RUMAH BEKICOT MODUL PERSIAPAN OSN MATEMATIKA SMP MIFTAH MATHEMATICS OLYMPIAD (MMO) SURABAYA SERI ALJABAR 1 LEVEL ANAK MAMI DAN ANAK INGUSAN

(1)

MIFTAH MATHEMATICS OLYMPIAD (MMO) SURABAYA (0838 3161 1481)

MODUL

PERSIAPAN OSN MATEMATIKA SMP

SERI ALJABAR 1 LEVEL ANAK MAMI DAN ANAK INGUSAN

RUMAH BEKICOT

MIFTAH MATHEMATICS OLYMPIAD (MMO)

SURABAYA

(2)

ALJABAR SMP A. Aljabar 2 variabel

Contoh-Contoh Soal

1. (OSK 2004) Tentukan nilai dari √5050²− 4950²

2. (Soal Mancanegara) Hitunglah dengan operasi aljabar diatas

123456789²− 123456790 × 123456788

3. (OSK 2016) tentukan nilai dari

2017(2016²− 16)2015 2020(2016²− 1)

4. Tentukan nilai dari

0,125 × 0,125 − 0,05 × 0,05 0,125 − 0,05

𝒙^𝟐− 𝒚^𝟐= (𝒙 − 𝒚)(𝒙 + 𝒚)

Jawab :

(3)

0,538 × 0,538 − 0,462 × 0,462 0,052 − 0,024

6. Banyaknya pasangan bilangan bulat (𝑎, 𝑏) yang memenuhi 𝑎²− 𝑏²= 72 adalah ...

7. Tentukan bentuk sederhana dari

4(3²+ 1)(3⁴+ 1)(3⁸+ 1)(3¹⁶+ 1)(3³²+ 1) Jawab :

Jawab :

(4)

8. Tentukan bentuk sederhana dari

(𝑎¹⁸+ 𝑎⁻¹⁸) (𝑎¹⁴+ 𝑎⁻¹⁴) (𝑎¹²+ 𝑎⁻¹²) (𝑎¹⁸− 𝑎⁻¹⁸)

9. Tentuka hasil bagi dari 𝑥¹²⁸− 𝑦¹²⁸ oleh

(𝑥 + 𝑦)(𝑥²+ 𝑦²)(𝑥⁴+ 𝑦⁴)(𝑥⁸+ 𝑦⁸)(𝑥¹⁶+ 𝑦¹⁶)(𝑥³²+ 𝑦³²)(𝑥⁶⁴+ 𝑦⁶⁴)

1²− 2²+ 3²− 4²+ 5²− 6²+ … … … + 2017²− 2018² Jawab :

Jawab :

(5)

11. (Telescoping) Jika

𝐴 = 1

1 + √2+ 1

√2 + √3+ 1

√3 + √4+ 1

√4 + √5+ … … … + 1

√98 + √99+ 1

√99 + √100

𝐵 = 1

1 − √2− 1

√2 − √3+ 1

√3 − √4− 1

√4 − √5+ … … … − 1

√98 − √99+ 1

√99 − √100 maka 𝐴²− 𝐵²= …

12. (Telescoping) Carilah nilai dari 3²+ 1

3²− 1+4²+ 1

4²− 1+5²+ 1

5²− 1+6²+ 1

6²− 1+ … … … +2017²+ 1 2017²− 1 Jawab :

Jawab :

(6)

13. (Telescoping) Carilah nilai dari ( 2²

2²− 1) ( 3²

3²− 1) ( 4²

4²− 1) ( 5²

5²− 1) … … … ( 2017² 2017²− 1)

14. (Aljabar-Geometri) Diketahui ABC adalah segitiga siku-siku yang panjang ketiga sisinya merupakan bilangan bulat. Jika panjang salah satu sisi penyikunya adalah 72 cm, maka tentukan semua kemungkinan luas dari segitiga ABC yang memenuhi ketentuan diatas.

Jawab : Jawab :

(7)

Camilan 1.

1. Carilah semua bilangan bulat 𝑥 agar √𝑥²+ 360 juga merupakan bilangan bulat.

2. Jika 𝑎 dan 𝑏 adalah dua bilangan bulat yang memenuhi 𝑎²= 2020 + 𝑏², maka nilai dari 𝑎²+ 𝑏² adalah...

3. (Aljabar Geometri : Teorema Heron) jika 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 adalah panjang sisi-sisi pada segitiga ABC, maka Luas segitiga ABC = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐), dimana 𝑠 =¹₂ keliling segiatiga ABC

Dengan menggunakan Teorema Heron di atas, hitunglah luas dari segitiga ABC, jika diketahui panjang sisi-sisinya √10, √11, dan √12.

4. Jika 𝑎, 𝑏, 𝑐, dan 𝑑 adalah bilangan-bilangan asli berbeda yang memenuhi 𝑎²− 𝑏²= 𝑐²− 𝑑²= 125, maka tentukan nilai dari 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐.

5. Sederhanakan ekspresi aljabar (𝑥 − √2𝑥𝑦 + 𝑦)(𝑥 + √2𝑥𝑦 + 𝑦) dan faktorkan 𝑥⁸− 𝑦⁸. 6. (Pelatihan Tim OSP Bandung 2015) selesaikan ^√⁶

√2+^√3+ ⁶^√²

√3−1+ ¹¹ 1−2^√3 7. (Pelatihan Tim OSP Lampung 2014) tentukan hasil dari ¹

(1+^√2)(2+^√3)(1−^√2)(2−^√3)

8. Urutkan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, dan 𝑒 dari yang terkecil sampai yang terbesar

𝑎 = √11 − √10, 𝑏 = √12 − √11, 𝑐 = √13 − √12, 𝑑 = √14 − √13 9. Urutkan dari yang terkecil

A = 29 − 2√210 , B = √290 − 17 , C = 5√13 − 18 , D = 13 − 2√42 , dan E = 1 29 10. (OSP 2009) Jika ⁽^𝑦−𝑥_𝑧−𝑥⁾²−⁽^𝑦−𝑧_𝑧−𝑥⁾²= 𝑦 − 𝑧 dan 𝑥 ≠ 𝑧, maka nilai 𝑦 = ....

11. (OSP 2013) Jika 100𝐵 = 100²+ 99²− 98²− 97²+ 96²+ 95²− 94²− 93²+ … … + 4²+ 3²− 2²− 1², maka nilai 𝐵 adalah ...

12. (OSP 2013) Tentukan nilai 𝑥 yang memenuhi ^𝑥³_𝑥+3𝑦^+3𝑥²^𝑦−^27𝑦_3𝑦+𝑥³^+9𝑥𝑦²= 𝑥 + 3𝑦.

13. (OSN 2005) Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat (𝑥, 𝑦) yang memenuhi sistem persamaan berikut !

𝑥(𝑦 + 1) = 𝑦²− 1 𝑦(𝑥 + 1) = 𝑥²− 1

14. Dua buah bilangan riil 𝑥 dan 𝑦 memenuhi (𝑥 + √𝑥²+ 1)(𝑦 + √𝑦²+ 1). Tentukan nilai dari 𝑥 + 𝑦.

15. (Pelatihan Tim OSN SulSel 2014) Tentukan bentuk sederhana dari ekspresi aljabar berikut : a. (8𝑥³+ 8𝑥 + 4𝑥 + 1)(8𝑥³− 8𝑥²+ 4𝑥 − 1)

b. (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥²− 𝑥 + 1)(𝑥²+ 2𝑥 + 4)

16. Carilah nilai dari ²⁰⁰⁷²⁺²⁰⁰⁸²⁺²⁰⁰⁹²⁻¹⁹⁹¹²⁻¹⁹⁹²²⁻¹⁹⁹³² 2⁷∙5²

17. Jika √4𝑥²− 3𝑥 + 2 − √4𝑥²− 3𝑥 − 13 = 3 maka tentukan nilai dari √4𝑥²− 3𝑥 + 2 + √4𝑥²− 3𝑥 − 13.

18. Diketahui 𝑋 = 8(3²+ 1)(3⁴+ 1)(3⁸+ 1)(3¹⁶+ 1) … … … (3⁴⁰⁹⁶+ 1) = 3^𝑛− 1. Tentukan 𝑛.

(8)

Jawab :

(9)

(10)

Jawab :

(11)

Jawab :

(12)

Jika diambil 𝒙 = 𝒂 dan 𝒚 = 𝒂^−𝟏, maka

Ingat bahwa :

Jika diambil 𝒙 = √𝒑 dan 𝒚 = √𝒒, maka (√𝒑 + √𝒒)^𝟐= 𝒑 + 𝒒 + 𝟐√𝒑𝒒 ⟺

(√𝒑 − √𝒒)^𝟐= 𝒑 + 𝒒 − 𝟐√𝒑𝒒 ⟺

Contoh-Contoh Soal.

1. (Soal Mancanegara) Jumlah 2 bilangan adalah 21 dan hasil kali 2 bilangan itu adalah −7. Tentukan : a. Jumlah kuadrat kedua bilangan tersebut

b. Jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut c. Jumlah pangkat empat kedua bilangan tersebut

2. (OSK 2011) Diketahui 4^𝑥+ 4^−𝑥 = 2. Tentukan 2^𝑥+ 2^−𝑥.

(𝒙 + 𝒚)^𝟐= 𝒙^𝟐+ 𝒚^𝟐+ 𝟐𝒙𝒚 (𝒙 − 𝒚)^𝟐 = 𝒙^𝟐+ 𝒚^𝟐− 𝟐𝒙𝒚

Jawab :

(𝒂 + 𝒂^−𝟏)^𝟐= 𝒂^𝟐+ 𝒂^−𝟐+ 𝟐 (𝒂 − 𝒂^−𝟏)^𝟐= 𝒂^𝟐+ 𝒂^−𝟐− 𝟐

𝒂^−𝟏=𝟏

𝒂 𝒂^−𝒏 = 𝟏

𝒂^𝒏

√(𝒑 + 𝒒) + 𝟐√𝒑𝒒 = √𝒑 + √𝒒

√(𝒑 + 𝒒) − 𝟐√𝒑𝒒 = √𝒑 − √𝒒 untuk 𝒑 > 𝒒

(13)

3. (SMO 2006) diketahu 𝑤 > 0 dan 𝑤 − ¹

𝑤= 5. Carilah (𝑤 +¹

𝑤)²

4. (Modifikasi Komat Jakarta 2009) Diketahui 𝑥 dan 𝑦 bilangan riil, 𝑥 < 𝑦 serta 𝑥 + 𝑦 = 15 dan 𝑥²+ 𝑦²= 201. Tentukan :

a. 𝑥𝑦 b. 𝑥 − 𝑦 c. _𝑥¹₂−_𝑦¹₂ d. 𝑥⁸+ 𝑦⁸

Jawab :

(14)

5. (Kompetisi India 2001) jika 𝑥⁴+_𝑥¹₄= 322 maka nilai terkecil dari 𝑥 −¹_𝑥= …

6. (Identitas Sophie Germain) faktorkanlah 𝑥⁴+ 4𝑦⁴

7. Faktorkanlah 𝑥⁴− 7𝑥²𝑦²+ 𝑦⁴ Jawab :

Jawab :

(15)

8. Faktorkanlah 𝑥²+ 𝑥⁻²− 3

9. Faktorkanlah 𝑥²+ 4𝑦²+ 4𝑦 − 4𝑥𝑦 − 2𝑥 − 8

10. Carilah nilai dari

2015201620172018²

2015201620172017²+ 2015201620172019²− 2 Jawab :

Jawab :

(16)

11. (Modifikasi JMO 2006) jika 𝑥 = 2018²+ 2019² maka √2𝑥 − 1 = … …

12. (Modifikasi OSN SMP) Hitunglah (2⁴+1

4) (4⁴+1

4) (6⁴+1

4) … … (2016⁴+1 4) (1⁴+1

4) (3⁴+1

4) (5⁴+1

4) … … (2015⁴+1 4)

13. Jika 𝑥²+ 𝑦²− 4𝑥 + 10𝑦 + 29 = 0 maka tentukan nilai dari 2𝑥²− 𝑥𝑦 + 5𝑦² Jawab :

Jawab : (Clue : Gunakan Identitas Sophie-Germain)

Jawab :

(17)

14. Tentukan nilai terkecil 𝑥 yang memenuhi

(3𝑥 + 8)²+ (3𝑥 + 8)(𝑥²− 𝑥 − 6) + (𝑥²− 𝑥 − 6)²= (𝑥²+ 2𝑥 + 2)²

15. (JMO 2005) Hutunglah

√45 + 20√5 + √45 − 20√5 Jawab :

Jawab :

(18)

Camilan 2.

1. Sederhanakan masing-masing berikut : a. √(𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)(𝑥 + 4) + 1 b. √(𝑥 + 5)(𝑥 + 7)(𝑥 + 9)(𝑥 + 11) + 16

2. (OSN 2003) Untuk menghitung √1998 × 1996 × 1994 × 1992 + 16 seorang anak melakukannya dengan cara sederhana berikut :

2000²− 2 × 5 × 2000 + 5²− 5 Apakah cara tersebut dapat dibenarkan? Mengapa?

3. Tanpa kalkulator, hitunglah (√3 + √5 − √7)²(√3 + √5 + √7)²

4. Banyaknya pasangan bilangan riil (𝑥, 𝑦) sehingga (𝑥 + 𝑦)²= (𝑥 + 3)(𝑦 − 3).

5. Diketahui 𝑎²+ 𝑎⁻²= 4, carilah nilai 𝑎⁶+ 𝑎⁻⁶. 6. Jika 𝑥 + 𝑥⁻¹= 4 maka 𝑥⁴+ 𝑥⁻⁴= …

7. Jika 𝑝 = 2017²+ 2018² dan 𝑞 = 2019²+ 2020² maka nilai dari √1 − 2(𝑝 + 𝑞) + 4𝑝𝑞 8. Jika 2𝑥²+ 2𝑦²= 5𝑥𝑦, maka tentukan nilai dari ^𝑥−𝑦_𝑥+𝑦

9. Jika 𝑎, 𝑏, 𝑐 bilangan riil yang memenuhi 𝑎²+ 𝑏²+ 8𝑎 − 14𝑏 + 65 = 0, maka 𝑎²+ 𝑎𝑏 + 𝑏²= ⋯ 10. Jika 𝑥 dan 𝑦 adalah bilangan riil yang memenuhi persamaan

𝑥

𝑥²+ 𝑥 + 1=1 4 maka nilai dari ^𝑥²

𝑥⁴+𝑥²+1= . . .

11. Tentukanlah nilai 𝑥² + 𝑦² jika 𝑥²+ 2𝑦²+ 12(𝑦 + 3) = 2𝑥𝑦.

12. (Pelatihan Tim OSP Depok 2014) Hitunglah √3 + √8 − √3 − √8.

13. (Pelatihan Tim OSP Bekasi 2015) Sederhanakan √8 + 2√10 + 2√5 + √8 − 2√10 + 2√5.

14. (Pelatihan OSP sorong Papua 2015) Sederhanakan a. (2 + √3)⁻²+ (2 − √3)⁻²

b. (𝑎²− 𝑎⁻²)(𝑎 + 𝑎⁻¹)⁻¹ 15. Jika 𝑎 = (²⁰¹⁸

1

2018−2018^{− 1}²⁰¹⁸

2 ) maka (√1 + 𝑎²− 𝑎)⁻²⁰¹⁸

16. Diketahui 𝑥 dan 𝑦 adalah bilangan riil, 𝑥 > 1999 dan 𝑦 > 2000. Jika 1999√(𝑥 − 1999)(𝑥 + 1999) + 2000√(𝑥 − 2000)(𝑥 + 2000) =¹

2(𝑥²+ 𝑦²) maka nilai dari 𝑥 + 𝑦 = … 17. Diberikan dua persamaan 6𝑥 + 7𝑦 − 9𝑧 = −2 dan 7𝑥 − 6𝑦 − 2𝑧 = 9. Nilai dari 𝑥²+ 𝑦²− 𝑧²= … 18.

Jika √𝑀 + √𝐼 + 2√𝐹 − 3 + √𝑇 + √𝐴 + 1 = 𝑀 + 𝐼 + 𝐹 + 𝑇 + 𝐴 maka 𝑀𝐼𝐹𝑇𝐴 = ....

(19)

Jawab :

(20)

Jawab :

(21)

Jawab :

(22)

Untuk lebih mudahnya, misalkan maka

dan juga bahwa

Bentuk lain dari adalah

Untuk lebih mudahnya, misalkan maka

Contoh-Contoh Soal

1. (Modifikasi Soal KOMAT Jakarta 2010) Jika 𝑥 + 𝑥⁻¹= 1 maka 𝑥²⁰¹⁸+ 𝑥⁻²⁰¹⁸= …

2. Jika 𝑡²− 4𝑡 + 1 = 0 maka 𝑡¹⁵+ ¹

𝑡¹⁵= …

𝑥^𝑛+ 𝑥^−𝑛 = (𝑥 + 𝑥⁻¹)(𝑥^𝑛−1+ 𝑥^−𝑛+1) − (𝑥^𝑛−2+ 𝑥^−𝑛+2)

𝑈_𝑛= (𝑥 + 𝑥⁻¹)𝑈_𝑛−1− 𝑈_𝑛−2 𝑈𝑛= 𝑥^𝑛+ 𝑥^−𝑛

𝑥^𝑛+ 𝑥^−𝑛 𝑥^𝑛+ 1

𝑥^𝑛 (𝑥 + 𝑥⁻¹)²− (𝑥 − 𝑥⁻¹)²= 4

𝑎𝑥^𝑛+ 𝑏𝑦^𝑛= (𝑥 + 𝑦)(𝑎𝑥^𝑛−1+ 𝑏𝑦^𝑛−1) − 𝑥𝑦(𝑎𝑥^𝑛−2+ 𝑏𝑦^𝑛−2)

𝑉_𝑛= 𝑎𝑥^𝑛+ 𝑏𝑦^𝑛 𝑉𝑛= (𝑥 + 𝑦)𝑉𝑛−1− 𝑥𝑦𝑉𝑛−2

Jawab :

(23)

3. Diketahui ^𝑥²_𝑥⁻⁴

−

_𝑥₂^𝑥₋₄+ 3 = 0 maka ⁽^𝑥²⁻⁴⁾

5

𝑥⁵

−

^𝑥⁵

(𝑥²−4)5= …

4. Jika 𝑎, 𝑏, 𝑥, 𝑦 adalah bilangan yang memenuhi

𝑎 + 𝑏 = 1 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 2 𝑎𝑥

²

+ 𝑏𝑦

²

= −6

𝑎𝑥

³

+ 𝑏𝑦

³

= 8

maka 𝑎x²⁰¹⁶+ 𝑏y²⁰¹⁶=

…

Jawab :

(24)

5. If 𝑥²− 𝑥 + 1 = 0 , find

(𝑥 −1 𝑥)

2

+ (𝑥 +1 𝑥)

2

+ (𝑥²+ 1 𝑥²)

2

+ (𝑥³+ 1 𝑥³)

2

+ ⋯ + (𝑥²⁰¹⁵+ 1 𝑥²⁰¹⁵)

2

=

Camilan 3.

1. Diketahui :

𝑎𝑥⁷+ 𝑏𝑦⁷= −8 𝑎𝑥⁵+ 𝑏𝑦⁵= −4 𝑎𝑥³+ 𝑏𝑦³= −2 𝑎𝑥⁴+ 𝑏𝑦⁴= 2 Tentukan 𝑎 + 𝑏.

2. Diketahui 𝑥³−_𝑥¹₃= 4 maka tentukan nilai dari 𝑥³+_𝑥¹₃

.

3. Diketahui 2^𝑥− 2^−𝑥= 3, tentukan 16^𝑥 + 16^−𝑥 4. Jika 𝑥²+ 2𝑥 − 1 = 0 maka tentukan nilai dari

𝑥¹⁰⁰

𝑥²⁰⁰+ 2018𝑥¹⁰⁰+ 1 Jawab :

(25)

Jawab :

(26)

Contoh-Contoh Soal 1. Faktorkanlah :

a. 𝑥⁵− 𝑦⁵ b. 𝑥⁷+ 𝑦⁷ c. 𝑥⁶− 𝑦⁶

𝒙^𝒏− 𝒚^𝒏= (𝒙 − 𝒚)(𝒙^𝒏−𝟏+ 𝒙^𝒏−𝟐𝒚 + 𝒙^𝒏−𝟑𝒚^𝟐+ … … … + 𝒙^𝟐𝒚^𝒏−𝟑+ 𝒙𝒚^𝒏−𝟐+ 𝒚^𝒏−𝟏 )

𝒙^𝒏+ 𝒚^𝒏= (𝒙 + 𝒚)(𝒙^𝒏−𝟏− 𝒙^𝒏−𝟐𝒚 + 𝒙^𝒏−𝟑𝒚^𝟐− … … … + 𝒙^𝟐𝒚^𝒏−𝟑− 𝒙𝒚^𝒏−𝟐+ 𝒚^𝒏−𝟏 ) berlaku untuk bilangan asli ganjil 𝒏

Jawab :

Binomial Newton

(𝒙 + 𝒚)^𝒏= ∑ (𝒏 𝒓)

𝒏

𝒓=𝟎

𝒙^𝒏−𝒓𝒚^𝒓= (𝒏

𝟎) 𝒙^𝒏+ (𝒏

𝟏) 𝒙^𝒏−𝟏𝒚 + (𝒏

𝟐) 𝒙^𝒏−𝟐𝒚^𝟐+ … + ( 𝒏

𝒏 − 𝟏) 𝒙𝒚^𝒏−𝟏+ (𝒏 𝒏) 𝒚^𝒏

(𝒏

𝒓) = 𝒏!

𝒓! (𝒏 − 𝒓)! , 𝐝𝐢𝐦𝐚𝐧𝐚 𝒏! = 𝟏 × 𝟐 × 𝟑 × … × 𝒏

Koefisien-koefisien dari binomial newton di atas sesuai segitiga pascal berikut 1 1

1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

(27)

2. Buktikan bahwa :

a. (𝑥 + 𝑦)³= 𝑥³+ 𝑦³− 3𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦) b. (𝑥 − 𝑦)³= 𝑥³− 𝑦³+ 3𝑥𝑦(𝑥 − 𝑦)

3. Jabarkan : a. (𝑥 + 𝑦)³ b. (𝑥 + 𝑦)⁴ c. (𝑥 − 𝑦)⁵ d. (𝑥 − 2𝑦)⁷ e. (2𝑥 − 3𝑦)⁶ Jawab :

Jawab :

(28)

4. (Pelatihan Tim OSN Amerika 2013) Diketahui a dan b adalah bilangan riil sedemikian sehingga 𝑎³− 3𝑎𝑏²= 44 dan 𝑏³− 3𝑎²𝑏 = 8, tentukanlah nilai 𝑎²+ 𝑏².

5. Jika 𝑥 dan 𝑦 adalah bilangan riil yang memenuhi 𝑥³+ 𝑦³= 1957 dan (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 1)(𝑦 + 1) = 2014 maka 𝑥 + 𝑦 = …

6. Jika suku banyak 𝑥⁸⁰+ 𝑥⁷⁹+ 𝑥⁷⁸+ ⋯ + 𝑥²+ 𝑥 + 1 dapat difaktorkan menjadi

(𝑥^2𝑎+ 𝑥^𝑎+ 1)(𝑥^2𝑏+ 𝑥^𝑏+ 1)(𝑥^2𝑐+ 𝑥^𝑐+ 1)(𝑥^2𝑑+ 𝑥^𝑑+ 1) dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐, dan 𝑑 bilangan asli yang memenuhi 𝑎 > 𝑏 > 𝑐 > 𝑑, maka jumlah digit-digit dari 𝑎^𝑐+ 𝑏^𝑑 adalah …

Jawab :

(29)

7. (OSN 2003) Buktikan bahwa(𝑛 − 1)𝑛(𝑛³+ 1) habis dibagi 6 untuk setiap bilangan asli 𝑛.

8. (OSN 2009) Buktikan bahwa 𝑎⁹− 𝑎 habis dibagi 6 untuk setiap bilangan asli 𝑎.

Jawab :

(30)

9. (Aljabar – Teori Bilangan) Tentukan banyaknya bilangan asli 𝑛 sehingga 𝑛³+ 100 habis dibagi oleh 𝑛 + 100.

10. Jika 𝑥 = 1 + √2³ + √4³ maka (^1+𝑥_𝑥 )

2016= ⋯ Jawab :

Jawab :

(31)

11. (Pelatihan Tim OSN India 2012) jika 𝐴 = √16⁵ + √8⁵ + √4⁵ + √2⁵ + 1 maka (1 + 𝐴)²⁰¹⁵= ⋯

12. (Pelatihan Tim OSP jakarta Utara 2012)Hitunglah (2√5³ − √10³ )(4 √25³ + 2 √50³ + √100³ )

13. (Telescoping) hitunglah : 1²+ 1 × 2 + 2²

1³× 2³ +2²+ 2 × 3 + 3²

2³× 3³ +3²+ 3 × 4 + 4²

3³× 4³ + … … +2018²+ 2018 × 2019 + 2019² 2018³× 2019³

Jawab :

(32)

Camilan 4.

1. Tentukan semua pasangan bilangan real (𝑥, 𝑦) yang memenuhi

𝑥³− 𝑦³= 4(𝑥 − 𝑦) dan 𝑥³+ 𝑦³= 2(𝑥 + 𝑦).

2. Jika 𝑀 + 𝐼 + 𝐹 = 0, maka nilai dari ¹

3𝑀³+¹

3𝐼³+¹

3𝐹³ =

…

3. Jika diketahui bahwa :

1 + 2 + 3 + 4 + … … … + 𝑛 =𝑛(𝑛 + 1) 2 maka buktikan bahwa :

1²+ 2²+ 3²+ 4²+ … … … + 𝑛²=𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 6

4. Buktiikan bahwa :

1³+ 2³+ 3³+ 4³+ … … … + 𝑛³=𝑛²(𝑛 + 1)² 4 5. Hitunglah :

√ 1

1

³

+ √ 1

1

³

+ 2

³

+ √ 1

1

³

+ 2

³

+ 3

³

+ ⋯ + √ 1

1

³

+ 2

³

+ 3

³

+ ⋯ + 2012

³

− 1 = ⋯

6. Berapakah nilai dari 𝑥⁷+ 𝑦⁷, jika 𝑥 + 𝑦 = 1 dan 𝑥²+ 𝑦²= 2?

7. Untuk 𝑛 = 1 dan 𝑛 = 2, 𝑎^𝑛+ 𝑏^𝑛= 𝑛. Tentukan 𝑎^𝑛+ 𝑏^𝑛 untuk 𝑛 = 0 dan 𝑛 = 4 ! 8. Misalkan 𝑎 dan 𝑏 bilangan riil positif. Jika ^𝑎²

𝑏²+^𝑏²

𝑎²= 14, maka ^𝑎

𝑏+^𝑏

𝑎= ⋯ 9. Hitunglah :

1

3√1

+ √2³ + √4³ + 1

3√4

+ √6³ + √9³ + 1

3√9

+ √12³ + √16³ + …. + 1

√999²

3 + √999000³ + √1000³ ²

(33)

PRETEST (30 Menit) 1. Tentukan nilai dari

(10⁴+ 324)(22⁴+ 324)(34⁴+ 324)(46⁴+ 324)(58⁴+ 324) (4⁴+ 324)(16⁴+ 324)(28⁴+ 324)(40⁴+ 324)(52⁴+ 324) 2. Diketahui 𝑥 + 𝑥⁻¹= 7. Carilah 𝑎 sehingga memenuhi ^𝑎𝑥²

𝑥⁴−𝑥²+1=⁵₆.

3. Berapa banyak bilangan real 𝑥 yang dapat memenuhi persamaan berikut ini 2^𝑥 + 3^𝑥− 4^𝑥+ 6^𝑥− 9^𝑥 = 1?

4. Jika 𝑎 dan 𝑏 bilangan bulat sedemikian hingga 𝑎²− 𝑏²= 37 maka berapakah nilai dari 𝑎²+ 𝑏² ?

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)