BAB 2 LANDASAN TEORI. sebab melalui asuransi dapat dihimpun dana besar yang dapat digunakan untuk

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Pengertian Asuransi

Dari segi ekonomi, asuransi dapat dipandang sebagai suatu lembaga keuangan sebab melalui asuransi dapat dihimpun dana besar yang dapat digunakan untuk membiayai pembangunan, di samping bermanfaat bagi masyarakat yang berpartisipasi dalam bisnis asuransi, karena sesungguhnya asuransi bertujuan memberikan perlindungan (proteksi) atas kerugian keuangan (financial loss) yang ditimbulkan oleh peristiwa yang tidak diduga sebelumnya (fortuitious event). Sedangkan secara otentik berdasarkan pasal 246 Kitab Undang-Undang Hukum Dagang (KUHD), asuransi mempunyai pengertian sebagai berikut : ”Asuransi atau pertanggungan adalah suatu persetujuan, dimana penanggung mengikat diri kepada tertanggung, dengan mendapat premi, untuk mengganti kerugian karena kehilangan, kerugian, atau tidak diperolehnya keuntungan yang diharapkan, yang dapat diderita karena peristiwa yang tidak diketahui lebih dahulu”. Ada empat unsur yang terlibat dalam asuransi yaitu :

• Penanggung (insurer), yang memberikan proteksi

• Tertanggung (insured), yang menerima proteksi

• Peristiwa (accident) yang tidak diduga atau tidak diketahui sebelumnya, peristiwa yang dapat menimbulkan kerugian

• Kepentingan (interest) yang diasuransikan, yang mungkin akan mengalami kerugian disebabkan oleh peristiwa itu

Pada perasuransian dikenal hukum bilangan besar (the law of large number) yang menyatakan bahwa resiko-resiko yang dipertanggungkan oleh perusahaan asuransi harus dalam jumlah yang besar, misalnya pada asuransi kendaraan kita melakukan pengamatan pada 20.000 mobil yang diasuransikan baru kemudian melakukan penentuan premi berdasarkan hasil pengamatan yang diperoleh. Secara umum di Indonesia kita dapat membagi asuransi berdasarkan jenis usahanya menjadi tiga golongan besar yaitu :

• Asuransi kerugian (asuransi umum) yaitu mengenai hak milik, kebakaran, dll.

• Asuransi varia, termasuk di dalamnya yaitu asuransi laut (marine insurance), kecelakaan, asuransi mobil, dan pencurian

• Asuransi jiwa, yaitu asuransi yang menyangkut kematian, sakit, cacat, dll.

2.2 Asuransi pensiun

Asuransi pensiun merupakan salah satu produk dari asuransi jiwa. Namun asuransi pensiun ini pada prinsipnya berbeda dengan asuransi jiwa biasa. Asuransi pensiun termasuk anuitas yang tujuannya adalah untuk membentuk sejumlah dana agar dapat digunakan pada hari tua / masa pensiun dari tertanggung. Pada asuransi jiwa biasa, semakin lama hidup tertanggung maka akan semakin menguntungkan bagi perusahaan asuransi karena ada penundaan dalam pembayaran uang pertanggungan sehingga uang tersebut dapat digunakan oleh perusahaan asuransi sebagai sarana investasi guna menghasilkan bunga. Sebaliknya pada asuransi pensiun, semakin lama tertanggung hidup maka akan semakin merugikan bagi perusahaan asuransi karena harus membayar sejumlah income kepada orang tersebut.

Di Indonesia pelaksanaan asuransi pensiun diatur dalam sebuah undang-undang yaitu Undang-Undang No. 11 Tahun 1992. Dalam undang-undang tersebut dinyatakan bahwa ada dua jenis dana pensiun yang dapat diselenggarakan yaitu dana pensiun pemberi kerja dan dana pensiun lembaga keuangan. Yang dimaksud dengan dana pensiun pemberi kerja adalah dana pensiun yang diselenggarakan oleh pemberi kerja secara langsung seperti misalnya dana pensiun pegawai negeri dan dana pensiun BCA, sedangkan yang dimaksud dengan dana pensiun lembaga keuangan adalah dana pensiun yang diselenggarakan oleh lembaga keuangan baik bank maupun lembaga keuangan non bank seperti perusahaan asuransi seperti misalnya program SmartPension yang diselenggarakan oleh Allianz Indonesia. Selain itu dikenal ada dua jenis program pensiun yang dapat diterapkan yaitu :

• Program pensiun manfaat pasti

Pada program pensiun manfaat pasti, rumus manfaat pensiun sudah ditetapkan dalam peraturan dana pensiun, sedangkan besar iuran pensiun ditetapkan berdasarkan perhitungan aktuaria

Manfaat = faktor penghargaan x masa kerja x penghasilan dasar pensiun

• Program pensiun iuran pasti

Pada program pensiun ini, besar iuran baik dari pemberi kerja maupun dari peserta telah ditetapkan dalam peraturan, sedangkan besar manfaatnya tergantung pada akumulasi iuran dan pengembangannya.

Manfaat = akumulasi iuran + hasil pengembangan

Adapun perbandingan dari keduanya adalah sebagai berikut :

Tabel 2.1 Kelebihan dan Kekurangan Program pensiun iuran pasti dan manfaat pasti Program pensiun manfaat pasti Program pensiun iuran pasti Kelebihan :

• Besar manfaat mudah dihitung

• Lebih memberi kepastian pada peserta

• Lebih mudah memberi penghargaan pada masa kerja lampau

Kelebihan :

• Beban biaya stabil dan mudah diperhitungkan

• Nilai hak peserta setiap saat mudah ditentukan

• Risiko investasi dan mortalitas ditanggung oleh peserta

Kekurangan :

• Beban biaya mudah berfluktuasi

• Nilai hak peserta sebelum pensiun tidaklah mudah ditentukan

Kekurangan :

• Besar manfaat pensiun tidak mudah ditentukan

• Lebih sulit memperkirakan besar penghargaan untuk masa kerja lampau

Berdasarkan UU No. 11 Tahun 1992 pasal 40 ayat 1, maka lembaga keuangan dalam hal ini adalah perusahaan asuransi hanya berhak untuk menyelenggarakan program pensiun iuran pasti. Berdasarkan keputusan menteri keuangan Nomor 511/KMK.06/2002 tentang investasi dana pensiun, maka ditetapkan bahwa dana pensiun hanya dapat diinvestasikan pada jenis investasi sebagai berikut :

• Deposito pada bank

• Sertifikat deposito pada bank

• Saham dan obligasi yang tercatat di bursa efek

• Penempatan langsung pada saham yang diterbitkan oleh badan hukum yang didirikan berdasarkan hukum Indonesia

• Surat pengakuan utang yang diterbitkan oleh badan hukum yang didirikan berdasarkan hukum Indonesia

• Tanah dan bangunan di Indonesia

• Unit penyertaan reksadana sebagaimana dimaksud dalam undang-undang tentang Pasar Modal

• Sertifikat Bank Indonesia

• Surat berharga yang diterbitkan oleh pemerintah Republik Indonesia

2.3 Peluang

Peluang dapat didefinisikan sebagai nilai kemungkinan munculnya suatu kejadian. Ada dua macam peluang yang kita kenal yaitu :

• Priory probability

Yaitu peluang kejadian yang sudah diketahui sebelumnya.

Contoh :

Pada percobaan pelemparan koin, maka peluang munculnya kepala dan ekor masing-masing adalah 0,5.

• Empirical probability

Yaitu peluang kejadian yang dapat diketahui dari pengalaman sehari-hari.

Contoh :

Dalam sebuah pabrik diamati berapa banyak buruh yang mendapat kecelakaan kerja setiap tahunnya, kemudian dari hasil pengamatan ditentukan nilai peluangnya.

Dalam perasuransian, yang paling banyak digunakan adalah empirical probability.

Dengan pengalaman-pengalaman tersebut, kita dapat menaksir berapa kemungkinan kerugian di masa yang akan datang sehingga dapat digunakan sebagai basis dalam penetapan premi (rate making).

2.4 Tabel Mortalitas

Tabel mortalitas merupakan implementasi dari empirical probability pada perusahaan asuransi. Secara sederhana tabel mortalitas dapat dikatakan sebagai tabulasi jumlah orang yang hidup dan meninggal dari usia 0 sampai batas usia teratas dimana jumlah orang yang hidup sama dengan jumlah orang yang mati misalnya pada usia 110 tahun atau dapat juga sampai batas usia dimana jumlah yang hidup lx = 0. Populasi pada usia 0 yang menjadi basis dalam komputasi tabel disebut dengan cohort. Cohort ini biasanya diambil dalam jumlah besar misalnya 100.000 atau 1.000.000 orang. Dalam sebuah tabel mortalitas selain ditampilkan jumlah yang hidup dan mati, kadang-kadang ditampilkan juga nilai kemungkinan hidup, kemungkinan mati, dan nilai harapan hidup.

Berdasarkan data yang digunakan, pada prinsipnya ada tiga jenis tabel mortalitas yaitu :

• Tabel yang didapatkan dari hasil sensus penduduk yaitu tabel yang didapatkan dari Biro Pusat Statistik, misalnya tabel mortalitas Indonesia tahun 1993

• Tabel standar hasil publikasi, misalnya Commissioners 1941 Standar Ordinary Mortality Table (CSO 1941) dan Table 80 CNSMT , 1980 Commisioners Standar Mortality Table

• Tabel yang didapatkan dari pengalaman-pengalaman perusahaan asuransi di masa lampau

Tabel 2.2 Tabel Mortalitas Indonesia 1993 Umur

x

Jumlah yang hidup

lx

Jumlah yang mati

dx

Kemungkinan hidup

px

Kemungkinan mati

qx

Harapan hidup

℮o x

0 1.000.000 32.230 0,96777 0,03223 65,60

1 967.770 3.523 0,99636 0,00364 66,77

2 964.247 2.526 0,99738 0,00262 66,01

... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ...

98 1.782 721 0,59515 0,40485 1,44

99 1.061 455 0,57077 0,42923 1,07

100 606 606 0,00000 1,00000 0,50

Adapun nilai-nilai kemungkinan dan hubungannya didapat dari :

x x

x l

p =l ⁺¹

x x x x

x

x l

l l l

q d −

=

= ⁺¹

=1 + _x

x q

p

nilai kemungkinan seseorang berusia x hidup selama n tahun, dinotasikan dengan _nP _x adalah :

x n x x

n l

p =l ⁺

dan juga didapat hubungan sebagai berikut :

m x n x m x n

m₊ p = p . p ₊

nilai kemungkinan seseorang berusia x meninggal setelah jangka waktu n tahun, dinotasikan dengan _nq adalah : _x

x n x

n x x x

n p

l l

q l − = −

= ⁺ 1

sehingga diperoleh hubungan :

=1 +_{n x}

x

np q

Sedangkan lama hidup yang dapat dicapai disebut dengan harapan hidup curtate (curtate expectation of life) atau dapat dikatakan sebagai jumlah tahun lengkap yang dilewati (secara sederhana dapat dikatakan sebagai jumlah ulang tahun yang dirayakan) dinotasikan dengan ℮x didapatkan dari :

( ) ( )

{ }

x

x x x

x x

x x

x

x l

l l l

l l

d d

e =0d +1 ⁺₁+2 ⁺₂ +....= 1 ⁺₁− ⁺₂ +2 ⁺₂ − ⁺₃ +....

∑

^∞

= +

+ + + = + + =

=

1 2

2

1 .... ....

t x t x

x x

x x

x p p p

l l

e l

Pada tabel mortalitas, lx hanya menggambarkan keadaan untuk x bilangan integer, pada kenyataannya selama perjalanan waktu jumlahnya selalu berkurang, sehingga dalam interval waktu [0,w], w dianggap sebagai usia terakhir dimana seseorang hidup, dimungkinkan dilakukan fungsi differensiasi dan x tidak harus bilangan bulat.

Selama selang waktu ∆t jumlah yang meninggal pada usia x+∆t adalah lx – lx+∆t. Dari jumlah ini maka bagian untuk 1 tahunnya adalah

t l l_{x x t}

∆

− _+∆

. Bila hasil ini dibagi dengan lx, maka akan didapatkan tingkat mortalitas setahun untuk setiap selang waktu ∆t dan dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut :

t l

l l

x t x x

∆

− _+∆

Jika ∆t 0, disebut percepatan mortalitas (force of mortality), dinotasikan dengan µx, yaitu :

dx dl l t

l l l

x x x t x t x

x

1 lim 1

0

= −

∆

− −

= ^+∆

→

µ ∆

Ο

ex disebut rata-rata lama hidup dan didefinisikan sebagai jumlah yang hidup dari t lx+t

µx+t dt pada waktu t dibagi dengan lx yaitu :

=

=_l

∫

^−tl _{+ +}^dt

e _{x t x t}

x w

x

x µ

0

0 1

[ ]

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧− + +

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

∫

∫

^{− + x w−x w−xx+t}

x t

x x w

x

dt l t

l tl dt dt

t dl

l ₀ ⁰ ₀

1 1

[

⁺

]

⁻

∫

^{− + =}

∫

^{− + =}

∫

⁻

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧− +

=

x w

x t x

w t x x x

w t x x w t

x x l dt p dt

dt l l lx tl

e

0 0

0 0

0 1 1

dicari nilai rata-rata lama hidup untuk interval [0,1] dengan menggunakan pendekatan linear (interpolasi), pendekatan untuk fungsi f(t) adalah :

f1 (t) = f(0) – { f(0) – f(1) } t sehingga :

lx+t = lx – ( lx – lx+1 ) t

[ ] ( )

2 2

2

1 1

1

0 2 1 1

0 1

0

+ + +

+

= +

− −

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

−

∫

^{lx tdt} = ^{lxt lx lx t lx lx lx lx lx}

Dengan cara yang sama dilakukan pada interval [1,2] akan diperoleh 2

2

1 +

+ + _x

x l

l ,

sehingga diperoleh hubungan :

5 . 0 2 ....

2

1 _{1 1 2}

0 ⎟= +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

+ +

= ^{x x+ x+ x+} _x

x

x l l l l e

e l

Bila kita ingin mengetahui nilai lx+t dimana t adalah pecahan, maka untuk kasus seperti ini kita harus membuat sebuah asumsi berdasarkan tabel, bila pada tabel tidak disediakan sebuah formula matematis untuk menghitung tahun pecahan tersebut. Asumsi yang umum digunakan adalah bahwa kematian berdistribusi seragam sepanjang tahun sehingga kita dapat menganggap nilai lx+t, dimana t adalah pecahan antara 0 dan 1 dapat didekati menggunakan interpolasi linear antara lx dan lx+1 yang dirumuskan sebagai : lx+t = ( 1-t ) lx + t lx+1

2.5 Tabel Komutasi

Tabel mortalitas sangat erat kaitannya dengan tabel komutasi. Tabel komutasi menyediakan fungsi-fungsi yang dapat digunakan untuk menyederhanakan berbagai perhitungan asuransi. Tabel ini umumnya disediakan untuk beragam tingkat bunga ( i ) per tahun. Adapun besarnya tingkat bunga pada akhir tahun ini dapat dihitung dengan menggunakan rumus Hardy yaitu :

I B A i I

−

= +2 dimana :

i = tingkat bunga per tahun

I = nilai pendapatan yang diperoleh dari bunga selama 1 tahun

A = nilai asset awal B = nilai asset akhir

Tabel 2.3 Tabel Komutasi untuk Tabel 80CNSMT i = 5 %

x lx dx Dx Nx Cx Mx

0 100.000 1260 100.000,00 1.992.208,86 1.200,00 5.132,91

1 98.740 92 94.038,10 1.892.208,86 83,45 3.932,91

2 98.648 64 89.476,64 1.798.170,76 55,29 3.849,46

... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... ...

108 51 18 0.26 0.42 0.09 0.24

109 33 33 0.16 0.16 0.15 0.15

110 0

Didefinisikan suatu fungsi

v i

= + 1

1

dimana v adalah nilai sekarang dari pembayaran sebesar 1 yang dilakukan 1 tahun kemudian. Dx merupakan nilai sekarang pada usia 0 dari pembayaran sebesar 1 untuk masing-masing orang yang hidup dan berusia x dan secara matematis dinyatakan sebagai Dx = lx v^x

Nx merupakan jumlah nilai sekarang pada usia 0 yang dibutuhkan orang berusia x untuk setiap orang yang hidup dari usia x sampai tak hingga ( atau dapat dikatakan sampai akhir tabel mortalitas).

∑

^∞

=

=

x t

t

x D

N

Cx merupakan nilai sekarang pada usia 0 dari pembayaran sebesar 1 untuk masing- masing orang yang akan meninggal di usia x yang dapat dinyatakan sebagai :

Cx = dx v^x+1

Sedangkan jumlah nilai sekarang pada usia 0 yang dibutuhkan orang berusia x untuk setiap orang yang meninggal dari usia x sampai tak hingga dapat dinyatakan sebagai :

∑

^∞

=

=

x t

t

x C

M

Dx dan Nx banyak digunakan dalam perhitungan asuransi termasuk asuransi pensiun yang memberikan benefit survivorship, yaitu seseorang akan mendapatkan sejumlah pertanggungan apabila ia tetap hidup sampai mencapai usia tertentu. Sedangkan Cx dan Mx digunakan pada asuransi jiwa biasa dimana seseorang akan mendapatkan sejumlah pertanggungan apabila ia meninggal.

2.6 Anuitas

Kata anuitas pada dasarnya berarti pembayaran tahunan, tapi pada penerapannya istilah ini umum digunakan untuk setiap pembayaran periodik, yang pada umumnya dalam jumlah yang sama. Anuitas dapat diklasifikasikan dalam beberapa jenis, diantaranya yang sederhana dan umum digunakan adalah :

• Anuitas sederhana

Pada anuitas ini, tanggal pembayaran bersamaan dengan tanggal penambahan bunga pembayaran

• Anuitas biasa ( ordinary annuity ) atau disebut juga anuitas akhir

Merupakan sebuah anuitas yang pembayarannya dilakukan di akhir tanggal konversi bunga. Anuitas jenis ini biasa juga disebut sebagai annuity immediate oleh aktuaris

• Anuitas awal ( annuity due )

Merupakan anuitas yang pembayarannya dilakukan di awal tanggal konversi bunga.

Pada perasuransian pada umumnya yang seringkali digunakan adalah anuitas biasa dan anuitas awal. Ada dua hal yang sering diperhitungkan dalam anuitas ini yaitu :

• Future amount ( nilai nanti )

Merupakan nilai pembayaran periodik setelah sejumlah waktu tertentu.

• Present value ( nilai sekarang )

Merupakan nilai sekarang dari pembayaran periodik.

2.6.1 Anuitas akhir

Nilai pembayaran periodik sebesar p yang dibayarkan pada akhir periode setelah jangka waktu tertentu (n kali pembayaran) secara sederhana dapat diilustrasikan sebagai berikut :

p (1+i)^n-1

p (1+i)^n-2 ...

p (1+i)²

p (1+i) p p p p

0 1^st 2^nd ... (n-2)^th (n-1)^th n^th Payment Gambar 2.1 Future Amount dari Anuitas Akhir

Secara matematis dapat dirumuskan sebagai berikut : S = p + p (1+i) + p (1+i)² + p (1+i)³ + ... + p (1+i)^n-1

S dapat dianggap sebagai sebuah deret geometri dengan ratio (1+i) sehingga rumus penjumlahannya dapat diubah menjadi

S =

( )

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + −

i p i

n 1

1

Dimana :

p = nilai pembayaran periodik i = tingkat bunga

n = jumlah pembayaran

Notasi standar yang umum digunakan untuk bentuk yang ada di dalam tanda kurung di atas adalah _|

sn

S = p

s

_n|

Dimana

|

sn dapat dianggap sebagai future amount dari pembayaran sebesar 1 unit.

Sedangkan nilai sekarang dari anuitas akhir dapat digambarkan sebagai berikut :

p p p p

p (1+i)^-1 p (1+i)^-2 ...

p (1+i)^-(n-1)

p (i+i)^-n 0 1^st 2^nd ... (n-1)^th n^th Payment Gambar 2.2 Nilai sekarang dari anuitas akhir

Secara matematis dapat dirumuskan sebagai berikut : A = p (1+i)^-n + p (1+i)^-(n-1) + ... + p (1+i)^-1

Dimana :

p = nilai pembayaran periodik i = tingkat bunga

n = jumlah pembayaran

A dapat dianggap sebagai penjumlahan deret geometri dengan ratio (1+i)^-1 sehingga dapat dirumuskan sebagai berikut :

A =

( ( ) )

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − + ⁻ i p i

1 n

1

Didefinisikan a_n| sebagai nilai sekarang dari pembayaran sebesar 1 unit maka : A = p a_n|

2.6.2 Anuitas awal

Karena anuitas awal mirip dengan anuitas akhir, hanya saja karena pembayaran dilakukan di awal ( pembayaran dilakukan pada waktu 0 sampai dengan n-1), maka secara sederhana dapat dikatakan bahwa rumusnya sama seperti anuitas akhir hanya saja p diganti dengan p (1+i) sehingga dapat dirumuskan sebagai berikut :

|

sn

p S&& = &&

Dimana :

S&& = future amount dari anuitas awal p = nilai pembayaran periodik

|

s&&n = future amount dari pembayaran sebesar 1 unit, dirumuskan sebagai berikut

( ) ( )

i

i s i

n

n ⎥ +

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + −

= 1 1 1

&&|

Sedangkan nilai sekarangnya adalah

|

an

p A&& = &&

Dimana :

A&& = nilai sekarang dari anuitas awal P = nilai pembayaran periodik

|

a&&n = nilai sekarang dari pembayaran sebesar 1 unit yang dirumuskan sebagai berikut

( ) ( )

ⁱ

i a i

n

n ⎥ +

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − +

= 1 1 ⁻ 1

&&|

Secara umum notasi untuk anuitas ini dapat diringkas sebagai berikut

) (

| : m

i n

a x

Dimana :

a = nilai sekarang anuitas sebesar 1 unit (bisa diganti dengan s untuk future amount), kalau merupakan anuitas awal maka di atasnya diberi tanda .. (dua buah titik)

(m) = jumlah pembayaran dalam 1 tahun. Tidak ditulis bila anuitas dibayar per tahun.

x = usia anuitan saat pertama kali pembayaran dilakukan

n = jumlah pembayaran, tidak ditulis bila termasuk anuitas seumur hidup i = tingkat bunga (optional)

2.7 Perhitungan Premi pada Asuransi Pensiun

Dalam sebuah sistem pensiun hanya hal berikut ini yang digunakan untuk menentukan besarnya pensiun :

• Masa kerja

• Rata-rata gaji per tahun selama masa kerja, dari sini didapatkan suatu rate yang setelah dikalikan dengan masa kerja didapatkan besar pensiun per tahun.

Umumnya tingkat kenaikan gaji sudah diasumsikan terlebih dahulu

• Rata-rata gaji per n tahun tertentu (misalnya 5 tahun) tertentu dikalikan dengan lama kerja didapatkan besar pensiun per tahun (dalam perhitungan banyak juga yang menggunakan gaji pada waktu berhenti)

Pada tiap perhitungan premi asuransi, termasuk asuransi pensiun berlaku prinsip equality dimana nilai sekarang dari pembayaran harus sama dengan nilai sekarang dari benefit yang akan didapatkan. Bila besar pensiun tidak ada hubungannya dengan besar gaji maka berdasarkan prinsip equality perhitungan premi menjadi

s r x r r x

r

t

s t x

t

l A a v l

v

P

⁻

−

−

= +

=

∑

¹

^{& &}

0

Dimana :

P = nilai pembayaran premi v =

+i 1

1

t = waktu r = usia pensiun x = usia masuk

s t

lx₊ = jumlah orang yang hidup di usia x+t A = nilai pembayaran pensiun per tahun

a&&r= nilai sekarang dari pembayaran sebesar 1 unit yang dilakukan mulai saat mencapai usia pensiun sampai meninggal (anuitas seumur hidup)

s

l = jumlah orang yang hidup di usia pensiun r

Bila kedua ruas dibagi dengan l dan didefinisikan sebuah fungsi _x^s

∑

⁻

=

=

¹

| 0 :

n

t

s x t t s

n

x

v p

a &&

Maka rumusan berubah menjadi

s x r x

s x x r x r r

a

p v

a P A

| :−

−

=

−

&&

&&

Untuk memudahkan perhitungan, seringkali digunakan fungsi komutasi sehingga persamaan berubah menjadi

s r s

x s r r

N N

D a P A

= && −

Bila besar pensiun didasarkan pada perbandingan gaji, maka untuk t tahun kemudian total gaji menjadi

∑

= + −

+

=

^t

i i x t

x

s

S

1

1 dimana t = 1, 2, ..., r-x

Bila besar pensiun (B) adalah rata-rata gaji dikalikan dengan rate tertentu β (r-x)

( )

r

x r

t t

x r x S

x s

B r ⎟β − =β

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

∑

^{− −}

= +

1 0

1

Sedangkan bila besar pensiun (C) adalah rata-rata gaji dikalikan dengan rata-rata tertentu γ (r-x)

( ) ( )

f S x S

r x r f s

C ^{r r f}

x r

f x r t

t x

− −

−

−

−

= +

− −

=

⎟⎟ −

⎠

⎞

⎜⎜⎝

= ¹⎛

∑

^{1 γ γ}

Untuk benefit sejenis B atau C banyak digunakan persentasi α dari gaji (gaji meningkat maka premi pun meningkat), maka perhitungannya seperti di bawah ini

∑

∑

⁻

=

+

− +

=

+

=

=

¹

0 1

| 0 :

n

t

s x s

t x x

t s x

x t t n

t x

t ss x

n

x

D

D s p s

s v a && s

Bila premi dari gaji tahunan adalah α maka s x x r x r r r ss

x r

x

a

x

S a v p

s &&

₋

= β &&

⁻ ₋

α

_{: |}

ss x r x x

s x x r x r r

a s

p v

a B

| : −

− −

= &&

&&

α

Dengan rumus yang sama seperti di atas juga dapat diaplikasikan untuk benefit asuransi sebesar C.

2.8 Perhitungan Cadangan pada Asuransi Pensiun

Yang dimaksud dengan cadangan adalah jumlah uang yang harus ada dalam perusahaan guna menutup klaim yang akan muncul di kemudian hari. Secara umum ada dua jenis cadangan yang dikenal yaitu cadangan prospektif dan cadangan restropektif.

Dalam cadangan prospektif yang menjadi dasar perhitungan cadangan adalah besar kemungkinan terjadinya klaim di masa mendatang, sedangkan dalam cadangan restropektif yang menjadi dasar perhitungan adalah besarnya klaim di masa lalu. Dalam asuransi pensiun, yang akan kita gunakan adalah cadangan prospektif yang secara matematis dapat dianggap sebagai nilai sekarang dari benefit di waktu t dikurangi dengan nilai sekarang dari pembayaran di masa yang akan datang yang dapat dirumuskan sebagai berikut :

Besar cadangan saat masa pembayaran premi

(

1≤t≤r−x−1

)

s

t x r t x s

t x t x r t x r r

t

V = A a && v

^{− −} _{− −}

p

₊

− P a &&

_{+: − −|}

s x r x

s t s x

t x t x r t x r s r

x r x

s t x r t x s x t t s

t x t x r t x r r

t

a

a p v

a a A

a p v p

v a A V

| :

| :

| :

|

1

:

− +

−

−

−

−

−

−

− + +

−

−

−

−

=

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ −

= &&

&&

&&

&&

&&

&&

Sedangkan besar cadangan pada saat masa pembayaran pensiun adalah

(

r−x≤t

)

t x t

V = && A a

₊

Bila benefit asuransinya adalah B maka besar cadangan saat pembayaran premi adalah ss

t x r t x x s

t x t x r t x r r

t

V = B a && v

^{− −} _{− −}

p

₊

− α s a &&

_{+ : − − |}

ss x r x

ss t s x

t x t x r t x r ss r

x r x

ss t x r t x s x t t s

t x t x r t x r r

t

a

p a v

a a B

a p p v

v a B V

| :

| :

| :

|

1

:

− +

−

−

−

−

−

−

− + +

−

−

−

−

=

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ −

= &&

&&

&&

&&

&&

&&

Dan untuk masa pembayaran pensiun besar cadangannya adalah

t x t

V = && B a

₊

Untuk benefit asuransi sebesar C, rumus yang digunakan sama seperti pada perhitungan cadangan untuk benefit sebesar B.

2.9 Metoda Entry Age Level Cost

Metoda entry age level cost pada prinsipnya sama dengan perhitungan pada asuransi biasa, hanya saja pada metoda ini perhitungan besar premi dan cadangan tidak dilakukan pada masing-masing orang, tapi sistem secara keseluruhan. Pada metode ini, karyawan akan dibagi dalam beberapa tingkatan usia masuk yang dikehendaki,

kemudian dilakukan perhitungan untuk masing-masing usia masuk tersebut, kemudian baru dihitung total keseluruhan premi yang harus dibayarkan oleh perusahaan.

2.10 Metoda Perancangan

Ada beberapa macam metoda perancangan program yang umum dikenal. Salah satu dari metode yang ada yang paling banyak digunakan adalah metoda air terjun.

Metoda ini dikembangkan pertama kali oleh Royce di tahun 1970. Waterfall model ini merupakan model yang sequential dimana proses dilakukan secara bertahap satu demi satu. Sebuah proses hanya dapat dimulai bila proses sebelumnya sudah selesai. Model ini kemudian dikembangkan oleh Boehm di tahun 1981, dimana ia memperluas model Roy ini dengan menambahkan beberapa langkah tambahan. Versi yang paling umum adalah yang melibatkan tujuh langkah yang masing-masing langkahnya memvalidasi langkah sebelumnya serta jika dibutuhkan dapat saja kembali ke proses sebelum bila proses validasi gagal. Adapun penjelasan dari masing-masing langkah adalah sebagai berikut :

• System feasibility

Tahap awal dari pengembangan program adalah menetapkan spesifikasi kebutuhan sistem yang akan dibangun.

• Software plan and requirement

Pada tahap ini ditetapkan spesifikasi kebutuhan software serta reguirement yang dibutuhkan di dalam program hasil

• Product design

Pada tahap ini produk didesain, meliputi struktur data yang akan digunakan, dan arsitektur program.

• Detailed design

Merupakan tahap perancangan desain tapi sudah lebih terperinci mencakup modul-modul yang digunakan user.

• Code

Merupakan tahap untuk melakukan proses pemrograman.

• Integration

Merupakan tahap untuk menyatukan setiap modul-modul yang ada menjadi sebuah sistem.

• Implementation

Merupakaan proses implementasi piranti lunak.

Gambar 2.3 Model air terjun Boehm