Bentuk Standar. max. min

Konsep Dualitas

• Setiap permasalahan LP mempunyai

hubungan dengan permasalahan LP lain • Masalah dual adalah sebuah masalah LP

yang diturunkan secara matematis dari satu model LP primal

1

Bentuk Standar

Masalah Primal Masalah Dual

n j x m i b x a ST x c Z j i n j j ij n j j j ,..., 2 , 1 , 0 ,..., 2 , 1 , : , max 1 1     





  dibatasi tak ,..., 2 , 1 , : , min 1 1 i j m i i ij m i i i y n j c y a ST y b W   





 

1

Bentuk Standar

Masalah Primal Masalah Dual

n j x m i b x a ST x c Z j i n j j ij n j j j ,..., 2 , 1 , 0 ,..., 2 , 1 , : , min 1 1     





  dibatasi tak ,..., 2 , 1 , : , max 1 1 i j m i i ij m i i i y n j c y a ST y b W   





 

Aturan-aturan (Hillier &

Lieberman)

• Koefisien fungsi tujuan dari permasalahan primal adalah ruas kanan kendala

fungsional pada permasalahan dualnya • Ruas kanan kendala fungsional pada

permasalahan primal merupakan koefisien fungsi tujuan pada permasalahan dualnya • Koefisien variabel kendala fungsional pada

permasalahan primal menjadi koefisien pada kendala fungsional pada

Aturan-aturan (Taha)

• Untuk setiap batasan primal terdapat sebuah variabel dual

• Untuk setiap variabel primal terdapat sebuah batasan dual

• Koefisien batasan dari sebuah variabel

primal membentuk koefisien sisi kiri dari batasan dual yang bersesuaian; dan

koefisien tujuan dari variabel yang sama menjadi sisi kanan dari batasan dual

Masalah dual diperoleh secara

simetris dari masalah primal

Variabel Primal

x1 x2 … xj … xn

Sisi kanan dari

batasan dual  c1 c2 … cj … cn

Koefisien sisi kiri dari batasan dual

a11 a12 … a1j … a1n b1  y1

Variabel dual

a21 a22 … a2j … a2n b2  y2

: : : : : :

am1 am2 … amj … amn bm  ym

↑

Batasan dual ke-j

↑

Hubungan Primal-Dual

Tujuan Primal Standar

Dual

Tujuan Batasan Variabel

Maksimisas i Minimisasi ≥ Tidak dibatasi Minimisasi Maksimisas i ≤ Tidak dibatasi

Contoh:

• Primal Max z = 5 x1 + 12 x2 + 4 x3 x1 + 2 x2 + x3 ≤ 10 2 x1 - x2 + 3 x3 = 8 x1, x2, x3 ≥ 0

Contoh:

• Primal Standar Max z = 5 x1 + 12 x2 + 4 x3 x1 + 2 x2 + x3 + s1 = 10 2 x1 - x2 + 3 x3 = 8 x1, x2, x3, s1 ≥ 0

Contoh:

• Dual Min W = 10 y1 + 8 y2 y1 + 2 y2 ≥ 5 2 y1 - y2 ≥ 12 y1 + 3 y2 ≥ 4 y1 + 0 y2 ≥ 0 (y1 ≥ 0) y1, y2 tak dibatasi

Pemecahan Masalah Dual

Nilai tujuan dalam satu pasangan masalah primal dan dual harus memenuhi hubungan berikut

1. Untuk setiap pasangan pemecahan primal dan dual yang layak

(nilai tujuan dalam masalah maksimisasi)

≤ (nilai tujuan dalam masalah minimisasi) 2. Di pemecahan optimum untuk kedua masalah

(nilai tujuan dalam masalah maksimisasi)

= (nilai tujuan dalam masalah minimisasi)

1

Contoh

Primal Dual Min z = 5 x1 + 2 x2 ST x1 – x2 ≥ 3 2 x1 + 3 x2 ≥ 5 x1, x2 ≥ 0 Max w = 3 y1 + 5 y2 ST y1 + 2 y2 ≤ 5 - y1 + 3 y2 ≤ 2 - y1 ≤ 0 (y1 ≥ 0) - y2 ≤ 0 (y2 ≥ 0)

1

Contoh

Primal (min) Dual (max)

Pemecahan Layak x1 = 3 x2 = 0 Nilai tujuan z = 15 Pemecahan Layak y1 = 3 y2 = 1 Nilai tujuan w = 14

1

Contoh

Primal (min) Dual (max)

Pemecahan Tak Layak x1 = 3

x2 = 1

Nilai tujuan z = 17

Pemecahan Tak Layak y1 = 4

y2 = 1

Nilai tujuan w = 17

1

Contoh

Primal Dual Pemecahan Optimal x1 = 3 x2 = 0 Nilai tujuan z = 15 Pemecahan Optimal y1 = 5 y2 = 0 Nilai tujuan w = 15

Programa Dual

Hubungan antara PRIMAL dan DUAL adalah sebagai berikut :

PRIMAL DUAL

RHS Fungsi Tujuan

MAX MIN

Programa Dual

x₁ x₂  x_n RHS y₁ a₁₁ a₁₂  a_1n  b₁ y₂ a₂₁ a₂₂  a_2n  b₂ y_m a_m1 a_m2 a_mn  b_m    c₁ c₂  c_n     

Koefisien Fungsi Objektif (Maksimisasi) Koefis ie n Fung s i Obj e k tif (M inimi s a s i) PRIMAL D U AL

Contoh Programa Dual

PRIMAL : Max 3x₁ + 5x₂ s.t. x₁  4 2x₂  12 3x₁ + 2x₂  18 x₁, x₂  0

DUAL : Min 4y₁ + 12y₂ + 18y₃ s.t.

y₁ + 3y₃  3 2y₂ + 2y₃  5 y₁, y₂ , y₃  0

PRIMAL – DUAL

Secara umum hubungan antara DUAL dan PRIMAL dapat digambarkan seperti pada tabel di bawah ini

MINIMASI MAKSIMASI   _   _ Unrestricted  ₌   _   _ =  Unrestricted V ari ab le V ari ab le Co nstrai nt Co nstrai nt

Contoh

PRIMAL : Max 8x₁ + 3x₂ s.t. x₁ – 6x₂  4 5x₁ + 7x₂ = – 4 x₁  0 x₂  0 DUAL : Min 4w₁ – 4w₂ s.t. w₁ + 5w₂  8 – 6w₁ + 7w₂  3 w₁  0 w₂ unrestricted

Contoh 2

Primal: Max. z = 3x₁ + 2x₂ (Obj. Func.)

subject to 2x₁ + x₂  100 (Finishing constraint) x₁ + x₂  80 (Carpentry constraint) x₁  40 (Bound on soldiers) x₁, x₂  0 Optimal Solution: z = 180, x₁ = 20, x₂ = 60

Dual : Min. w = 100y₁ + 80y₂ + 40y₃ (Obj. Func.)

subject to

2y₁ + y₂ + y₃  3 y₁ + y₂  2

Hubungan PRIMAL – DUAL

 Bila x adalah feasible terhadap PRIMAL dan y

feasible terhadap DUAL, maka cx  yb

 Nilai objektif problem Max  Nilai objektif

problem Min

DUAL Constraint y A  c

x  0  y Ax  cx

Teorema Dualitas

● Bila x* _{adalah penyelesaian dari PRIMAL dan y}*

adalah penyelesaian dari DUAL, maka cx* _{= y}*_b

● Bila x₀ feasible terhadap PRIMAL dan y₀ feasible

terhadap DUAL sedemikian hingga cx₀ = y₀b, maka

x₀ dan y₀ adalah penyelesaian optimal

Menyelesaikan PRIMAL Menyelesaikan DUAL z DUAL FR PRIMAL FR Optimal

Teorema Dualitas

1. P optimal  D optimal 2. P tak terbatas D tak terbatas   D tidak feasible P tidak feasible 3. P tidak feasible D tidak feasible  

D tak terbatas/tidak feasible P tak terbatas/tidak feasible

Dual Simplex

• Sekelompok masalah LP yang tidak memiliki pemecahan dasar awal yang layak dan

semuanya adalah variabel slack, tetapi dapat dipecahkan tanpa menggunakan variabel

buatan yaitu dengan menggunakan metode dual simplex

• Dalam prosedur dual simplex, pemecahan

dimulai tidak layak dan optimal (sebagaimana diperbandingkan dengan metode primal

simplex yang memulai layak tetapi nonoptimal)

Dual Simplex

• Gagasan umum dari prosedur dual simplex adalah bahwa sementara iterasi dimulai tidak layak dan (lebih baik daripada) optimal, iterasi berikutnya bergerak ke arah ruang layak tanpa kehilangan sifat optimalitas (simpleks biasa

mempertahankan kelayakan sementara bergerak ke arah optimalitas)

• Pada iterasi dimana pemecahan menjadi layak untuk pertama kalinya, proses tersebut

Dual Simplex

• Kondisi Kelayakan:

– Variabel keluar adalah variabel dasar yang memiliki nilai paling negatif (jika sama, tentukan secara sembarang).

– Jika semua variabel dasar adalah nonnegatif, proses berakhir.

• Kondisi Optimalitas:

– Variabel masuk adalah variabel nondasar yang berkaitan

dengan rasio terkecil jika meminimumkan atau nilai absolut terkecil dari rasio jika memaksimumkan (jika sama,

tentukan sembarang).

– Rasio ditentukan dengan membagi koefisien sisi kiri persamaan z dengan koefisien negatif yang bersesuaian dalam persamaan dengan koefisien negatif yang

bersangkutan dengan variabel keluar.

– Jika semua penyebut adalah nol atau positif, tidak terdapat pemecahan yang layak

Contoh 1

Min z = 3 x1 + 2 x2 3 x1 + x2 ≥ 3 4 x1 + 3 x2 ≥ 6 x1 + x2 ≤ 3 x1, x2 ≥ 0

Contoh 1

Min z - 3 x1 - 2 x2 = 0 -3 x1 - x2 + s1 = -3 -4 x1 - 3 x2 + s2 = -6 x1 + x2 + s3 = 3 x1, x2, s1, s2, s3 ≥ 0

Contoh 1

Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 RHS z 1 -3 -2 0 0 0 0 s1 0 -3 -1 1 0 0 -3 s2 0 -4 -3 0 1 0 -6 s3 0 -1 1 0 0 1 3 3/4 2/3 ~ ~ ~ Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 RHS z 1 -1/3 0 0 -2/3 0 4 s1 0 -5/3 0 1 -1/3 0 -1 x2 0 4/3 1 0 -1/3 0 2 s3 0 -1/3 0 0 1/3 1 1 1/5 ~ ~ 2 ~ Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 RHS z 1 0 0 -1/5 -3/5 0 21/5 x1 0 1 0 -3/5 1/5 0 3/5 x2 0 0 1 4/5 -3/5 0 6/5 s3 0 0 0 -1/5 2/5 1 6/5 rasio rasio

1

Contoh 1

• X1 = 3/5 • X2 = 6/5 • Z = 21/5

Contoh 2

Max z = 2 x1 - x2 x1 + x2 = 1

2 x2 ≥ 1 x1, x2 ≥ 0

Contoh 2

Max z - 2 x1 + x2 = 0 x1 + x2 = 1 - 2 x2 + s1 = -1 x1, x2 , s1 ≥ 0 =================================== ===== x1 = 1 – x2, sehingga: z – 2 (1 – x2) + x2 = 0 z + 3 x2 = 2

1

Contoh 2

• X1 = ½ • X2 = ½ • Z = ½ Dasar z x1 x2 s1 RHS z 1 0 3 0 2 x1 0 1 1 0 1 s1 0 0 -2 1 -1 ~ 1 1/2 ~ Dasar z x1 x2 s1 RHS z 1 0 0 1 1/2 1/2 x1 0 1 0 1/2 1/2 x2 0 0 1 -1/2 1/2 rasio