SEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY

SEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY ATAS ALJABAR MAX-PLUS FUZZY

Ari Wardayani dan Suroto

Prodi Matematika, Jurusan MIPA, Fakultas Sains dan Teknik Universitas Jenderal Soedirman

(email : ariwardayani@yahoo.co.id, suroto_80@yahoo.com)

ABSTRAK. _{Pada makalah ini dibahas mengenai perluasan aljabar max-plus} fuzzy pada polinomial dengan koefisien bilangan fuzzy. Selanjutnya, dibuktikan polinomial fuzzy tersebut merupakan semi modul atas aljabar max-plus fuzzy.

Kata kunci : aljabar max-plus fuzzy, polinomial fuzzy, semi modul

ABSTRACT_{. In this paper, we discuss the extension of fuzzy max-plus algebra} on polynomial with coefficient in fuzzy number. We also proof that fuzzy polynomial is semi modul over fuzzy max-plus algebra.

Key word : fuzzy max-plus algebra, fuzzy polynomial, semi modul

PENDAHULUAN

Aljabar max-plus merupakan struktur aljabar ℝmax = ℝ ∪ {−∞} yang disertai dengan dua operasi biner yakni maksimum dan penjumlahan. Struktur

aljabar ℝmax yang disertai dengan operasi biner maksimum sebagai operasi ⊕ dan operasi penjumlahan sebagai operasi ⊗ adalah semi lapangan komutatif

idempoten (Bacelli, 2001). Pada dasarnya, himpunan yang dibicarakan dalam

pembahasan konsep aljabar max-plus lebih terpusat pada himpunan bilangan real

ℝ.

Namun, dalam perkembangan selanjutnya aljabar max-plus dapat

diperluas himpunan pembicaraannya menjadi himpunan bilangan fuzzy (Rudhito,

2006). Bilangan fuzzy adalah himpunan fuzzy dalam semesta ℝ yang memenuhi

sifat normal, mempunyai support terbatas, setiap α-cutnya merupakan selang

tertutup, dan konveks. Untuk selanjutnya himpunan bilangan fuzzy dilambangkan

dengan R. _{Operasi maksimum dan penjumlahan pada} R _{dapat didefinisikan}

dengan menggunakan prinsip perluasan atau dengan α-cut pada himpunan fuzzy

(Zimmermann, 1991).

Teorema dekomposisi merupakan landasan kerja pemanfaatan prinsip

perluasan dan α-cut pada himpunan fuzzy yang dapat digunakan untuk

menentukan operasi aritmatika pada bilangan fuzzy (Susilo, 2006). Untuk

selanjutnya aljabar max-plus fuzzy dinotasikan dengan R_{max, dengan} R _adalah

himpunan bilangan fuzzy. Pada tahun 2007, Rudhito membuktikan semi modul

bilangan fuzzy atas aljabar max-plus fuzzy dan perluasannya pada matriks

bilangan fuzzy. Pada tulisan ini, akan dibuktikan bahwa himpunan polinomial

fuzzy merupakan semi modul atas semi ring aljabar max-plus fuzzy.

SEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY

Semi ring K _{merupakan suatu himpunan tak kosong yang disertai dengan}

dua operasi biner ⊕ dan ⊗ yang memenuhi (K_,⊕_{) semi grup komutatif dengan}

elemen nol ε , (K_,⊗_{) semi grup dengan elemen satuan e, elemen nol} ε _merupakan

elemen penyerap terhadap operasi ⊗, dan ⊗ distributif terhadap ⊕. Suatu semi

ring dikatakan idempoten jika operasi ⊕ bersifat idempoten dan dikatakan

komutatif jika operasi ⊗ bersifat komutatif.

Semi modul M _{atas semi ring} K _{adalah himpunan tak kosong yang disertai}

operasi internal ⊕ dengan elemen nol 𝜀, dan operasi eksternal yang didefinisikan

pada K_xM _{dengan hasilnya pada} M _{yang memenuhi operasi} ⊕ bersifat

assosiatif, komutatif dan untuk setiap 𝛼, 𝛽 ∈K _dan 𝑥, 𝑦 ∈ M _{berlaku 𝛼(𝑥 ⊕}

𝑦) = 𝛼𝑥 ⊕ 𝛼𝑦, (𝛼 ⊕ 𝛽)𝑥 = 𝛼𝑥 ⊕ 𝛽𝑥 , 𝛼(𝛽𝑥) = ( 𝛼𝛽)𝑥 , 𝑒𝑥 = 𝑥 dan 𝜀𝑥 = 𝜀

Misalkan dibentuk suatu himpunan yang beranggotakan

polinomial-polinomial dengan indeterminate γ dan koefisiennya bilangan fuzzy

untuk suatu n ∈ℕ. Untuk selanjutnya, himpunan ini di notasikan dengan R_max[γ_]

dan dinamakan himpunan polinomial fuzzy. Misalkan p dan q elemen pada

R_max[γ_{] dengan p = ⊕}𝑛_{𝑖=0𝑎̃𝑖 𝛾}𝑖 _{untuk 𝑎̃𝑖∈}R_{max,, q = ⊕𝑖=0}𝑚 _{𝑏̃𝑖 𝛾}𝑖 _{untuk 𝑏̃𝑖∈}R_max. Elemen p dan q dikatakan sama jika m = n dan 𝑎̃_𝑖 = 𝑏̃_𝑖 .

Untuk menyelidiki sifat-sifat yang terdapat pada struktur R_max[γ_{] terlebih}

dahulu didefinisikan dua operasi pada R_max[γ_{] yakni operasi internal} ⊕ _sebagai

operasi penjumlahan komponen demi komponen pada polinomial, dan operasi

eksternal pergandaan dengan skalar pada R_max.

Untuk setiap p, p’, q, q’∈R_max[γ_{] dengan p = p}’ _{dan q = q}’. Misalkan

p = ⊕𝑖=0𝑛 𝑎̃𝑖 𝛾𝑖 untuk 𝑎̃𝑖∈Rmax, dan p’= ⊕_𝑖=0𝑚 𝑏̃_𝑖 𝛾𝑖 untuk 𝑏̃_𝑖∈Rmax. Karena p = p’ , maka 𝑎̃𝑖 = 𝑏̃𝑖 diperoleh 𝑎̃𝑖 α = 𝑏̃𝑖 α untuk setiap α∈ [0,1], i = 1, 2, ..., n dan n = m.

Secara analog, misalkan q =⊕_𝑖=0𝑘 𝑐̃_𝑖 𝛾𝑖 untuk 𝑐̃_𝑖 ∈R_max , dan q’ = ⊕_𝑖=0𝑙 𝑑̃_{_} 𝛾𝑖 _untuk

𝑑̃𝑖∈Rmax . Karena q = q’ , maka 𝑐̃_𝑖 = 𝑑̃_𝑖 diperoleh 𝑐̃_𝑖α = 𝑑̃𝑖α untuk setiap α∈ [0,1], i

= 1, 2, ..., kdan k = l. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan n ≥ k dan m ≥ l.

Dengan demikian,

p ⊕ q = (⊕_𝑖=0獮 𝑎̃𝑖 𝛾𝑖 )⊕ (⊕𝑖=0𝑘 𝑐̃𝑖 𝛾𝑖 ) = ⊕𝑖=0𝑛 𝑡̃𝑖 𝛾𝑖 , dengan 𝑡̃𝑖 = 𝑎̃𝑖⊕̃ 𝑐̃𝑖

p’⊕ q’= ( ⊕_𝑖=0𝑚 _𝑏̃

𝑖𝛾𝑖 )⊕ (⊕𝑖=0𝑙 𝑑̃𝑖𝛾𝑖 ) = ⊕𝑖=0𝑛 𝑠̃𝑖𝛾𝑖 , dengan 𝑠̃𝑖 = 𝑏̃𝑖⊕̃𝑑̃𝑖

Sementara itu, 𝑡̃_𝑖= 𝑎̃_𝑖⊕̃𝑐̃_𝑖 merupakan himpunan fuzzy yang α-cutnya adalah interval

[𝑎_𝛼⊕𝑐_𝛼 , 𝑎_𝛼⊕𝑐_𝛼] untuk setiap α ∈[0,1] dan [𝑎_𝛼⊕𝑐_𝛼, 𝑎_𝛼⊕𝑐_𝛼] = [𝑎_𝛼,

𝑎𝛼]⊕[𝑐𝛼,𝑐𝛼]. Karena 𝑎̃𝑖=𝑏̃𝑖 , maka α-cutnya sama, yakni 𝑎̃𝑖α= 𝑏̃𝑖α. Dari sini diperoleh

[𝑎_𝛼,𝑎_𝛼]=[𝑏_𝛼,𝑏_𝛼], sehingga 𝑎_𝛼 = 𝑏_𝛼 , 𝑎_𝛼 = 𝑏_𝛼 dan analog untuk 𝑐̃_𝑖 = 𝑑̃𝑖 . Disisi

lain,

𝑡̃_𝑖 = 𝑎̃_𝑖⊕̃𝑐̃_𝑖 = [𝑎_𝛼⊕𝑐_𝛼 , 𝑎_𝛼⊕𝑐_𝛼] = [𝑎_𝛼, 𝑎_𝛼] ⊕[𝑐_𝛼, 𝑐_𝛼] = [𝑏_𝛼, 𝑏_𝛼] ⊕ [𝑑_𝛼, 𝑑_𝛼]

= [𝑏_𝛼⊕𝑑_𝛼 , 𝑏_𝛼⊕𝑑_𝛼] = 𝑏̃_𝑖⊕̃𝑑̃_𝑖 = 𝑠̃_𝑖

sehingga berlaku p⊕q = p’⊕q’. Dengan demikian, operasi internal ⊕ yang

didefinisikan pada R_max[γ_{] merupakan operasi yang terdefinisi dengan baik.}

Selanjutnya, untuk setiap p, p’∈R_max[γ_{] dan} 𝑣̃_, 𝑤̃ ∈R_{max dengan p = p}’

dan 𝑣̃ = 𝑤̃, diperoleh

𝑣

̃p = 𝑣̃( ⊕_𝑖=0𝑛 𝑎̃_𝑖𝛾𝑖 ) = ⊕_𝑖=0𝑛 𝑣̃𝑎̃_𝑖𝛾𝑖 = ⊕_𝑖=0𝑛 𝑥̃_𝑖𝛾𝑖 dengan 𝑥̃_𝑖 = 𝑣̃𝑎̃_𝑖

𝑤̃p’ = 𝑤̃( ⊕_𝑖=0𝑛 𝑏̃_𝑖𝛾𝑖 ) = ⊕_𝑖=0𝑛 𝑤̃̃𝑏_𝑖𝛾𝑖 = ⊕_𝑖=0𝑛 𝑦̃_𝑖𝛾𝑖 dengan 𝑦̃_𝑖 = 𝑤̃𝑏̃_𝑖

Disini, 𝑣̃𝑎̃_𝑖 merupakan himpunan fuzzy yang α-cutnya adalah interval [𝑎_𝛼⊗𝑣_𝛼 ,

𝑎𝛼⊗𝑣𝛼] untuk setiap α∈[0,1] dan [𝑎𝛼⊗𝑣𝛼 , 𝑎𝛼⊗𝑣𝛼] = [𝑎𝛼, 𝑎𝛼 ] ⊗ [𝑣𝛼, 𝑣𝛼].

Karena 𝑎̃_𝑖 = 𝑏̃_𝑖 , maka α-cutnya, sama yakni ̃𝑎_𝑖α = 𝑏̃_𝑖α . Dari sini diperoleh [𝑣_𝛼, 𝑣_𝛼 ] = [𝑤_𝛼, 𝑤_𝛼]. Akibatnya 𝑣_𝛼 = 𝑤_𝛼 dan 𝑣_𝛼 = 𝑤_𝛼 . Kemudian,

𝑥

̃_𝑖 = 𝑣̃𝑎̃_𝑖 = [𝑎_𝛼⊗𝑣_𝛼 , 𝑎_𝛼⊗𝑣_𝛼] = [𝑎α , 𝑎α ] ⊗ [𝑣_𝛼, 𝑣_𝛼]

= [𝑏_𝛼, 𝑏_𝛼] ⊗ [𝑤_𝛼, 𝑤_𝛼]= [𝑏_𝛼⊗𝑤_𝛼 , 𝑏_𝛼⊗𝑤_𝛼] = 𝑤̃ 𝑏̃_𝑖 = 𝑦̃_𝑖

sehingga diperoleh 𝑣̃p = 𝑤̃p’. Dengan demikian, operasi eksternal yang

didefinisikan pada R_max[γ_{] merupakan operasi yang terdefinisi dengan baik.}

Untuk selanjutnya akan diselidiki sifat-sifat yang berlaku pada operasi

. Misalkan, untuk p, q, r ∈ R_max[γ_{] , p =} ⊕_𝑖=0𝑛 𝑎̃_𝑖𝛾𝑖 _dengan 𝑎̃_𝑖∈R_{max , q =}

⊕_𝑖=0𝑚 𝑏̃𝑖𝛾𝑖 dengan 𝑏̃𝑖∈Rmax dan r = ⊕_𝑖=0𝑘 𝑐̃_𝑖𝛾𝑖 dengan 𝑐̃_𝑖 ∈ Rmax. Tanpa mengurangi keumuman, diambil n ≥ m ≥ k , sehingga

[ p q ] ⊕ r = [ (⊕_𝑖=0𝑛 𝑎̃_𝑖𝛾𝑖 ) ⊕ (⊕_𝑖=0𝑚 𝑏̃_𝑖𝛾𝑖 ) ] ( ⊕_𝑖=0𝑘 𝑐̃_𝑖𝛾𝑖 )

= [ (⊕_𝑖=0𝑛 ( 𝑎̃_𝑖⊕̃ 𝑏̃_𝑖)𝛾𝑖 ) ] ( ⊕_𝑖=0𝑘 𝑐_𝑖𝛾𝑖 )

= ⊕_𝑖=0𝑛 [( 𝑎̃_𝑖⊕̃𝑏_𝑖) ⊕̃ 𝑐̃_𝑖] 𝛾𝑖)= ⊕_𝑖=0𝑛 [ 𝑎̃_𝑖 ⊕̃( 𝑏̃_𝑖⊕̃ 𝑐̃_𝑖)] 𝛾𝑖

= ( ⊕_𝑖=0𝑛 𝑎̃_𝑖𝛾𝑖 ) ⊕ [ ( ⊕_𝑖=0𝑚 𝑏̃_𝑖𝛾𝑖)⊕(⊕𝑖=0𝑘 𝑐̃𝑖𝛾𝑖)]

= p [q r]

Dengan demikian, operasi bersifat assosiatif pada R_max[γ_].

Berikutnya akan diselidiki sifat komutatif operasi pada R_max[γ_{]. Untuk}

setiap p, q ∈R_max[γ_{] berlaku}

p q = (⊕_𝑖=0𝑛 𝑎̃_𝑖𝛾𝑖 ) ⊕ (⊕_𝑖=0𝑚 𝑏̃_𝑖𝛾𝑖 ) = ⊕_𝑖=0𝑛 (𝑎̃_𝑖⊕̃ 𝑏̃_𝑖)𝛾𝑖

= ⊕_𝑖=0𝑛 (𝑏̃_𝑖⊕̃ 𝑎̃_𝑖)𝛾𝑖= (⊕_𝑖=0𝑚 𝑏̃_𝑖𝛾𝑖 ) ⊕ (⊕𝑛_𝑖=0 𝑎̃_𝑖𝛾𝑖 ) = q ⊕ p

Dengan demikian, operasi bersifat komutatif pada R_max[γ_].

Polinomial nol ε merupakan elemen pada R_max[γ_{], karena} ε ₌ ⊕_𝑖=0𝑛 𝑎̃_𝑖𝛾𝑖_,

dengan 𝑎̃𝑖 = ε adalah himpunan fuzzy dengan α-cutnya adalah interval [ε,ε ].

Untuk setiap p = ⊕_𝑖=0𝑛 𝑎̃_𝑖𝛾𝑖∈R_max[γ_{] berlaku}

p ε =(⊕_𝑖=0𝑛 𝑎̃_𝑖𝛾𝑖) ⊕ (⊕_𝑚=0𝑛 𝜀̃𝛾𝑖)= ⊕_𝑖=0𝑛 (𝑎̃_𝑖 ⊕̃ 𝜀̃) 𝛾𝑖= ⊕_𝑖=0𝑛 𝑎̃_𝑖 𝛾𝑖 = p

Secara analog, juga berlaku ε ⊕ p = p. Dengan demikian, R_max[γ_{] mempunyai}

elemen nol yaitu polinomial nol ε.

Untuk selanjutnya akan diselidiki sifat yang yang berlaku pada operasi

pergandaan skalar. Untuk setiap 𝑣̃, 𝑤̃ ∈R_{max dan p, q} ∈R_max[γ_]

i. 𝑣̃ [ p q ] = 𝑣̃ [(⊕𝑛_𝑖=0 𝑎̃_𝑖𝛾𝑖 ) ⊕ (⊕_𝑖=0𝑚 𝑏̃_𝑖𝛾𝑖 ) ] = 𝑣̃ [⊕_𝑖=0𝑛 (𝑎̃_𝑖⊕̃ 𝑏̃_𝑖)𝛾𝑖 ]

= ⊕_𝑖=0𝑛 𝑣̃( 𝑎̃_𝑖⊕̃ 𝑏̃_𝑖)𝛾𝑖 = ⊕_𝑖=0𝑛 ( 𝑣̃ 𝑎̃_𝑖⊕̃𝑣̃ 𝑏̃_𝑖)𝛾𝑖

= (⊕_𝑖=0𝑛 𝑣̃ 𝑎̃_𝑖𝛾𝑖) ⊕ (⊕_𝑖=0𝑚 ̃𝑣 𝑏̃_𝑖𝛾𝑖 )=𝑣̃(⊕_𝑖=0𝑛 𝑎̃_𝑖𝛾𝑖)

𝑣

̃ (⊕_𝑖=0𝑚 𝑏̃_𝑖𝛾𝑖 )

= 𝑣̃ p 𝑣̃ q

ii. [𝑣̃⊕̃𝑤̃ ] p = [̃𝑣⊕̃ 𝑤̃ ] ( ⊕_𝑖=0𝑛 𝑎̃_𝑖𝛾𝑖 ) = (⊕_𝑖=0𝑛 [𝑣̃ ⊕̃ 𝑤̃ ] 𝑎̃_𝑖𝛾𝑖 )

= (⊕_𝑖=0𝑛 [𝑣̃ 𝑎̃_𝑖 ⊕̃ 𝑤̃ 𝑎̃_𝑖 ] 𝛾𝑖 ) = (⊕𝑛_𝑖=0 𝑣̃ 𝑎̃_𝑖𝛾𝑖 ) ⊕ (⊕_𝑖=0𝑛 𝑤̃𝑎̃〰𝛾𝑖 )

= 𝑣̃ (⊕_𝑖=0𝑛 𝑎̃_𝑖𝛾𝑖 ) ⊕ 𝑤̃ (⊕_𝑖=0𝑛 𝑎̃_𝑖𝛾𝑖 ) = 𝑣̃ p ⊕ 𝑣̃ p

iii. 𝑣̃ [ 𝑤̃ p ] = 𝑣̃ [ 𝑤̃ ( ⊕_𝑖=0𝑛 𝑎̃_𝑖𝛾𝑖 ) ] = 𝑣̃ [ ⊕_𝑖=0𝑛 (𝑤̃ 𝑎̃_𝑖) 𝛾𝑖 _{] = [ ⊕} 𝑖=0

𝑛 _{𝑣̃ (𝑤̃ 𝑎̃} 𝑖) 𝛾𝑖 ]

= [ ⊕_𝑖=0𝑛 (𝑣̃ 𝑤̃) 𝑎̃_𝑖 𝛾𝑖 ] =(𝑣̃ 𝑤̃) [ ⊕_𝑖=0𝑛 𝑎̃_𝑖 𝛾𝑖 ] = (𝑣̃ 𝑤̃) 𝑝

Selanjutnya 𝑒̃ p = 𝑒̃ ( ⊕_𝑖=0𝑛 𝑎̃_𝑖𝛾𝑖 ) = ⊕_𝑖=0𝑛 𝑒̃𝑎̃_𝑖𝛾𝑖 = ⊕_𝑖=0𝑛 𝑎̃_𝑖𝛾𝑖 = 𝑝 dengan 𝑒̃ adalah

elemen satuan pada R_{max , yakni himpunan fuzzy dengan} α_{-cutnya adalah interval} [e,e]. Kemudian 𝜀̃ p = 𝜀̃ ( ⊕_𝑖=0𝑛 𝑎̃_𝑖𝛾𝑖 ) = ⊕𝑛_𝑖=0 𝜀̃𝑎̃_𝑖𝛾𝑖 = ⊕_𝑖=0𝑛 𝜀̃𝛾𝑖 = 𝜀̃.

Dari uraian sebelumnya, terbukti bahwa operasi internal pada R_max[γ_]

dan operasi eksternal pergandaan skalar yang dikerjakan pada R_max[γ_{] dan} R_max

memenuhi ⊕ assosiatif , komutatif dan untuk setiap 𝑣̃, 𝑤̃ ∈ R_{max , dan} 𝑝, 𝑞 ∈

R_max[γ_{] berlaku} 𝑣̃(𝑝 ⊕ 𝑞)= 𝑣̃𝑝 ⊕ 𝑣̃𝑞 _, (𝑣̃⊕ w̃ )𝑝 = 𝑣̃𝑝 ⊕ w_̃𝑝_, 𝑣̃(𝑤_̃𝑝)= ( 𝑣̃w_̃)𝑝

, 𝑒̃𝑝 = 𝑝, serta 𝜀̃𝑝 = ε. Dengan demikian, memenuhi aksioma-aksioma pada semi

modul atas semi ring. Jadi, R_max[γ_{] merupakan semimodul atas} R_{max. Dengan kata}

lain, himpunan polinomial fuzzy merupakan semi modul atas semi ring aljabar

max-plus fuzzy.

KESIMPULAN

Operasi internal pada himpunan polinomial fuzzy dan operasi eksternal

pada himpunan polinomial fuzzy atas aljabar max-plus fuzzy memenuhi

aksioma-aksioma pada semi modul atas semi ring. Dengan demikian, himpunan polinomial

DAFTAR PUSTAKA

Bacelli, F, et al. 2001. Synchronization and Linearity. New York : John Wiley & Sons.

Rudhito, A, 2007. Semimodul Bilangan Fuzzy atas Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy. Prosiding Seminar Nasional Matematika, F MIPA UPI&IndoMS 2007

--- 2006. Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur. Artikel Berkala MIPA

Susilo, F. 2006. Himpunan dan Logika Kabur serta Aplikasinya. Yogyakarta : Graha Ilmu

Zimmermann, H.J. 1991. Fuzzy Set Theory and Its Applications. Kluwer Academic Publishers, USA