6. FORME LINIARE. FORME BILINIARE. FORME PATRATICE. - 6forme prov e

1

6. FORME LINIARE. FORME BILINIARE.

FORME PATRATICE.

1.1

A. Teorie

Formele liniare sunt aplicatii definite pe spatii vectoriale peste un corpKavand codomeniul corpulK. Formele liniare sunt de fapt functii polinomiale de gradul intai omogene, iar formele biliniare si cele patratice sunt functii polinomiale de gradul al doilea omogene.

Peste tot in aceasta sectiune V este un spatiu vectorial peste corpul K ∈ {R_,C_{}, iarB ={e1, e2, ..., en}este o baza in acest spatiu.}

1.1.1 6.1. Forme liniare

Cele mai importante aplicatii ingineresti ale formelor liniare sunt in tehnicile de optimizare ale unor procese.

Reamintim ca, deoarece (K,+) este un grup abelian,K este si el un spatiu vectorial peste corpulK, operatia externa de inmultire a scalarilor dinKcu vec-tori dinKfiind chiar operatia (interna ) de inmultire din corpulK.Reamintim si faptul ca multimeaL(V, K) este un spatiu vectorial peste corpulK(adunarea vectorilorf, g∈ L(V, K) fiind definita prin (f +g) (x) :=f(x) +g(x), iar in-multirea scalaruluiα∈K cu vectorulf fiind definita prin (αf) (x) :=αf(x)).

Definitia 6.1.1. O aplicatie liniara f :V →K se numesteforma liniara a spatiului V (sau forma liniara pe spatiul V). Notam spatiul vectorial al formelor (adicaL(V, K))cu V∗ _{si il numimspatiul dualal spatiului vectorial}

V.

Reamintim ca formaf ∈V∗ _{este complet determinata daca cunoastem}

val-orilef(e1), f(e2), ..., f(en)∈K, deoarece atunci pentru oricev= Pn

i=1

xiei∈V avem

f(v) =x1f(e1) +x2f(e2) +· · ·+xnf(en).

Scalarii f(e1), f(e2), ..., f(en)∈ K se numesccoeficientii formei f in baza B. Cum dimensiunea spatiului K/K este 1 (deoarece sistemul {1} ⊂K

este o baza pentru spatiul vectorialK/K) rezulta ca matricea unei forme relativ la o pereche de baze este o matrice linie cuncoloane si ca

V∗_≃K1×n_{, iar dimV}∗ _=n.

Definitia 6.1.2. Baza dualaa bazei B.Construim, pornind de la bazaB

formelee∗

i ∈V∗, i∈ {1,2, ..., n}prin

e∗

i (ej) =δij =

1 daca i=j

adica e∗

Definitia 6.1.2. Baza B∗ _{se numestebaza duala a bazei B.}

Daca v = Pn de reprezentare a unei forme din urmatoarea propozitie.

Propozitia 6.1.1. Daca B ={e1, e2, ..., en} este o baza in spatiul V, iar

Avem urmatoarea formula de calcul a matricei de trecere dintre doua baze duale.

Propozitia 6.1.2. Daca B, B1 sunt doua baze in V atunci

TB∗_B∗

Exemplul 6.1.1. Fie V := R2 _{spatiul aritmetic bidimensional, Bc =}

{e1, e2} baza canonica a acestuia si TB∗_B∗ ordonatele formeif in bazaB∗

c si bazaB∗, stiind caf(x, y) = 2x+ 3y.

natele vectoruluif in baza B∗

c sunt 2,3.

1.1.2

1.1.3 6.2. Forme biliniare

Formele biliniare sunt instrumente esentiale pentru definirea formelor patrat-ice si pentru constructia spatiilor euclidiene - subiecte care vor fi studiate in continuare.

Definitia 6.2.1. Definitia formelor biliniare. O aplicatie ϕ:V ×V →

K se numeste forma biliniara(a spatiului V) daca ea este liniara in ambele variabile, adica

(i) ϕ(αu+βv, w) =αϕ(u, w) +βϕ(v, w) (ii) ϕ(u, αv+βw) =αϕ(u, v) +βϕ(u, w)

oricare ar fi u, v, w∈V si oricare ar fi α, β∈K.Notam cuB(V) multimea formelor biliniare ale spatiuluiV.Dacaϕ∈ B(V) si

(iii) ϕ(u, v) =ϕ(v, u)

pentru orice u, v ∈ V spunem ca ϕ este o forma biliniara simetrica. Notam cuBs(V) multimea formelor biliniare simetrice ale spatiuluiV.

Se verifica imediat urmatoarea caracterizare a formelor biliniare. Reamintim caB={e1, e2, ..., en}este o baza spatiul V /K.

Propozitia 6.2.1. Caracterizara formelor biliniare. O aplicatie ϕ :

V ×V →K este forma biliniara daca si numai daca pentru orice m, p ∈N∗_,

pentru orice v1, ..., vm, w1..., wp ∈ V si pentru orice x1, ..., xm, y1..., yp ∈ K

avem ϕ Pm

i=1 xivi,

p

P

j=1 yjwj

!

=Pm

i=1

p

P

j=1

xiyjϕ(vi, wj).

Observatia 6.2.1. Dacaϕ∈ B(V) atunci

• ϕ este complet determinata daca cunoastem scalarii aij := ϕ(ei, ej), pentru i, j ∈ {1, ..., n} (intelegand prin aceasta ca expresia analitica a formei ϕ este determinata complet). Intr-adevar, daca v = Pn

i=1

xiei, w = n

P

j=1

yjej ∈ V, atunci folosind biliniaritatea aplicatiei ϕ avem ϕ(v, w) =

ϕ Pn

i=1 xiei,

n

P

j=1 yjej

!

= Pn

i=1

n

P

j=1

xiyjϕ(ei, ej) = n

P

i=1

n

P

j=1

aijxiyj. Matriceal avem

(ϕ(v, w)) =vBTϕBwB, undeϕB := (ϕ(ei, ej))_i,j=1,n.

• ϕ este omogena, cu gradul de omogenitate doi, deoarece ϕ(tv, tw) =

Definitia 6.2.2. Matricea unei forme biliniare. FieB ={e1, e2, ..., en} o baza in V /K si forma ϕ∈ B(V). Matricea ϕB := (ϕ(ei, ej))_i,j=1,n∈K

n×n se numestematricea formei biliniare ϕin baza B.

Observatia 6.2.2. Forma biliniara ϕ este simetrica daca si numai daca matricea ei intr-o baza oarecare este simetrica.

Exemplul 6.2.1. Fieϕ:R_×R_→R_{.Atunciϕ∈ B(}R_{) daca si numai daca} exista o constanta realaaastfel incatϕ(x, y) =axypetru oricex, y∈R_.

Intr-adevar, daca ϕ ∈ B(R_{) si a := ϕ(1,1) atunci, cum ϕ este liniara in} ambele variabile avemϕ(x, y) =xϕ(1, y) =xyϕ(1,1) =axy.

Invers, daca ϕ(x, y) := axy este imediata liniaritatea in ambele variabile pentru functiaϕ.

Exemplul 6.2.2. Fieϕ:R2_×R2 _{→R, ϕ((x, y),(x}′_{, y}′_{)) :=xx}′_{+ 2xy}′₋

x′_y+3yy′_{.Atunciϕ∈ B} R2

iarϕBc=

1 2

−1 3

undeBceste baza canonica dinR2_/R_{.Expresia analitica exprimata matriceal este}

(ϕ((x, y),(x′_{, y}′_{))) = x y}

1 2

−1 3

x′

y′

.

Avand matricea unei forme intr-o baza, putem sa construim matricea acestei forme intr-o baza noua folosind matricea de trecere.

Propozitia 6.2.2. Schimbarea bazei.DacaB, B′_{sunt doua baze inV /K,}

ϕ∈ B(V)si TBB′ este matricea de trecere de la baza B la baza B′ atunci

ϕB′ =T_BBT ′·ϕB·TBB′.

Exemplul 6.2.3. Fieϕ∈ B R2

astfel ca ϕBc =

0 0

a−1 1

, unde Bc este baza canonica dinR2_/R_{. Sa determinam}

1. a∈R_{astfel ca forma biliniaraϕsa fie simetrica;} 2. expresia analitica a formei biliniareϕ;

3. matricea formei biliniareϕin bazaB={v1= (1,1), v2= (1,0)}.

Rezolvare.

1. Conform observatiei 6.2.2 este suficient sa impunem caϕBcsa fie simetrica.

Decia= 1.

2. Folosind formula matriceala de la observatia 6.2.1, daca (x, y),(x′_{, y}′_)∈

R2_{, avem (ϕ((x, y),(x}′_{, y}′_{))) = x y}

0 0 0 1

x′

y′

= x y

0

y′

= (yy′_{). Prin urmare expresia analitica a formei biliniare ϕ este data de}

3. Conform propozitiei precedente avem ϕB =TBTcB·ϕBc·TBcB =T

T BcB·

0 0 0 1

1 1 1 0

=

1 1 1 0

0 0 1 0

=

1 0 0 0

.

1.1.4 6.3. Forme patratice

Formele patratice sunt folosite intr-o multime de tehnici statistice de analiza a unor fenomene concrete. De asemenea sunt utilizate in diverse probleme de optimizare, in special pentru a decide natura punctelor stationare. In esenta formele patratice sunt functii omogene de gradul al doilea.

Definitia 6.3.1. Definitia formei patratice si a polarei sale. O apli-catie f : V → K se numeste forma patratica (a spatiului vectorial V /K) -scriem f ∈ Q(V)−daca exista o forma biliniara simetrica ϕ:V ×V →K si

f(v) =ϕ(v, v)oricare ar fi v ∈V. In acest caz mai spunem ca f este forma patratica asociata formei biliniare simetrice ϕ, iar ϕ este polara formei patratice f.Daca B este o baza in spatiul V /Kmatricea ϕB se numeste ma-tricea formei patratice f si se noteaza fB.

Exemplul 6.3.1. Daca ϕeste forma biliniara de la exemplul 6.2.3 atunci forma patratica asociata ei este f : R2 _→ R_{, cu expresia analitica data de}

f(x, y) :=ϕ((x, y),(x, y)) =y2_.

Expresia ”polara formei patratice f” isi gaseste justificarea logica in urma-toarea propozitie: unei forme patratice ii corespunde o unica forma biliniara simetrica care este polara ei.

Propozitia 6.3.1. Constructia polarei unei forme patratice. Fie f :

V →K o forma p˘atratic˘a. Atunci ϕ:V ×V →K, ϕ(v, w) :=1

2[f(v+w)−f(v)−f(w)] defineste polara formei patratice f.

Observatia 6.3.1. Expresia analitica a unei forme patratice. Din

observatia 6.2.1 deducem ca dacaB={e1, e2, ..., en}este o baza inV /Katunci forma patraticaf ∈ Q(V) este are reprezentarea analitica

f

_n P

i=1 xiei

= Pn

i=1

n

P

j=1

aijxixj,

unde aij = aji, pentru orice i, j ∈ {1,2, ..., n}. Cu alte cuvinte, aplicatia

f : V → K este o forma patratica daca si numai daca exista scalarii

aij ∈ K, cu aij = aji, pentru orice i, j ∈ {1,2, ..., n} astfel incat daca

v=Pn

i=1

xiei∈V atunci

Aiciaij =ϕ(ei, ej), i, j ∈ {1,2, ..., n}, undeϕeste polara formei patratice f.

Observatia 6.3.2. Tehnica dedublarii.Sa presupunem ca forma

patrat-icaf ∈ Q(V) are reprezentarea analiticaf ar fi v, w ∈ V, rezulta imediat ca expresia analitica a formei biliniare ϕ este data de

Aceastametoda de constructie a expresiei analitice a polarei din expresia ana-litica a formei patratice se numeste dedublare.

Exemplul 6.3.2. Fief :R2_→R_{, f(x, y) :=x}2_{−2xy+ 3y}2_. 1. Sa se determine polara formei patraticef.

2. Sa se determine matriceafB,undeB={v1= (1,1), v2= (−1,1)}. 3. Fieg1, g2∈ R2∗

. Sa se arate cah∈ P R2

, undeh(x, y) :=f(g1(x, y), g2(x, y)) si sa se determine matriceahBc undeBc este baza canonica dinR

2_.

Rezolvare. 1. Folosim procedeul dedublarii. FieBc={e1= (1,0), e2= (0,1)} baza canonica din R2 _{si ϕ polara formei patratice f. Atunci ϕB}

c = fBc si

. Expresia analitica a formei biliniare simetriceϕse obtine imediat din egalitatea matriceala (ϕ(v, w)) = vT

h(x, y) =f(b11x+b12y, b21x+b22y) = (b11x+b12y)2−2 (b11x+b12y) (b21x+b22y) + 3 (b21x+b22y)2= b2

11−2b11b21+ 3b221

x2_{+ 2 (b11b12−b11b22−b21b12+ 3b21b22)xy+} b2

12−2b12b22+ 3b222

y2_{este expresia analitica a unei forme patratice iar}

matricea sa in baza canonica estehBc =

b2

11−2b11b21+ 3b221 b11b12−b11b22−b21b12+ 3 b11b12−b11b22−b21b12+ 3b21b22 b2

12−2b12b22+ 3b222

Am vazut ca dacaf ∈ Q(V) atunci f

_n P

i=1 xiei

= Pn

i=1

aiix2i + 2 n

P

i,j=1

i<j

aijxixj,

pentru orice vector n

P

i=1

xiei∈V. Cazul in care cea de-a doua suma din aceasta expresie analitica este nula pentru orice vector dinV, deci dacaaij = 0 pentru

i6=j, este esential in aplicatii.

Definitia 6.3.2. Daca matricea formei f ∈ Q(V)in baza B={e1, e2, ..., en} are forma diagonala atunci expresia analitica a formei f (adica f

_n P

i=1 xiei

= n

P

i=1

aiix2i) se numesteforma canonica a formei patratice f.

Se pune problema existentei unei forme canonice pentru o forma patratica dataf, deci a unei baze in caref are forma canonica. Raspunsul este afirmativ: orice forma patratica admite o forma canonica, iar metoda lui Gauss ne indica si o tehnica de depistare a ei.

Teorema 6.3.1. Determinarea formei canonice prin metoda Gauss.

Fie f ∈ Q(V) o forma patratica nenula. Atunci exista o baza in care f are forma canonica. Algoritmul de constructie este urmatorul. Presupunem ca, data fiind baza B={e1, e2, ..., en}, f are reprezentarea analitica f

_n P

i=1 xiei

= n

P

i=1

aiix2i + 2 n

P

i,j=1

i<j

aijxixj si presupunem ca exista i=6 j astfel ca aij 6= 0. Avem doua cazuri posibile:

1. daca exista i ∈ {1, ..., n} si aii 6= 0 grupam toti termenii care contin variabila xi si formam un patrat perfect cu acestia.

2. Daca aii = 0pentru orice i∈ {1, ..., n} atunci reducem problema la cazul 1. astfel: deoarece exista aij 6= 0 cu i 6=j schimbam variabilele punand

xi = x′i+xj′ si xj =x′i−x′j (in acest cazxixj =xi′2−x′j2 si se poate aplica cazul 1.).

Aplicand succesiv algoritmul descris ajungem in cele din urma la o suma de patrate, i.e. f(v) = Pn

i=1

biiyi2, unde v = n

P

i=1

xiei, adica la forma canonica.

ne da matricea de trecere de la bazaB la bazaBoin care f are forma canonica, deoarece stim ca vB=TBBovBo.

Exemplul 6.3.3. Fief ∈ Q R3

, f(x, y, z) =xy+yz+zx.Sa se reduca la o forma canonica si sa se indice o baza in care are forma gasita.

Rezolvare. Aplicam metoda lui Gauss. Daca Bc = {e1, e2, e3} este baza canonica din R3 _{matricea formei in aceasta baza este f}

Bc =

aplicam cazul 1; formam un patrat perfect cu termenii care-l contin pe x1 si obtinem forma canonicaf(x, y, z) = (x1+z1)2−y2

Daca dorim sa verificam rezultatul, tinem seama de faptul ca, pe de o partefB =



, ceea ce trebuia demonstrat.

O alta tehnica de aducere la forma canonica este furnizata de urmatoarea teorema. Din pacate ea nu se poate aplica in orice caz.

Teorema 6.3.2. Determinarea formei canonice prin metoda

este

fB=

    

a11 a12 · · · a1n

a12 a22 · · · a2n ..

. ... · · · ...

a1n a2n · · · ann

    

.

Daca determinantii construiti dupa regula nord-vest

∆1:=|a11|,∆2:=

a11 a12 a12 a22

,· · · ,∆n:=

a11 a12 · · · a1n

a12 a22 · · · a2n ..

. ... · · · ...

a1n a2n · · · ann

sunt nenuli, atunci exista o bazaBo={v1, v2, ..., vn}in care f are forma canon-ica

f

_n P

i=1 yivi

= 1 ∆1

y2 1+

∆1

∆2 y2

2+· · ·+

∆n₋1

∆n y

2

n.

In diferite aplicatii este important de stiut daca o forma patratica isi conserva semnul. Teorema de inertie si metoda lui Gauss dau informatii despre aceasta problema.

Teorema 6.3.3. Teorema de inertie. Fie V /Kun spatiu vectorial si f :

V →K o forma patratica. Numarul termenilor pozitivi (si numarul termenilor negativi) din forma canonica a lui f este acelasi, indiferent de metoda prin care forma patratica a fost adusa la forma canonica.

Definitia 6.3.3. Fie f ∈Q(V), unde V /R_{este un spatiu n-dimensional.} Daca intr-o forma canonica a formei patratice f numarul de termeni pozitivi este p, numarul de termeni negativi este q, iar o = n−p−q (numarul de coeficienti nuli), vom numi tripletul (p, q, o)signatura formei f. Daca

1. f(v)>0,∀v∈V∗ _{(adica n=p) spunem ca f estepozitiv definita;}

2. f(v)<0,∀v∈V∗ _{(adica n=q) spunem ca f este negativ definita;}

3. f(v)≥0,∀v∈V∗ _{si exista w∈V}∗ _{astfel ca f(w) = 0 spunem ca f este}

semidefinita pozitiv;

4. f(v)≤0,∀v∈V∗ _{si exista w∈V}∗ _{astfel ca f(w) = 0 spunem ca f este}

semidefinita negativ;

1.2

B. Probleme rezolvate

1.3

PROBLEME REZOLVATE

1. Forma liniar˘afa spat¸iuluiR4_/R_{are, ˆın baza canonic˘a, matricea 1 −2 3 −4.} S˘a se determine dimensiunea nucleului acestei forme.

Solut¸ia 1: Din matrice ¸stim c˘af(1,0,0,0) = 1,f(0,1,0,0) =−2,f(0,0,1,0) = 3 ¸si f(0,0,0,1) =−4, decif(x, y, z, t) = x−2y+ 3z−4t. (x, y, z, t)∈ kerf ⇔ x−2y+ 3z−4t = 0 care este un ,,sistem” cu o ecuat¸ie ¸si 4 necunoscute. Rangul matricei sistemului este 1, deci vom avea 3 necunos-cute secundare, prin urmare spat¸iul solut¸iilor, kerf, va avea dimensiunea 3.

Solut¸ia 2: Cum f nu este aplicat¸ia nul˘a, dimIm f = 1, prin urmare dim kerf = dimR4_{−dimIm f = 4−1 = 3.}

2. ˆIn spat¸iul R2_/R _{consider˘am forma liniar˘a f ∈} R2∗ _{a c˘arei matrice ˆın} bazaB={v1= (1,−1), v2= (0,2)} este 2 4

.Se cere: (a) expresia analitic˘a a formeif;

(b) dimensiunea nucleului formeif;

(c) duala bazeiB¸si exprimarea formei fˆın aceast˘a baz˘a. Solut¸ie

i. Din matrice ¸stim f(1,−1) = 2 ¸sif(0,2) = 4. Atunci f(0,1) =

1

2f(0,2) = 2, apoi f(1,0) = f(1,−1) +f(0,1) = 4. ˆIn fine, f(x, y) =xf(1,0) +yf(0,1) = 4x+ 2y.

ii. (x, y)∈kerf ⇔4x+2y= 0⇔y=−2x⇔(x, y)∈Span{(1,−2)}, deci dim kerf = 1.

iii. Fie B′ _{= {f1, f2} baza dual˘a a bazei B ={v1, v2}. Atunci f1}

este forma liniar˘a care satisface f1(v1) = 1 ¸si f1(v2) = 0, iar

f2 este forma liniar˘a care satisface f2(v1) = 0 ¸si f2(v2) = 1. Putem proceda ca mai sus, sau, echivalent, exprima vectorul arbitrar (x, y) ˆın baza B: (x, y) = x·(1,−1) + x+₂y ·(0,2), apoif1(x, y) =x·f1(1,−1) +x+₂y ·f1(0,2) = x, iar f2(x, y) =

x·f2(1,−1) +x+y

2 ·f2(0,2) =

x+y

2 .

Este u¸sor de v˘azut c˘a f(x, y) = 2f1(x, y) + 4f2(x, y), deci ma-tricea luif ˆın baza dual˘a a lui B coincide cu matricea lui f ˆın bazaB.

3. Formaϕ∈ B R3

este definit˘a prin ϕ((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) =x1y1+ 2x2y2+ 4x3y3−5x3y1−2x2y3.S˘a se determine matricea sa ˆın

a. baza canonic˘a;

b. baza{(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)}.

Solut¸ie: Matricea formei biliniare ϕˆın bazaB={v1, v2, v3}, notat˘a [ϕ]B, are pe liniaicoloanaj elementulϕ(vi, vj),i, j∈ {1,2,3}.

a. Avemϕ (1,0,0),(1,0,0)

= 1,ϕ (1,0,0),(0,1,0)

= 0,ϕ (1,0,0),(0,0,1)

0,ϕ (0,1,0),(1,0,0)

Observat¸i c˘a elementulaij al matricei luiϕˆın baza canonic˘a este tocmai coeficientul lui xiyj, ceea ce permite scrierea direct˘a a matricei lui ϕˆın aceast˘a baz˘a.

Observat¸ie: Odat˘a calculat˘a matricea lui ϕˆıntr-o baz˘a B, matricea ei ˆıntr-o a doua baz˘a,B′_{, poate fi determinat˘a ¸si cu formula [ϕ]B′ =T}t scrie matricea ei ˆın baza canonic˘a. Este aceast˘a form˘a simetric˘a? Care este matricea luiϕˆın bazaB={v1= (1,1), v2= (1,−1)}?

5. Forma biliniar˘aϕa spat¸iului vectorialR2_/R_{are matricea}

1 2 3 4

ˆın baza

B Care este forma sa analitic˘a dac˘a a. B este baza canonic˘a;

b. B={(1,1),(2,0)}.

Solut¸ie: a. Dac˘a not˘am cue1= (1,0), e2= (0,1) din baza canonic˘a, avem, din matrice, c˘a ϕ(e1, e1) = 1, ϕ(e1, e2) = 2, ϕ(e2, e1) = 3, ϕ(e2, e2) = 4. Ca ¸si la aplicat¸iile liniare unde valorile pe vectorii unei baze determinau ˆın mod unic aplicat¸ia liniar˘a, o aplicat¸ie biliniar˘a poate fi determinat˘a dac˘a se cunosc valorile ei peperechile(ei, ej) de vectori dintr-o baz˘a.

Ast-Observat¸ie: Alternativ, se poate afla expresia analitic˘a a formei biliniareϕ

cunoscˆand matricea sa ˆın bazaB¸si aplicˆand direct formula: ϕ (x, y),(x′_{, y}′₎

= (x y)B·[ϕ]B ·t_(x′ _y′_{)B, unde (x y)B reprezint˘a matricea linie format˘a}

ϕ (x, y),(x′_{, y}′₎

2 . A¸sadar, un vector arbitrar

(x, y) are ˆın bazaB coordonatele (x y)B=

Observat¸ie: Dup˘a ce stabilim coordonatele unui vector arbitrar (x, y) ˆın baza B, anume (x y)B =

y x−y

2

, putem aplica direct formula

ϕ (x, y),(x′_{, y}′₎

Este ˆıntotdeauna posibil˘a determinarea expresiei analitice a unei forme biliniare ϕ : R2_×R2 _−→ R _{dac˘a se cunosc valorile acesteia pe patru} perechi de vectori dinR2_?

Solut¸ie: Dac˘a not˘am cu

a b c d

matricea lui ϕˆın baza canonic˘a, avem

ϕ (1,0),(1,0)

=a,ϕ (1,0),(0,1)

=b,ϕ (0,1),(1,0)

=c,ϕ (0,1),(0,1)

=

d, iar valorile date ale luiϕse traduc prin: 1 =ϕ (1,0),(1,1)

urmare ea nu poate fi determinat˘a).

7. Determinat¸i a, b ∈ R _{astfel ˆıncˆat forma biliniar˘a ϕ :} R2 _×R2 _−→ R_,

ϕ (x1, x2),(y1, y2)

=x1y1+ 2x1y2+ax2y1+bx2y2 s˘a fie simetric˘a. Solut¸ie: Trebuie caϕ (y1, y2),(x1, x2)

=ϕ (x1, x2),(y1, y2)

, ∀(x1, x2),(y1, y2)∈ R2_{, adic˘a x1y1+ax1y2+ 2x2y1+bx2y2=x1y1+ 2x1y2+ax2y1+bx2y2,}

∀x1, x2, y1, y2 ∈ R_{. Identificˆand coeficient¸ii (egalitatea celor dou˘a} poli-noame dinR_{[x1, x2, y1, y2] revine la egalitatea coeficient¸ilor), deducem c˘a}

a= 2,b∈R_arbitrar.

La aceea¸si concluzie am fi putut ajunge rapid examinˆand matricea luiϕ

ˆın baza canonic˘a,

1 2

a b

. ϕeste simetric˘a dac˘a ¸si numai dac˘a matricea ei, ˆın orice baz˘a este simetric˘a (adic˘a este egal˘a cu transpusa sa).

8. Scriet¸i forma p˘atratic˘af asociat˘a formei biliniare simetrice ϕdac˘a: (a)ϕ:R2_×R2_{−→R,ϕ (x1, x2),(y1, y2)}

=x1y1+3x1y2+3x2y1+9x2y2; (b)ϕ:R_1[X]×R_1[X]−→R_{,ϕ(aX+b, cX+d) =ac−2ad−2bc.} Solut¸ie:

(a)f :R2_{−→R,f(x1, x2)}def_{= ϕ (x1, x2),(x1, x2)}

=x2

1+ 6x1x2+ 9y22;

(b)f :R_1[X]−→R_,f(aX+b)def_{= ϕ(aX+b, aX+b) =a}2_−4ab.

9. Determinat¸i polara formei p˘atratice f : R3 _−→ R_{, f(x1, x2, x3) = x}2

1+

2x1x2+ 3x1x3+ 4x2

2+ 5x2x3+ 6x23.

Solut¸ie: Pentru a determina expresia luiϕ (x1, x2, x3),(y1, y2, y3)

, putem folosi una din formulele

ϕ(u, v) = f(u) +f(v)−f(u−v)

2 =

f(u+v)−f(u)−f(v)

2 , ˆın care ter-menii din membrul drept sunt cunoscut¸i, ceea ce permite determinarea, ˆın principiu facil˘a, dar deseori laborioas˘a, a luiϕ(u, v).

ˆIn loc de aceasta, putem deduce expresia analitic˘a a lui ϕ prin ,,de-dublare”, adic˘a gˆandindu-ne din ce provine fiecare termen. Astfel, fiind extrem de u¸sor de v˘azut cum se poate obt¸inefpornind de laϕ, s˘a ˆıncerc˘am s˘a facem demersul invers. S˘a analiz˘am fiecare termen din f ¸si s˘a vedem din ce termen(i) provine. Constat˘am c˘a, ˆın general, termenii de formaax2

i provin dintr-un termenaxiyidinϕ, ˆın vreme ce un termen de formaxixj provine din adunarea unor termeni de formabxiyj ¸sicxjyi, cub+c=a. ˆIns˘aϕsimetric˘a, deci coeficient¸ii luixiyj ¸sixjyi trebuie s˘a fie egali. Prin urmare un termen de formaxixj ˆın expresia luif provine din adunarea termenilor a₂xiyj ¸si a2xjyi. ˆIn concluzie, g˘asim:

ϕ (x1, x2, x3),(y1, y2, y3)

=x1y1+ (2 2x1y2+

2

2x2y1) + ( 3 2x1y3+

3

2x3y1) +

4x2y2_{+ (}5 2x2y3+

5

2x3y2) + 6x3y3=x1y1+x1y2+x2y1+ 3 2x1y3+

3 2x3y1+

4x2y2+5 2x2y3+

5

2x3y2+ 6x3y3.

10. Reducet¸i la forma canonic˘a formele p˘atratice de mai jos, precizˆand ¸si cˆate o baz˘a ˆın care se obt¸in:

(b)f :R3_−→R_{,f(x, y, z) =x}2_{+ 2xy+ 3y}2_{+ 4xz+ 5z}2_{+ 6yz}

realizeaz˘a forma p˘atratic˘a.) Obt¸inem de aici imediat c˘a

x= x′_−y′

y= 1 3y′,

de unde vectorii din baza ˆın care se realizeaz˘a forma canonic˘a se afl˘a citind coeficient¸ii luix′_{, respectivy}′_{:v1= (1,0), v2= (−1,}1

3).

Desigur, atunci cˆand am explicitatx¸siyˆın funct¸ie dex′_¸siy′ _{am inversat}

ˆın fapt matricea sistemului:

b) Consider˘am un ,,p˘atrat de pornire”, de exemplux2_{, ¸si pornim grup˘arile}

de la acesta (pornind gruparea de la 3y2_{sau de la 5z}2 _{s-ar fi ob’tinut alte}

baze, dar aceea’si form˘a canonic˘a). Consider˘amtot¸itermenii ˆın care apare

x: x2_{+ 2xy+ 4xz =x}2_{+ 2xy+ 2z) ¸si ˆıi complet˘am la un p˘trat, anume}

ad˘augˆand (y+ 2z)2_.

Avemf(x, y, z) =x2_{+2x(y+2z)+(y+2z)}2_−(y+2z)2_+3y2_+5z2_+6yz=

(x+y+2z)2_−y2_−4yz−4z2_+3y2_+5z2_{+6yz= (x+y+2z)}2_+2y2_+z2_+2yz.

Scopul acestei manevre a fost s˘a ,,sc˘ap˘am” de variabilax. De aici ˆınainte avem de grupat la p˘trate o form˘a p˘atratic˘a de numai dou˘a variabile,y, z, anumeg(y, z) = 2y2_+z2_{+ 2yz. Iar˘a¸si, alegem un p˘atrat, consider˘am tot¸i}

termenii ˆın care apare respectiva variabil˘a, apoi complet˘am la un p˘atrat. Putem scrie fieg(y, z) = 2y2_{+ 2yz+}1

Vom alege, desigur, cea de-a doua variant˘a pentru c˘a ea duce la calcule mai frumoase. sistemului (sau, mai bine ˆın cazul de fat¸˘a constatˆand succesiv c˘a y =z′_,

obt¸inem

O baz˘a ˆın care se obt¸ine forma canonic˘a este deciB={(1,0,0),(−2,0,1),(1,1,−1)}.

(c) Probabil c˘a unii dintre voi ˆı¸si amintesc de demonstrat¸ia inegalit˘at¸ii

x2_+y2_+z2_{≥xy+yz+zxˆın care se ˆınmult¸ea cu 2, se trecea totul ˆıntr-o}

parte ¸si se folosea c˘af(x, y, z) = (x−y)2_{+ (y−z)}2_{+ (z−x)}2_{≥0, undef}

este chiar forma p˘atratic˘a din exercit¸iul de fat¸˘a. Dispunem, ˆın aparent¸˘a, de o foarte elegant˘a scriere a luif ca sum˘a de p˘atrate, scriere pe care, dac˘a nu o ¸stiat¸i din clasa a IX-a, o puteat¸i descoperi acum. Notˆandx′_=x−y,

nu este inversabil˘a. Care

este explicat¸ia? Ei bine, scrierea aceea elegant˘a a luif ca sum˘a de p˘atrate nu respect˘a o condit¸ie necesar˘a, pe care tehnica ,,epuiz˘arii succesive a cˆate unei variabile” o asigur˘a: cantit˘at¸ile de sub p˘atrate trebuie s˘a fie indepen-dente. Ori la noix′_+y′_+z′_{= 0.}

S˘a l˘as˘am deoparte scrierea ,,elegant˘a” ¸si s˘a aplic˘am algoritmul.

f(x, y, z) = 2x2_{−2x(y+z)+2y}2_−2yz+2z2_{= 2x}2_{−2x(y+z) +}1

cu a, b, c alese cu singura restrict¸ie ca matricea sistemului obt¸inut s˘a fie inversabil˘a. Pentru comoditate, alegem z′ _{=z. (Alte alegeri conduc la}

alte baze, la fel de bune.) Atunci obt¸inem succesivz=z′_,y=√_23y′_+z′_,

ˆıntˆamplare; trebuie doar ca matricea sistemului care ˆıi exprim˘a pex′_{, y}′_{, z}′

ˆın funct¸ie de x, y, zs˘a fie inversabil˘a. Dac˘a alegem y′ _=y,z′ _{=z, avem}

x=x′_−y′_−z′_,y=y′_,z=z′_{, deci o baz˘a ˆın care se obt¸ine forma canonic˘a}

esteB={(1,0,0),(−1,1,0),(−1,0,1)}.

(e)f(x, y, z) = 4x2_{−2yz= (2x)}2_{−2yz, dar acum nu mai avem p˘atrat de}

la care s˘a continu˘am gruparea. (Aceast˘a problem˘a poate ap˘area la ˆınceput sau oricˆand pe parcursul aplic˘arii algoritmului.) Vom face ni¸ste schimb˘ari auxiliare care s˘a produc˘a p˘atrate: alegem un termen de formaxixj (aici

yz), iar variabilele implicate le scriemxi=yi+yj,xj =yi−yj, celelalte variabile r˘amˆanˆand neschimbate. ˆın locul termenuluixixj vom avea acum

yi2−y2j, prin urmare vom avea acum p˘atrat de la care s˘a continu˘am apli-carea algoritmului. La sfˆar¸sit, revenim la variabilele init¸iale.

Punˆandy =y1+z1, z =y1−z1, avem f(x, y, z) = (2x)2_{+ 2y}2

(2x)2_{+ (}√_2y1)2 ₋₍√_2z1)2 _{= (2x)}2_{+ (} 1 liniara a spatiuluiR3_/R_{si sa se determine dimensiunea imaginii sale.} Raspuns. 1.

2. Forma liniarafa spatiuluiR3_/R_{are, in baza canonica, matricea 1 −1 2.} Sa se determine dimensiunea nucleului acestei forme.

Raspuns. 2.

3. In spatiul R2_{/R consideram forma liniara f ∈ R}2∗

a carei matrice in bazaB={v1= (1,1), v2= (0,1)}este 2 −1

.Se cere: (a) expresia analitica a formeif;

(b) dimensiunea nucleului formeif;

(c) duala bazeiB si exprimarea formeif in aceasta baza. Raspuns. a. f(x, y) = 3x−y; b. 1. c. B∗ _={v∗

1=e∗2, v∗2=e∗1−e∗2}, f = 2v∗

1−v2∗ (unde cu{e1, e2}am notat baza canonica dinR2/R).

4. FieV /Kun spatiu de dimensiunen. Sa se determine dimensiunea spatiu-lui dualV∗_.

5. Sa se determine a, b, c ∈ R _{astfel incat functia f :} R3 _→ R_{, definita} prinf(x, y, z) = (a−1)x2_{+ (a+b)xy+ (b+ 1)y}2_{+ax+by+cz sa fie o}

forma liniara a spatiuluiR3_/R_{, apoi sa se determine matricea sa in baza} canonica.

Raspuns. a= 1, b=−1, c∈R_{; [f] = 1 −1 c.}

6. Fiefo forma liniara a spatiuluiR_3[x]/R_{,care are matricea [f] = 1 2 3 4}

in baza canonica.

(a) Sa se scrie forma analitica a aplicatieif.

(b) Sa se determine nucleul formeif si dimensiunea sa. (c) Sa se afle matricea acestei forme in baza

7. Fie V /K un spatiu, B = {e1, e2, ..., en} o baza a sa si f : V → K o functie. Sa se arate ca f ∈ V∗ _{daca si numai daca exista n elemente}

a1, a2, ..., an ∈K astfel ca f(v) = a1x1+a2x2+...+anxn, pentru orice vectorv=x1e1+x2e2+...+xnen ∈V.

8. Sa se construiasca baza duala bazeiB cand: (a) B={13} din spatiulR_/R_;

(b) B={(1,3),(−1,1)} din spatiulR2_/R_; (c) B={1 +x,1−x}din spatiulR_1[x]/R_.

9. Fie formaf ∈R_1[x]∗_{definita prinf(a+bx) =a−2b.Sa se exprimef in}

baza duala bazei: (a) canonice; (b) {1 +x,1−x}.

10. Forma liniara f : M2,1(R) → R are matricea 2 −1 in baza B =

1 1

, 0₁ .Sa se scrie:

(a) expresia analitca a formei f;

(b) coordonatele formei f in baza dualaB∗_.

Raspuns. a. f a_b

= 3a−b;b. 2,−1. 11. Sa se arate ca

f ∈R_2[x]∗_{|f x+x}2

= 0 =f −1 +x+x2 _este

sub-spatiu vectorial al sub-spatiului dual R_2[x]∗ _{si sa se determine dimensiunea}

acestuia. Raspuns. 1.

12. Fie I:R_2[x]→R_{functia definita prinI(f) =}Rβ

α f(x)dx.Sa se arate ca

I∈R_2[x]∗ _{si sa se scrie aceasta forma in duala bazei canonice.}

Raspuns. I= (β−α)e∗

1+(β−α)

2

2 e∗2+(β−α)

3

3 e∗3.

13. Sa se arate ca orice forma liniara este ori triviala ori surjectiva.

14. *FieI:R_2[x]→R_{forma definita la problema 12,six0, x1, x2, x3∈[α, β]} patru numere distincte. Sa se arate ca existaa0, a1, a2, a3∈R_{pentru care}

I(f) = a0f(x0) +a1f(x1) +a2f(x2) +a3f(x3).Generalizare. (Aceste reprezentare a formeiIconstituie fundamentul teoriei integrarii numerice). 15. *Fie f, g doua forme netriviale ale spatiului R3_/R_{. Sa se arate ca exista}

c ∈ R∗ _{astfel ca f = cg daca si numai daca cele doua forme au acelasi}

16. *FieV un spatiu real de dimensiunensif o forma liniara nenula a sa. Sa se arate ca exista o baza {e1, e2, ..., en}inV astfel incatf(x1e1+x2e2+

...+xnen) =x1, oricare ar fix1e1+x2e2+...+xnen∈V.

Indicatie. Se alege baza astfel incatf(e1) = 1, f(e2) = 0, ..., f(en) = 0.

17. Sa se arate ca functiaϕ:R2_×R2_{→Rdefinita prinϕ((x, y),(x}′_{, y}′_{)) =}

2xx′_+xy′ _−yy′ _{este o forma biliniara a spatiului} R2_/R _{si sa se scrie} matricea ei in baza canonica. Este aceasta forma simetrica?

Raspuns.

2 1

0 −1

.

18. Forma biliniara ϕ a spatiului vectorial R2_/R _{are matricea}

2 1

0 −1

in bazaB={(1,1),(1,−1)}.Sa se determine forma sa analitica.

Raspuns. ϕ((x1, x2),(y1, y2)) = 1₂x1y1+1₂x1y2+x2y1.

19. Fie V un spatiu real de dimensiune n. Sa se arate ca multimea formelor biliniareB(V) se poate inzestra cu o structura canonica de spatiu vectorial real si caB(V)≃Rn×n_.

20. Fie V un spatiu real de dimensiune n. Sa se arate ca multimea formelor biliniare simetriceBs(V) este un subspatiu liniar al spatiuluiB(V). Care este dimBs(V)? Este adevarata afirmatiaBs(V)≃ Q(V)?

21. Forma biliniaraϕa spatiului vectorialR2_/R_{are matricea}

1 1 2 1

in baza canonica.

(a) Sa se calculezeϕ((x,0),(1,2)) siϕ((x, y),(x, y)).

(b) Care este matricea formeiϕin baza{(1,1),(−1,2)}.

Raspuns. a. ϕ((x,0),(1,2)) = 3x, ϕ((x, y),(x, y)) =x2_{+ 3xy+y}2_{. b.}

5 2

4 −1

.

22. FieV /K siV′ _{/K doua spatii vectoriale de dimensiunen. Sa se arate ca}

B(V)≃ B(V).

23. Fie ϕ:R_2[x]×R_2[x]→R_{definita prinϕ(f, g) =}Rβ

αf(x)g(x)dx. (a) Sa se arate caϕ∈ B(R_2[x]).

(b) Sa se determine matricea formei ϕin baza canonica din R_2[x]. (c) Sa se determine matricea formeiϕin baza

1,1−x, x−x2_{, x}2_{−1 .}

24. Consideram forma ϕ∈ B(R_{1[x]) a carei matrice in baza canonica {1, x}} este

2 1

0 −1

(a) Sa se gaseasca expresia analitica a functiei ϕ.

(b) Sa se arate ca functia f : R_{1[x] →} R _{definita prin f(a+bx) =}

ϕ(a+bx,1 +x) este o forma liniara a spatiuluiR_1[x]/R_{si sa se} de-termine o baza a nucleului sau.

Raspuns. a. ϕ(a+bx, a′_+b′_{x) = 2aa}′_+ab′_−bb′_{.b. e.g. {1 + 3x}.}

25. Fie V /Kun spatiu,B(V) spatiul formelor biliniare,ϕ∈ B(V) siv∈V. (a) Sa se arate ca ϕv1, ϕv2 ∈ V∗, unde ϕv1(u) = ϕ(u, v) si ϕv2(u) =

ϕ(v, u) pentru oriceu∈V.

(b) Sa se arate ca matricea formei biliniareϕeste simetrica daca si numai dacaϕv1=ϕv2,pentru orice vectorv∈V.

26. Fie V /Kun spatiu,iarB(V) spatiul formelor biliniare.

(a) Sa se arate caBs(V)≤ B(V),undeϕ∈ Bs(V) daca si numai daca formaϕ∈ B(V) este simetrica.

(b) Sa se arate ca Ba(V)≤ B(V),undeϕ∈ Ba(V) daca si numai daca formaϕ∈ B(V) este antisimetrica, i.e. ϕ(v, u) =−ϕ(u, v) pentru oriceu, v∈V.

(c) FieK=R_{.Pentru oriceϕ∈ B(V) definimϕs(u, v) =} 1

2(ϕ(u, v) +ϕ(v, u))

siϕa(u, v) = 12(ϕ(u, v)−ϕ(v, u)) pentru oriceu, v∈V.Sa se arate

caϕs∈ Bs(V) si caϕa∈ Ba(V).

(d) Sa se arate caB(V) =Bs(V)⊕ Ba(V),dacaV este un spatiu real.

27. Forma ϕ∈ B R3

este definita prinϕ((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) =x1y1−

x2y2+2x3y3+x3y1−2x2y3.Sa se determine matricea sa in baza{(1,1,1),(−1,1,1),(1,−1,1)}.

Raspuns.

 

1 −3 3 −1 −1 1

7 3 5

 .

28. Sa se determine numerele naturale n pentru care spatiile reale B(Rn_{) si} R2n

sunt izomorfe. Raspuns. n∈ {2,4}.

29. Forma ϕ∈ B R3

este definita prinϕ((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) =x1y1−

x2y2+ 2x3y3+x3y1−2x2y3.

(a) Sa se arate ca functia f : R3 _→ R _{definita prin f(x) = ϕ(x, x),} pentru oricex∈R3 _{este o forma patratica, i.e. f ∈ Q} R3

.

Raspuns. .b.

 

1 0 1₂ 0 −1 −1

1

2 −1 2



. c. χ((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) = x1y1−

x2y2+ 2x3y3−1

2(x1y3+x3y1)−(x2y3+x3y2).

30. Sa se arate ca urmatoarele functii din Q R3

admit formele canonice indicate si sa se stabileasca signaturile lor.

(a) x2

1+x22+ 3x23+ 4x1x2+ 2x1x3+ 2x2x3=y21+y22−y32;

(b) x2

1−2x22+x23+ 2x1x2+ 4x1x3+ 2x2x3=y21−y22−y32;

(c) x2

1+x22+ 2x23+ 2x1x2+ 2x1x3+ 2x2x3=y21+y22;

(d) −x2

1−x22−x23+x1x2+x1x3+x2x3=−y21−y22−y23.

Raspuns. a. (2,1,0),nedefinita; b. (1,2,0),nedefinita; c. (2,0,1),pozitiv semidefinita; d. (0,3,0),negativ definita.

31. Folosind metoda Gauss sa se stabileasca signatura formelor patratice: (a) x2

1+ 5x22−4x23+ 2x1x2−4x1x3;

(b) 4x2

1+x22+x32−4x1x2+ 4x1x3−3x2x3.

Raspuns. Nedefinite.

32. Fie S =

(x, y)∈R2_{|ϕ((x, y),(1,1)) = 0 , unde ϕ este polara formei} patraticef :R2_→R_{, f(x, y) =x}2_−2y2_{+ 4xy.Sa se arate caS≃}R_. 33. Sa se determine signatura formei patratice f : R3 _→ R_,f(x1, x2, x3) =

x2

1+ax22+ 5x23+ 2x1x2−4x1x3,undea∈R.

Raspuns. (3,0,0),dacaa >5; (2,0,1) dacaa= 5; (2,1,0) dacaa <5.

34. Folosind metoda Jacobi sa se scrie forma canonica a formei patratice q: R_1[x]→R_{definita prinq(f) =}R2

0 f(x)dx.

Raspuns. 1 2α

2₊1 2β

2_.

35. Sa se indice o baza in care f ∈ Q R4

are forma canonica: (a) f(x1, x2, x3, x4) =x1x2+x2x3+x3x4+x4x1; (b) f(x1, x2, x3, x4) = 3x2

1+ 2x22−x23−2x24+ 2x1x2−4x2x3+ 2x2x4.

Raspuns. De exemplu: a. y12 −y22, cu transformarile de coordonate x1 = y1 −y2 −y3, x2 = y1 +y2 −y4, x3 = y3, x4 = y4;deci noua baza este{(1,1,0,0),(−1,1,0,0),(−1,0,1,0),(0,−1,0,1)}.b. 3y2

1−y22+ 17

3y 2 3−173y

2 4;

(1,0,0,0),(0,0,1,0), −1

3,1,−2,0

, −1 17,

3 17,−

6 17,1 .

36. Sa se determinea∈R_{astfel incat forma patraticaf ∈ Q} R3

, f(x1, x2, x3) = 2x2

1+x22+x23+ 2x1x2+ 2ax2x3+ 2x3x1sa fie pozitiv definita.

37. Sa se verifice legea de inertie a signaturii prin metoda Gauss, respectiv, cu metoda Jacobi pentru forma patratica f : R3 _→R _{care are matricea}

 

3 2 1 2 2 1 1 1 1

 .

38. Fie V un spatiu vectorial real, V∗ _{dualul sau si W := V ×V}∗ _spatiul

produs.

(a) Care sunt operatiile -interna si externa - pe W? (b) Care este dimensiunea spatiului W?

(c) Aratati caW ≃Rn×n_.