Program Linier merupakan suatu model umum yang dapat
digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian
sumber-sumber yang terbatas secara optimal.
Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk
memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan
dilakukannya, di mana masing-masing kegiatan membutuhkan
sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas.
Contoh: Masalah alokasi fasilitas produksi, alokasi SDM,
penjadwalan produksi, sistem distribusi, dan sebagainya.
Istilah “Program” berarti memilih serangkaian tindakan/
perencanaan untuk memecahkan masalah dalam membantu
manajer mengambil keputusan.
Istilah “Linier” memberi arti bahwa seluruh fungsi matematis
Fungsi Tujuan
Fungsi Tujuan merupakan fungsi yang menggambarkan tujuan di dalam permasalahan PL yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal
sumberdaya-sumberdaya, untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya minimal.
Fungsi Batasan
Fungsi Batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai
kegiatan.
Variabel Keputusan
Variabel Keputusan merupakan variabel yang menguraikan secara lengkap keputusan-keputusan yang akan dibuat.
Pembatas Tanda
Pembatas Tanda merupakan pembatas yang menjelaskan apakah variabel
Perusahaan mainan anak-anak memproduksi 2 jenis mainan terbuat dari kayu, yaitu mobil dan motor. Mobil dijual dengan harga Rp.27.000/lusin yang setiap lusinnya memerlukan material sebesar Rp. 10.000 dan biaya tenaga kerja RP. 14.000. Motor dijual dengan harga Rp.21.000/lusin yang setiap lusinnya memerlukan material sebesar Rp. 9.000 dan biaya tenaga kerja RP. 10.000. Untuk pembuatan mainan ini, memerlukan 2 kelompok tenaga kerja, tukang kayu dan tukang poles. Setiap lusin mainan mobil memerlukan 1 jam pekerjaan kayu dan 2 jam pemolesan. Sedangkan setiap lusin mainan motor memerlukan 1 jam pekerjaan kayu dan 1 jam pemolesan. Meskipun setiap minggunya perusahaan ini dapat memenuhi seluruh material yang diperlukan, namun jam kerja yang tersedia hanya 80 jam untuk pekerjaan kayu dan 100 jam untuk pemolesan.
Dari pengamatan selama ini, permintaan pasar untuk mainan motor tidak
terbatas, namun permintaan pasar untuk mainan mobil tidak lebih dari 40 lusin per minggu.
Variabel Keputusan :
banyaknya mainan yang harus dibuat
x
1: mobil dan x
2: motor
Fungsi Tujuan :
maksimumkan keuntungan
Keuntungan = Pendapatan
–
Biaya
Pendapatan = 27 x
1+ 21 x
2
Biaya Material = 10 x
1+ 9 x
2
Biaya Tenaga Kerja = 14x
1+ 10 x
2
Keuntungan = (27x
1+ 21 x
2)-(10 x
1+ 9 x
2)-(14x
1+ 10 x
2) = 3x
1+ 2x
2
Pembatas
Pembatas 1: waktu pemolesan tidak lebih dari 100 jam atau 2 x
1+ x
2
100
Pembatas 2: waktu pekerjaan kayu tidak lebih dari 80 jam atau x1 + x
2
80
Pembatas 3: mainan mobil yang dibuat tidak lebih dari 40 buah atau x
1
40
Pembatas Tanda
; pembatas untuk variabel-variabel keputusan. Kedua
mainan harus dibuat atau nilainya masing-masing harus non-negatif. Jadi x
1
0 dan x
2
0.
Model Matematika
:
Maksimumkan
: Z = 3x
1+ 2x
2dengan batasan
: 2 x
1+ x
2
100
x
1+ x
2
80
x
1
40
Kegiatan
Sumber
Pemakaian Sumber Per-unit Kegiatan (Keluaran)
Kapasitas Sumber
1 2 3 …. n
1 a11 a12 a13 …. a1n b1
2 a21 a22 a23 …. a2n b2
3 a31 a32 a33 …. a3n b3
… … … …
m am1 am2 am3 …. amn bm
ΔZ Pertambahan Tiap Unit C1 C2 C3 …. Cn
Fungsi tujuan:
Maksimumkan Z = C
1X
1+ C
2X
2+ C
3X
3+ ….+
C
nX
n
Batasan :
1.
a
11X
11+ a
12X
2+ a
13X
3+ ….+ a
1nX
n≤ b
12.
a
21X
11+ a
22X
2+ a
33X
3+ ….+ a
2nX
n≤ b
1…..
m.
a
m1X
11+ a
m2X
2+ a
m3X
3+ ….+
a
mnX
n≤
b
mdan
Proportionality
Naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau
fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding
(proportional) dengan perubahan tingkat kegiatan
Additivity
Nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi,
atau dalam LP dianggap bahwa kenaikan dari nilai
tujuan (Z) yang diakibatkan oleh kenaikan suatu
Divisibility
Keluaran (output) yang dihasilkan oleh setiap
kegiatan dapat berupa bilangan pecahan. Demikian
pula dengan nilai Z yang dihasilkan
Deterministic
(
Certainty
)
Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter
yang terdapat dalam model LP (a
ij, b
i, C
j) dapat
Perusahaan sepatu membuat 2 macam sepatu. Yang pertama merek
I
1,
dgn sol karet, dan merek
I
2dgn sol kulit. Diperlukan 3 macam mesin.
Mesin 1 membuat sol karet, mesin 2 membuat sol kulit, dan mesin 3
membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas
dengan sol. Setiap lusin sepatu merek
I
1mula-mula dikerjakan di mesin 1
selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin
3 selama 6 jam. Sedang untuk sepatu merek
I
2tidak diproses di mesin 1,
tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di
mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari mesin 1 adalah 8
jam, mesin 2 adalah 15 jam, dan mesin 3 adalah 30 jam. Sumbangan
terhadap laba setiap lusin sepatu merek
I
1= Rp 30.000,00 sedang merek
Merek
Mesin
I
1(X
1)
I
2(X
2)
Kapasitas
Maksimum
1
2
0
8
2
0
3
15
3
6
5
30
Maksimumkan Z = 3X
1
+ 5X
2
Batasan (constrain)
(1)
2X
1
8
(2)
3X
2
15
Gambar di atas merupakan bagian yang memenuhi batasan-batasan:
X
1
0, X
2
0 dan 2X
1
8
X2
X1
2X
1= 8
0
42X18 dan X1
0, X20
Membandingkan nilai Z pada tiap-tiap alternatif
Pada titik ini nilai X1 = 4; X2 = 0
Nilai Z = 3(4) + 0 = 12
Titik B:
X1 = 4. Substitusikan batasan (3), maka 6(4) + 5X2 = 30. Jadi nilai X2 = (30 –24)/5 = 6/5. Nilai Z = 3(4) + 5(6/5) =18
Titik C:
X2 = 5. Substitusikan batasan (3), maka 6X1 + 5(5) = 30.
Jadi nilai X1 = (30 –25)/6 = 5/6. Nilai Z = 3(5/6) + 5(5) = 27,5
Titik D:
Pada titik ini nilai X2 = 5; X1 = 0
A
C B
2X2 = 8
4 6
5 6X1 + 5X2 = 30
5
3X2 = 15
Daerah Feasible
X2
0 X1
Contoh :
X2
X1 2X2 = 8
0 4
2 4 6
3X2 = 15
5
A C
6X1 + 5X2 = 30
B
Contoh :
