MENENTUKAN POHON RENTANG PADA GRAF KINCIR DENGAN REPRESENTASI MATRIKS

(1)

MENENTUKAN POHON RENTANG

PADA GRAF KINCIR DENGAN REPRESENTASI MATRIKS

Okky Panca Pratama

Matematika FMIPA, Universitas PGRI Ronggolawe (UNIROW) Tuban [email protected]

Abstrak

Salah satu permasalahan dalam topik graf adalah menentukan banyaknya pohon rentang dari suatu graf. Pohon rentang adalah subgraf dari graf G yang mengandung semua titik dari G dan merupakan suatu pohon. Untuk menentukan pohon rentang dari suatu graf terhubung, biasanya dilakukan dengan cara memotong/ memutus sisi- sisi sehingga graf tersebut tidak lagi mengandung sikel. Tujuan penelitian ini adalah untuk menentukan bentuk umum banyaknya pohon rentang pada graf kincir ( 2m) dengan menggunakan representasi matriks.

Kata kunci: Pohon Rentang, Representasi Matriks dan Graf Kincir.

I. PENDAHULUAN

Pohon adalah graf terhubung yang asiklik (tidak memuat sikel). Sebuah pohon selalu terdiri dari n titik dan n-1 sisi [1]. Suatu pohon rentang dari graf G adalah subgraf dari graf G yang mengandung semua titik dari G dan merupakan suatu pohon[3].

Menentukan banyaknya pohon rentang dari suatu graf memerlukan waktu yang lama, sehingga perlu digunakan cara atau rumusan baku untuk menentukan banyaknya pohon rentang dari suatu graf.

Beberapa masalah dalam teori graf dapat diselesaikan dengan mudah apabila graf yang dihadapi dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks. Bentuk graf yang dinyatakan dalam suatu matriks kemudian diselesaikan dengan metode yang berlaku pada matriks [5]. Representasi matriks terdapat istilah matriks Adjacent (terhubung langsung), matriks Incident (terkait langsung) dan matriks derajat [6]. Untuk menen- tukan banyaknya pohon rentang pada suatu graf terhubung, dapat dilakukan dengan representasi matriks, yaitu dengan menghitung nilai kofaktor dari matriks – di mana adalah matriks derajat dan adalah matriks Adjacent dari graf G.

Secara lengkap hal tersebut dijelaskan dalam teorema berikut ini Teorema 1 banyak pohon rentang τ(G) dari suatu graf G adalah sama dengan nilai setiap kofaktor dari matriks D(G) – A(G).

Dalam teorema yang disebutkan Skiena ini, tidak disebutkan lebih jelas mengenai kofaktor yang dihitung untuk menentukan banyak pohon rentang dari suatu graf G. Sementara kita tahu antara kofaktor C₁₁ dengan C₁₂ dari suatu matriks bisa ber- beda. Lebih terperinci teorema Matriks-Pohon disampaikan oleh Vivek Dhand sebagai berikut:

Teorema 2 Misalkan adalah matriks Laplace dimana – . Dan ) didefinisikan sebagai matriks yang diperoleh dengan menghapus baris dan kolom pertama dari . Maka, banyak pohon rentang = det Dalam teorema Vi-

(2)

vek Dhand determinan adalah sama dengan nilai Minor Unsur M11 dari matriks ) dan sama juga dengan nilai dari kofaktor C11. Sehingga dari penjelasan teorema matriks-pohon oleh Vivek Dhand dan Skiena dapat ditarik kesimpulan bahwa banyaknya pohon rentang τ(G) dari suatu graf adalah sama dengan nilai kofaktor C11 dari matriks – .

Pada penelitian ini akan membahas cara menentukan banyaknya pohon rentang pada graf kincir dengan representasi matriks. Graf kincir adalah gabungan dari graf komplit dan yang dinotasikan dengan [5].

II. PEMBAHASAN

2. Pohon Rentang Pada Graf Kincir Dengan Representasi Matriks 2.1 Graf Kincir

Graf Kincir dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar Graf Kincir 21

Pada graf kincir didapatkan matriks adjacency dan matriks derajatnya sebagai berikut :

[

], [

]

Setelah mendapatkan matriks dan maka akan dicari nilai kofaktor dari matriks untuk menentukan banyak pohon rentang dari graf komplit .

[

] [

]

Maka dari [

]

Jadi banyaknya pohon rentang pada graf kincir adalah = 3

Gambar Pohon rentang dari ¹ c

v

u

c c c

v v

v

u u u

(3)

2.2 Graf Kincir

Gambar Graf Kincir

[ ]

[

] [

]

Maka dari [

]

=|

| |

|

= | |

|| | |

||

Jadi banyak pohon rentang pada graf kincir ( ) adalah = v₂

u₂ u

v₁

c

u₂

u₁ u₁ u₁

u₁ u₁

u₁

u₁ u₁

u₁

v₁ v₁ v₁

v₁ v₁

v₁

v₁ v₁ v₁

v₂ v₂ v₂

v₂ v₂

v2

v₂ v2

v₂

u₂

u₂ u₂

u2

u₂ u₂

c

c c

c c c

(4)

Gambar Pohon rentang dari graf 2.3 Graf Kincir

[

]

;

[ ]

[ ] [

]

[

]

Maka dari

[

^]

Jadi banyaknya pohon rentang pada graf kincir ( ) adalah 2.4 Graf Kincir

u1 v

c u

v

2

u2

v

2

(5)

Pada graf kincir didapatkan matriks adjacency dan matriks derajatnya sebagai berikut :

[

]

[

]

[

] [

]

[

]

Maka dari

[

]

Jadi banyaknya pohon rentang pada graf kincir ( ) adalah

v u

1

u3

v

3

v

u

2

v

4

u

c

(6)

2.5 Graf Kincir

Pada graf kincir didapatkan matriks adjacency dan matriks derajatnya sebagai berikut :

[ ]

[

]

Setelah mendapatkan matriks dan maka akan dicari nilai kofaktor dari matriks untuk menentukan banyaknya pohon rentangan dari graf komplit .

[

] [

] c

v1

v

v v

u1

u

u3

u u5

(7)

[

]

Maka dari

[

]

Jadi banyak pohon rentang pada graf kincir ( ) adalah

Berdasakan data diatas yaitu banyak pohon rentang dari graf kincir ( ), maka diperoleh pola tabel berikut :

Tabel 3.1 Banyaknya Pohon Rentangan graf kincir ( )

No. graf kincir ( ) Banyak pohon rentang

1 3 atau 3¹

2 9 atau 3²

3 27 atau 3³

4 81 atau 3⁴

5 243 atau 3⁵

... ... ...

m 3^m

Dari tabel diatas diperoleh rumusan banyak pohon rentang dari graf kincir ( ) adalah = 3^m

III. KESIMPULAN

Untuk menentukan banyak pohon rentang pada suatu graf terhubung, dapat dil- akukan dengan representasi matriks, yaitu dengan menghitung nilai kofaktor dari matriks – di mana nilai kofaktor dari matriks – tersebut adalah sama dengan banyak pohon rentang yang bisa didapatkan dari suatu graf G.

Banyak pohon rentang pada graf kincir didapatkan hasil untuk dst. Sehingga didapatkan rumus umum dari banyaknya pohon rentang pada graf kincir untuk .

IV. DAFTAR PUSTAKA

[1] Chartrand, G. dan Lesniak, L. 1986. Graph and Digraph 2ndEdition. California:

Wadsworth. Inc.

(8)

[2] Munir, Rinaldi 2007. Matematika Diskrit. Bandung. Informatika bandung.

[3] Suryadi, D... Pengantar Teori dan Algoritma Graph

[4] Nurfalah, Edy... HandOut Teori Graf. Prodi Matematika FMIPA UNIROW Tuban.

[5] Mudjiati, T. 2008 Dimensi Metrik Graph Kincir. Tesis, Jurusan Matematika FMIPA ITS.

[6] Purwanto. 1997. Matematika Diskrit. Malang: IKIP MALANG.