MATEMATIKA. Sesi VEKTOR 2 CONTOH SOAL A. DEFINISI PERKALIAN TITIK

1

MATEMATIKA

VEKTOR 2

A. DEFINISI PERKALIAN TITIK Misal a a a a

=

[

^{1 2 3}

]

^{dan b=}

[

^{b1 b2 b3}

]

dua vektor di R3. Perkalian titik dari a dan b

, dinotasikan a b 

• adalah a b a b a b a b 

• = _{1 1}+ _{2 2}+ _{3 3} Pada R2 dengan defi nisi serupa adalah a b a b a b 

• = 1 1+ 2 2 Di mana a a a

=

[

^{1 2}

]

^{dan b=}

[

^{b1 b2}

]

CONTOH SOAL

1. Bila diketahui a   i j k

= − +2 3 5 dan b i  j k

= − +4 2 maka a b 

• = ….

Pembahasan:

a   i j k a

= − +^{2 3 5} → =

[

² −^{3 5}

]

b i  j k b

= − +^{4 2} → =

[

¹ −^{4 2}

]

a b



=

[

−

] [

⁻

]

= ⋅ + − ⋅ − + ⋅ =

2 3 5 1 4 2

2 1 ( ) ( )3 4 5 2 24

Hasil dari perkalian titik berupa angka (konstanta) bukan berupa vektor.

2. Bila a x x

=

[

³ −^{1 dan b}

]

^=

[

^{x −}5 3 jika nilai dari a b

]

 

. = 0 maka nilai x yang memenuhi adalah ….

KELAS XII IPA - KURIKULU M GABU

NG

AN

Sesi

^NG_A

N

Sesi 12

2

Pembahasan:

a b 

⋅ = 0

x x x

x x

x x

x x

3 1 5 3 0

15 3 1 0

3 18 0

6 3 0

2 2

[

−

] [

⁻

]

⁼

− + − =

+ − =

+ − =

( )

( )( )

x= −6atau x=3

B. SIFAT-SIFAT PERKALIAN TITIK Apabila a

, b dan c

adalah vektor-vektor di R3 (atau di R2) dan k ∈ R konstanta sembarang, maka

1. a a  a a  a

. ≥0 dan . =0 jika dan hanya jika =0 2. a b b a   

. = . 3. a b c   a b a c   

.

( )

+ ⁼ . ⁺ . 4. ka b k a b    a kb 

( )

^{. =}

( )

^{. = .}

( )

CONTOH SOAL

1. Jika diketahui vektor a   i j k

= − +2 7 dan b  i k

= −4 maka hasil dari a b a

(

+³

) ( )

^{. 2 adalah ….}

Pembahasan:

a i j k a

b i k b

    

= − + → =  

[

−

]

= − → =

[

−

]

2 7 2 7 1

4 4 0 1

Maka

a b a a a  a b 

(

+

) ( )

^{= +}

=

[

−

]

3 2 2 6

2 2 7 1 2

. . .

.

[

−−

]

⁺

[

⁻

] [

⁻

]

=

(

+ +

)

^{+ + −}

7 1 6 2 7 1 4 0 1

2 4 49 1 6 8 0 1

.

(( )

= +

=

108 42 150

2. Diketahui a b c

=

[

^{4 1}

]

^{, =}

[

^{1 −3}

]

^{dan =}

[ ]

^{5 1} vektor-vektor pada R2. Hitunglah a b c  

( )

. dan a b c 

( )

. kemudian tarik kesimpulan kedua operasi tersebut!

3

Teorema Pembahasan:

a b c  

. .

.

( )

⁼

^{( [ ] [}

⁻

^{] ) [ ]}

=

[ ]

=

[ ]

4 1 1 3 5 1

1 5 1 5 1 aa b c 

. .

.

( )

⁼

^{[ ] ( [}

⁻

^{] [ ] )}

=

[ ]

=

4 1 1 3 5 1

4 1 2 8 2

[[ ]

Kesimpulannya a b c a b c    

. .

( )

^≠

( )

Apabila a dan b

adalah dua vektor tidak nol di R3 (atau R2) yang digambar dengan pangkal berimpit, misal θ, di mana 0 ≤ θ ≤ π, adalah sudut antara a

dan b

, maka berlaku

a b a b    . = cosθ

CONTOH SOAL

1. Diketahui persegi panjang OABC dengan panjang OA = 12 dan AB = 5. Jika OA u  

= dan OB v  

= maka u v 

⋅ = ....

Pembahasan:

Misal ilustrasinya sebagai berikut C

O 12

5 θ

A B

Dimana panjang OB dengan rumus pythagoras adalah 13, sehingga kita bisa mendapatkan nilai cos θ dengan memperhatikan segitiga siku-siku OAB dan menggunakan defi nisi cosinus

4

cosθ =OA= OB

12 13 Maka

u v u v OA OB

   

   

⋅ =

=

= ⋅ ⋅

=

cosθ 12 13 12 13 12

13 144

2. Diketahui titik-titik A(2, -1, 4), B (4, 1, 3), dan C (2, 0, 5). Kosinus sudut antara AB 

dan AC 

adalah ....

Pembahasan:

AB b a

AC c a

   

   

= −

=

[ ]

⁻

[

⁻

]

=

[

−

]

= −

4 1 3 2 1 4

2 2 1

==

[ ]

⁻

[

⁻

]

=

[ ]

2 0 5 2 1 4

0 1 1

AB AC AB AC       

. cos

.

=

[

−

] [ ]

^{= + + −}

( )

⁺

θ

2 2 1 0 1 1 2² 2² 1² 0² 1²++

+ − =

1 0 2 1 3 2

2cos cos

θ θ

maka

1 3 2 1 3 2

1 6 2

=

= =

cos cos

θ θ

3. Diketahui vektor a

=















 2 1 1

dan b x

=















 1

2

. Sudut antara vektor a

dan vektor b adalah 60°.

Nilai x = ....

Pembahasan:

a  b  x

=





 







 



=





 







 

 2

1 1

1

2

,

5

a b a b a b

x x

      . = cos∠ ,

































= + + +

2 1 1

1

2

2² 1 1 1^{2 2 2 22 2}

2

2 60

4 6 5 1

2

+

+ = +

cos

.

o

x x

x x

x x x

x

(

+

)

^{= +}







+ + = +

4 6 5 1

2

8 16 6 5

4 4

2 2

2

2 2

2

.

( )

−− + = +

+ − =

+ − =

+

32 64 6 30

32 34 0 16 17 0 1

2 2

2

x x

x x

x x

x 2

( 77)(x− =1 0) x = -17 atau x = 1

4. Vektor-vektor a

=

−

−















 3 1

2

dan b x

=

−













 2

4 adalah saling tegak lurus. Nilai x adalah ....

A. -5 B. -1 C. 0 D. 1 E. 5

Pembahasan:

a b a b a b

x

     

. cos ,

( )

= ∠

−

−

















−













= − + + 3

1 2

2

4 3² 1² (( ) ( )− − + + cos

+ − =

− =

=

2 2 4 90

6 4 2 0

10 2 0 5

2 2 2 x2

x x x 5. Jika vektor a

dan b

membentuk sudut 60°, a

= 2 dan b

= 5 , maka a b a  

⋅ +( ) sama dengan ....

6

A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 E. 10 Pembahasan:

a b a a b a a

a b a b a a a a

a b

      

       

 

⋅ + = ⋅ + ⋅

= ⋅ ∠ ⋅ + ⋅ ∠ ⋅

= ⋅

( )

cos cos

ccos60 cos0 2 5 1

2 2 2 1 9

° + ⋅ °

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

=

a a 

6. Segitiga PQR dengan P(1, 5, 1), Q (3, 4, 1), dan R (2, 2, 1). Besar sin PQR adalah ....

Pembahasan:

Misal bentuk segitiganya ∠PQR= ∠QP QR   

, Maka

QP p q   

= −

=















−

















=

−













 1 5 1

3 4 1 2 1 0 QR r q   

= −

=















−

















=

−

−















 2 2 1

3 4 1 1 2 0

7

Teorema

QP QR QP QR       

⋅ =

−















−

−















cosθ 2

1 0

1 2 0 

= − + + − + − +

=

=

= °

( ) ( ) ( ) cos

cos cos

2 1 0 1 2 0

0 5 5

0 90

2 2 2 2 2 2 θ

θ θ

θ

Maka sinθ = sin90^o = 1

Apabila a dan b

adalah dua vektor tidak nol di R3 (atau R2) yang digambar dengan pangkal berimpit, misal θ di mana 0 ≤ θ ≤ π adalah sudut antara a

dan b

, maka berlaku:

a b a b a b

a b a b a b

     

     

+ = + +

− = + −

2 2 2

2 2 2

2 2

. cos . cos θ θ Atau dapat ditulis

a b a b a b

a b a b a b

     

     

+ = + +

− = + −

2 2 2

2 2 2

2 2

. . . .

Bila rumus di atas dijumlah atau dikurangkan akan didapat

a b a b a b

a b a b a b

     

     

+ + − = +

+ − − =

2 2 2 2

2 2

2 2

4. .

CONTOH SOAL

1. Diketahui a b 

+ = 2 19 , jika a

= 4 dan b

= 6 maka a b 

− adalah ....

8

Pembahasan:

a b a b a b

a b a b a b

a b

     

     

 

+ = + + °

− = + − ° +

+

2 2 2

2 2 2

2 60

2 60

cos cos

22 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 19 2 4 2 6

+ − = +

( )

^{+ − = +}

a b a b

a b

   

  ( ) ( )

76 32 72

28 2 7

2 2

+ − = +

− =

− = a b a b a b

 

 

 

C. PROYEKSI VEKTOR PADA VEKTOR Apabila a

dan b

adalah dua vektor tidak nol di R3 (atau R2) yang digambar dengan pangkal berimpit, misal θ dimana 0 ≤ θ ≤ π adalah sudut antara a

dan b

, maka berlaku

ab

_ a

ab

_

b θ

Proyeksi a dan b

, dinotasikan ab_

adalah vektor pada b

yang merupakan hasil proyeksi tegak lurus a

dan b

, di mana

a a b

b b

b

  

 

=











.

2

Sedangkan panjang proyeksi a

pada b

dinotasikan a^b_

, dapat dicari dengan rumus panjang vektor atau

ab a b b

  

= .

9

CONTOH SOAL

1. Suatu vektor a

=

[

2 3 1 dan b

]



= −

[

1 3 2 . Vektor proyeksi orthogonal a

]



pada b adalah ….

Pembahasan:

a a b

b b

b

  

 

 =











=

[ ] [

⁻

]

− + +

( ) ^[

⁻

^]

= .

( )

2

2 2 2 2

2 3 1 1 3 2

1 3 2

1 3 2

−− + + −

[ ]

=

[

−

]

= −







2 9 2

14 1 3 2

9

14 1 3 2 9

14 27 14

9 7

2. Suatu vektor u  i k

= −3 4 , v i  j k

= + +2 2 panjang proyeksi orthogonal u

pada v

adalah ....

Pembahasan:

u i k

v i j k

  

  = − =

[

−

]

= + + =

[ ]

3 4 3 0 4

2 2 1 2 2

Panjang proyeksi orthogonal u

pada v adalah

uv u v v

  

= 

=

[

−

][ ]

+ +

= + −

= .

3 0 4 1 2 2

1 2 2

3 0 8 3 5 3

2 2 2

3. Diketahui vektor AB  a

=

[

¹ −1 dan CD

]

 

=

[

⁴ −4 2 . Bila proyeksi skalar AB

]

  pada CD  adalah 1, maka nilai a adalah ....

10

Pembahasan:

Diketahui

AB a

a

a

CD

 

  =

[

−

] [

⁻

]

+ − + =

− − =

− = 1

1 1 4 4 2

4 4 2 1

4 4 2

6 1

4 6 6

2 ( )2 2

Maka

4 6 6

4 12 3 a

a a

− =

=

= atau

4 6 6

4 0

0 a

a a

− =

=

=

D. PERKALIAN SILANG Apabila a

dan b

adalah dua vektor tidak nol di R3 di mana a x y z

=

[

^{1 1 1}

]

dan b x y z

=

[

^{2 2 2}

]

maka perkalian silang (cross product) dinotasikan a b 

× adalah vektor atau dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk determinan

a b

i j k

x y z

x y z

 × = 1 1 1

2 2 2

CONTOH SOAL

1. Diketahui a

=

[

2 3 5 dan b

]



=

[

6 7 9 , bandingkan a b

]

 

× dengan b a 

× Pembahasan:

a b

i j k

i j k i j k

b a

i j k

      

 

× = = − + = − + −

× =

2 3 5 6 7 9

3 5 7 9

2 5 6 9

2 3

6 7 8 12 4

66 7 9 2 3 5

07 9 3 5

6 9 2 5

6 9

2 5 8 12 4

= × =a a  i− j+ k= −i j+ k

11

Bisa dilihat dan bisa dibuktikan berlaku sifat pada cross product yaitu a b  b a 

× = − ×

( )

LATIHAN SOAL

1. Diketahui vektor-vektor u i  j k

= + 2 + 5 ; v i  j k

= − +2 5 . Sudut antara vektor u dan v adalah .... (Soal UN)

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

E. 120°

2. Diketahui vektor a i xj   k

= − + 3 ; b   i j k

= + −2 , dan . Jika a

tegak lurus b

maka 2a b c  

( )

− adalah .... (Soal UN)

A. -20 B. -12 C. -10 D. -8 E. -1

3. Diketahui vektor u   i j k

= + −3 2 dan v  i j k

= + −3 9 12 . Jika vektor 2u av 

− tegak lurus terhadap v

maka a adalah .... (Soal UN) A. -1

B. -1 3 C. 1 D. 1

3 E. 3

4. Diketahui titik A (5, 1, 3); B (2, -1, -1), dan C (4, 2, -4). Besar sudut ABC = .... (Soal UN) A. π

B. π 2

12

C. π 3 D. π 6 E. 0

5. Diketahui vektor a  i j k

= − +4 2 2 dan vektor b i  j k

= − +2 6 4 . Proyeksi vektor orthogonal vektor a

pada b

adalah .... (Soal UN) A.   i j k

− + B. i j k

− +3 2 C. i j k

− +4 4 D. 2i j k  

− + E. 6 8 6 i j k

− +

6. Diketahui vektor-vektor a

=

(

^{1 3 3, , , b}

)

^=

(

^{3 2 1}, , , dan c

)



= −

(

^{1 5 0}, , . Sudut antara a b

)

 

( )

− ^dan a c 

( )

+ adalah .... (Soal SPMB/SNMPTN) A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

E. 120°

7. Diketahui vektor u  i j k

= − −2 4 6 dan v  i j k

= − +2 2 4 . Proyeksi vektor orthogonal u pada v

adalah .... (Soal UAN) A. − + +4 8 12 i j k B. − + +4 4 i j 8k C. − + −2 2 4 i j k D. − + +  i j k

2 3 E. − + −  i j k 2

8. Jika proyeksi vektor u  i j

= +3 4 ke vektor v  i j

= − +4 8 adalah vektor w maka w

adalah ....

(Soal UM UGM)

13

A. 5 B. 5 C. 3 D. 3 E. 1

9. Diketahui vektor a

=

−













 2 3 4

dan b

 x

=













 0 3

. Jika panjang proyeksi vektor a

pada b

adalah

maka salah satu nilai x adalah ....

A. 6 B. 4 C. 2 D. -4 E. -6

10. Diketahui vektor a x

=















 1

2 , b

=

−















 2 1 1

dan panjang proyeksi a

pada b

adalah 2 6 . Sudut

antara a dan b

adalah α maka ....

A. 2 3 6 B. 1

3 C. 2

3 D. 2

6 E. 6 3