FORMULASI HAMILTONIAN UNTUK MENGGAMBARKAN GERAK GELOMBANG SOLITER DIMENSI TIGA DI PERMUKAAN LAUT ROMA ULI PANGARIBUAN G

(1)

FORMULASI HAMILTONIAN UNTUK MENGGAMBARKAN GERAK

GELOMBANG SOLITER DIMENSI TIGA DI PERMUKAAN LAUT

ROMA ULI PANGARIBUAN

G54104029

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2008

(2)

ABSTRACT

ROMA ULI PANGARIBUAN. Hamiltonian Formulation for Describing Three Dimensional Solitary Waves Motion in Sea Surface. The research are supervised by JAHARUDDIN and SISWANDI.

Surface waves are waves caused by the difference of water and air density. One of the surface waves observed is a solitary wave. The formulation of the solitary waves is carried out by using the Hamiltonian formulation. Hamiltonian (total energy) is defined as the sum of the kinetic and the potential energy. The Hamiltonian unit was determine by using asymptotic method. In this method, the observed waves were assumed to have a long wavelength with small amplitude (shallow fluid assumption). Furthermore, fluid particle motion incompressible and irrotational was assumed as in three dimensional motion. The equation obtained was extended from Korteweg de Vries (KdV) equation for shallow fluid, which was Kadomtsev-Petviashvili (KP) equation. Solitary waves formulation produced parameter amplitude, wave speed, and wavelength (in two directions). If one of the parameter is known, so the other two parameters can be determined. As an example case of the study of the solitary waves spreading in the surface, the amplitude data was given. The result was the solitary waves that move without changing in shape and speed. This was the behavior of the solitary waves.

(3)

ABSTRAK

ROMA ULI PANGARIBUAN. Formulasi Hamiltonian untuk Menggambarkan Gerak Gelombang Soliter Dimensi Tiga di Permukaan Laut. Di bawah bimbingan JAHARUDDIN dan SISWANDI.

Gelombang permukaan adalah gelombang yang terjadi karena perbedaan rapat massa antara air dan udara. Salah satu gelombang permukaan yang ditinjau adalah gelombang soliter. Formulasi gelombang soliter dilakukan dengan menggunakan formulasi Hamiltonian. Hamiltonian (energi total) didefinisikan sebagai penjumlahan antara energi kinetik dan energi potensial. Besaran Hamiltonian ini ditentukan dengan menggunakan metode asimtotik. Dalam metode ini, diasumsikan bahwa gelombang yang ditinjau mempunyai panjang gelombang yang cukup panjang dengan amplitudo yang cukup kecil (asumsi fluida dangkal). Selain itu, gerak partikel fluida tak mampat dan tak berotasi diasumsikan bergerak dalam arah tiga dimensi. Persamaan yang diperoleh berupa perluasan dari persamaan Korteweg de Vries (KdV) untuk fluida dangkal, yaitu persamaan Kadomtsev-Petviashvili (KP). Formulasi gelombang soliter menghasilkan parameter amplitudo, kecepatan gelombang, dan panjang gelombang (dalam dua arah). Jika salah satu dari parameter itu diketahui maka dua parameter lainnya dapat ditentukan. Sebagai contoh kasus untuk mengkaji perambatan gelombang soliter pada permukaan, maka diberikan data amplitudo. Hasilnya diperoleh bahwa gelombang soliter yang dihasilkan bergerak tanpa mengalami perubahan bentuk dan kecepatan. Hal ini merupakan sifat dari gelombang soliter.

(4)

FORMULASI HAMILTONIAN UNTUK MENGGAMBARKAN GERAK

GELOMBANG SOLITER DIMENSI TIGA DI PERMUKAAN LAUT

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Oleh :

ROMA ULI PANGARIBUAN

G54104029

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2008

(5)

Judul

: Formulasi Hamiltonian untuk Menggambarkan Gerak

Gelombang Soliter Dimensi Tiga di Permukaan Laut

Nama

: Roma Uli Pangaribuan

NIM :

G54104029

Menyetujui :

Mengetahui,

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Tanggal Lulus :

Pembimbing II,

Drs. Siswandi, M.Si

NIP 131 957 320

Pembimbing I,

Dr. Jaharuddin, M.Si

NIP 132 045 530

Dr. drh. Hasim, DEA

NIP. 131 578 806

(6)

RIWAYAT HIDUP

Roma Uli Pangaribuan dilahirkan di Medan pada tanggal 10 Januari 1987. Penulis merupakan anak ketiga dari tiga bersaudara dari pasangan Wilson Pangaribuan dan Ika Rosita.

Pada tahun 1998 penulis menyelesaikan pendidikan di SD Negeri Bumi Bekasi Baru IV, kemudian melanjutkan ke SLTP Negeri 74 Jakarta Timur (lulus tahun 2001). Pada tahun 2004 penulis lulus dari SMA Negeri 21 Jakarta Timur dan berhasil diterima sebagai mahasiswi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB).

Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah menjadi pengajar privat pada mata kuliah Kalkulus I. Penulis juga aktif dalam kepengurusan organisasi antara lain sebagai wakil koordinator bidang pelayanan Komisi Literatur dalam Unit Kegiatan Mahasiswa Persekutuan Mahasiswa Kristen (PMK). Penulis juga aktif dalam kegiatan kepanitiaan, antara lain: dalam kegiatan MIPA Sport Tournament (MISOTO) sebagai koordinator cabang basket, dalam kegiatan Olimpiade IPB, dan dalam kegiatan-kegiatan UKM PMK. Penulis juga pernah menjadi peserta dalam Liga Basket Mahasiswa (LIBAMA), Pekan Olahraga Tingkat Kota Bogor (PORKOT) dalam bidang atletik pada tahun 2006, Pekan Olahraga Tingkat Daerah (POMDA) serta Pekan Olahraga Tingkat Nasional (POMNAS) dalam bidang catur pada tahun 2007.

(7)

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas rahmat dan kasih karunia-Nya baik sehat jasmani maupun rohani sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul ”Formulasi Hamiltonian untuk Menggambarkan Gerak Gelombang Soliter Dimensi Tiga di Permukaan Laut”.

Penulisan karya ilmiah ini tidak mungkin luput dari kekurangan, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak akan sangat membantu demi kesempurnaan penulisan ini.

Berbagai kendala dialami oleh penulis, sehingga membutuhkan bantuan, dukungan dan semangat orang-orang yang telah berkontribusi dalam pembuatan karya ilmiah ini. Oleh karena itu dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Dr. Jaharuddin, M.Si selaku pembimbing I yang telah meluangkan waktu dan pikirannya dalam membimbing, memberi dorongan dan pengarahan kepada penulis hingga penulisan karya ilmiah ini dapat selesai. Bapak Drs. Siswandi, M.Si selaku pembimbing II atas saran dan bimbingan yang telah diberikan, dan Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku dosen penguji dan moderator seminar.

2. Orang tua tersayang yang selalu memberikan dukungan, kasih sayang serta doa selama penulis menempuh pendidikan selama ini dan sampai sekarang. Kakak-kakakku yang tercinta, Hasiana Christiani Elisa P dan Rosian Dinatali P atas dukungan, semangat dan kesabarannya dalam membimbing adikmu ini.

3. Dosen-dosen di Departemen Matematika, terima kasih atas ilmu yang telah Bapak dan Ibu berikan, serta staf Departemen Matematika: Mas Deny, Mas Yono, Mas Bono, Bu Ade, Bu Susi, Bu Marisi, dan Kak Ari, terima kasih atas bantuannya.

4. Kelompok Kecilku ke atas dan ke bawah, yang tersayang, terlucu, dan terkompak yaitu Kak Chia, Abeth, Natha, Nitha, Ayu, Kezhia, dan Rohani atas persaudaraan dan semangat yang kalian berikan selama ini, give the best for God.

5. Keluarga Komlit dari berbagai angkatan, atas semangat, dukungan, kebersamaan dan doa yang diberikan.

6. Keluarga Yakub, Jujung, Acid, Bianca, Ednan, Lamtiar, Oon, Mike, Hendrik, Budi, dan Ade, atas kebersamaan, keceriaan dan doa yang diberikan.

7. Tere, Mario, dan Pri, atas persahabatan dan perhatian kalian selama ini.

8. Teman-teman Matematika 41. Sahabat-sahabat yang selalu memberikan dukungan, perhatian dan semangatnya serta nasehat-nasehat yang berharga bagi penulis. Enny, Fitri, Kurenz, Eci, dan Tities yang selalu setia mendengar keluh kesah penulis selama ini.Rina, Intan, dan Eva yang selalu memberi semangat dan perhatian dalam proses penulisan karya ilmiah. Mimin dan Diah, yang membantu dalam penulisan karya ilmiah ini. Iboy, Mora, Fredrik, Udin, Aji, Abang dan Kokom, yang selalu memberikan nasehat dan keceriaan. Amin, Ani, Armi, Ayu, Darwisa, Deny, Dian, Ely, Endit, Enyon, Febrina, Great, Idris, Ika, Jali, Janah, LiaM, LiaY, Mahar, Mahnur, Mukti, Nidia, Ria, Rite, Roro, Sifa, Sita, Tia, Triyadi, Uwie, Yaya, Hendri, Rangga M, Rangga N, Mukti, Dhika, Maryam, Chuby, dan Mazid, kalian semua mewarnai kisah bahagia, sedih, susah, senang bersama selama berada di Departemen Matematika.. 9. Kakak-kakak kelasku angkatan 39 dan 40 yang telah memberi dukungan dan semangat. 10. Teman-teman Tim LIBAMA, Oma (Odon), Vq, Atrex, Lia, Mona, Jendral (Novi), Gege, Eka,

Mega, Eyyi, Puspa, Desi, dan Andra, atas kebersamaan dan keceriaan kita selama ini.

11. Teman-teman di kost Perwira 12, terima kasih untuk kebersamaan satu keluarga yang selalu memberi perhatian dan dukungan.

12. Semua pihak yang ikut membantu yang penulis tidak dapat menyebutkan satu persatu. Harapan penulis semoga karya ilmiah ini memberikan manfaat bagi para pembacanya.

Bogor, Februari 2008 Roma Uli Pangaribuan

(8)

“Waktu akan menjadi anugerah bagi orang

yang mengisi waktu hidupnya secara bijaksana,

sebaliknya waktu akan menjadi kutuk bagi orang

yang mengisi hari-hari hidupnya dengan tidak bijaksana”.

Rejoicing in hope;

patient in tribulation;

continuing instant in prayer.

(Rome 12:12)

(9)

DAFTAR ISI

Halaman DAFTAR ISI ……… ix DAFTAR GAMBAR ………... x DAFTAR LAMPIRAN ……… xi PENDAHULUAN Latar Belakang ………... 1 Tujuan ……… 1 LANDASAN TEORI Persamaan Dasar Fluida ……… 2

Syarat Batas ………... 4 Turunan Variasi ………... 5 Sistem Hamilton ……… 6 PEMBAHASAN Formulasi Hamilton ……….. 7 Hampiran untuk ϕ ………... 7 Persamaan KP (Kadomtsev-Petviashili) ………... 10

Solusi Gelombang Soliter ………... 11

Contoh Kasus ……….... 12

KESIMPULAN ……….... 14

DAFTAR PUSTAKA ……….. 14

(10)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1. Sistem Koordinat Partikel Fluida ……….... 2

Gambar 2. Gelombang Soliter dengan T=0 ……….. 13

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman Lampiran 1. Penurunan persamaan

( )

2 ,

( )

4 , dan

( )

5 ……… 16

Lampiran 2. Penurunan persamaan

( )

9 ,

( )

10 ,

( )

11 , dan

( )

12 , ……….. 17

( )

15 ,

( )

16 ,

( )

17 , dan

( )

18 ………... 19

( )

41 ,

( )

42 , dan

( )

43 ……… 21

( )

53 dan

( )

54 ……… 22

( )

60 ……… 23

( )

66 ……… 24

( )

76 ,

( )

78 , dan

( )

80 ……… 25

( )

89 ………... 27