The Full Title of an AMS Book or Monograph
The Author
Author Two
(A. U. Thor)Author address line 1, Author address line 2
Current address, A. U. Thor: Author current address line 1, Author current address line 2
E-mail address, A. U. Thor: [email protected]
URL:http://www.author.institute
2000 Mathematics Subject Classi…cation. Primary 05C38, 15A15; Secondary 05A15, 15A18
The Author thanks V. Exalted.
Contents
Chapter 1. 5. SERII DE PUTERI v
1. 5.1. Raza de convergenta. Domeniul de convergenta v
2. 5.2. Serii Taylor vii
3. 5.?. Exercitii ix
CHAPTER 1
5. SERII DE PUTERI
Seriile de puteri si generalizarea lor -seriile Taylor - constituie clasele de serii de functii cel mai des folosite in inginerie datorita maleabilitatii lor din punct de vedere computational. Asa cum seriile numerice modeleaza riguros sintagmasume in…nite, seriile de puteri modeleaza matematic expresiafunctii polinomiale cu nu-mar in…nit de termeni. Printre aplicatiile cele mai importante ale acestor serii amintim de…nirea de numere transcendente posibilitatea de estimare a acestora cu precizie oricat de mare si aproximarile unor functii transcendente cu ajutorul polinoamelor..
1. 5.1. Raza de convergenta. Domeniul de convergenta
Seriile de puteri sunt serii de functii al caror termen general de rangneste un monom de gradn.
De…nitia 5.1.1. Serie de puteri. Raza de convergenta.O serie de functii de forma
a0+a1x+a2x2+ :=
1 P
n=0 anxn
( )
unde a0; a1; a2; ::: sunt numere reale arbitrare date se numeste serie de puteri.
FieCmultimea de convergenta a seriei( ). Atunci
R:= supfjxj jx2Cg [0;1]
se numesteraza de convergenta a seriei ( ): Observatii 5.1.1. Fie seria de puteri ( ):
(1) Reamintim ca multimea de convergenta (sau domeniul de convergenta) a seriei( );adica
C= x2R pseria numerica P1 n=0
anxn
este convergenta ;
este domeniul de de…nitie al sumei seriei de puteri, si ,ca de obicei, iden-ti…cam suma seriei cu simbolul seriei pe multimea de convergenta. Deci functia
S :C!Rde…nita prinS(x) := P1 n=0
anxn
este suma (punctuala a) seriei de puteri( ).
(2) Multimea de convergenta a unei serii de puteri nu poate … vida deoarece
02C:
vi 1. 5. SERII DE PUTERI
(3) Raza de convergenta este nula daca si numai daca multimea de conver-genta contine doar pex= 0, deci
R= 0,C=f0g:
(4) Convenim ca termenul de grad0din( )este a0 (chiar dacax= 0).
(5) Ca la orice serie daca schimbam un numar …nit de termeni natura seriei nu se schimba, deci nici multimea de convergenta, nici raza de convergenta; in schimb suma seriei se modi…ca, in general.
Exemplul 5.1.1. Cel mai simplu exemplu de serie de puteri este seria geo-metrica Deci raza de convergenta a seriei geometrice esteR= sup[0;1) = 1:
Exemplul 5.1.2. Sa determinam raza de convergenta a seriei de puteri
1 + 1 1!x+
1 2!x
2+ :
Sa observam ca termenul general al seriei noastre esteun:= n1!x n
si cax= 02C, undeCeste domeniul de convergenta. Deoarece
lim
rezulta -din criteriul raportului- ca seria este convergenta pentru oricex6= 0. Prin urmareC=Rsi raza de convergenta esteR= sup[0;1) =1:
Prppozitia 5.1.1. Formule de calcul pentru raza de convergenta. Fie seria de puteri ( )si R raza de convergenta.
(1) Daca exista lim
n!1
(2) Daca exista lim
n!1
Observatie 5.1.3. Daca raza de convergenta a seriei de puteri P1 n=0
anxn esteR
si ea a fost calculata cu una dintre formulele de mai sus, atunci si seria derivatelor 1
P
n=1
nanxn 1
este o serie de puteri care are raza de convergenta R si, de
aseme-nea seria "primitivelor" P1 n=0
Teorema 5.1.1. Prima teorema a lui Abel. Fie seria de puteri ( ) si presupunem ca raza sa de convergenta este R6= 0.
(1) Seria ( ) este absolut convergenta pentru orice x2R petru care jxj< R (adica ( R; R) C);
2. 5.2. SERII TAYLOR vii
(3) Pe orice interval compact [a; b] ( R; R)seria ( )este uniform conver-genta.
Observatie 5.1.3. Conform teoremei lui Abel si teoremei de derivabilitate avem acord cu teorema primitivelor
x
Exemplul 5.1.3. Seria de puteri P1 n=1
1
n2x n
are raza de convergenta R= 1 si
multimea de convergentaC= [ 1;1]:
Exemplul 5.1.4. Seria de puteri P1 n=1
1
nx n
are raza de convergenta R = 1 si
multimea de convergentaC= [ 1;1):
Exemplul 5.1.5. Seria de puteri P1 n=0
1
n!x n
are raza de convergenta R=1si
multimea de convergentaC=R:
Exemplul 5.1.6. Seria de puteri P1 n=0
nxn
are raza de convergenta R = 1 si
multimea de convergentaC= ( 1;1):
Exemplul 5.1.7. Seria de puteri P1 n=0
n!xn
are raza de convergenta R = 0si
multimea de convergentaC=f0g:
Teorema 5.1.2. A doua teorema a lui Abel. Fie seria de puteri ( ) si presupunem ca raza sa de convergenta esteR2(0;1). Daca seria este convergenta inx=R(x= R)atunci seria( )converge uniform pe intervalul [0; R]( [ R;0]
) iar suma sa este continua in x=R (in x= R ).
Exemplul 5.1.8.
2. 5.2. Serii Taylor
Seriile Taylor sunt generalizari ale seriilor de puteri.
De…nitia 5.2.1. Serie Taylor. Raza de convergenta.Oserie de forma
a0+a1(x a) +a2(x a)2+ :=
1 P
n=0
an(x a)n
viii 1. 5. SERII DE PUTERI
Studiul unei asemenea serii se reduce, punandx a:=y;la seria de puteri
a0+a1y+a2y2+ :=
1 P
n=0 anyn
:
Daca R este raza de convergenta a acestei serii de puteri spunem ca R esteraza de convergenta a seriei Taylor. Sa observam ca, in virtutea primei teoreme a lui Abel, avem
(a R; a+R) C unde C este multimea de convergenta a seriei Taylor.
Observatia 5.2.1. Sa presupunem ca S : C ! R este suma seriei Taylor,
adica
S(x) = P1 n=0
an(x a)n
; x2C:
Atunci avem
S0(a) = 1! a1; S00(a) = 2! a2; :::; S(n)(a) =n! an:
Prin urmare
S(x) = P1 n=0
S(n)
(a)
n! (x a)
n ; x2C
siS2C1(a R; a+R): Ne punem problema:
dacaf este o functie in ce conditii are loc egalitateaf(x) = P1 n=0
f(n)
(a)
n! (x a)
n
?
In randurile urmatoare dam conditii su…ciente pentru ca f sa admita o asemenea extindere in serie Taylor.
De…nitia 5.2.2. Serie Taylor asociata unei functii. Fie A R, a un punct interior al multimii A (i.e. 9 > 0 : (a ; a+ ) A) si f : A ! R o
functie inde…nit derivabila in punctul a. Numerele
f(n)
(a)
n! ; n2Nundef
(0)(
a) :=f(a)
se numesccoe…cientii Taylor (Maclaurindaca a= 0) ai functiei f in punctul a, iar seria
1 P
n=0 f(n)(
a)
n! (x a)
n
se numeste seria Taylor (Maclaurindaca a= 0) asociata functiei f in punctul a,
Nu intodeauna seria Taylor asociata unei functii inde…nit derivabile intr-un punct are suma egala cu valoarea functiei in acel punct.
Exemplul 5.2.1. Se arata, prin inductie matematica, ca
f(x) =
( e
1
(x a)2 daca x6=a
3. 5.?. EXERCITII ix
este o functie inde…nit derivabila inx=a si ca toate derivatele sale sunt nule in acest punct: f(n)
Domeniul de convergenta a seriei Taylor asociate unei functii poate sa difere de domeniul de de…nitie al acelei functii.
Exemplul 5.2.2. Functia
f : ( 1;1)!R; f(x) = ln (1 +x)
este inde…nit derivabila in a= 0, iar seria Maclaurin asociata ei are domeniul de convergentaC= ( 1;1]si
De…nitia 5.2.2. Functie analitica. Dezvoltabilitate. Fie f 2C1(A); A Rsi
a 2A. Spunem ca f este analitica in a daca exista o vecinatate a acestui punct V A astfel incat f sa coincida cu suma seriei Taylor asociate, adica
f(x) = P1
Mai spunem, in acest caz, ca f este dezvoltabila in serie Taylor (Maclaurin, daca a= 0) ia punctul (in jurul punctului) a:
Teorema urmatoare ne ofera conditiisu…ciente de dezvoltabilitate.
Teorema 5.2.1. Criterii de dezvoltabilitate (M teste). Fie f 2C1(A); A R si a 2 A. Daca exista o constanta pozitiva M si una dintre urmatoarele
conditii este indeplinita
(i): f(n)(
x) Mn pentru orice
x2A si pentru orice n natural
(ii): f(n)(
x) M pentru orice x2A si pentru orice n natural atunci f este dezvoltabila in serie Taylor in jurul punctului a, adica
f(x) = P1
3. 5.?. Exercitii
(1) Determinati domeniul de convergenta pentru urmaatoarele serii.
x 1. 5. SERII DE PUTERI
(2) Determinati suma seriilor urmatoare.
(a) P1
(3) Determinati domeniul de convergenta pentru urmaatoarele serii. (a) 1 + 2x
(4) Determinati multimea de convergenta pentru urmatoarele serii. (a) 1 + x2
