SOLUSI PERSAMAAN NON LINEAR

(1)

Äfisika-komputasi ⊇

30 SOLUSI

PERSAMAAN NON LINEAR

Pada bab ini dibahas solusi dari persamaan non linear yang banyak dijumpai dalam formulasi kasus -kasus fisika , yaitu pencarian akar persamaan (finding roots). Disajikan beberapa metode yang biasa digunakan, dan inti pembahasan terletak pada implementasi 3 (tiga) metode komputasi numerik, yaitu metode Bisection, metode Newton Raphson dan metode Secant, didalam menangani berbagai kasus yang disertakan.

A. SASARAN UMUM

Sasaran umum dari perkuliahan ini adalah memberikan pe mahaman kepada mahasiswa mengenai proses penyelesaian kasus fisika dalam formulasi persamaan non linear secara komputasi numerik, dan memberikan keleluasaan wawasan tentang beberapa metode dari sekian banyak metode yang bisa diimplementasikan.

B. SASARAN KHUSUS

Setelah perkuliahan selesai dilaksanakan, mahasiswa diharapkan mampu:

1. Memformulasikan fenomena fisis dalam bentuk persamaan non linear ke dalam

formula iteratif komputasi numerik.

2. Menyebutkan beberapa metode komputasi numerik dalam kasus finding roots

3. Menjelaskan proses iterasi dari bracketing methods dan open methods.

4. Menjelaskan perilaku metode Bisection, Newton Raphson dan Secant sesuai

dengan karakter persamaan non linear yang ditangani.

5. Mengembangkan pemahaman dengan menggunakan karakteristik metode -metode

komputasi numerik yang lain.

6. Meng-implementasikan metode komputasi numerik untuk persamaan non linear

dalam program komputer.

C. URAIAN MATERI

2

▸ Baca selengkapnya: trend linear dan non linear

(2)

31

Telah dikenal beberapa metode nonkomputer di dalam menyelesaikan

akar-akar secara aljabar dan non-aljabar. Untuk kasus non-aljabar ada persamaan transendental–didalamnya mengandung bentuk-bentuk trigonometri, eksponensial, logaritma, dan persamaan campuran yang mengandung polinom dan transendental.

Dalam beberapa kasus, akar-akar bisa ditentukan dengan metode langsung. Contoh

yang paling sederhana seperti pada persamaan linear ax + b=0 (dimana a dan b

adalah konstanta dan a 0), maka akar tunggal dari persamaan, xo=–b/a. Persamaan

kuadrat ax2 + bx + c=0 dalam keadaan tertentu bisa diselesaikan dengan formula

kuadratik: a ac b b x 2 4 2 2 , 1

−

±

−

=

(2.1)

Rumus-rumus yang memberikan nilai eksak dari penyelesaian secara eksplisit hanya ada untuk kasus-kasus yang sangat sederhana. Fungsi yang cukup sederhana

seperti f(x) = e-x – x sudah tidak bisa diselesaikan secara analitik . Dalam hal ini

satu-satunya alternatif adalah menggunakan solusi pendekatan (approximate solution)

Salah satu metode untuk menentukan solusi pendekatan adalah menggambar

fungsi dan menentukan nilai x dimana f(x)=0, seperti terlihat pada contoh 2.1.

Contoh 2.1

Gunakan pendekatan grafik untuk menentukan koefisien tarik (drag coeffisient) c yang diperlukan sebuah parasut bermassa m=68,1 kg sehingga kecepatannya 40

m/dtk setelah terjun bebas selama t=10 detik. Catatan: percepatan gravitasi 9,8 m/dtk.

Solusi

Kecepatan parasut yang diturunkan dari Hukum Newton II (diberikan oleh

persamaan

1.7 pada Bab 1) adalah:

) 1 ( ) ( e (c/m)t c gm t v

=

−

Dapat kita lihat bahwa tidak seperti kecepatan parasut secara eksplisit dapat diisolasi pada satu sisi dan sebagai fungsi waktu. dalam kasus ini koefisien drag adalah

(3)

32

implisit. Kasus ini bisa diselesaikan dengan metode numerik dengan cara

mengurangi variabel takbebas v pada kedua sisi persamaan, sehingga:

v e c gm c f( )

=

(1

−

−(c/m)t)

−

(2.2)

Nilai c yang membuat f(c)=0, selanjutnya disebut akar persamaan, yang juga

representasi dari koefisien drag sebagai solusi dari kasus.

Dengan memasukkan parameter t=10, g=9,8, v=40 dan m=68,1

40 ) 1 ( ) 1 , 68 ( 8 , 9 ) (

=

−

−(c/68,1)10

−

e c c f atau 40 ) 1 ( 38 , 667 ) (

=

−

e−(c/68,1)10

−

c c f (2.3)

Variasi nilai c yang disubtitusi pada persamaan memberikan hasil f(c) pada tabel

sebelah kiri. Kurva melintasi sumbu c antara 12 dan 16. dan dari kelengkungan grafik memberikan estimasi akar 14,75.

Gambar 2.1. Pendekatan grafik untuk menentukan akar-akar persamaan

Dengan subtitusi 14,75 pada persamaan (2. 3), validitas estimasi grafik bisa diuji:

(1 ) 40 0,059 75 , 14 38 , 667 ) 75 , 14 (

=

−

e−(14,75 /68,1)10

−

=

f dan v (1 e ) 40,059m/ dtk 75 , 14 ) 1 , 68 ( 8 , 9

−

(14,75 /68,1)10

=

− t,dt f(c) 4 8 12 16 20 34,115 17,653 6,067 –2,269 –8,401 f(x) 20 40 –10 0 4 8 12 20 c Akar

(4)

33

Metode grafik ini tidak cukup teliti (precision). Cara yang lain adalah melakukan

trial and error. Teknik ini terdiri dari sebuah nilai coba x dan dievaluasi apakah

f(x)=0. jika tidak, dimasukkan nilai coba yang lain dan f(x) dievaluasi kembali untuk menentukan apakah nilai yang baru memberikan estimasi akar yang lebih baik.

Proses akan berulang sampai sebuah nilai coba memberikan hasil f(x)=0. Metode

seperti itu jelas tidak sistematis, tidak efisien dan tidak memadai untuk aktivitas saintis. Metode pendekatan yang paling tepat adalah metode -metode iterasi numerik.

Metode iterasi numerik adalah metode yang memberikan pilihan suatu x0

sebagai tebakan awal dan secara beruntun menghitung barisan x0,x1,x2,… secara

rekursif dari relasi berbentuk )

(

1 n

n gx

x ₊

=

(n=0,1,2,…) (2.4)

dengan g didefinisikan dalam selang yang memuat x0 dan rentang g terletak dalam

selang tersebut. Jadi secara beruntun dihit ung x1=g(x0), x2=g(x1), x3=g(2)…. Metode

iterasi sangat penting untuk beragam masalah dalam analisa numerik, dengan kelebihan umumnya tidak sangat terpengaruh oleh merambatnya kesalahan pembulatan.

Contoh 2.2

Buatlah program sederhana menggunakan BASIC untuk mencari akar positif dari

fungsi f(x) = x2 – 5, dengan nilai tebakan awal x=1, lebar langkah 0,5 dan toleransi

10– 6. Nilai sebenarnya √5 =2,236068 Solusi Program BASIC 5 Def Fnf(x)=x*x–5 10 Tolx=1.E– 06 15 x=1: FOld=Fnf(x): dx=.5 20 Iter%=0 25 ‘ 30 While Abs(dx)>Tolx 35 Iter%=Iter%+1 40 x=x+dx 45 Print Iter%,x,Sqr(5)– x

50 If FungsiOld*Fnf(x)>0 Then Goto 60

55 x=x–dx: dx=dx/2

60 Wend

(5)

34

70 Stop

Running program memberikan hasil sebagai berikut: Iterasi ke-n Nilai x Kesalahan (Error) 1 2 3 4 . . 13 14 . . 32 33 1.5 2 2.5 2.25 . . 2.2421875 2.23828125 . . 2.236066818237305 2.236068725585938 0.7360679774997897 0.2360679774997897 – 0.2639320225002103 – 1.39320225002103E– 002 . . – 6.119522500210304E–003 – 2.2132725002103036E– 003 . . 1.159262485008914E–006 – 7.480861478035856E–007

Pada iterasi ke-33 proses komputasi berhenti, karena telah memenuhi toleransi

kesalahan 10– 6 dengan presisi jawaban yang bagus.

Berikut ini adalah metode -metode yang populer digunakan untuk

menyelesaikan masalah finding roots terutama pada kasus persamaan non linear

f(x)=0 secara komputasi numerik: a. ÄBagidua (Bisection)

(initial Guesses:2,Convergence Rate:Slow, Stability:Always, Accuracy:Good, Breadth of Application:Real Roots, Programming Effort:Easy)

b. Posisi Palsu (False Position)

c. Titik Tetap (Fixed Point Iteration)

d. ÄNewtonRaphson

(initial Guesses:1,Convergence Rate:Fast, Stability:Possibly Divergent, Accuracy:Good, Breadth of Application:General, Programming Effort:Easy, Requires evaluation of f’(x))

e. Modifikasi Newton Raphson

f. ÄTali Busur (Secant)

(initial Guesses:2,Convergence Rate:Medium to Fast, Stability:Possibly Divergent, Accuracy:Good, Breadth of

Application:General, Programming Effort:Easy, Initial guesses do not have to bracket the root

g. Modifikasi Talibusur (Secant Modified)

h. Müller

(6)

35

Metode analisa numerik diatas, memiliki karakteristik terapan (metode a dan b untuk akar-akar real, metode b sampai g untuk general aplikasi, dan metode h dan i untuk akar-akar polinomial). Di sini hanya akan diimplementasikan satu atau

beberapa metode yang dipilih, dengan pertimbangan yang disertakan pada item metode, sebagai dasar untuk menangani kasus-kasus fisika pada bab-bab selanjutnya. Metode Grafik –dengan contoh 2.1 dan metode Bagidua adalah termasuk

metode ‘mengurung’ (bracketing methods), sedangkan metode Newton Raphson dan

metode Secant termasuk metode terbuka (open methods).

2.1 Metode Bagidua

(

Bisection

)

Nilai f(x) akan berubah tanda , berbeda pada kedua sisi akar, seperti yang

ditunjukkan pada contoh 2.1. Secara umum, jika f(x) real dan kontinu pada interval

antara

x

l sampai

x

u, dan f(xl) dan f(xu) berlawanan tanda, maka 0 ) ( ) (x_l f x_u

<

f (2.5)

dan sekurang-kurangnya ada satu akar pada interval itu.

Berikut langkah-langkah komputasi aktual dengan metode bagidua:

Langkah 1: Tentukan nilai awal

x

l yang lebih rendah dan

x

u yang lebih tinggi,

sehingga fungsi berubah tanda melalui interval. Ini bisa dicek dengan menghitung f(x_l)f(x_u)

<

0.

Langk ah 2: Estimasikan akar

x

r

,

yang ditentukan oleh:

2 u l r x x x

=

+

Langkah 3: Lakukan evaluasi berikut untuk menentukan interval akar:

(a) Jika f(x_l)f(x_r)

<

0 berarti akar pada sub-interval bawah(

x

l

,x

r),

kemudian set

x

u

=x

r dan kembali lakukan langkah 2

(b) Jika f(x_l)f(x_r)

>

0 berarti akar pada sub-interval atas(

x

u

,x

r),

kemudian set

x

l

=x

r dan kembali lakukan langkah 2

(c) Jika f(x_l)f(x_r)

=

0 akarnya adalah

x

r, perhitungan dihentikan.

Dengan metode ini ditentukan titik tengah interval, dan interval akan dibagi menjadi dua sub-interval, yang salah satunya pasti mengandung akar. Berikutnya yang ditinjau adalah sub-interval yang mengandung akar. Proses diulangi dengan membagi sub-interval tersebut dan memeriksa separo sub-interval mana yang

(7)

36

mengandung akar. Pembagiduaan sub-sub interval ini dilanjutkan sampai lebar

interval yang ditinjau cukup kecil.

Kriteria penghentian komputasi dan kesalahan estimasi pendekatan, adalah bijaksana untuk selalu disertakan didalam setiap kasus pencarian akar. Kesalahan

relatif er cukup representatif untuk kasus dimana nilai akar sebenarnya telah

diketahui. Pada situasi aktual biasanya nilai akar sebenarnya tidak diketahui,

sehingga diperlukan kesalahan relatif pendekatan, era, yaitu:

% 100 baru r lama r baru r ra x x x e

=

−

Contoh 2.3

Dengan menggunakan metode bisection (Bagidua) : [a] Selesaikan problem pada

contoh 2.1. [b] Tentukan akarnya sampai kesalahan pendekatan dibawah 0,5%.

Solusi

[a] Langkah pertama dalam metode bagidua, memberi dua nilai awal dari nilai yang

tidak diketahui yaitu koefisien drag (c), sehingga f(c) memberikan tanda yang

berbeda. dari gambar 2.1 dapat dilihat bahwa fungsi berubah tanda antara nilai 12 dan 16. Sehingga,

iterasi pertama: estimasi awal akar xr yang merupakan titik tengah interval:

14 2 16 12

=

+

=

r

x , kesalahan relatif er=5,3% (catatan bahwa nilai akar sebenarnya

14,7802). f(12)f(14)

=

6,067(1,569)

=

9,517

>

0 ,konsekuensinya akar berada pada interval 14 dan 16. selanjutnya

iterasi kedua:

titik tengah dari sub-interval antara 14 dan 16:

15 2 16 14

=

+

=

r

x dengan kesalahan relatif : er=1. 5%. Proses berulang untuk

mendapatkan estimasi: f(14)f(15)

=

6,067(

−

0,425)

=

−

0,666

<

0. Jadi akar berada diantara 14 dan 15. Iterasi ketiga : 14,5 2 15 14

=

+

=

r

x dengan kesalahan relatif er=1,9%.

(8)

37

[b] kriteria penghentian es adalah 0,5%. Hasil untuk iterasi pertama kedua adalah 14

dan 15, maka 100% 6,667% 14 14 15

=

−

=

ra e

iterasi selengkapnya adalah sebagai berikut:

dari 6 iterasi akhirnya era<es=0,5% dan komputasi dihentikan.

Algoritma Bisection

Untuk mengimplementasi kasus mencari akar persamaan dengan menggunakan metode bisection ke dalam pemrograman komputer, dapat digunakan algoritma dalam format pseudocode dibawah.

FUNCTION Bisect(xl,xu,es,imax,xr,iter,era) iter=0 DO xrlama=xr xr=(xl+xu)/2 iter=iter+1 IF xr 0 THEN era=ABS((xr–xrlama)/xr)*100 END IF test=f(xl)*f(xr) IF test<0 THEN xu=xr

ELSE IF test>0 THEN xl=xr ELSE

era=0 END IF IF era<es OR iter imax EXIT END DO

Bisect=xr END Bisect

Algoritma in i tidak user friendly, tetapi tidak sulit bagi yang sudah mengenal

bahasa pemrograman. Fungsi pada algoritma ini didefinisikan sendiri oleh user untuk membuat lokasi akar dan evaluasi fungsi telah dirancang lebih efisien.

iterasi xl xu xr era(%) ex(%) 1 2 3 4 5 6 12 14 14 14,5 14,75 14,75 16 16 15 15 15 14,875 14 15 14,5 14,75 14,875 14,8125 6,667 3,448 1,695 0,840 0,422 5,279 1,487 1,896 0,204 0,641 0,219

(9)

38 2.2 Metode

Newton Raphson

Metode Newton Raphson adalah metode iterasi lain untuk memecahkan persamaan f(x)=0, dengan f diasumsikan mempunyai turunan kontinu f’. Secara geometri metode ini menggunakan garis singgung sebagai hampiran fungsi pada suatu selang. Gagasan dasarnya adalah grafik f dihampiri dengan garis-garis

singgung yang sesuai. Dengan menggunakan suatu nilai xi sebagai tebakan awal

yang diperoleh dengan melokalisasi akar-akar dari f(x) terlebih dahulu, kemudian

dite ntukan xi+1 sebagai titik potong antara sumbu x dan garis singgung pada kurva f

di titik (xi,f(xi). Prosedur yang sama diulang, menggunakan nilai terbaru sebagai nilai

coba untuk iterasi seterusnya.

Metode Newton Raphson ini bisa diturunkan dari interpretasi geometri (alternatif lain didasarkan pada deret

Taylor). Dari gambar 2.2,

turunan pertama terhadap x adalah ekivalen dengan kemiringan: 1 0 ) ( ) ( ' +

−

=

i i i x x x f x f (2.6)

Dan bisa dituliskan ulang menjadi:

Contoh 2.4

Carilah akar positif dari fungsi f(x) = x2 – 5 pada contoh soal 2.2, dengan nilai

tebakan awal x=1, Nilai sebenarnya √5 =2,236068. Gunakan metode Newton

Raphson ! Solusi : f(xi) 0 xi xi + 1 xi + 2 xi + 3 kemiringan=f’(xo) x f(xi + 1) f(xi) –0 xi –xi + 1

Gambar 2.2 Skema metode Newton Raphson

) ( ' ) ( 1 i i i i x f x f x x₊

=

−

(2.7)

(10)

39

Turunan pertama dari fungsi f(x) = x2 _{– 5 adalah f’(x)=2x, subtitusikan pada}

persamaan (2.7) menjadi: i i i i x x x x 2 5 2 1

−

=

+

Dimulai dari nilai tebakan awal x=1, hitungan iteras i menggunakan Microsoft Excel memberikan data seperti pada gambar 2.3.

Gambar 2.3 Pencarian akar dengan Newton Raphson

Terlihat metode Newton Raphson hanya memerlukan 6 iterasi untuk mendapatkan nilai pendekatan numerik yang tepat dengan nilai sebenarnya pada

ketelitian 10–6, dibanding dengan pencarian akar pada contoh soal 2.2.

Contoh 2.5

Gunakan metode Newton Raphson untuk mencari estimasi akar dari fungsi

transendental f(x) = e–x – x, dengan nilai tebakan awal x=0

Solusi :

Turunan pertama didapatkan: f’(x) = – e–x – 1, sehingga persamaan (2.7) menjadi:

1 1

−

=

−₋ + _i i x x i i e x e x x

(11)

40

Pengecekan hasil menggunakan software Numerical Methods Electronic Toolkit (terlihat pada gambar 2.4) memberikan hasil yaitu 0,5671433 dalam 7 angka

desimal, dengan tole ransi kesalahan sampai 10– 8, yang dicapai dengan jumlah iterasi

yang cukup besar yaitu 35, lebih lambat konvergensinya dibanding dengan metode Newton Raphson.

Gambar 2.4 Pencarian akar transendental dengan Numerical Methods Toolkit.

Tidak dijelaskan metode yang dipakai tetapi berdasarkan jumlah input

parameter nilai coba (low guess & high guess) adalah karakteristik metode talibusur

(Secant) yang akan dijelaskan berikutnya .

i xi era(%) 0 1 2 3 4 0 0,500000000 0,566311003 0,567143165 0,567143290 100 11,8 0,147 0,0000220 < 10–8

(12)

41

Metode Newton Raphson secara umum direkomendasikan karena

kesederhanaannya, konvergensinya yang sangat cepat dan efisien dibanding metode lainnya. Tetapi ada pada situasi tertentu, seperti kasus khusus – akar-akar ganda–

dialamati lebih lambat. misalnya menentukan akar positif dari fungsi f(x)=x10– 1,

dengan nilai tebakan awal x=0,5. Pada iterasi awal memberikan hasil yang cukup jauh 51,65; 46,485; … dan seterusnya dengan nilai yang simultan turun dengan lambat, konvergensi sampai nilai sebenarnya 1.

Algoritma Newton Raphson

Pencaria n akar persamaan dengan metode Newton Raphson dengan pemrograman komputer, dapat mengacu pada algoritma pseudocode dibawah.

FUNCTION NewtonR( x0, es, imax, iter, era) xr=x0 iter=0 DO xrlama=xr xr=xr–f(xr)/f’(xr) iter=iter+1 IF xr 0 THEN era=ABS((xr–xrlama)/xr)*100 END IF IF era<es OR iter imax EXIT END DO

NewtonR =xr END NewtonR

Bagaimanapun program harus dimodifikasi untuk menghitung turunan pertama dari fungsi. Hal ini menjadi lebih sederhana dengan menyisipkan fungsi turunan yang didefinisikan oleh user sendiri.

2.3 Metode Talibusur (

Secant)

Masalah potensial dalam implementasi metode Newton Raphson adalah evaluasi pada turunan. Metode Secant diperoleh dari metode Newton dengan cara menggantikan turunan f’(x) dengan beda hingga terbagi,

(13)

42

1 1) ( ) ( ) ( ' − −

−

=

i i i i x x x f x f x f (forward) atau (2.8) i i i i x x x f x f x f

−

=

− − 1 1) ( ) ( ) ( ' (backward) (2.9)

Jika diambil persamaan (2.8) untuk disubtitusikan pada persamaaan (2.7) persamaan iteratifnya menjadi: ) ( ) ( ) )( ( 1 1 1 − −

−

=

+

i i i i i i i x f x f x x x f x x (2.10)

atau bisa dituliskan dalam bentuk

) ( ) ( ) )( ( 2 1 2 1 1 1 − − − − − −

−

₋

−

=

i i i i i i i x f x f x x x f x x , i=2,3… (2.11)

Secara geometri, dalam

metode Newton xi+1 merupakan

perpotongan sumbu x dengan

garis singgung di xi, sedangkan

dalam metode Secant xi+1 adalah

perpotongan sumbu x dengan

talibusur kurva f(x) yang

berpadanan terhadap xn+1 dan xn.

Metode Secant memerlukan dua

tebakan awal, xi–1 dan xi, tetapi

tanpa perhitungan turunan.

Gambar 2. 5 Skema metode Secant

Dapat diperlihatkan metode Secant lebih lambat dibandingkan metode Newton Raphson, tetapi menjadi pilihan bilamana kerja penghitungan suatu nilai f’(x) lebih lama daripada ½ kali kerja penghitungan nilai f(x).

Algoritmanya serupa dengan metode Newton. Tidak dianjurkan menuliskan skema iterasi pada (2.10) dalam bentuk

) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 − − − +

=

₋

−

i i i i i i i x f x f x f x x f x x f(xi) 0 xi xi – 1 x f(xi –1)

(14)

43

karena bisa jadi menimbulkan kesulitan ketika xn dan xn-1 bernilai hampir sama.

Contoh 2.6

Sebuah peluru bermassa 2 gram ditembakkan vertikal ke udara dan bergerak turun

setelah mencapai batas kecepatan. Batas kecepatan ditentukan oleh mg=Ftarik,

dimana m=massa dan g = percepatan gravitas i. Persamaan lengkap adalah sebagai berikut: 5 1,5 5 2 10 15 , 1 10 4 , 1 1000 ) 81 , 9 )( 2 ( v x v x −

+

−

=

dimana v adalah kecepatan batas, m/det. Suku pertama pada ruas kanan menyatakan

gesekan tarik (friction drag), dan suku kedua menyatakan tekanan tarik (pressure

drag). Tentukan batas kecepatan dengan metode secant. Nilai coba awal v ≅ 30 m/det

Solusi:

Kasus ini didefinisikan sebagai pencarian akar dari

=

f(v) y 1,4 10 5 1,5 1,15 10 5 2 1000 ) 81 , 9 )( 2 ( v x v x −

+

−

=

(2.12)

diset vo=30 dan v1=30,1 didasarkan pada nilai coba awal, dimana y0 dan y1 dihitung dengan persamaan (2.12). Iterasi penyelesaian dengan persamaan (2. 11) sebagai berikut:

Jadi batas kecepatannya adalah v=37,7 m/det

::: Studi Kasus Fisika :::

Hukum Gas Ideal dalam Termodinamika

Hukum gas ideal diberikan oleh PV=nRT i vi yn 0 1 2 3 4 5 6 30,00000 30,10000 30,15411 38,62414 37,64323 37,73358 37,73458 1,9620001E–02 6,8889391E–03 6,8452079E–03 –8,9657493E–04 9,0962276E–05 9,9465251E–07 –1,8626451E–09

(15)

44

dimana P adalah tekanan mutlak, V adalah volume, n adalah jumlah mol, R adalah

konstanta gas universal dan T adalah temperatur mutlak. Persamaan ini amat luas penggunaannya dalam aktivitas enginer dan saintis.

Persamaan keadaan alternatif untuk gas dinyatakan dalam persamaan

RT b v v a P

+

)(

−

)

=

( 2 (2.13)

yang dikenal sebagai persamaan van der Waals, dimana v=V/n adalah molal volume, a dan b adalah konstanta empiris yang tergantung pada sifat gas.

Diperlukan keakuratan di dalam memberikan estimasi terhadap molal volume (v) dari karbon dan oksigen untuk sejumlah kombinasi temperatur dan tekanan yang berbeda yaitu tekanan pada 1, 10 dan 100 atm untuk kombinasi temperatur pada 300, 500 dan 700 K, sehingga cocok dalam pemilihan bejana atau tempatnya. Berikut adalah data -data yang diperlukan:

R= 0,82054 L atm/(mol K) a= 3,592

b=0,04267 a= 1,360 b=0,03183

Molal volume dari kedua gas dihitung menggunakan hukum gas ideal, dengan n=1. Sebagai contoh jika P=1 atm dan T=300 K,

mol L atm K K mol atm L P RT n V v 24,6162 / 1 300 . . 082054 , 0

=

dan perhitungan diulang untuk seluruh kombinasi temperatur dan tekanan.

Komputasi molal volume dari persamaan van der Waals bisa di selesaikan dengan baik menggunakan metode numerik untuk mencari akar-akar persamaan, dengan RT b v v a P v f



−









 +

=

( ) ) ( 2

turunan dari f(v) mudah didapatkan dan implementasi metode Newton Raphson

dalam kasus ini sangat tepat dan efisien. Turunan f(v) terhadap v dituliskan

karbon dioksida

(16)

45

3 2 2 ) ( ' v ab v a P v f

=

−

+

(2.14)

metode Newton Raphson untuk menentukan estimasi akar adalah dengan formula iteratif, ) ( ' ) ( 1 i i i i v f v f v v₊

=

−

ketika menggunakan nilai coba 24,6162, nilai komputasi molal volume dari karbon dioksida pada 300 K dan 1 atm sebesar 24,5126 L/mol. Hasil ini didapat hanya

dengan dua iterasi saja dan memiliki kesalahan kurang dari 0,0001 %. Berikut adalah hasil komputasi selengkapnya

Dalam sistem kontrol proses produksi yang berkaitan dengan komputasi terhadap kombinasi temperatur dan tekanan dengan persamaan sistem yang bisa diturunkan, metode Newton Raphson sangat handal dalam hal kecepatan konvergensinya. Dalam evaluasi jutaan akar, pilihan metode menjadi faktor penentu, dan pada esensinya basisnya kontinu dari proses manufaktur sampai final produk.

D. SOAL-SOAL

(2.1) Carilah akar positiv dari x2– 0,9x–1,52 pada interval [1,2] menggunakan

metode Bisection dengan toleransi 0,001

(2.2) Dengan menggunakan iterasi, perlihatkan bahwa akar positif yang terkecil

dari persamaan x=tan x secara hampiran adalah 4,49

(2.3) Gunakan metode Newton Raphson untuk menentukan akar dari f(x)= –

0,9x2+1,7x+2,5 dengan xo=5

(2.4) Buatlah program untuk menentukan akar dari soal (2.1)

Molal Volume, L/mol Temperatur,

K

Tekanan,

atm Hk. Gas Ideal Van der Waals

Karbon dioksida

Van der Waals Oksigen 300 500 700 1 10 100 1 10 100 1 10 100 24,6162 2,4616 0,2462 41,0270 4,1027 0,4103 57,4378 5,7438 0,5744 24,5126 2,3545 0,0705 40,9821 4,0578 0,3663 57,4179 5,7242 0,5575 24,5928 2,4384 0,2264 41,0259 4,1016 0,4116 57,4460 5,7521 0,5842

(17)

46

(2.5) Tentukan kecepatan batas pada contoh 2.6 menggunakan metode bisection

dengan toleransi 0,01

D. DAFTAR PUSTAKA

Chapra, S.C., and Canale, R.P., Numerical Methods for Engineers, McGraw-Hill,

1998

James, M.L., G.M. Smith, and J.C. Wolford, Applied Numerical Methods for Digital

Computations, 3rd ed. Harper & Row, 1985

Koonin, S.E., Computational Physics, Addison-Wesley Inc, 1986

Mathews, J.H., Numerical Methods for Mathematics, Science and Engineering,

Prentice -Hall Inc., 1992