MODEL DIFUSI OKSIGEN DI JARINGAN TUBUH TESIS. KARTIKA YULIANTI NIM : Program Studi Matematika

(1)

MODEL DIFUSI OKSIGEN DI JARINGAN TUBUH

TESIS

Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari

Institut Teknologi Bandung

Oleh

KARTIKA YULIANTI NIM : 20106010

Program Studi Matematika

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

(2)

ABSTRAK

MODEL DIFUSI OKSIGEN DI JARINGAN TUBUH

Oleh

KARTIKA YULIANTI NIM : 20106010

Oksigen memegang peranan penting bagi kelangsungan metabolisme sel di dalam jaringan (tissue) tubuh. Perpindahan oksigen dari darah ke jaringan tubuh terjadi di pembuluh kapiler dengan cara difusi. Daerah kapiler-jaringan dapat direpresentasikan dengan model Silinder Krogh. Berdasarkan model terse- but, diturunkan sebuah persamaan difusi yang menggambarkan penyebaran konsentrasi oksigen di suatu jaringan. Persamaan difusi diselesaikan dengan metode analitik yaitu teknik perturbasi, dan metode numerik yaitu teknik beda hingga. Dalam menyelesaikan persamaan tersebut, dikaji beberapa nilai laju konsumsi oksigen yang memenuhi prinsip kinetika Michaelis-Menten.

Hasil dari pendekatan analitik dan numerik menunjukkan kesesuaian.

Kata Kunci. Persamaan Difusi, Silinder Krogh.

i

(3)

ABSTRACT

OXYGEN DIFFUSION MODEL IN TISSUE REGION

By

KARTIKA YULIANTI NIM : 20106010

Oxygen plays an important role in cell metabolism inside a human’s body. The transfer of oxygen from blood to tissues takes place in capillaries by means of a diffusion process. A capillary-tissue region is usually modeled as Krogh Cylin- der. Based on this model, we derive an equation describing the distribution of oxygen concentration in a tissue region. The equation is then solved analyti- cally, by means of perturbation technique, and numerically by use of the finite difference technique. Some values of oxygen consumption rates are considered, which follow the Michaelis-Menten kinetics. Analytical and numerical results are both quite in agreement.

Keywords. Diffusion equation, Krogh Cylinder.

(4)

MODEL DIFUSI OKSIGEN DI JARINGAN TUBUH

Oleh

KARTIKA YULIANTI NIM : 20106010

Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung

Menyetujui Tanggal Juni 2008

Pembimbing

Dr. Agus Yodi Gunawan

(5)

PEDOMAN PENGUNAAN TESIS

Tesis S2 yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di Perpustakaan Ins- titut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di Institut Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya.

Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh tesis haruslah seizin Direktur Program Pascasarjana, Institut Teknologi Bandung.

(6)

Jagalah Allah, niscaya engkau mendapati-Nya dihadapanmu.

Kenalilah Allah di waktu lapang, niscaya Dia mengenalmu di saat sulit. Ketahilah bahwa apa yang luput darimu tidak bakal mengenaimu

dan apa yang mengenaimu tidak akan luput darimu. Ketahuilah bahwa bersama kesabaran ada kemenangan,

bersama kesusahan ada jalan keluar, dan bersama kesulitan ada kemudahan.

(H.R. Muslim)

K

Untuk Ibunda, Ayahanda, kakak, dan adikku tercinta

(7)

KATA PENGANTAR

Alhamdulillaahirabbil’alamiin, puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Il- lahi Rabbi yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Shalawat serta salam semoga selalu tercurah kepada teladan kita, Rasulullah SAW.

Tesis ini merupakan hasil penelitian yang mengkaji tentang penyebaran oksigen di suatu jaringan tubuh. Tesis ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar magister di program studi matematika Institut Teknologi Bandung.

Penulis menyadari bahwa karya ini tidak akan terwujud tanpa adanya dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Ibunda dan ayahanda yang telah memberikan do’a, perhatian, dukungan dan bimbingan kepada ananda.

2. Dr. Agus Yodi Gunawan, sebagai pembimbing, atas segala bimbingan, arahan, dan ilmu yang telah diberikan.

3. Dr. Yudi Suharyadi dan Dr. Sri Redjeki, selaku penguji seminar Tesis, yang telah memberikan masukan kepada penulis.

4. Seluruh staff pengajar Program Pasca Sarjana Matematika ITB yang telah memberikan bekal ilmu kepada penulis.

5. Seluruh staff Tata Usaha, Perpustakaan, Laboratorium Program Studi Matematika ITB.

6. Teman-teman mahasiswa S2 matematika ITB angkatan 2006 dan 2007, atas segala kebersamaan dan keceriaannya.

(8)

7. Diki Adam, atas segala bantuan dan dorongan.

Penulis menyadari bahwa tidak ada satupun buah karya manusia yang sem- purna di dunia ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun sebagai bahan perbaikan di masa yang akan datang. Akhirnya penulis berharap semoga tesis ini bermanfaat dan dapat memberi wawasan bagi para pembaca.

Bandung, Juni 2008 Penulis

vii

(9)

DAFTAR ISI

ABSTRAK i

ABSTRACT ii

PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS iv

KATA PENGANTAR vi

DAFTAR ISI viii

DAFTAR GAMBAR DAN TABEL x

DAFTAR SIMBOL xii

Bab I Pendahuluan 1

I.1 Latar Belakang Masalah . . . 1

I.2 Rumusan Masalah . . . 2

I.3 Tujuan Penulisan . . . 3

I.4 Sistematika Pembahasan . . . 3

Bab II Pemodelan 5 II.1 Pembuluh Kapiler . . . 5

II.2 Model Kapiler-Jaringan . . . 6

II.3 Penurunan Persamaan Difusi . . . 7

II.4 Persamaan Michaelis-Menten . . . 9

II.5 Syarat Batas . . . 9

Bab III Model Difusi Oksigen di Jaringan dengan Laju Konsumsi Konstan 10 III.1 Solusi Keadaan Tunak . . . 10

III.2 Solusi Keadaan Tidak Tunak . . . 14

(10)

III.2.1 Solusi Analitik . . . 16

III.2.2 Solusi Numerik . . . 19

Bab IV Model Difusi Oksigen di Jaringan dengan Laju Konsumsi Linier Terhadap Konsentrasi 22 IV.1 Keadaan Tunak . . . 22

IV.1.1 Jaringan yang Tipis . . . 25

IV.1.2 Jaringan yang Tebal . . . 27

IV.1.3 Koefisien Perpindahan Massa Tinggi . . . 28

IV.1.4 Koefisien Perpindahan Massa Menuju Nol . . . 30

IV.2 Keadaan Tidak Tunak dengan Aliran Darah Bersifat Pulsatil . . 30

Bab V Model Difusi Oksigen di Jaringan dengan Laju Konsumsi Berdasarkan Hukum Michaelis-Menten 36 V.1 Keadaan Tunak . . . 37

V.1.1 Ketunggalan dan Kepositifan Solusi . . . 37

V.1.2 Metode Numerik . . . 38

V.1.3 Metode Asimtotik . . . 39

V.2 Keadaan Tidak Tunak . . . 49

Bab VI Kesimpulan 51

DAFTAR PUSTAKA 53

Lampiran A 54

Lampiran B 56

Lampiran C 60

Lampiran D 61

Lampiran E 62

ix

(11)

DAFTAR GAMBAR DAN TABEL

A. DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1: Diagram Peredaran Darah . . . 1

Gambar 2.1: Pembuluh Darah . . . 5

Gambar 2.2: Pembuluh Kapiler . . . 6

Gambar 2.3: Model Silinder Krogh . . . 6

Gambar 2.4: Difusi . . . 7

Gambar 2.5: Penampang Kapiler-Jaringan . . . 9

Gambar 3.1: Silinder Kapiler-Jaringan . . . 12

Gambar 3.2: Grafik Konsentrasi Oksigen dalam Arah Radial untuk Laju Konsumsi Konstan . . . 13

Gambar 3.3: Grafik Konsentrasi Oksigen dalam Arah Aksial untuk Laju Konsumsi Konstan . . . 14

Gambar 3.4: Syarat Batas pada r = 1 . . . 16

Gambar 3.5: Grafik ˜s(r, 0) untuk 40 Suku Pertama . . . 18

Gambar 3.6: Perbandingan Solusi Analitik dan Numerik untuk t = 0 dan t = 10 . . . 20

Gambar 3.7: Penyebaran Konsentrasi Oksigen di Jaringan untuk Laju Konsumsi Konstan . . . 21

Gambar 4.1: Grafik Konsentrasi Oksigen dalam Arah Aksial untuk g(c) = k²c . . . 24

Gambar 4.2: Grafik Konsentrasi Oksigen dalam Arah Radial untuk g(c) = k²c . . . 25 Gambar 4.3: Grafik Konsentrasi Oksigen dalam Arah Aksial untuk _a^b → 1 26 Gambar 4.4: Grafik Konsentrasi Oksigen dalam Arah Radial untuk _a^b → 1 26 Gambar 4.5: Grafik Konsentrasi Oksigen dalam Arah Aksial untuk ^b_a → ∞ 27 Gambar 4.6: Grafik Konsentrasi Oksigen dalam Arah Radial untuk ^b_a → ∞ 28 Gambar 4.7: Grafik Konsentrasi Oksigen dalam Arah Radial untuk h → ∞ 29

(12)

Gambar 4.8: Grafik Konsentrasi Oksigen dalam Arah Aksial untuk h → ∞ 29 Gambar 4.9: Grafik ˜c(a, ˜t) untuk ca = 1 dan T1 = 0.5 . . . 31 Gambar 4.10: Skema Penyelesaian . . . 32 Gambar 4.11: Perbandingan Solusi Numerik dan Analitik . . . 35 Gambar 4.12: Proses Penyebaran Oksigen di Jaringan dengan Laju Kon-

sumsi Linier . . . 35 Gambar 5.1: Perbandingan Solusi Asimtotik Suku Pertama dan Numerik

untuk α = λ = 0.01, dan α = λ = 0.001 . . . 41 Gambar 5.2: Hubungan λ dan r . . . 42 Gambar 5.3: Grafik r₁ terhadap _λ¹ . . . 44 Gambar 5.4: Perbandingan Solusi Asimtotik Suku Pertama dan Numerik

α → 0, λ = O(1) . . . 46 Gambar 5.5: Perbandingan Solusi Asimtotik Suku Pertama dan Numerik

α = O(1), λ = 10, dan α = O(1), λ = 100 . . . 49 Gambar 5.6: Proses Penyebaran Konsentrasi Oksigen di Jaringan dengan

Laju Konsumsi Memenuhi Prinsip Kinetika Michaelis-Menten . 49 B. DAFTAR TABEL

Tabel 5.1: Nilai r₁ . . . 45

xi

(13)

DAFTAR SIMBOL

a : Jari-jari dinding kapiler.

b : Jari-jari dinding jaringan.

A : Koefisien kesetimbangan Reaksi (Michaelis-Menten).

B : Konstanta Michaelis.

˜

c : Konsentrasi Oksigen di jaringan.

˜

ck : Konsentrasi Oksigen di kapiler.

c_in : Konsentrasi di ujung awal Kapiler.

ca : Konsentrasi awal di dinding kapiler.

c_i : Konsentrasi di dinding kapiler.

Db : Koefisien difusi darah.

Dj : Koefisien difusi jaringan.

g0 : Konstanta laju konsumsi Oksigen.

h : Koefisien ketahanan perpindahan massa.

In : Fungsi Bessel Termodifikasi orde-n J : Fluks.

Jn : Fungsi Bessel orde-n

Kn : Fungsi Bessel Termodifikasi orde-n

˜

r : Posisi dalam arah radial.

˜t : Waktu.

T1 : Periode fungsi konsentrasi di dinding kapiler.

hui : Rata-rata kecepatan darah.

V : Volume.

Y_n : Fungsi Bessel orde-n

˜

z : Posisi dalam arah aksial.

θ : Posisi dalam arah angular.

κ : Koefisien linier laju konsumsi oksigen.

ε : Waktu yang diperlukan untuk perubahan konsentrasi dari ca ke ci.

∇² : Operator Laplace