1 Pengertian Secara Intuisi
1. ( ) f x = + x 1, pada [0, 2].
2
1
2. ( ) pada [0, 2] dan 1.
1
g x x x
x
= − ≠
−
1, 0 1
3. ( ) .
1, 1 2
x x
h x x x
+ ≤ ≤
=
− < ≤
Coba Gambarkan grafik fungsi-fungsi berikut.
1. Dari grafik fungsi yang kamu peroleh, apa yang dapat kamu katakan tentang nilai-nilai ketiga fungsi tersebut di semua titik pada interval ? .
2. Bagaimanakah nilai-nilai ketiga fungsi di atas di titik dengan menentukan (jika ada) nilai dari ?
3. Tentukan nilai-nilai ketiga fungsi di atas di sekitar (dekat) baik dekat di sebelah kiri maupun dekat di sebelah kanan , dengan melengkapi tabel berikut.
Konsep Limit
• Definisi Intuitif
• Misalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil
• sedemikian hingga:
• Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (x≠a), f(x) dekat ke L
• Bila x mendekati a tetapi x≠a, maka f(x) mendekati L
• Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dg membuat x cukup dekat a tetapi tdk sama dg a
• Maka dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati a
adalah L,
f x L
a
x
=
→
( )
lim
Contoh
5 4 6 lim 2 4
2
2 =
− +
−
→ x x x
x
0.8 2
8 . 0 2
0.80004 2.001
79996 . 0 999 . 1
0.80392 2.1
7959 . 0 9 . 1
81818 . 0 5 . 2 7778 . 0 5 . 1
83333 . 0 3 75 . 0 1
) ( )
(
↓
↓
↓
↓
x f x x
f x
1 Pengertian Secara Intuisi
1. ( ) f x = + x 1, pada [0, 2].
2
1
2. ( ) pada [0, 2] dan 1.
1
g x x x
x
= − ≠
−
1, 0 1
3. ( ) .
1, 1 2
x x
h x x x
+ ≤ ≤
=
− < ≤
Coba Gambarkan grafik fungsi-fungsi berikut.
1. Dari grafik fungsi yang kamu peroleh, apa yang dapat kamu katakan tentang nilai-nilai ketiga fungsi tersebut di semua titik pada interval ? .
2. Bagaimanakah nilai-nilai ketiga fungsi di atas di titik dengan menentukan (jika ada) nilai dari ?
3. Tentukan nilai-nilai ketiga fungsi di atas di sekitar (dekat) baik dekat di sebelah kiri maupun dekat di sebelah kanan , dengan melengkapi tabel berikut.
Konsep Limit
• Definisi Intuitif
• Misalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil
• sedemikian hingga:
• Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (x≠a), f(x) dekat ke L
• Bila x mendekati a tetapi x≠a, maka f(x) mendekati L
• Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dg membuat x cukup dekat a tetapi tdk sama dg a
• Maka dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati a
adalah L,
f x L
a
x
=
→
( )
lim
Contoh
5 4 6 lim 2 4
2
2 =
− +
−
→ x x x
x
0.8 2
8 . 0 2
0.80004 2.001
79996 . 0 999 . 1
0.80392 2.1
7959 . 0 9 . 1
81818 . 0 5 . 2 7778 . 0 5 . 1
83333 . 0 3 75 . 0 1
) ( )
(
↓
↓
↓
↓
x f x x
f x
2
6 ) 4
( 2
2
− +
= − x x x x f
Hukum2 Limit:
Pecahan) (Hk.
. 0 jika asalkan )
( lim
) ( lim ) (
) lim ( 4.
Perkalian) (Hk.
)]
( lim )][
( lim [ )]
( ) ( [ lim . 3
n) Penjumlaha Hk.
( )]
( lim [ )]
( lim [ )]
( ) ( [ lim 2.
maka ) ( lim dan ) ( lim ada berikut limit Jika
. Konstanta) (Hk.
lim . 1
≠
=
=
=
=
±
=
±
=
±
=
=
=
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
M M L x g
x f x g
x f
LM x g x f x g x f
M L x g x f x g x f
M x g L
x f C
C
a x
a x a x
a x a x a
x
a x a x a
x
a x a
x a
x
Komposisi) Limit tusi/
(Hk.Substi ).
( )) ( lim ( )) ( ( lim
maka ) ( ) ( lim dan ) ( lim Misalkan . 6
(Hk.Akar) .
lim maka
genap, nilai untuk 0 jika dan positif bulat bilangan suatu Jika 5.
L f x g f x g f
L f x f L x g
a x
n a
n
a x a
x
L x a
x n n a x
=
=
=
=
=
>
→
→
→
→
→
Teorema2 Limit
1. Teorema Limit trigonometri:
2. Hukum Apit: Misalkan f(x)≤g(x)≤h(x) untuk semua x disekitar a namun x≠a, dan
maka
sin 1 lim
0 =
→ x x
x
) ( lim ) (
limf x L hx
a x a
x→ = = →
L x
ag
x→ ( )=
lim
1 Pengertian Secara Intuisi
1. ( ) f x = + x 1, pada [0, 2].
2
1
2. ( ) pada [0, 2] dan 1.
1
g x x x
x
= − ≠
−
1, 0 1
3. ( ) .
1, 1 2
x x
h x x x
+ ≤ ≤
=
− < ≤
Coba Gambarkan grafik fungsi-fungsi berikut.
1. Dari grafik fungsi yang kamu peroleh, apa yang dapat kamu katakan tentang nilai-nilai ketiga fungsi tersebut di semua titik pada interval ? .
2. Bagaimanakah nilai-nilai ketiga fungsi di atas di titik dengan menentukan (jika ada) nilai dari ?
3. Tentukan nilai-nilai ketiga fungsi di atas di sekitar (dekat) baik dekat di sebelah kiri maupun dekat di sebelah kanan , dengan melengkapi tabel berikut.
Konsep Limit
• Definisi Intuitif
• Misalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil
• sedemikian hingga:
• Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (x≠a), f(x) dekat ke L
• Bila x mendekati a tetapi x≠a, maka f(x) mendekati L
• Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dg membuat x cukup dekat a tetapi tdk sama dg a
• Maka dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati a
adalah L,
f x L
a
x
=
→
( )
lim
Contoh
5 4 6 lim 2 4
2
2 =
− +
−
→ x x x
x
0.8 2
8 . 0 2
0.80004 2.001
79996 . 0 999 . 1
0.80392 2.1
7959 . 0 9 . 1
81818 . 0 5 . 2 7778 . 0 5 . 1
83333 . 0 3 75 . 0 1
) ( )
(
↓
↓
↓
↓
x f x x
f x
2
6 ) 4
( 2
2
− +
= − x x x x f
Hukum2 Limit:
Pecahan) (Hk.
. 0 jika asalkan )
( lim
) ( lim ) (
) lim ( 4.
Perkalian) (Hk.
)]
( lim )][
( lim [ )]
( ) ( [ lim . 3
n) Penjumlaha Hk.
( )]
( lim [ )]
( lim [ )]
( ) ( [ lim 2.
maka ) ( lim dan ) ( lim ada berikut limit Jika
. Konstanta) (Hk.
lim . 1
≠
=
=
=
=
±
=
±
=
±
=
=
=
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
M M L x g
x f x g
x f
LM x g x f x g x f
M L x g x f x g x f
M x g L
x f C
C
a x
a x a x
a x a x a
x
a x a x a
x
a x a
x a
x
Komposisi) Limit tusi/
(Hk.Substi ).
( )) ( lim ( )) ( ( lim
maka ) ( ) ( lim dan ) ( lim Misalkan . 6
(Hk.Akar) .
lim maka
genap, nilai untuk 0 jika dan positif bulat bilangan suatu Jika 5.
L f x g f x g f
L f x f L x g
a x
n a
n
a x a
x
L x a
x n n a x
=
=
=
=
=
>
→
→
→
→
→
Teorema2 Limit
1. Teorema Limit trigonometri:
2. Hukum Apit: Misalkan f(x)≤g(x)≤h(x) untuk semua x disekitar a namun x≠a, dan
maka
sin 1 lim
0 =
→ x x
x
) ( lim ) (
limf x L hx
a x a
x→ = = →
L x
ag
x→ ( )=
lim
3
cos(x) ≤sin(x)/x ≤1/cos(x)
) 1 limsin(
maka ), cos(
lim 1 1 ) cos(
lim
0 0
0 = = → → =
→ x
x x x
x x
x
Contoh
. 1 0 sin lim
Tunjukkan 2
0
x =
→x x
0 dan 1 1 sin 1 , 0
Untuk ≠ − ≤ ≤ x2>
x x
2 2
2 1
sin x
x x
x ≤ ≤
−
Apit).
Prinsip an (menggunak 1 0 sin lim maka
0 lim dan 0 ) lim(
karena
2 0
2 0 2
0
=
=
=
−
→
→ →
x x
x x
x x x
Bukti:
• Limit kiri (limit f(x) bila x menuju a dari kiri)
• Limit kanan (limit f(x) bila x menuju a dari kanan)
• Teorema 2:
jika dan hanya jika L x f
a
x − =
→ ( ) lim
L x f
a
x + =
→ ( ) lim
) ( lim )
(
lim f x L f x
a x a
x→ −
= =
→+L x f
a
x
=
→
( )
lim
Contoh
ada tidak ) ( lim Maka
. . 2 ) 2 ( lim ) ( lim , 0 Untuk
.
. 1 1 lim ) ( lim , 0 Untuk
0 . , 2
0 , ) 1 (
0
0 0
0 0
x f
x f x
x f x
x x x f
x
x x
x x
→
−
→
−
→
+
→ +
→
−
=
−
=
<
=
=
>
<
−
= ≥
kiri limit
kanan limit
1 Pengertian Secara Intuisi
1. ( ) f x = + x 1, pada [0, 2].
2
1
2. ( ) pada [0, 2] dan 1.
1
g x x x
x
= − ≠
−
1, 0 1
3. ( ) .
1, 1 2
x x
h x x x
+ ≤ ≤
=
− < ≤
Coba Gambarkan grafik fungsi-fungsi berikut.
1. Dari grafik fungsi yang kamu peroleh, apa yang dapat kamu katakan tentang nilai-nilai ketiga fungsi tersebut di semua titik pada interval ? .
2. Bagaimanakah nilai-nilai ketiga fungsi di atas di titik dengan menentukan (jika ada) nilai dari ?
3. Tentukan nilai-nilai ketiga fungsi di atas di sekitar (dekat) baik dekat di sebelah kiri maupun dekat di sebelah kanan , dengan melengkapi tabel berikut.
Konsep Limit
• Definisi Intuitif
• Misalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil
• sedemikian hingga:
• Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (x≠a), f(x) dekat ke L
• Bila x mendekati a tetapi x≠a, maka f(x) mendekati L
• Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dg membuat x cukup dekat a tetapi tdk sama dg a
• Maka dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati a
adalah L,
f x L
a
x
=
→
( )
lim
Contoh
5 4 6 lim 2 4
2
2 =
− +
−
→ x x x
x
0.8 2
8 . 0 2
0.80004 2.001
79996 . 0 999 . 1
0.80392 2.1
7959 . 0 9 . 1
81818 . 0 5 . 2 7778 . 0 5 . 1
83333 . 0 3 75 . 0 1
) ( )
(
↓
↓
↓
↓
x f x x
f x
2
6 ) 4
( 2
2
− +
= − x x x x f
Hukum2 Limit:
Pecahan) (Hk.
. 0 jika asalkan )
( lim
) ( lim ) (
) lim ( 4.
Perkalian) (Hk.
)]
( lim )][
( lim [ )]
( ) ( [ lim . 3
n) Penjumlaha Hk.
( )]
( lim [ )]
( lim [ )]
( ) ( [ lim 2.
maka ) ( lim dan ) ( lim ada berikut limit Jika
. Konstanta) (Hk.
lim . 1
≠
=
=
=
=
±
=
±
=
±
=
=
=
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
M M L x g
x f x g
x f
LM x g x f x g x f
M L x g x f x g x f
M x g L
x f C
C
a x
a x a x
a x a x a
x
a x a x a
x
a x a
x a
x
Komposisi) Limit tusi/
(Hk.Substi ).
( )) ( lim ( )) ( ( lim
maka ) ( ) ( lim dan ) ( lim Misalkan . 6
(Hk.Akar) .
lim maka
genap, nilai untuk 0 jika dan positif bulat bilangan suatu Jika 5.
L f x g f x g f
L f x f L x g
a x
n a
n
a x a
x
L x a
x n n a x
=
=
=
=
=
>
→
→
→
→
→
Teorema2 Limit
1. Teorema Limit trigonometri:
2. Hukum Apit: Misalkan f(x)≤g(x)≤h(x) untuk semua x disekitar a namun x≠a, dan
maka
sin 1 lim
0 =
→ x x
x
) ( lim ) (
limf x L hx
a x a
x→ = = →
L x
ag
x→ ( )=
lim
3
cos(x) ≤sin(x)/x ≤1/cos(x)
) 1 limsin(
maka ), cos(
lim 1 1 ) cos(
lim
0 0
0 = = → → =
→ x
x x x
x x
x
Contoh
. 1 0 sin lim
Tunjukkan 2
0
x =
→x x
0 dan 1 1 sin 1 , 0
Untuk ≠ − ≤ ≤ x2>
x x
2 2
2 1
sin x
x x
x ≤ ≤
−
Apit).
Prinsip an (menggunak 1 0 sin lim maka
0 lim dan 0 ) lim(
karena
2 0
2 0 2
0
=
=
=
−
→
→ →
x x
x x
x x x
Bukti:
• Limit kiri (limit f(x) bila x menuju a dari kiri)
• Limit kanan (limit f(x) bila x menuju a dari kanan)
• Teorema 2:
jika dan hanya jika L x f
a
x − =
→ ( ) lim
L x f
a
x + =
→ ( ) lim
) ( lim )
(
lim f x L f x
a x a
x→ −
= =
→+L x f
a
x
=
→
( )
lim
Contoh
ada tidak ) ( lim Maka
. . 2 ) 2 ( lim ) ( lim , 0 Untuk
.
. 1 1 lim ) ( lim , 0 Untuk
0 . , 2
0 , ) 1 (
0
0 0
0 0
x f
x f x
x f x
x x x f
x
x x
x x
→
−
→
−
→
+
→ +
→
−
=
−
=
<
=
=
>
<
−
= ≥
kiri limit
kanan limit
4
Contoh2 limit
later.
discussed - example such for limits sided - one Need
exist.
not does ) ( lim
0 , 1
0 , ) 1 ( (4)
exist.
not does 1 lim (3)
. 0
|
| lim (2)
. 2 1 1 ) 1 ( lim (1)
0 0 2 0
2 2 1
x f
x x x
f x
x x
x x x x
→
→
→
→
<
−
= ≥
=
= +
= +
