1x
sec 0
0 0,25π 0,5π 0,75π π
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3x4 y
π < <sec−1x
0
Kurva nilai utama
y x=sec
y x
1
2
1+x
x y=sec−1
2 2
1 tan
1 cos
1 sin
x y
x y
x x y
+ = =
+ =
87
Cosecan Inversi
x x y=csc−1 =sin−11
2 csc 2
1 ≤π
≤ π
− −x
y
-0,5π -0,25π 0 0,25π 0,5π
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3x4
Kurva nilai utama
dengan nilai utama
2 csc 2
1 ≤π
≤ π
− −
x
y x=csc
y x
1
2
1+x
x y=csc−1
2 2
1 1 tan
1 cos
1 sin
x y
x x y
x y
+ =
+ = =
88
89
Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal yang merupakan fungsi waktu, seperti misalnya gelombang cahaya, gelombang radio
pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb
Oleh karena itu kita akan melihat fungsi sinus dengan menggunakan waktu, t, sebagai peubah bebas
Tiga besaran karakteristik fungsi sinus
) 2 sin(
) sin(
0+θ π =
θ + =
t f A
x A y
sudut fasa
frekuensi siklus amplitudo
Selain frekuensi siklus, f0, kita
mengenal juga frekuensi sudut, ω0, dengan hubungan
2 0 0= πf ω
Hubungan antara frekuensi siklus dan perioda adalah:
0 0
1 T f =
Karena fungsi sinus adalah fungsi periodik maka gabungan fungsi sinus juga merupakan fungsi
periodik walaupun tidak berbentuk sinus. T0
-A 0 A
0 t
y
Ts
T0
-A 0 A
0 t
y
Fungsi sinus adalah fungsi periodik yaitu fungsi yang memenuhi hubungan
) ( ) (t T0 ft
f − =
perioda
91
Contoh:
y
y = 3 cos 2f0t -4
0 4
-5 15 t
y
y = 1 + 3 cos 2f0t -4
0 4
-5 15 t
) ) 2 ( 2 cos( 2 2 cos 3
1 f0t f0t
y==== ++++ π −−−− π
y
t
-4
0 4
-5 15
) 4 / ) 2 ( 2 cos( 2 2 cos 3
1++++ π0−−−− π 0 ++++π
==== ft f t
y
-4 1
-5 15
Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan oleh besaran karakteristik fungsi sinus penyusunnya
Perbedaan amplitudo, frekuensi, dan sudut fasa menentukan bentuk gelombang gabungan
92
Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan juga oleh jumlah komponen sinus yang terlibat
Komponen-komponen sinus yang terlibat dalam pembentukan gelombang gabungan disebut harmonisa
Komponen sinus denganf0disebut komponen fundamental
Di atas komponen fundamental adalah Harmonisa ke-2 dengan frekuensi2f0
Harmonisa ke-3 dengan frekuensi 3f0
Harmonisa ke-4 dengan frekuensi 4f0 dst.
Gabungan fungsi sinus juga mungkin mengandung fungsi tetapan yang disebut komponen searah
93
sinus dasar (fundamental).
Contoh:
Gabungan fungsi sinus yang membentuk gelombang persegi
hasil penjumlahan sampai pada harmonisa ke-21. harmonisa-3 dan
sinus dasar + harmonisa-3.
harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 +
harmonisa-5.
harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + harmonisa-7.
94
Spektrum
Jika gabungan fungsi sinus membentuk gelombang periodik yang tidak berbentuk sinus (non-sinus) maka bentuk gelombang
non-sinus dapat diuraikan menjadi komponen-komponen sinus
Komponen-komponen sinus itu membentuk suatu spektrum. Ada dua spektrum yaitu
Spektrum AmplitudodanSpektrum Sudut-fasa
Makin tinggi frekuensi harmonisa, makin rendah amplitudonya. Frekuensi tertinggi, fmaks, adalah frekuensi harmonisa yang
amplitudonya sudah dapat diabaikan.
Frekuensi terendah, fmin, adalah frekuensi komponen fundamental yaitu 1, atau 0 jika spektrum mengandung komponen searah
Lebar Pita
Lebar pita frekuensi suatu spektrum adalah selang frekuensi yang merupakan selisihfmaksdanfmin
95
Contoh:
) 4 2 cos( 5 , 7 ) 2 / 2 2 cos( 15 ) 2 cos( 30
10+ π0 + π 0 −π + π 0 +π
= ft ft ft
y
Frekuensi 0 f0 2 f0 4 f0
Amplitudo 10 30 15 7,5
Sudut fasa − 0 −π/2 π
0 10 20 30 40
0 1 2 3 4 5
Frekuensi [×f0]
A
m
p
lit
u
d
o
0 π/2 2π
0 1 2 3 4 5
S
u
d
u
t
F
a
s
a
Frekuensi [×f0] −π/2
−2π
Spektrum Sudut-fasa Spektrum Amplitudo
Suatu persamaan gelombang:
Deret Fourier
Penguraian suatu sinyal periodik menjadi suatu spektrum sinyal tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourier
[
]
∑
π + π += cos(2 ) sin(2 )
)
(t a0 a nf0t b nf0t
f n n
fungsi periodik
Koefisien Fourier
Contoh:
1 0 ; 2 /
ganjil 0 genap; 1
/ 2
/
1 2 0
≠ = =
= −
π =
π =
n b A b
n a n n A a
A a
n n n
T0
t
y
97
Contoh: Contoh:
T0
A
t y
n b
n a n n A a
A a
n
n n
semua untuk 0
ganjil 0 genap; 1
/ 4
/ 2
2 0
=
= −
π =
π =
n n
A b
n a
A a
n n
semua untuk
semua untuk 0
2 / 0
π − = = =
T0
A
t
y
98
99
Bilangan Natural
Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis bilangane
Bilanganeini, seperti halnya bilanganπ, adalah bilangan-nyata dengan desimal tak terbatas. Sampai dengan 10 angka di belakang koma, nilainya adalah
e= 2,7182818284
1 lne=
a e a ea= ln = ln
100
Kurva y = ln x
Fungsi Logaritma Natural
Definisi ln x
x lnx
t 0
1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4
y
1/t
luas bidang antara fungsi 1/tdan sumbu-x yang dibatasi oleht= 1 dant= x
∫
= x
dt t x
1
1 ln
1 2 3 x 4
-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
0 y
y= lnx 1
lne=
e= 2,7182818284….. e
101
Sifat-Sifat
1 untuk negatif bernilai ln ln
1 ln
ln ln
; ln ln ln
ln ln ln
< =
= =
− =
+ =
x x
x e e
x n x
a x a x
x a ax
x n
103
Fungsi Eksponensial
Antilogaritma Antilogaritma adalah inversi dari logaritma
y x=ln
Fungsi Eksponensial
x
e y=
Fungsi eksponensial yang sering kita jumpai adalah fungsi eksponensial dengan eksponen negatif
0 ; )
( ≥
=e− ux x
y ax
Faktoru(x) membuat fungsi ini muncul padax= 0
Namun demikian faktor ini biasa tidak lagi dituliskan dengan pengertian bahwa fungsi eksponensial tetap muncul padat= 0
104
Kurva Fungsi Eksponensial
x 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 0
0,2 0,4 0,6 0,8 1
0 y
e−x
e−2x
Makin negatif eksponen fungsi ini, makin cepat ia menurun
mendekati sumbu-x
ax
e y= −
Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36% dari nilai awalnya (yaitu nilai pada x= 0), pada saat x = 1/a
Pada saat x= 5/a, kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu-x, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari nilai awalnya
Oleh karena itu fungsi eksponensial biasa dianggap sudah bernilai nol pada x= 5/a
105
Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A dengan waktu sebagai peubah bebas adalah
) ( ) (t Ae /ut u
Ae
y= −at = −t τ
yang dituliskan dengan singkat y=Ae−at=Ae−t/τ
τ= 1/adisebut konstanta waktu makin kecil τ, makin cepat fungsi eksponensial menurun
Pada saat t= 5τ, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari A fungsi eksponensial dianggap sudah bernilai nol pada t= 5τ
106
Gabungan Fungsi Eksponensial
1 /
1 τ
t
Ae y ==== −−−−
2 /
2 Aetτ
y ==== −−−−
((((
e t/τ1 e t/τ2))))
A y==== −−−− −−−− −−−−
t/τ A
0 1 2 3 4 5
Fungsi Hiperbolik
Definisi
Kombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk fungsi hiperbolik, seperti
cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh)
2 sinh ; 2 cosh
x x x
x e e
x e e x
−
− −
= +
=
Fungsi hiperbolik yang lain
x x
x x x
x x x
e e
e e x x x e
e e e x x
x −
− −
−
− + = = +
− = =
sinh cosh coth ; cosh sinh tanh
x x x
x
e e x x e
e x
x − −
− = = +
=
= 2
sinh 1 csch ; 2 cosh
1 sech
109
Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik
x
e y
2 1 1=
x
e y =− −
2 1 2
x y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-2 -1 0 1 2
2 sinh
x x
e e x y
− − = =
110
x y=sinh
y
x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-2 -1 0 1 2
2 cosh
x x
e e x
− + =
x
e y
2 1 1=
111
x y=cosh
-1 0 1 2 3 4
-2 -1 0 1 2
y
x
x x y
cosh 1 sech = =
112
x y=sinh
x y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-2 -1 0 1 2
x y=csch
x x y
sinh 1 csch = =
113
x y=coth
x y
0
0
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2 -1 1 2
x x x y
cosh sinh tanh = =
x x x y
sinh cosh coth = =
untuksinhxdancoshxterdapat hubungan
1 4 4 4 2 4
2 sinh cosh
2 2 2 2 2
2 − =ex+ +e−x−ex− +e−x= =
x x
1 sin cos2x+ 2x=
Jika untuksin x dancosx kita kenal hubungan: Identitas
Beberapa Identitas: cosh2v−sinh2v=1
v
v 2
2
sech tanh
1− =
v
v 2
2 1 csch
coth − =
v
e v v+sinh = cosh
v
e v v−sinh = − cosh
115
116
Relasi Koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku
θ = sin
P r
y
θ = cos
P r
x
P[r,θ]
[0,0] x
y
θ
r
xP
yP •P(xP,yP)
117
Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar
Persamaan lingkaran berjari-jari cberpusat di O[0,0] dalam koordinat sudut-siku adalah
2 2 2
c y x + =
[0,0] x
y
Dalam koordinat polar persamaan ini menjadi
2 2 2
) sin ( ) cos
(r θ +r θ =c θ r
118
a
[0,0] x
y
Persamaan lingkaran berjari-jari cberpusat di O[a,0] dalam koordinat sudut-siku adalah
2 2 2
) (x−a +y =c
θr
Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi
2 2 2
) sin ( ) cos
(r θ−a +r θ =c
119
Persamaan lingkaran berjari-jari cberpusat di O[a,b] dalam koordinat sudut-siku adalah
2 2
2 ( )
)
(x−a +y−b =c
Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi
2 2
2 (sin )
) cos
(r θ−a +r θ−b =c
b
a
[0,0] x
y
θ r
Contoh:
-3 -2 -1 0 1 2 3
-5 -3 -1 1
y
x r
θ P[r,θ]
Bentuk ini disebutcardioid
)
cos
1
(
2
−
θ
=
r
121
Contoh:
θ y
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
-5 -3 -1 1 3 5
r P[r,θ]
θ =16cos
2 r
122
-1 -0,5
0 0,5 1 1,5 2
-1 0 1 2 x 3
y
θ= π θ= 3π θ= 4π θ= 2π r
θ P[r,θ]
y= 2 2
= θ r Contoh:
123
Persamaan Garis Lurus
O y
x l1
a r
θ
P[r,θ]
a r l1: cosθ=
124
O y
x b
l2
b r l2: sinθ=
r
θ P[r,θ]
125
α l3
O y
x β a A
r
θ P[r,θ]
a r l3: cos(β−θ)=
l4
O y
x β
a r
θ
P[r,θ] l4: rcos(θ−β)=a
127
Parabola, Elips, Hiperbola
θ − =
cos 1
k r
Parabola: Eksentrisitas
θ + = =
cos PD PF
r k
r es
Eksentrisitas:
D
B θ
r
P[r,θ]
F
titik fokus
Dengan pengertian eksentrisitas ini kita dapat membahas sekaligus
parabola, elips, dan hiperbola.
Elips:
1 =
s
e
θ − =
cos 1 s
s
e k e r
θ + = θ +
=e(k rcos) ek ercos
r s s s
1 <
s
e = − × θ= − θ
cos 2 cos 5 , 0 1
5 ,
0 k k
r (misal es= 0,5)
Hiperbola:es>1 − θ × =
cos 2 1
2 k
r (misal es= 2)
x y
A
direktriks
k
128
Lemniskat dan Oval Cassini
F1[a,π] F2[a,0] P[r,θ]
r
θ θ= 0
θ= π
θ= π/2
Kurva-kurva ini adalah kurva pada kondisi khusus, yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang hasil kali
jaraknya terhadap dua titik tertentu bernilai konstan
( ) (
) (
)
θ + + =
θ + + θ =
cos 2
cos sin PF
2 2
2 2 2 1
ar a r
r a
r
( ) (
) (
)
θ − + =
θ − + θ =
cos 2
cos sin PF
2 2
2 2 2 2
ar a r
r a r
2 2 1 PF
PF× =b
Misalkan
(
) (
)
) cos 2 1 ( 2
cos 2 cos 2
2 2 2 4 4
2 2 2
2 4
θ − + + =
θ − + × θ + + =
r a a r
ar a r ar a r b
θ − +
=r4 a4 2a2r2cos2
) 1 ( 2 cos 2
cos 2 2 4
2
2 a a k
r = θ± θ− −
Buatb dana berrelasi
b= ka k4a4=r4+a4−2a2r2cos2θ 0=r4−2a2r2cos2θ+a4(1−k4)
129
Lemniskat r2=a2cos2θ±a2 cos22θ−(1−k4)
Kondisi khusus: k= 1 θ =22cos2
2
a r
θ= 0 θ= π
θ= π/2
-0,6 -0,2 0 0,2 0,6
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
Kondisi khusus: k> 1, misal k= 1,1
θ= 0 θ= π
θ= π/2
-1 -0,5 0 0,5 1
-2 -1 0 1 2
Kurva dengan a= 1
130
Oval Cassini
Kondisi khusus:k< 1, misalkan k= 0,8
θ= 0 θ= π
θ= π/2
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
-2 -1 0 1 2
) 1 ( 2 cos 2
cos 2 2 4
2 2
k a
a
r = θ± θ− −
131
Fungsi dan Grafik
Sudaryatno Sudirham
