BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Perpipaan - Analisa Tegangan Statik Sistem Perpipaan Pada Tangki Minyak (Oil Tank) Dengan Menggunakan Software Caesar Ii V.5.10

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Sistem Perpipaan

Pipa digunakan untuk mengalirkan fluida (zat cair atau gas) dari satu atau beberapa titik ke satu titik atau beberapa titik lainnya. Sistem perpipaan (piping system) terdiri dari gabungan pipa-pipa yang memiliki panjang total relatif pendek dan digunakan untuk mengalirkan fluida dari suatu peralatan ke peralatan lainnya yang beroperasi pada suatu plant. Sistem perpipaan dilengkapi dengan komponen-komponen seperti katup, flens, belokan, percabangan, nozzle, reducer, tumpua n, isolasi, dan lain-lain.

Dalam dunia industri, biasa dikenal beberapa istilah mengenai sistem perpipaan seperti piping dan pipeline.Piping adalah sistem perpipaan di suatu plant, sebagai fasilitas untuk mengantarkan fluida (cairan atau gas) antara satu komponen ke komponen lainnya untuk melewati proses-proses tertentu. Piping ini tidak akan keluar dari satu wilayah plant. Sedangkan Pipeline adalah sistem perpipaan untuk mengantarkan fluida antara satu plant ke plant lainnya yang biasanya melewati beberapa daerah. Ukuran panjang pipa biasanya memiliki panjang lebih dari 1 km bergantung jarak antar plant.

tangki penyimpan, sistem distribusi udara pendingin pada suatu gedung, sistem distribusi uap pada proses pengeringan dan lain sebagainya.

Sistem perpipaan meliputi semua komponen dari lokasi awal sampai dengan lokasi tujuan antara lain, saringan (strainer), katup atau kran, sambungan, nozzel dan sebagainya. Untuk sistem perpipaan yang fluidanya liquid, umumnya dari lokasi awal fluida, dipasang saringan untuk menyaring kotoran agar tidak menyumbat aliran fuida. Saringan dilengkapi dengan katup searah ( foot valve) yang fungsinya mencegah aliran kembali ke lokasi awal atau tandon. Sedangkan sambungan dapat berupa sambungan penampang tetap, sambungan penampang berubah, belokan (elbow) atau sambungan bentuk T (Tee).

2.2 Teori Tegangan

Pengetahuan mengenai sifat-sifat mekanik material sangat penting. Melalui pengetahuan ini dapat diperkirakan tegangan-tegangan yang terjadi pada sistem perpipaan. Dalam kode ditetapkan aturan-aturan agar pada sistem perpipaan tidak terjadi tegangan yang berlebih sehingga dapat terhindar dari kegagalan. Secara umum teori tegangan pada sistem perpipaan merupakan pengembangan dari teori tegangan dalam mekanika. Oleh sebab itu, dapat digunakan dalam perhitungan dan analisis tegangan pada sistem perpipaan.

2.2.1. Tegangan Satu Arah (Uniaxial)

benda merupakan tegangan tarik untuk keadaan normal ( tanpa terbentuk sudut ). Untuk tegangan yang terdapat pada benda dengan sudut tertentu,maka akan dihasilkan tagangan geser dan tegangan tarik dalam arah 𝜃𝜃. Keadaan tegangan ini

pada aplikasi suatu batang lurus berpenampang A dengan gaya dan arah yang ditunjukkan seperti gambar 2.1. Dianggap bahwa tegangan terbagi rata diseluruh penampang yang tegak lurus dengan luasan pada benda, dimana gaya yang bekerja terdapat pada koordinat sumbu x.

Gambar 2.1 Distribusi Tegangan Uniaxial

Akibat dari gaya-gaya yang bekerja pada benda, maka akan terbentuk sudut potong pada benda sebesar 𝜃𝜃. Dimana dengan sudut tersebut akan diproyeksikan nilai tegangan – tegangan yang terjadi pada benda tersebut seperti tegangan geser dan tarik dalam arah 𝜃𝜃. Kesetimbangan gaya dan tegangan dapat dilihat pada gambar 2.2.

Gambar 2.2 Distribusi Tegangan Uniaxial

A

F F

𝜎𝜎=𝐹𝐹 𝐴𝐴

Persamaan untuk distribusi tegangan pada gambar 2.2 dapat dilihat pada persamaan dibawah ini.

dimana:

σ

= tegangan (N/𝑚𝑚2)

P = gaya (N)

A = luas penampang (𝑚𝑚2)

Gambar 2.3 Distribusi Tegangan Uniaxial setelah dipotong

Pada gambar 2.3 terlihat beberapa tegangan yang terdapat pada benda yang membentuk sudut 𝜃𝜃. Dengan menuliskan bentuk persamaan dari gambar tersebut kedalam kesetimbangan gaya maka akan diperoleh nilai tegangan tarik dan tegangan geser.

𝜃𝜃

𝜎𝜎𝑥𝑥 𝜎𝜎𝑥𝑥

𝜃𝜃 𝜃𝜃

𝐴𝐴𝜃𝜃

𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥

𝜎𝜎𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃

𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃

𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 𝜎𝜎=𝐹𝐹

𝐴𝐴

Untuk persamaan tegangan tarik pada gambar 2.3 diperoleh dengan menjumlahkan tegangan pada garis sumbu yang sama, dimana tegangan terhadap sudut 𝜃𝜃 bekerja pada arah yang samadengan tegangan 𝜎𝜎_𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃, dengan

menggunakan kesetimbangan gaya akan diperoleh persamaan 2.1.

𝜎𝜎𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 -𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 = 0 (2.1)

Untuk menentukan nilai 𝐴𝐴_𝑥𝑥dapat diubah ke dalam bentuk A𝜃𝜃 dengan menggunakan persamaan 2.2 :

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 = 𝐴𝐴_𝐴𝐴𝑥𝑥

𝜃𝜃

𝐴𝐴𝑥𝑥 = 𝐴𝐴𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 (2.2)

Dengan demikian nilai𝐴𝐴_𝑥𝑥 pada persamaan 2.2, dapat disubstitusikan kedalam persamaan 2.1 sehingga akan diperoleh persamaan tegangan tarik

𝜎𝜎𝜃𝜃yang bekerja terhadap sumbu 𝜃𝜃,dapat dilihat pada persamaan 2.3:

𝜎𝜎𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃-𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃= 0

𝜎𝜎𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃

𝜎𝜎𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥(𝐴𝐴𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃

𝜎𝜎𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃 (2.3)

Pada saat kondisi𝜃𝜃 = 0 , maka persamaan 2.3 akan berubah menjadi persamaan 2.4 :

𝐴𝐴𝑥𝑥

𝜎𝜎𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃 𝜎𝜎𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥(12)

𝜎𝜎_𝜃𝜃 = 𝜎𝜎_𝑥𝑥 (2.4)

Untuk persamaan tegangan geser pada gambar 2.3 diperoleh dengan menjumlahkan semua tegangan pada garis sumbu yang sama, dimana tegangan geser terhadap sudut 𝜃𝜃 bekerja pada arah yang sama dengan tegangan 𝜎𝜎_𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃, dengan menggunakan kesetimbangan gaya akan diperoleh persamaan 2.5 :

𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 − 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃= 0

𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃

𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝜃𝜃𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃

𝜏𝜏𝜃𝜃 =𝜎𝜎𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 (2.5)

Melalui persamaan trigonometri diketahui bahwa :

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃= 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 = 1

2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃

Dengan merubah persamaan trigonometri diatas kedalam persamaan trigonometri pada persamaan tegangan geser maka akan dihasilkan persamaan akhir untuk tegangan geser, yaitu pada persamaan 2.6 :

𝜏𝜏𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃

Pada saat kondisi𝜃𝜃 = 0 dan 𝜃𝜃= 45𝑐𝑐 , akan diperoleh tegangan geser:

𝜃𝜃 = 0 𝜃𝜃= 45𝑐𝑐

𝜏𝜏𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥1₂𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2(0) 𝜏𝜏𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥1₂𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2(45°)

𝜏𝜏_𝜃𝜃 =0 𝜏𝜏_𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥

2

Tegangan tarik maksimum adalah nilai tegangan pada batas tertinggi yang dapat diterima oleh benda yang mengalami gaya tarik pada luasan .Tegangan tarik maksimum merupakan batas pada benda untuk berubah bentuk ketika diberikan pembebanan secara terus menerus sehingga melewati batas nilai tegangan maksimum.Nilai dari tegangan ini dapat dihitung melalui perhitungan secara matimatik pada lingkaran mohr pada gambar 2.4 diatas.

Syarat untuk memperoleh tegangan tarik maksimum adalah :

𝜃𝜃= 0, 90, 180

𝜃𝜃= 0,𝜋𝜋 2,𝜋𝜋

Sehingga 𝜎𝜎_𝜃𝜃 maximum pada 𝜃𝜃 = 0𝑐𝑐 dapat diperoleh dengan memasukkan nilai sudut yang mengakibatkan terbentuknya tegangan tarik maksimum.

𝜎𝜎𝜃𝜃 = 𝜎𝜎₂𝑥𝑥+ 𝜎𝜎₂𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃

𝜎𝜎𝜃𝜃 = 𝜎𝜎₂𝑥𝑥+ 𝜎𝜎₂𝑥𝑥 (1) = 𝜎𝜎𝑥𝑥

𝜎𝜎𝜃𝜃𝑚𝑚𝜃𝜃𝑥𝑥 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 ( 2.7)

Tegangan geser maksimum adalah tegangan yang paling besar diterima benda ketika diberikan gaya F pada arah 𝜃𝜃. Dengan demikian tegangan geser maksimum merupakan batas dari tegangan yang dapat diterima oleh benda yang jika diberikan gaya yang lebih besar maka akan terjadi perubahan bentuk pada benda.

Syarat untuk terjadinya tegangan geser maksimum adalah :

𝜕𝜕𝜏𝜏𝜃𝜃

𝜕𝜕𝜃𝜃 = 0

𝜕𝜕 �σx₂�sin2θ

𝜕𝜕𝜃𝜃 = 0

2�σx

2�cos2θ= 0

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃 = 0

𝜃𝜃= 𝜋𝜋

4, 3𝜋𝜋

Sehingga dengan memasukkan besaran sudut yang menghasilkan tegangan geser maksimum akan diperoleh nilai maksimum dari tegangan geser yaitu pada persamaan 2.8 :

𝜏𝜏𝜃𝜃𝑚𝑚𝜃𝜃𝑥𝑥 = 𝐵𝐵𝐵𝐵′ =𝑚𝑚𝐵𝐵sin 2𝜃𝜃

=𝜎𝜎𝑥𝑥

2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2

𝜋𝜋 4 =

𝜎𝜎𝑥𝑥 2

𝜏𝜏𝜃𝜃𝑚𝑚𝜃𝜃𝑥𝑥 = 𝜎𝜎₂𝑥𝑥 ( 2.8 )

2.2.1.1 Lingkaran Mohruntuk Tegangan Uniaxial

Persamaan lingkaran mohr untuk tegangan uniaxial diperoleh dengan menjumlahkan kuadrat dari tiap –tiap tegangan geser dan tegangan tarik pada arah

𝜃𝜃 yang merupakan bentuk dari persamaan dasar lingkaran. Persamaan yang

dibentuk akan menjadi persamaan lingkaran mohr untuk tegangan uniaxial, merupakan bentuk perwakilan dari besaran besaran nilai tegangan kedalam bentuk gambar. Penyederhanaan persamaan untuk lingkaran mohr dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan trigonometri dalam aturan kosinus sebagai berikut.

cos 2𝜃𝜃= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃

Cos 2𝜃𝜃 =𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃 −(1− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃)

cos 2𝜃𝜃= 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃 − 1 2cos 2𝜃𝜃= 1 +𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃

cos2𝜃𝜃 = 1

2 +

1

Persamaan untuk tegangan tarik pada arah 𝜃𝜃 dengan menggunakan penyederhanaan aturan kosinus.

𝜎𝜎𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃

Persamaan untuk tegangan geser pada permukaan 𝜃𝜃yaitu :

𝜏𝜏𝜃𝜃 =𝜎𝜎₂𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃

Pada penjumlahan eliminasi yang sama sehingga akan menghasilkan persamaan lingkaran mohr sebagai berikut:

Dengan demikian persamaan lingkaran mohr diperoleh pada persamaan 2.12:

(𝜎𝜎_𝜃𝜃 −𝜎𝜎𝑥𝑥

2) 2_+𝜏𝜏

𝜃𝜃2 = = (𝜎𝜎₂𝑥𝑥) 2 ( 2.12 )

Gambar 2.4 Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Uniaxial

x y

n

𝜃𝜃 𝜃𝜃

2.2.2. Tegangan Dua Arah (Biaxial)

Tegangan biaxial adalah tegangan yang bekerja pada suatu benda dimana gaya yang berkerja terjadidalam dua arah. Tegangan dalam dua arah meliputi tegangan terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y.Tegangan yang dialami oleh benda merupakan tegangan tarik untuk keadaan normal ( tanpa terbentuk sudut ). Untuk tegangan yang terdapat pada benda dengan sudut tertentu,maka akan dihasilkan tagangan geser dan tegangan tarik dalam arah 𝜃𝜃. sehingga dengan

menggunakan kesetimbangan energi akan diperoleh persamaan persamaan untuk tegangan geser dan tegangan tarik. Pada tegangan biaxial terdapat tiga tegangan yang bekerja pada tiap garis yang sama yaitu tegangan pada sudut 𝜃𝜃, tegangan pada luasan sumbu y dan tegangan pada sumbu x yang diproyeksikan terhadap satu garis yang sama.

Gambar.2.5 tegangan pada sebuah batang

Dari gambar 2.5 akan diperoleh persamaan untuk tegangan tarik dan geser dengan menggunakan kesetimbangan gaya pada satu sumbu garis yang sama.Untuk persamaan tegangan tarik pada gambar 2.5 diperoleh dengan menjumlahkan tegangan pada garis sumbu yang sama, dimana tegangan terhadap sudut 𝜃𝜃 bekerja pada arah yang samadengan tegangan 𝜎𝜎_𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 dan 𝜎𝜎_𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 pada dua luasan yang berbeda dengan menggunakan kesetimbangan gaya akan diperoleh persamaan 2.13.

𝜎𝜎𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃−𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥cos θ −𝜎𝜎𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦 sin θ =0

𝜎𝜎𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥cos θ + 𝜎𝜎𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦 sin θ

𝜎𝜎𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥(𝐴𝐴𝜃𝜃 cos θ) cos θ + 𝜎𝜎𝑦𝑦(𝐴𝐴𝜃𝜃 sin θ) sin θ

𝜎𝜎𝜃𝜃= 𝜎𝜎𝑥𝑥 cos2θ + 𝜎𝜎𝑦𝑦 sin2

𝜎𝜎_𝜃𝜃= 1

2 (𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎𝑦𝑦) + 1

2 (𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦) cos 2θ ( 2.13 ) θ

Jadi persamaan untuk menentukan tegangan maksimal pada tegangan dua arah adalah :

𝝈𝝈𝜽𝜽= 𝟏𝟏_𝟐𝟐 (𝝈𝝈𝒙𝒙+ 𝝈𝝈𝒚𝒚) + 𝟏𝟏_𝟐𝟐 (𝝈𝝈𝒙𝒙− 𝝈𝝈𝒚𝒚) cos 2θ (2.14)

geser terhadap sudut 𝜃𝜃 bekerja pada arah yang sama dengan tegangan 𝜎𝜎_𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃

dan 𝜎𝜎_𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃pada dua gaya yang bekerja pada permukaan 𝜃𝜃dengan menggunakan

kesetimbangan gaya (Lit. Timosenko, hal 47).

𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 − 𝜎𝜎𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 = 0

𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝜎𝜎𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃

𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥(𝐴𝐴𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝜎𝜎𝑦𝑦(𝐴𝐴𝜃𝜃 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃

𝜏𝜏𝜃𝜃 =𝜎𝜎𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝜎𝜎𝑦𝑦𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃

𝝉𝝉𝜽𝜽= 𝟏𝟏_𝟐𝟐 (𝝈𝝈𝒙𝒙− 𝝈𝝈𝒚𝒚)sin2θ (2.15)

Tegangan tarik maksimum adalah nilai tegangan pada batas tertinggi yang dapat diterima oleh benda yang mengalami gaya tarik pada luasan .Tegangan tarik maksimum merupakan batas pada benda untuk berubah bentuk ketika diberikan pembebanan secara terus menerus sehingga melewati batas nilai tegangan maksimum.Nilai dari tegangan ini dapat dihitung melalui perhitungan secara matimatik pada lingkaran mohr pada gambar 2.6 diatas.

Syarat untuk mendapatkan tegangan tarik maksimum adalah :

𝜕𝜕𝜎𝜎𝜃𝜃

𝜕𝜕𝜃𝜃 = 0

𝜕𝜕[�σx+ σy

2 �+ �

σx−σy

2 � cos2θ

0 + −2�σx− σy

Tegangan tarik maksimum diperoleh dengan mensubsitusikan nilai sudut yang mengakibatkan terbentuknya tegangan tarik maksimum untuk tegangan biaxial.

Tegangan geser maksimum adalah tegangan yang paling besar diterima benda ketika diberikan gaya F pada arah 𝜃𝜃. Dengan demikian tegangan geser maksimum

merupakan batas dari tegangan yang dapat diterima oleh benda yang jika diberikan gaya yang lebih besar maka akan terjadi perubahan bentuk pada benda.

Syarat untuk terjadinya tegangan geser maksimum adalah :

𝜕𝜕τθ

𝜕𝜕𝜃𝜃 = 0

𝜕𝜕 �σx−σy₂ �sin2θ

2�σx − σy

2 �cos2θ= 0

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃 = 0

𝜃𝜃= 𝜋𝜋

4, 3𝜋𝜋

4

Dengan demikian akan diperoleh nilai dari tegangan geser maksimum dengan memasukkan besaran dari nilai sudut yang menghasilkan tegangan maksimum. Sehingga akan diperoleh tegangan geser maksimum untuk biaxial ditunjukkan pada persamaan 2.17 :

τθ= �σx−σy₂ �sin2 (𝜋𝜋₄)

τθ= �σx−σy₂ �sin 2 (45o)

τmax= �

σx−σy

2 � ( 2.17)

2.2.2.1Lingkaran Mohr untuk Tegangan Biaxial

Persamaan lingkaran mohr untuk tegangan biaxial diperoleh dengan menjumlahkan kuadrat dari tiap –tiap tegangan geser dan tegangan tarik pada arah

𝜃𝜃 yang merupakan bentuk dari persamaan dasar lingkaran. Persamaan yang

dibentuk akan menjadi persamaan lingkaran mohr untuk tegangan biaxial, merupakan bentuk perwakilan dari besaran besaran nilai tegangan kedalam bentuk gambar.

σθ−(σx+ ₂σy) = (σx−σy₂ ) cos 2θ

τθ= �σx−σy₂ �sin2θ

Sehingga dengan menjumlahkan kuadrat dari tiap persamaan tegangan akan terbentuk persamaan lingkaran dasar dalam bentuk tegangan umum yang dapat menentukan nilai maksimum dan nilai minimum tegangan geser dan tegangan tarik.

[σ_θ− (σx+ σy

2 )]

2 _{= (}σx−σy

2 )

2_{𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠}2_2𝜃𝜃

τθ = �

σx−σy

2 �

2

sin22θ

[σ_θ− (σx+ σy

2 )] 2 _{+ (τ}

θ)2= (σx−σy₂ )2

(𝑥𝑥 − 𝜃𝜃)2+ (𝑦𝑦 − 𝑏𝑏)2 = 𝑟𝑟2

(𝑥𝑥 − 𝜃𝜃)2+ (𝑦𝑦)2= 𝑟𝑟2

Gambar 2.6 Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Biaxial

Gambar pada lingkaran mohr merupakan bentuk perhitungan tegangan secarah menyeluruh, dimana dengan gambar tersebut akan dapat lebih mudah untuk menentukan tegangan maksimum dan minimum yang dialami oleh benda yang dapat dilihat melalui ilustrasi gambar. Pada lingkaran mohr untuk tegangan uniaxial dapat dilihat bahwa nilai dari tegangan minimum adalah nol untuk tegangan tarik.

O 𝜎𝜎

𝜏𝜏

𝜎𝜎𝜃𝜃

𝜎𝜎𝑦𝑦

C

𝐶𝐶′ _A 2𝜃𝜃

σx− σy

2

σx+ σy

2

𝜎𝜎𝜃𝜃−σx

+σy

2 M

B

𝜏𝜏𝜃𝜃

𝜎𝜎𝑥𝑥 𝜏𝜏𝑚𝑚𝜃𝜃𝑥𝑥

𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃

2.2.3 Tegangan Utama (Principal Stress)

Tegangan maksimum atau minimum pada suatu batang dapat digambarkan pada sebuah elemen yang mendapat beban. Dimana penjabaran tegangan yang terjadi dapat diuraikan, sehingga nantinya mendapatkan persamaan minimum dan maksimum untuk mencari nilai suatu tegangan. Titik centroid pada benda akan menjabarkan tegangan-tegangan yang terjadi, sehingga untuk mendapatkan persamaan akan lebih mudah.

Gambar.2.7 tegangan umum yang terjadi

Tegangan tarik utama adalah tegangan yang dibentuk dari gaya tarik utama pada tiap – tiap sumbu yaitu tegangan tarik pada sumbu x dan tegangan tarik terhadap sumbu y, dimana persamaan untuk tegangan tarik utama diperoleh dengan menjumlahkan tiap tegangan pada satu sumbu yang sama dan segaris. Tegangan tarik pada luasan θ terletak pada satu garis dengan tegangan 𝜎𝜎_𝑥𝑥cos θ

dan σysin θ. Dengan penjumlahan secara vektor maka akan diperoleh persamaan

untuk tegangan tarik utama yang terlihat pada persamaan 2.18 berikut :

σθAθ = σx Ax cos θ + σy Ay sin θ- 2 τ

σθAθ= σ

xy A_θcos θ sin θ

x (A_θcos θ) cos θ+ σy (A_θsin θ)sin θ - 2 τ

σθ = σ

xy A_θcos θ sin θ

x cos2θ+ σy sin2θ- 2 τxy cos θ sin θ

𝛔𝛔𝛉𝛉 = (𝛔𝛔𝐱𝐱+ _𝟐𝟐𝛔𝛔𝐲𝐲)+(𝛔𝛔𝐱𝐱−_𝟐𝟐𝛔𝛔𝐲𝐲) cos 2θ - 2 τxy sin 2θ ( 2.18)

Tegangan geser utama adalah tegangan yang dibentuk dari gaya geser utama pada tiap – tiap sumbu yaitu tegangan geser pada sumbu x dan tegangan geser terhadap sumbu y, dimana persamaan untuk tegangan geser utama diperoleh dengan menjumlahkan tiap tegangan pada satu sumbu yang sama dan segaris. Tegangan geser θ yang terletak pada satu garis dengan tegangan 𝜎𝜎_𝑥𝑥sin θ dan σycos

θ. Dengan penjumlahan secara vektor maka akan diperoleh persamaan untuk

𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 +𝜎𝜎𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃+𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃= 0

Tegangan tarik maksimum adalah nilai tegangan pada batas tertinggi yang mampu diterima oleh beban. Tegangan tarik maksimum merupakan batas yang diizinkan dalam pemberian gaya berupa pembebanan. Tagangan tarik maksimum pada tegangan utama memiliki syarat dalam penentuan nilai sudut yang dibentuk.

Syarat untuk memperoleh tegangan tarik utama maksimum adalah :

�𝜎𝜎𝑥𝑥− 𝜎𝜎𝑦𝑦�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃= −4𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃

Sehingga Tegangan Tarik Utama Maximum adalah :

𝜎𝜎𝑚𝑚𝜃𝜃𝑥𝑥 = �𝜎𝜎𝑥𝑥

Tegangan geser utama maksimum adalah batas nilai tegangan tertinggi yang mampu diterima oleh benda pada pembentukan sudut tertentu, dimana nilai sudut yang dibentuk dapat ditentukan dengan menentukan titik maksimum dari tegangan geser utama.Syarat untuk menentukan tegangan geser utama maksimum mempengaruhi besarnya pembebana yang mampu diterima oleh benda.

𝜕𝜕𝜏𝜏𝜃𝜃

Sehingga Tegangan Geser Maximum Utama adalah :

2.2.3.1. LingkaranMohr Tegangan Utama

Lingkaran mohr untuk tegangan utama dibentuk dari persamaan dasar dari lingkaran dengan menjumlahkan persamaan pada tegangan tarik utama dan tegangan geser utama.Persamaan yang diperoleh merupakan dasar untuk membentuk lingkaran. tegangan tarik utama minimum dapat dihitung melalui penentuan titik terdekat pada sumbu x. Persamaan – persamaan tersebut dapat dilihat pada lingkaran mohr pada gambar 2.8.

Gambar 2.8 Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Utama

Dengan demikian nilai – nilai tegangan yang dapat diperhitungkan pada pembebana yang diberikan dapat dilihat berdasarkan gambar yang dilukis berdasarkan perhitungan dari nilai – nilai tegangan tarik dan geser pada sudut pembentuk.Diagram mohr merupakan bentuk dari semua tegangan yang mempengaruhi benda yang dapat dilihat melalui gambar.

2.3. Sistem Penumpu

Pipe support adalah salah satu bagian yang penting dalam sistem perpipaan atau di suatu plant. Sistem penumpu berfungsi untuk menahan dan mengkondisikan suatu sistem perpipaan sehingga aman sampai waktu yang telah ditentukan, bahkan diharapkan berfungsi selama pipa masih digunakan.

2.3.1. Momen Lentur (Bending Momen)

Jadi momen lentur merupakan kebalikan (arah) dari tahanan momen dengan besaran yang sama. Momen lentur juga dinotasikan dengan M. Momen lentur lebih lazim digunakan daripada tahanan momen dalam perhitungan karena momen ini dapat dinyatakan secara langsung dari beban atau gaya-gaya eksternalnya.

2.3.2. Gaya geser

2.3.3. Gaya dan Momen pada tumpuan

Ketika pipa dibebani dengan gaya atau momen, tegangan internal terjadi pada batang. Secara umum, terjadi tegangan normal dan tegangan geser.Untuk menentukan besarnya tegangan-tegangan ini pada suatu bagian atau titik tersebut.Untuk menentukan besarnya resultan pada tumpuan dapat menggunakan persamaan-persamaan kesetimbangan.

Berikut ini adalah contoh analisa 1 dimensi arah x untuk menentukan arah gaya dan momen pada sebuah pipa yang ditumpu.

FBD:

RAx

RAy RBy

Gambar 2.9 Free Body Diagram kesetimbangan gaya dan momen

Dari diagram benda bebas diatas akan didapat gaya–gaya reaksi yang bekerja pada tiap tumpuan yang terlihat pada persamaan dari gambar 2.9.

A B

L

a b

∑𝑀𝑀𝐴𝐴 = 0

𝑃𝑃𝜃𝜃 − 𝑅𝑅𝐵𝐵𝑦𝑦(𝐿𝐿) = 0

𝑅𝑅𝐵𝐵𝑦𝑦 (𝐿𝐿) = 𝑃𝑃𝜃𝜃

𝑅𝑅𝐵𝐵𝑦𝑦

=

𝑃𝑃𝜃𝜃_𝐿𝐿

∑𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0

𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦 + 𝑅𝑅𝐵𝐵𝑦𝑦 − 𝑃𝑃= 0

𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦 =𝑃𝑃 − 𝑅𝑅𝐵𝐵𝑦𝑦

𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦 =𝑃𝑃 −

𝑃𝑃𝜃𝜃

_𝐿𝐿

𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦

=

𝑃𝑃𝑏𝑏

_𝐿𝐿

Persamaan momen untuk batasan 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝜃𝜃

𝑅𝑅𝐴𝐴𝑥𝑥

𝑅𝑅_{𝐴𝐴𝑦𝑦}

∑𝑀𝑀 = 0

𝑀𝑀𝑥𝑥− 𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 0

𝑀𝑀𝑥𝑥 = 𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦(𝑥𝑥)

𝑀𝑀𝑥𝑥 = 𝑃𝑃𝑏𝑏_𝐿𝐿 (𝑥𝑥)

v Mx

x

Untuk nilai x = 0

𝑀𝑀0 = 0

Untuk nilai x = a

𝑀𝑀𝜃𝜃 = 𝑃𝑃𝑏𝑏_𝐿𝐿𝜃𝜃

Dan untuk persamaan gaya geser diperoleh :

∑𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0

𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦 − 𝑉𝑉𝑥𝑥 = 0

𝑉𝑉𝑥𝑥 =𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦

𝑉𝑉𝑥𝑥 =𝑃𝑃𝑏𝑏_𝐿𝐿

Untuk nilai x = 0

𝑉𝑉0 =

𝑃𝑃𝑏𝑏 𝐿𝐿

Untuk nilai x = a

𝑉𝑉𝜃𝜃 = 𝑃𝑃_𝐿𝐿𝑏𝑏

Sedangkan persamaan momen untuk batasan𝜃𝜃 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝐿𝐿

x

M

a _v

𝑅𝑅_{𝐴𝐴𝑋𝑋}

𝑅𝑅_{𝐴𝐴𝑋𝑋}

Nx P

∑𝑀𝑀𝐴𝐴 = 0

𝑀𝑀𝑥𝑥+𝑃𝑃(𝑥𝑥 − 𝜃𝜃)− 𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 0

𝑀𝑀𝑥𝑥 = 𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦(𝑥𝑥)− 𝑃𝑃(𝑥𝑥 − 𝜃𝜃)

𝑀𝑀𝑥𝑥 =

𝑃𝑃𝑏𝑏

_𝐿𝐿

(𝑥𝑥)− 𝑃𝑃(𝑥𝑥 − 𝜃𝜃)

Untuk nilai x = a

𝑀𝑀𝜃𝜃 = 𝑃𝑃𝑏𝑏_𝐿𝐿𝜃𝜃

Untuk nilai x = l

𝑀𝑀𝑙𝑙 = 0

Dan untuk persamaan gaya geser diperoleh :

∑𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0

𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦 − 𝑃𝑃 − 𝑉𝑉𝑥𝑥 = 0

𝑉𝑉𝑥𝑥 =𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦 − 𝑃𝑃

𝑉𝑉𝑥𝑥 =

𝑃𝑃𝑏𝑏

_𝐿𝐿

− 𝑃𝑃

𝑉𝑉𝑥𝑥 = −

𝑃𝑃𝜃𝜃

_𝐿𝐿

Untuk nilai x = a

Untuk nilai x = l

𝑉𝑉𝑙𝑙 =

𝑃𝑃𝑏𝑏

_{𝐿𝐿 − 𝑃𝑃}

𝑉𝑉𝑙𝑙 =−

𝑃𝑃𝜃𝜃

_𝐿𝐿

Dari hasil penurunan persamaan diatas untuk momen dan gaya geser akan didapat bentuk diagram untuk masing-masing persamaan momen dan gaya geser dimana gambar yang dihasilkan berdasarkan bentuk dari diagram benda bebas pada gambar 2.10 :

Gambar 2.10 Diagram gaya geser dan momen lentur

A B

L

a b

𝑅𝑅𝐴𝐴𝑥𝑥

𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑅𝑅𝐵𝐵𝑦𝑦

P

𝑃𝑃𝑏𝑏

𝐿𝐿 _{𝑃𝑃𝜃𝜃}

𝐿𝐿 −

+

2.4 Klasifikasi Tegangan

Tegangan yang tejadi dalam sistem perpipaan dapat dikelompokkan ke dalam dua kategori, yakni Tegangan Normal (Normal Stress) dan Tegangan Geser (Shear Stress). Tegangan normal terdiri dari tiga komponen tegangan, yang masing-masing adalah:

1. Tegangan Longitudinal (Longitudinal Stress), yaitu tegangan yang searah panjang pipa.

2. Tegangan Tangensial atau Tegangan Keliling (Circumferential Stress

atau Hoop Stress), yaitu tegangan yang searah garis singgung penampang pipa.

3. Tegangan Radial (Radial Stress), yaitu tegangan searah jari-jari penampang pipa.

Tegangan Geser terdiri dari dua komponen tegangan, yang masing-masing adalah:

1. Tegangan Geser (Shear Stress), yaitu tegangan akibat adanya gaya yang berimpit atau terletak pada luas permukaan pipa.

2. Tegangan Puntir atau Tegangan Torsi (Torsional Stress), yaitu tegangan yang terjadi akibat momen puntir pada pipa.

.

2.4.1 Tegangan Longitudinal ( Longitudinal Stress)

(Internal Pressure Stress). Mengenai ketiga tegangan ini dapat diuraikan berikut ini.

2.4.1.1Tegangan Aksial

Tegangan aksial adalah tegangan yang ditimbulkan oleh gaya F

ax

yang

bekerjasearah dengan sumbu pipa, dan dapat diperlihatkan seperti gambar 2.11:

Gambar 2.11 Tegangan Aksial

σ

Dimana :

ax = 𝐹𝐹𝜃𝜃𝑥𝑥

𝐴𝐴𝑚𝑚

(2.20)

σ

_ax

Am = luas penampang pipa = tegangan aksial

= 𝜋𝜋 4(do

2

– di2

do = diameter luar

)

di = diameter dalam

2.4.1.2Tegangan Lentur (Bending Stress)

Tegangan yang ditimbulkan oleh momen M yang bekerja diujung-ujung benda. Dalam hal ini tegangan yang terjadi dapat berupa Tensile Bending. Tegangan lentur maksimum terletak pada permukaan pipa dan nol pada sumbu pipa, dapat ditunjukkan pada gambar 2.12 :

Gambar 2.12.Bending Momen

𝜎𝜎

𝑏𝑏

=

𝑀𝑀_𝐼𝐼𝑥𝑥 𝑐𝑐 (2.21)

Tegangan maksimum terjadi pada dinding terluar dari pipa

𝜎𝜎

𝑏𝑏𝑚𝑚𝜃𝜃𝑥𝑥

=

𝑀𝑀𝑥𝑥_𝐼𝐼𝑅𝑅𝑐𝑐

=

𝑀𝑀_𝑍𝑍

(2.22)

Dimana :

M = momen bending

c = jari-jari terluar pipa

I = 𝜋𝜋 64( do

4 _{– di}4

Z = section modulus

= 𝐼𝐼

𝑅𝑅𝑐𝑐

)

2.4.2 Tegangan Geser

Berbeda dengan tegangan normal akibat gaya aksial, Tegangan geser terjadi pada permukaan pipa dimana gaya yang bekerja terletak pada permukaan pipa atau bekerja sejajar terhadap permukaan pipa. Tegangan geser terjadi diakibatkan oleh gaya yang bekerja sejajar dengan permukaan pipa dan karena adanya momen torsi yang terdapat pada pipa, momen torsi ini dapat berupa dua gaya yang bekerja sejajar dengan arah yang berlawanan (momen kopel).

2.4.2.1 Akibat gaya geser (V)

Tegangan geser akibat gaya geser (V) dapat dihitung dengan menggunakan persamaan 2.23:

τ

Dimana :

max

=

𝑉𝑉

𝐴𝐴 (2.23)

V = Gaya Geser

A = Luas penampang

pada permukaan luar dinding pipa). Karena hal ini dan juga karena besarnya tegangan ini biasanya sangat kecil, maka tegangan ini dapat diabaikan.

2.4.2.2Akibat momen puntir

Tegangan geser akibat momen puntir (Mt) dapat dihitung dengan menggunakan persamaan 2.24 :

τ

Dimana :

max

=

𝑴𝑴𝑡𝑡𝑥𝑥𝑟𝑟

𝐽𝐽 (2.24)

Mt = Momen Puntir

J = Momen Inersia Polar

Tegangan ini terjadi akibat adanya momen yang bekerja pada pipa yang mengakibatkan adanya pergeseran sudut terhadap sumbu pipa, momen yang bekerja dapat berupa momen ataupun gaya yang mengakibatkan terjadinya puntiran.

2.4.3 Tegangan Torsi

Suatu bentangan bahan dengan luas permukaan tetap dikenai suatu puntiran ( twisting ) pada setiap ujungnya danpuntiran ini disebut juga dengan torsional, dan bentangan bendatersebut dikatakan sebagai poros ( shaft

Gambar 2.13. Distribusi Tegangan Geser

2.4.3.1Momen Inersia( Polar )

Untuk suatu batang bulat berlubang (pipa) dengan diameter luar Do dan

diameter dalam Di, momen kutub inersia (polar momen of inertia) penampang

melintang luasnya, biasanya dinotasikan dengan J. (Lit. Hibbeler, hal 72)

Dimana :

J = 𝜋𝜋 32 (D0

4 _{– Di}4₎

Momen kutub inersia untuk batang bulat tanpa lubang (batang pejal) dapat diperoleh dengan memberi nilai Di = 0. Kuantitas dari J merupakan sifat

matematis dari geometri penampang yang melintang yang muncul dalam kajian tegangan pada batang atau poros bulat yang dikenai torsi.

2.4.3.2Regangan geser

regangan geser pada permukaan poros. Definisi yang sama berlaku untuk setiap titik pada batang poros tersebut, dapat ditunjukkan pada gambar 2.14 :

Gambar 2.14. Regangan Geser

2.5 Persamaan Tegangan Pada Sistem Perpipaan

Persamaan tegangan pada sistem perpipaan merupakan persamaan yang

dapat diturunkan dari persamaan untuk tegangan 𝜎𝜎_1,2 yang sesuai dengan aplikasi tersebut. Pada dasarnya persamaan tegangan yang dihasilkan pada tiap kondisi yang berbeda diperoleh dari persamaan untuk tegangan utama, yang membedakan persamaan tegangan pada tiap-tiap kondisi itu adalah tegangan terhadap sumbu x dan tegangan terhadap sumbu y. Pada kondisi bending tegangan terhadap sumbu x tidak berlaku atau diabaikan dengan sudut pembentuk

𝜃𝜃

dengan nilai 90 derajat. (Lit. Timosenko hal 43 ).

𝜎𝜎1,2 =�

𝜎𝜎𝑥𝑥 +𝜎𝜎𝑦𝑦

2 �±��

𝜎𝜎𝑥𝑥− 𝜎𝜎𝑦𝑦

2 �

2

+𝜏𝜏_{𝑥𝑥𝑦𝑦}2

Dimana𝜎𝜎_𝑦𝑦 dan 𝜏𝜏_{𝑥𝑥𝑦𝑦} pada kondisi lentur pada sistem penumpu akan berubah

𝜎𝜎𝑥𝑥 = 0