i
PELABELAN TOTAL AJAIB TITIK PADA GRAF RODA
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh :
Anastasia Meilina Kristinawati NIM : 101414024
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
2015
ii
iii
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN
Finish what you have started. Don’t quit though it hard, keep trying and believe in your self “you are an absolute gem”
Dengan penuh syukur karya ini kupersembahkan kepada : Tuhan Yesus, Bunda Maria, dan Santo Yusuf Bapak, Ibu, dan adik-adikku
Para sahabat
v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 27 Februari 2015 Penulis,
Anastasia Meilina Kristinawati
vi ABSTRAK
Anastasia Meilina Kristinawati. 2015. Pelabelan Total Ajaib Titik pada Graf Roda. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Pelabelan Total Ajaib Titik atau Vertex Magic Total Labelings (VMTL) merupakan pemetaan bijektif 𝑓 dari 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) ke bilangan bulat positif 1,2,3, … , 𝑣 + 𝑒 dengan 𝑣 = 𝑉(𝐺) dan 𝑒 = 𝐸(𝐺) sedemikian sehingga untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑉(𝐺) berlaku 𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥𝑦 = 𝑘 untuk 𝑦 ∈ 𝑉(𝐺) yang berdekatan dengan 𝑥. Bilangan 𝑘 disebut konstanta ajaib. Graf roda 𝑊1,𝑛 merupakan graf yang dibangun dengan melakukan operasi join pada graf komplet 𝐾1 dengan graf sikel 𝐶𝑛 , dapat dinotasikan 𝑊1,𝑛 = 𝐾1+ 𝐶𝑛. Pada skripsi ini, graf 𝑊1,𝑛 akan disebut 𝑊𝑛. Tujuan penelitian ini adalah (1) mengetahui apakah graf roda memiliki Pelabelan Total Ajaib Titik, (2) mengetahui rentang nilai konstanta ajaib k, dan (3) mengetahui cara melabeli elemen graf roda 𝑊𝑛.
Batas nilai k ditentukan melalui perhitungan dasar dan perhitungan yang mempertimbangkan struktur graf roda, sehingga diperoleh batas nilai k,
13𝑛2+11𝑛+2
2 𝑛 +1 ≤ 𝑘 ≤ 17𝑛2+15𝑛+2
2 𝑛 +1 dan 𝑛+2 (𝑛+1)
2 ≤ 𝑘 ≤ 7𝑛 + 6. Setiap elemen pada graf roda berpeluang dilabeli dengan bilangan bulat positif 1,2,3, … , 𝑣 + 𝑒 , sehingga ada banyak cara melabeli setiap elemen. Pelabelan merupakan suatu fungsi bijektif, sehingga setiap bilangan hanya dapat digunakan sekali. Pelabelan dilakukan secara iteratif dengan melabeli sebuah jari-jari (spoke), dua buah sisi pada sikel (rim), dan satu buah titik (vertex) secara berulang. Ada banyak cara melabeli elemen graf roda sehingga dibutuhkan suatu algoritma pelabelan untuk graf roda. Algoritma pelabelan disimulasikan melalui program.
Graf roda dengan n besar ( n > 11 ) tidak dapat dilabeli. Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf roda ada jika 3 ≤ 𝑛 ≤ 11.
Kata kunci : pelabelan total ajaib titik, graf roda
vii ABSTRACT
Anastasia Meilina Kristinawati. 2015. Vertex-Magic Total Labelings of Wheel. Undergradute Thesis. Mathematics Education Study Program, Departement of Mathematics and Science, Faculty of Teacher Training and Education Science, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
Vertex-magic total labeling is a one-to-one function of f from 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) onto the integer 1,2, … , 𝑒 + 𝑣 with 𝑣 = 𝑉 and 𝑒 = 𝐸 if there is contant k so that for every 𝑥 ∈ 𝑉(𝐺), 𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥𝑦 = 𝑘 where the sum is over all the vertices y adjecent to x. The integer k called magic constant. Wheel 𝑊1,𝑛 is the join of 𝐾1 with 𝐶𝑛, that is 𝑊1,𝑛 = 𝐾1+ 𝐶𝑛. In this study, the wheel 𝑊1,𝑛 is called 𝑊𝑛. The purpose of this study were (1) to know whether the graph wheel has vertex-magic total labeling, (2) to know the interval magic constant k, and (3) to know how to label the elements of wheel 𝑊𝑛.
The feasiable range of k is determined by basic counting and computing
which consider to the structure of wheel, in order to obtain the interval of k,
13𝑛2+11𝑛+2
2 𝑛 +1 ≤ 𝑘 ≤ 17𝑛2+15𝑛+2
2 𝑛 +1 and 𝑛+2 (𝑛+1)
2 ≤ 𝑘 ≤ 7𝑛 + 6. Each element of wheel is labeled with positive integers 1,2,3, ..., 𝑣 + 𝑒, so there are many ways to label each element. Labeling is a one-to-one function, so that each label can only be used once. Labeling is started by attempting every possible label for spoke edge 𝑠1, rim edge 𝑟1 and 𝑟𝑛, also vertex 𝑣1 done iteratively. There are many ways to label the element of wheel therefore a labeling algorithm of wheel is needed.
Labeling algorithm is simulated through the Matlab 7.1 program. The large wheels (n > 11) cannot be labeled. 𝑊𝑛 has a vertex-magic total labeling if and only if 3 ≤ 𝑛 ≤11.
Keywords : vertex-magic total labeling, wheel
viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertandatangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma : Nama : Anastasia Meilina Kristinawati
No. Mahasiswa : 101414024
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul :
Pelabelan Total Ajaib Titik pada Graf Roda
Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di Internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal : 27 Februari 2015 Yang menyatakan,
Anastasia Meilina Kristinawati
ix
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan rahmat- Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “Pelabelan Total Ajaib Titik pada Graf Roda.” Penyusunan skripsi ini dimaksudkan untuk memperoleh gelar Sarjana Pendidikan pada Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Selama penyusunan skripsi ini banyak kesulitan dan hambatan yang penulis alami. Namun, dengan bimbingan dari berbagai pihak semua hambatan dan kesulitan dapat teratasi. Untuk itu, pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Rohandi, Ph. D selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
2. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito,S. Pd selaku Ketua Jurusan dan Ketua Program Studi Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
3. Bapak D. Arif Budi Prasetyo,S.Si.,M.Si selaku Dosen Pembimbing Skripsi yang telah berkenan memberikan bimbingan, masukan, dan pengarahan dengan penuh kesabaran selama penyusunan skripsi ini.
4. Para dosen penguji yang telah berkenan memberikan saran dan kritik yang membangun pada penyusunan skripsi ini.
5. Segenap Dosen Prodi Pendidikan Matematika yang telah mendidik, membagi pengetahuan dan pengalaman yang bermanfaat bagi penulis.
6. Bapak Sugeng, Bu Tari, dan Mas Arif atas segala bantuan, keramahan, dan kerja sama selama penulis menempuh studi dan menyelesaikan penyususn skripsi ini.
7. Bapak Yohanes Sugeng, Ibu Theresia Sutimah, dan adik-adikku Catharina Aprillia Dwi Wijayanti, Cyrillus Tri Adhie Pamungkas atas kasih sayang, doa, perhatian, dan semangat yang diberikan. Semoga skripsi ini bisa menjadi hadiah kecil yang membanggakan.
x
8. Teman-teman Pendidikan Matematika 2010 atas semangat, keceriaan, dan kebersamaan selama menempuh kuliah.
9. Bapak Dedacus Teja Heri Sujana dan Ibu Rosalia Unung Redi Wuryanti atas semangat, bantuan, dan kebersamaan selama di Sayidan.
10. Seluruh staf perpustakaan Universitas Sanata Dharma di Paingan atas bantuan, kerja sama, dan keramahan yang telah diberikan.
11. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu telah memberikan bantuan dan dukungan hingga proses penyususan skripsi ini selesai.
Akhirnya, penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca.
Yogyakarta, 27 Februari 2015 Penulis
Anastasia Meilina Kristinawati
xi DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... ii
HALAMAN PENGESAHAN ... iii
HALAMAN MOTTO ... iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... v
ABSTRAK ... vi
ABSTRACT ... vii
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ... viii
KATA PENGANTAR ... ix
DAFTAR ISI ... xi
DAFTAR GAMBAR ... xiii
DAFTAR TABEL ... xv
DAFTAR LAMPIRAN ... xvi
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang ... 1
B. Batasan Masalah... 5
C. Rumusan Masalah ... 5
D. Tujuan Penelitian ... 6
E. Manfaat Penelitian ... 6
F. Metode Penelitian... 6
G. Sistematika Penulisan Skripsi ... 7
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Pengertian Graf ... ... .9
B. Jenis – jenis Graf... ... 11
C. Isomorfik Graf...17
D. Pelabelan Graf... ...19
E. Dualitas Graf... ... 23
xii
F. Kerangka Berpikir... ... 25
BAB III PELABELAN TOTAL AJAIB TITIK PADA GRAF RODA A. Perhitungan Dasar Pelabelan Total Ajaib Titik ... 27
B. Interval Nilai Konstanta Ajaib Pelabelan Total Ajaib Titik... 30
C. Pelabelan Graf Roda pada n Besar (n > 11) dan 3 ≤ 𝑛 ≤ 11 ... 32
1. Pelabelan Graf Roda dengan n Besar (n > 11) ... 33
2. Pelabelan Graf Roda 𝑊𝑛 dengan 3 ≤ 𝑛 ≤ 11 ... 34
BAB IV ALGORITMA PELABELAN TOTAL AJAIB TITIK PADA GRAF RODA A. Proses Pelabelan Total Ajaib Titik pada Graf Roda ... 44
B. D iagram Alir Pelabelan Total Ajaib Titik pada Graf Roda ... 46
C. Deskripsi Algoritma Pelabelan Total Ajaib Titik pada Graf Roda ... 54
D. Simulasi Pelabelan ... 65
BAB V PENUTUP A. Kesimpulan ... 71
B. Saran ... 71
DAFTAR PUSTAKA ... 73
LAMPIRAN ... 74
xiii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Jembatan Königsberg ... 1
Gambar 1.2 Graf representasi Jembatan Königsberg ... 2
Gambar 1.3 Proses konversi citra sidik jari ke graf berbobot ... 3
Gambar 2.1 Tiga buah graf ... 9
Gambar 2.2 Graf berbobot ... 11
Gambar 2.3 Graf tak berhingga ... 12
Gambar 2.4 Graf tak berarah ... 13
Gambar 2.5 Graf berarah... 13
Gambar 2.6 Graf lengkap ... 14
Gambar 2.7 Graf sikel ... 14
Gambar 2.8 Graf teratur ... 15
Gambar 2.9 Graf roda ... 15
Gambar 2.10 Penamaan elemen graf roda ... 16
Gambar 2.11 Label elemen graf roda ... 16
Gambar 2.12 Graf isomorfik dan tidak isomorfik ... 17
Gambar 2.13 Contoh pelabelan 𝑊4 dengan k = 26 ... 18
Gambar 2.14 Pelabelan titik ... 19
Gambar 2.15 Pelabelan sisi ... 19
Gambar 2.16 Pelabelan total ... 20
Gambar 2.17 Pelabelan total ajaib titik pada 𝑊4 ... 21
Gambar 2.18 Pelabelan total ajaib sisi pada 𝑊6 ... 22
xiv
Gambar 2.19 Dual pelabelan pada Graf 𝐾4 ... 24
Gambar 3.1 Pelabelan total ajaib titik pada 𝑊4 ... 29
Gambar 3.2 Pelabelan pada 𝑊3 dengan k = 20 ... 35
Gambar 3.3 Pelabelan pada 𝑊3 dengan k = 21 ... 36
Gambar 3.4 Pelabelan pada 𝑊3 dengan k = 23 ... 37
Gambar 3.5 Pelabelan pada 𝑊3 dengan k = 24 ... 37
Gambar 3.6 Pelabelan pada 𝑊6, 𝑊7, dan 𝑊8 ... 40
Gambar 4.1 Proses pelabelan pada graf roda 𝑊𝑛 ... 46
Gambar 4.2 Diagram Alir Proses Pelabelan ... 47
Gambar 4.3 Diagram Alir Sub-Program Batas Nilai k ... 50
Gambar 4.4 Diagram Alir Sub-Program label_awal ... 51
Gambar 4.5 Diagram Alir Sub-Program label_tengah ... 53
Gambar 4.6 Diagram Alir Sub-Program label_akhir... 54
Gambar 4.7 (a)Tampilan awal pada command window ... 65
Gambar 4.7 (b)Tampilan input n pada command window ... 66
Gambar 4.7 (c)Tampilan akhir pada command window ... 66
Gambar 4.8 Berkas keluaran fungsi label_awal pada command window ... 67
Gambar 4.9 Ilustrasi berkas keluaran fungsi label_awal ... 67
Gambar 4.10 Berkas keluaran fungsi label_tengah pada command window .... 68
Gambar 4.11 Ilustrasi berkas keluaran fungsi label_tengah ... 68
Gambar 4.12 Berkas keluaran fungsi label_awal pada command window ... 69
Gambar 4.13 Ilustrasi berkas keluaran pelabelan n = 3 dengan k = 21 ... 69
xv
DAFTAR TABEL
Tabel 3.1 Kemungkinan Nilai Konstanta Ajaib k ... 31 Tabel 3.2 Banyaknya Pelabelan pada 𝑊3 ... 38 Tabel 4.1 Variabel yang digunakan dalam pelabelan ... 44
xvi
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1 : Berkas Keluaran Program label ... 74
Lampiran 2 : Listing Program label ... 75
Lampiran 3 : Listing Program label_awal ... 76
Lampiran 4 : Listing Program label_tengah ... 77
Lampiran 5 : Listing Program label_akhir ... 77
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Ada berbagai permasalahan dalam kehidupan sehari – hari yang dapat dimodelkan dalam diagram titik dan garis. Titik memperagakan objek permasalahan dan garis memperagakan hubungan antar objek. Pemodelan semacam ini secara khusus dipelajari dalam metematika pada pokok bahasan graf.
Teori graf muncul pertama kali pada tahun 1736 ketika seorang matematikawan Swiss bernama Leonhard Euler mencoba mencari solusi dari teka-teki Jembatan Königsberg. Ada tujuh jembatan yang dibangun di atas Kota Königsberg. Ketujuh jembatan tersebut dibangun di antara aliran Sungai Pregel, sehingga kota tersebut terbagi menjadi empat bagian seperti tampak pada gambar berikut (Munir, 2001).
Gambar 1.1 Jembatan Königsberg
Teka-teki jembatan Königsberg merupakan suatu pertanyaan yaitu apakah mungkin berjalan melewati ketujuh jembatan tepat satu kali dan kembali ke tempat semula. Pertanyaan ini menarik perhatian Euler yang kemudian mempresentasikan masalah tersebut dalam suatu diagram. Diagram tersebut terdiri dari empat simpul dan tujuh garis. Simpul A, B, C, dan D yang mempresentasikan keempat wilayah yang dilalui aliran Sungai Pregel, sedangkan tujuh buah garis yang mempresentasikan jembatan yang dibangun di atasnya. Diagram tersebut terlihat seperti gambar berikut
Gambar 1.2 Graf representasi Jembatan Königsberg
Menurut Euler, orang dapat melewati ketujuh jembatan itu tepat satu kali dan kembali ke tempat asal keberangkatan jika setiap titik berderajat genap.
Derajat suatu titik menyatakan banyaknya garis yang bersisian dengan titik tersebut. Pada gambar 2.1, titik C bersisian dengan sisi AC, BC, dan CD maka titik C berderajat 3. Titik B dan D berderajat tiga, sedangkan titik A berderajat lima. Karena A, B, C, dan D berderajat ganjil maka orang tidak dapat melewati ketujuh jembatan tepat satu kali dan kembali ke tempat asal keberangkatan.
Representasi semacam ini dirasakan manfaatnya pada berbagai bidang antara lain dalam perancangan jalur transportasi, optimasi jaringan komunikasi, pembuatan jadwal kuliah, model ikatan kimia, perancangan alur pengunjung pameran, perancangan jaringan elektrik, dll. Pada beberapa kasus, solusi dari permasalahan-permasalahan tersebut adalah dengan melakukan pelabelan pada sisi atau titiknya, sehingga dapat ditentukan bobot elemen yang dievaluasi.
Pelabelan graf merupakan kajian dalam teori graf yang berkembang dan banyak diteliti. Kajian ini pertama kali diperkenalkan oleh Sedláček pada tahun 1963. Kemudian dikembangkan Steward pada tahun 1966 dan pada tahun 1970, Kotzig dan Rosa membahasnya dengan istilah valuation (Wallis, 2001). Pelabelan graf juga mempunyai aplikasi yang cukup luas dalam berbagai bidang seperti x-ray, crystallography, teori koding, kriptografi, radar astronomi, desain sirkuit, dan desain jaringan komunikasi. Sebagai contoh sistem biometrik dengan sidik jari. Citra digital sidik jari dikonversi menjadi graf berbobot. Bobot setiap titik dikonversi menjadi kumpulan bit dan dapat digunakan sebagai alat autentifikasi (Fathoni,2011).
Gambar 1.3 Proses konversi citra sidik jari ke graf berbobot
Pelabelan graf merupakan pemetaan bijektif yang memetakan setiap elemen graf ke bilangan bulat positif. Beberapa jenis pelabelan menurut himpunan asalnya, yaitu pelabelan titik (vertex labelings), pelabelan sisi (edge labelings), dan pelabelan total (total labelings). Pelabelan titik merupakan pelabelan dengan himpunan asal berupa titik, pelabelan sisi adalah pelabelan dengan himpunan asal berupa sisi, sedangkan pelabelan total adalah pelabelan yang himpunan asalnya adalah titik dan sisi. Bila pelabelan yang dilakukan memenuhi nilai tertentu, maka pelabelan graf dibedakan menjadi dua yakni pelabelan ajaib (magic labelings) dan pelabelan tak–ajaib (antimagic labelings). Pada pelabelan ajaib, bobot elemen graf yang dievaluasi memenuhi suatu nilai tertentu. Nilai ini selalu tetap untuk semua elemen yang dievaluasi dan disebut konstanta ajaib.
Sedangkan pada pelabelan tak-ajaib, bobot elemen graf yang dievaluasi membentuk barisan aritmetika. Pada penelitian ini akan digunakan pelabelan total ajaib titik (vertex-magic total labelings). Pelabelan total ajaib titik merupakan pemetaan bijektif yang memetakan himpunan titik dan sisi ke himpunan bilangan bulat positif 1,2,3, … , 𝑣 + 𝑒 dimana 𝑣 dan 𝑒 secara berturut-turut menyatakan banyaknya titik dan sisi, sedemikian hingga jumlahan dari label titik dan sisi-sisi yang bersisian sama / konstan (Wallis, 2001).
Pelabelan total ajaib titik dikembangkan pada berbagai kelas graf, seperti graf sikel, graf lengkap, graf roda, dll. Sejauh ini MacDougall, dkk (2002)
menunjukkan bahwa pelabelan total ajaib titik pada graf roda ada jika 3 ≤ 𝑛 ≤ 11. Joseph A. Gallian (2014) menyatakan pelabelan total ajaib titik pada
graf roda ada jika 𝑛 ≤ 11. Namun, hasil yang ditunjukkan belum mencakup
semua pelabelan yang (mungkin) ada. Setiap sisi dan titik pada graf roda dapat dilabeli dengan label yang hadir, sehingga ada banyak cara melabelinya.
Perkembangan bidang komputasi dimanfaatkan untuk membantu menemukan pelabelan yang (mungkin) ada. Pada tahun 2008, Andrew Baker dan Joe Sawada membangun algoritma pelabelan total ajaib titik diperumum untuk graf sikel dan roda. Algoritma tersebut diwujudkan dalam suatu program dengan keluaran berupa hasil pelabelan yang tidak isomorfik. Karena alasan tersebut, penulis tertarik untuk mengkaji tentang pelabelan total ajaib titik pada graf roda. Kajian tersebut meliputi pelabelan total ajaib titik pada graf roda, interval nilai konstanta ajaib, dan cara melabeli sisi dan titik graf roda. Proses pelabelan dilakukan dengan membangun algoritma pelabelan dan mengaplikasikannya pada salah satu perangkat lunak.
B. Batasan Masalah
Pada skripsi ini akan dibahas graf roda dan pelabelan total ajaib titiknya pada konstanta ajaib tertentu. Algoritma pelabelan disimulasikan dengan program MATLAB 7.1 pada konstanta ajaib k yang mungkin.
C. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah di atas, rumusan masalah yang akan dibahas dalam tugas akhir ini adalah
1. Apakah pelabelan total ajaib titik berlaku pada graf roda?
2. Bagaimana rentang nilai konstanta ajaib yang terbentuk dalam pelabelan total ajaib titik pada graf roda?
3. Bagaimana cara melabeli sisi dan titik pada graf roda untuk nilai konstanta ajaib k?
D. Tujuan Penelitian
1. Mengetahui apakah pelabelan total ajaib titik berlaku pada graf roda 2. Mengetahui bagaimana rentang nilai konstanta ajaib yang terbentuk
dalam pelabelan total ajaib titik pada graf roda
3. Mengetahui cara melabeli sisi dan titik pada graf roda untuk nilai konstanta ajaib k
E. Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah
1. Menambah wawasan mengenai pelabelan total ajaib titik pada graf roda dan rentang nilai k yang terbentuk
2. Dapat melabeli sisi dan titik pada graf roda dengan menentukan nilai konstanta ajaibnya
F. Metode Penelitian
Penelitian dalam tugas akhir ini adalah penelitian pustaka (literature research) yang mengacu pada buku Magic Graph oleh W. D. Walis (2001), jurnal Magic Labelings on Cycle and Wheels oleh Andrew Baker dan Joe Sawada
(2008), dan A Dynamic Survey of Graph Labeling oleh Joseph A. Gallian (2014).
Penelitian ini menggunakan pendekatan kualitatif, sehingga pola pembahasan dimulai dari hal-hal khusus (induktif) menuju pada suatu generalisasi yang bersifat umum (deduktif). Secara garis besar langkah-langkah penelitian ini sebagai berikut :
1. Mengumpulkan literatur yang berhubungan dengan topik 2. Mempelajari topik
3. Menganalisa sifat-sifat pelabelan total ajaib titik 4. Membangun graf roda
5. Menentukan apakah pelabelan total ajaib titik berlaku pada graf roda, dan menentukan rentang nilai konstanta ajaibnya
6. Menentukan cara melabeli sisi dan titik pada graf roda untuk nilai konstanta tertentu
G. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan tugas akhir ini dibagi menjadi empat bagian, yaitu Bab I : Pendahuluan
Pada bab ini dijelaskan tentang latar belakang, rumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitan, dan sistematika penulisan.
Bab II : Kajian Pustaka
Pada bab ini dijelaskan mengenai teori graf dasar, jenis-jenis graf, pelabelan graf, dan kerangka berpikir.
Bab III : Pelabelan Total Ajaib Titik pada Graf Roda
Pada bab ini dianalisis mengenai perhitungan dasar untuk menentukan batasan nilai konstanta ajaib, rentang nilai konstanta ajaib berdasarkan struktur graf roda, dan pelabelan graf roda untuk 3 ≤ 𝑛 ≤ 11
Bab IV : Algoritma Pelabelan Total Ajaib Titik pada Graf Roda Algoritma pelabelan total ajaib titik pada graf roda dan simulasinya Bab V : Penutup
Pada bab ini dijelaskan kesimpulan dari pembahasan yang telah diuraikan pada bab sebelumnya serta saran-saran yang berkaitan dengan pembahasan tersebut.
9
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
A. Pengertian Graf
Suatu graf 𝐺 didefinisikan sebagai pasangan himpunan 𝑉, 𝐸 yang terdiri dari himpunan berhingga dan tak kosong dari simpul-simpul / titik-titik (vertices) dan himpunan sisi (edges) yang menghubungkan sepasang simpul.
Titik pada graf dinomori dengan huruf, angka, atau gabungan keduanya, contoh v, w,... atau 1, 2, 3,... atau 𝑣1, 𝑣2, ….. Sementara sisi yang menghubungkan titik u dan v dinyatakan dengan pasangan (u,v) atau dengan lambang 𝑒1, 𝑒2, …. Dengan demikian, jika e adalah sisi yang menghubungkan titik u dan v maka e dapat ditulis sebagai e = (u,v) (Munir, 2001).
Gambar 2.1 Tiga buah graf (a)graf sederhana, (b)graf ganda, (c)graf semu
𝑣2
𝑣1
𝑣4
𝑣3
(c) 𝐺1
𝑒7
𝑒5
𝑒4 𝑒1
𝑣2
𝑣1
𝑣4
𝑣3 𝑒2
𝑒3
𝑒6
(b) 𝐺2
𝑒7
𝑒5
𝑒4
𝑒1
𝑣2
𝑣1
𝑣3
𝑒2
𝑒3
𝑒6
(a) 𝐺3
𝑣4
𝑒8
Berikut ini beberapa istilah yang berkaitan dengan graf (Munir, 2001) : 1. Ketetanggan (Adjacent)
Titik u bertetangga dengan titik v jika keduanya terhubung langsung, sehingga e = (u,v).
Contoh :
Pada 𝐺1, titik 𝑣1 bertetangga dengan titik 𝑣2 dan 𝑣4, tapi tidak bertetangga dengan 𝑣3.
2. Bersisian (Incident)
Pada sembarang sisi e = (u,v) dikatakan e bersisian dengan titik u dan e bersisian dengan titik v. Jika e = (u,u) maka e adalah gelang / kalang (looping)
Contoh :
Pada 𝐺2, 𝑒1 bersisian dengan titik 𝑣1 dan 𝑣2, tapi tidak bersisian dengan 𝑣4. Pada 𝐺3 terdapat gelang 𝑒8.
3. Derajat (Degree)
Derajat titik v atau d(v) adalah banyak sisi yang bersisian dengan titik v.
Jika d(𝑣𝑖) = 0 maka 𝑣𝑖 disebut titik terisolasi (isolated vertex). Jika d(𝑣𝑖) = 1, maka 𝑣𝑖 disebut antingan (pendant vertex).
Pada sembarang gelang e = (u,u), d(u) = 2.
Contoh : Pada 𝐺3,
𝑣1 bersisian dengan sisi 𝑒1, 𝑒3, dan 𝑒4 sehingga 𝑑 𝑣1 = 3 𝑣2 bersisian dengan sisi 𝑒1, 𝑒2, dan 𝑒5 sehingga 𝑑 𝑣2 = 3
𝑣3 bersisian dengan sisi 𝑒5, 𝑒6, dan 𝑒7 sehingga 𝑑 𝑣3 = 3
𝑣4 bersisian dengan sisi 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4, 𝑒6, 𝑒7, dan gelang 𝑒8, maka 𝑑 𝑣4 = 7.
4. Graf Berbobot (Weighted Graph)
Graf berbobot adalah graf yang elemennya diberikan label. Bobot pada setiap sisi dapat merepresentasikan jarak antara dua kota, waktu tempuh dua kota, dll. Contoh :
Gambar 2.2 Graf berbobot
B. Jenis – jenis Graf
Berdasarkan cara pengelompokkannya, graf dapat dibedakan dalam beberapa jenis, antara lain :
1. Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, maka graf dikelompokkan menjadi dua jenis (Munir, 2001) :
a. Graf sederhana (simple graph)
Graf sederhana adalah graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi ganda. 𝐺1 pada gambar 2.1 (a) merupakan contoh dari graf sederhana.
a
10
9 12
e b
d c
8
11
14 15
b. Graf tak sederhana (unsimple graph)
Graf tak sederhana adalah graf yang mengandung gelang atau sisi ganda. Graf tak sederhana dibedakan menjadi dua macam, yakni
1.) Graf ganda (multigraph) adalah graf yang mengandung sisi ganda.
Graf 𝐺2 pada gambar 2.1(b) adalah contoh graf ganda
2.) Graf semu adalah (pseudograph) graf yang mengandung sisi ganda dan gelang. Graf 𝐺3 pada gambar 2.1(c) merupakan contoh graf semu.
2. Banyaknya titik atau sisi pada graf disebut kardinalitas graf dan dinyatakan dengan 𝑣 = 𝑉 dan 𝑒 = 𝐸 . Berdasarkan banyak titik pada suatu graf, maka graf dapat dikelompokkan menjadi dua macam, yakni : a. Graf berhingga (limited graph)
Graf berhingga adalah graf yang banyaknya titik dan sisi n berhingga.
Graf pada gambar 2.1 merupakan contoh graf berhingga.
b. Graf tak berhingga
Graf tak berhingga adalah graf yang banyak titik dan sisinya tidak terbatas.Contoh :
Gambar 2.3 Graf tak berhingga
3. Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dikelompokkan menjadi dua jenis, yakni :
a. Graf tak berarah (Undirect Graph)
Graf tidak berarah adalah graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah sehingga urutan pasangan titik yang dihubungkan tidak diperhatikan.
b. Graf berarah (Direct Graph)
Graf berarah adalah graf yang setiap sisinya diberi orientasi arah, sehingga urutan pasangan titik diperhatikan. Pada graf berarah (𝑣𝑖, 𝑣𝑗) berbeda dengan (𝑣𝑗, 𝑣𝑖), sebab pada (𝑣𝑖, 𝑣𝑗), 𝑣𝑖 adalah titik awal (initial vertex) dan 𝑣𝑗 merupakan titik terminal (terminal vertex).
Sementara pada (𝑣𝑗, 𝑣𝑖) berlaku sebaliknya. Sisi berarah pada graf berarah disebut busur (arc).
𝑒7 𝑒5
𝑒4 𝑒1
𝑣2
𝑣1
𝑣4
𝑣3
𝑒2
𝑒3
𝑒6
Gambar 2.4 Graf tak berarah
𝑣2
𝑣1
𝑣4
𝑣3
Gambar 2.5 Graf berarah
Selain pengelompokkan di atas, terdapat beberapa jenis graf sederhana khusus, antara lain :
1. Graf lengkap (Complete Graph)
Graf lengkap adalah graf sederhana yang setiap titiknya mempunyai sisi ke semua titik yang lain. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan 𝐾𝑛. Graf lengkap 𝐾𝑛 mempunyai sisi sebanyak 𝑛(𝑛−1)
2 . Berikut contoh graf lengkap:
2. Graf Sikel
Graf sikel 𝐶𝑛 merupakan graf sederhana yang setiap titiknya berderajat dua. Graf sikel dengan n buah simpul dilambangkan dengan 𝐶𝑛. Gambar berikut memperagakan graf sikel
3. Graf teratur (Regular Graph)
Graf teratur adalah graf yang setiap titiknya memiliki derajat yang sama. Graf lengkap 𝐾𝑛 adalah graf teratur berderajat (n– 1). Graf
𝐾1 𝐾2 𝐾3 𝐾4 𝐾5
Gambar 2.6 Graf lengkap
Gambar 2.7 Graf sikel
𝐶3 𝐶4 𝐶5
sikel 𝐶𝑛 adalah graf teratur berderajat 2. Berikut contoh graf teratur berderajat 3.
Penelitian dan pengembangan pokok bahasan graf, memunculkan beberapa jenis graf baru. Graf tersebut diperoleh dengan melakukan operasi union, join, penghapusan sisi atau titik (edge or vertex deleting) pada suatu graf.
Graf roda 𝑊1,𝑛 merupakan graf yang dibangun dengan melakukan operasi join pada graf lengkap 𝐾1 dengan graf sikel 𝐶𝑛 , dapat dinotasikan 𝑊1,𝑛 = 𝐾1+ 𝐶𝑛 (Buckley & Lewinter, 2002). Selanjutnya pada skripsi ini, graf 𝑊1,𝑛 akan disebut 𝑊𝑛 dengan n mengacu pada banyak titik pada graf sikel. Berikut beberapa contoh graf roda 𝑊𝑛 :
Dengan memperhatikan cara terbentuknya, graf roda 𝑊𝑛 memiliki titik sebanyak (𝑛 + 1) dan sisi sebanyak 2𝑛. Titik 𝑣1 sampai 𝑣𝑛 merujuk titik pada sikel. Sisi pada sikel disebut rim dan mendapatkan label 𝑟1 sampai 𝑟𝑛.
Gambar 2.8 Graf teratur
Gambar 2.9 Graf roda
𝑾𝟑 𝑾𝟒 𝑾𝟓
Setiap label rim berkorespondensi dengan label sisi 𝑒1 sampai 𝑒𝑛. Sisi yang menghubungkan titik pusat dengan titik pada sikel disebut spoke. Label spoke dapat dinyatakan pula dengan 𝑠𝑖 = ℎ𝑢𝑏, 𝑣𝑖 untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Pola penamaan secara grafis pada graf roda diperagakan pada gambar berikut (Baker dan Sawada, 2008):
Gambar 2.11 Label elemen graf roda
𝒓𝒏
𝒓𝒏−𝟏
𝒓𝒏−𝟐
𝒓𝟑 𝒓𝟏
𝒓𝟐
𝒉 𝒗𝟒
𝒔𝟏
𝒔𝟑 𝒔𝟒 𝒔𝒏
𝒔𝒏−𝟏 𝒔𝒏−𝟐
𝒗𝟐
𝒗𝟑
𝒗𝒏
𝒗𝒏−𝟏
𝒗𝒏−𝟐
𝒗𝟏
𝒔𝟐
Gambar 2.10 Penamaan elemen graf roda
Titik tengah (hub)
Jari-jari (spoke) Sisi
(rim) Simpul
(vertex)
C. Isomorfik Graf
Dua buah graf yang sama namun secara geometri tampak berbeda disebut isomorfik.
Graf 𝐺1 isomorfik dengan 𝐺2. Titik 1, 2, 3, dan 4 pada 𝐺1 berkorespondensi dengan titik a, b, c, dan d pada 𝐺2.
Sisi (1,2), (2,3), (3,1), (3,4), dan (2,4) pada 𝐺1 berkorespondensi dengan (a,b), (b,c),(c,d),(a,d),(a,c), dan (b,d) pada 𝐺2. Graf 𝐺1 dan 𝐺2 tidak isomorfik dengan 𝐺3. (Munir, 2001).
Graf G dan graf H dikatakan isomorfik, dinotasikan 𝐺 ≅ 𝐻, jika mereka dapat dilabeli sedemikian sehingga u dan v bertetangga pada graf G, jika dan hanya jika titik yang berkorespondensi juga bertetangga pada graf H. Bila pernyataan tersebut dinyatakan dengan konsep fungsi maka menjadi graf G dan graf H dikatakan isomorfik jika terdapat fungsi bijektif 𝑓: 𝑉(𝐺) → 𝑉(𝐻) sedemikian sehingga setiap pasangan titik u dan v yang bertetangga dalam G jika dan hanya jika f(u) dan f(v) juga bertetangga dalam H (Buckley &
v w
x y
d c
a b 3
1 2
4
(a)𝐺1 (b)𝐺2 (c)𝐺3
Gambar 2.12 Graf isomorfik dan tidak isomorfik
Lewinter, 2002). Dengan kata lain, bila dua graf dikatakan isomorfik, maka setiap titiknya memiliki derajat yang sama.
Pada pelabelan, graf G dan graf H disebut isomorfik jika terdapat fungsi bijektif f dari V(G) ke V(H) dimana a dan b adalah titik yang bertetangga pada G, jika dan hanya jika f(a) dan f(b) adalah titik bertetangga pada H.
Graf A dan B pada gambar 2.12 merupakan contoh dua buah graf yang isomorfik. Pada graf A dan B,
Titik dengan label 13 bertetangga dengan titik berlabel 1, 2, 3, dan 7 Titik dengan label 10 bertetangga dengan titik berlabel 11, 1, dan 4 Titik dengan label 8 bertetangga dengan titik berlabel 11, 2, dan 5 Titik dengan label 12 bertetangga dengan titik berlabel 5, 3, dan 6 Titik dengan label 9 bertetangga dengan titik berlabel 6, 7, dan 4.
Graf A dan B merupakan graf yang sama baik secara geometri maupun pelabelan.
Gambar 2.13 Contoh pelabelan 𝑊4 dengan k = 26
𝟗
𝟒 𝟔
𝟖
𝟐
𝟏𝟐 𝟑
𝟏𝟏 𝟓
𝟏𝟑 𝟏𝟎
𝟕 𝟏
𝟏𝟐
𝟔 𝟓
𝟏𝟎
𝟏
𝟖 𝟐
𝟒 𝟏𝟏
𝟏𝟑 𝟗
𝟑 𝟕
(a) (b)
D. Pelabelan Graf
Pelabelan graf merupakan fungsi bijektif yang memetakan setiap elemen graf ke bilangan bulat positif.
Menurut himpunan asalnya, terdapat tiga jenis pelabelan yaitu (Wallis, 2001):
1. Pelabelan titik (vertex labelings)
Pelabelan titik adalah pelabelan yang himpunan asalnya titik. Berikut contoh pelabelan titik.
2. Pelabelan sisi (edge labelings)
Pelabelan sisi adalah yang himpunan asalnya sisi.
Gambar 2.14 Pelabelan titik
4 2
3 1
5
1
4 4
2 3
8 5 7 6
Gambar 2.15 Pelabelan sisi
3 10
11
8
9 13
3. Pelabelan total (total labelings)
Pelabelan total adalah pelabelan yang domainnya titik dan sisi
Bobot elemen graf adalah hasil penjumlahan label yang dievaluasi dengan label elemen yang bersisian. Berikut ini contoh bobot titik x pada pelabelan f
𝑤𝑡 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥𝑦 Sementara, bobot sisi xy dinyatakan
𝑤𝑡 𝑥𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑦 + 𝑓(𝑥𝑦)
Menurut bobot elemen graf yang dievaluasi, terdapat dua jenis pelabelan yaitu 1. Pelabelan ajaib (magic labelings)
Pelabelan ajaib adalah suatu pelabelan dimana bobot setiap elemen yang dievaluasi sama / konstan.
2. Pelabelan tak-ajaib (antimagic labelings).
Pelabelan tak-ajaib adalah suatu pelabelan bobot elemen yang dievaluasi membentuk suatu barisan bilangan aritmetika.
1 7
2
6
12
5 4
Gambar 2.15 Pelabelan total
Berdasarkan himpunan asal, bobot, dan elemen graf yang dievalusi terdapat jenis pelabelan berikut :
1. Pelabelan total ajaib titik atau vertex-magic total labelings (VMTL)
Pelabelan total ajaib titik merupakan pemetaan bijektif 𝑓 dari 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) ke bilangan bulat positif 1,2,3, … , 𝑣 + 𝑒 dengan 𝑣 = 𝑉(𝐺) dan 𝑒 = 𝐸(𝐺) sedemikian sehingga untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑉(𝐺) berlaku 𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥𝑦 = 𝑘 untuk 𝑦 ∈ 𝑉(𝐺) yang berdekatan dengan 𝑥. Bilangan 𝑘 disebut konstanta ajaib (Wallis, 2001).
Pada pelabelan total ajaib titik, setiap elemen (sisi dan titik) dilabeli dengan bilangan bulat 1,2,3, … sampai sejumlah titik dan sisi dari graf yang bersangkutan. Label-label ditempatkan sedemikian sehingga setiap titik pada graf tersebut memiliki bobot yang sama. Bobot titik diperoleh dengan menambahkan label titik yang ditunjuk dengan semua label sisi yang bersisian.
Graf roda 𝑊4 pada gambar 2.16 memiliki konstanta ajaib 26. Titik dengan label 13 bersisian dengan sisi-sisi yang memiliki label 3, 2, dan 8, sehingga bobot titiknya adalah 13 + 8 + 2 + 3 = 26.
𝟏𝟏
𝟔 𝟓
𝟏𝟑
𝟐
𝟏𝟐 𝟏
𝟑 𝟖
𝟗 𝟕
𝟒 𝟏𝟎
Gambar 2.16 Pelabelan total ajaib titik pada 𝑊4
Titik dengan label 12 memiliki bobot 12 + 8 + 1 + 5 = 26.
Titik dengan label 11 memiliki bobot 11 + 5 + 4 + 6 = 26.
Titik dengan label 7 memiliki bobot 7 + 6 + 10 + 3 = 26 Titik dengan label 9 memiliki bobot 9 + 2 + 1 + 4 + 10 = 26.
2. Pelabelan total ajaib sisi atau edge-magic total labelings (EMTL)
Pelabelan total ajaib sisi merupakan pemetaan bijektif 𝑓 dari 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) ke bilangan bulat positif 1,2,3, … , 𝑣 + 𝑒 dengan 𝑣 = 𝑉(𝐺) dan 𝑒 = 𝐸(𝐺) sedemikian sehingga untuk setiap sisi 𝑥𝑦 ∈ 𝑉(𝐺) berlaku 𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥𝑦 + 𝑓 𝑦 = ℎ untuk setiap konstanta ajaib ℎ (Wallis, 2001).
Pada pelabelan total ajaib sisi, setiap elemen (sisi dan titik) dilabeli dengan bilangan bulat 1,2,3, … sampai sejumlah titik dan sisi dari graf.
Label-label ditempatkan sedemikian sehingga setiap sisi pada graf tersebut memiliki bobot yang sama. Bobot sisi diperoleh dengan menjumlahkan label sisi yang dievaluasi dengan semua label titik yang bertetangga dengan sisi tersebut.
12 1
14
2
15 4 17
19 7 6
8
18
9
11 5 16
13 3
10
Gambar 2.16 Pelabelan total ajaib sisi pada 𝑊6
Graf roda 𝑊6 pada gambar 2.16 memiliki konstanta ajaib 32.
Setiap sisi pada 𝑊6 memiliki bobot yang sama. Sisi dengan label 1 bertetangga dengan titik berlabel 12 dan 19, sehingga bobot sisinya adalah 1 + 12 + 19 = 32.
Sisi berlabel 14 memiliki bobot 14 + 12 + 6 = 32 Sisi berlabel 2 memiliki bobot 2 + 12 + 18 = 32 Sisi berlabel 15 memiliki bobot 15 + 12 + 5 = 32 Sisi berlabel 4 memiliki bobot 4 + 12 + 16 = 32 Sisi berlabel 17 memiliki bobot 17 + 12 + 3 = 32 Sisi berlabel 7 memiliki bobot 7 + 19 + 6 = 32 Sisi berlabel 8 memiliki bobot 8 + 6 + 18 = 32 Sisi berlabel 9 memiliki bobot 9 + 18 + 5 = 32 Sisi berlabel 11 memiliki bobot 11 + 5 + 16 = 32 Sisi berlabel 13 memiliki bobot 13 + 16 + 3 = 32 Sisi berlabel 10 memiliki bobot 10 + 3 + 19 = 32
E. Dualitas Graf
Pada suatu pelabelan graf teratur dapat dibentuk pelabelan baru dari pelabelan yang ada. Suatu pelabelan f dual dengan pelabelan f’ didefiniskan sebagai 𝑓′ 𝑥𝑖 = 𝑣 + 𝑒 + 1 − 𝑓 𝑥𝑖 untuk sembarang titik 𝑥𝑖
𝑓′ 𝑥𝑦 = 𝑣 + 𝑒 + 1 − 𝑓 𝑥𝑦 untuk sembarang sisi 𝑥𝑦
𝟖 𝟐
𝟒 𝟗
(a) (b)
𝟑 𝟓
𝟖
𝟔
𝟗 𝟔
𝟏𝟎
𝟕
𝟒 𝟑
𝟏
𝟓 𝟐
𝟏𝟎
𝟕 𝟏
Dengan demikian pelabelan f’ merupakan pelabelan bijektif dari 𝑉 ∪ 𝐸 ke bilangan positif 1,2,3, … , 𝑣 + 𝑒 dan pelabelan f’ disebut dual dari pelabelan f.
Pada pelabelan f, bobot elemen yang dievalusi dinyatakan sebagai konstanta ajaib k. Pada pelabelan f’ , bobot elemen tang dievalusi diperoleh dengan
𝑤𝑡′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 + 𝑓′(𝑥𝑦)
= 𝑣 + 𝑒 + 1 − 𝑓 𝑥 + 𝑣 + 𝑒 + 1 − 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑟 + 1 𝑣 + 𝑒 + 1 − 𝑘
dengan r adalah derajat titik x.
Graf lengkap 𝐾𝑛 merupakan graf teratur dengan berderajat (n – 1). Berikut contoh pelabelan pada 𝐾4 dan dual pelabelannya.
Graf pada gambar 2.17 (a) dual dengan graf pada gambar 2.17 (b). Graf lengkap 𝐾4 memiliki 𝑣 = 4 dan 𝑒 = 6, sehingga 𝑣 + 𝑒 = 10.
Label–label titik graf pada gambar 2.17 (b) diperoleh dari : 2 = 10 + 1 − 9
Gambar 2.17 Dual pelabelan pada 𝐾4
8 = 10 + 1 − 3 3 = 10 + 1 − 8 1 = 10 + 1 − 10
Label–label sisi graf pada gambar 2.17 (b) diperoleh dari : 7 = 10 + 1 − 4
5 = 10 + 1 − 6 6 = 10 + 1 − 5 9 = 10 + 1 − 2 4 = 10 + 1 − 7 10 = 10 + 1 − 1
Graf pada gambar 2.17 (a) memiliki konstanta ajaib 20, konstanta ajaib untuk graf pada gambar 2.17(b) adalah
𝑘′ = 3 + 1 10 + 1 − 20 𝑘′ = 24
F. Kerangka Berpikir
Graf roda merupakan graf sederhana yang dibangun dengan menambahkan satu titik di bagian tengah sikel dan menghubungkan titik tersebut dengan semua titik pada sikel. Graf roda memiliki n + 1 titik dan 2n sisi. Pelabelan merupakan fungsi bijektif yang memasangkan setiap elemen graf dengan bilangan bulat positif. Bila graf roda dikenakan pelabelan maka banyaknya label atau bilangan bulat positif yang hadir sebanyak 3n + 1. Pada pelabelan total ajaib titik, setiap label diletakkan sedemikian hingga bobot setiap titik
pada graf roda tersebut sama. Ada banyak variasi atau cara meletakkan label agar memperoleh bobot titik yang diingikan. Namun, pelabelan yang dilakukan pada graf roda tidak boleh menghasilkan graf roda yang isomorfik baik yang diakibatkan rotasi maupun refleksi. Sebab, pelabelan yang bersifat isomorfik hanya menunjuk satu cara pelabelan meskipun letak label nampak berbeda.
27
BAB III
PELABELAN TOTAL AJAIB TITIK PADA GRAF RODA
A. Perhitungan Dasar Pelabelan Total Ajaib Titik
Suatu pemetaan bijektif dari 𝑉 ∪ 𝐸 ke bilangan bulat positif 1,2,3, … , 𝑣 + 𝑒 disebut pelabelan total ajaib titik jika ada konstata k sehingga untuk setiap titik berlaku
𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥𝑦 = 𝑘 (1) dimana jumlahan label tersebut merupakan hasil penjumlahan label titik dengan semua label sisi dimana y bertetangga dengan x. Selanjutnya jumlahan label pada titik x merupakan bobot titik, sehingga dapat ditulis wt(x) = k untuk semua x. Selanjutnya, kata pelabelan pada skripsi ini merujuk pada pelabelan total ajaib titik.
Tidak semua graf memiliki pelabelan, contohnya graf 𝐾2 dengan yang hanya memiliki satu sisi xy, jika 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑦), maka 𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥𝑦 ≠ 𝑓 𝑦 + 𝑓(𝑥𝑦), sehingga tidak ada pelabelan yang mungkin (MacDougall, dkk, 2001).
MacDougall, dkk (2001) meneliti bahwa graf roda memiliki pelabelan.
Selanjutnya akan dijelaskan pelabelan yang ada pada graf roda.
Pada pelabelan ajaib, nilai konstanta ajaib k akan ditentukan terlebih dahulu. Melalui perhitungan dasar akan diperoleh batas nilai k, sehingga nilai k untuk pelabelan tertentu dapat ditentukan. Andaikan M = v + e dan 𝑆𝑣 adalah jumlah semua label titik serta 𝑆𝑒 adalah jumlah semua label sisi. Label adalah bilangan bulat 1,2,3, … , 𝑀, sehingga jumlah semua label adalah
𝑆𝑣 + 𝑆𝑒 = 𝑖
𝑀
1
= 𝑀 + 1 𝑀 2
Untuk setiap titik 𝑥𝑖 berlaku 𝑓 𝑥𝑖 + 𝑓 𝑥𝑖𝑦 = 𝑘. Dengan menjumlahkan label titik 𝑥𝑖 sebanyak 𝑣 dan ditambah dua kali jumlah semua label sisi, maka diperoleh
𝑆𝑣 + 2𝑆𝑒 = 𝑣𝑘 (2) Dengan mengombinasikan (1) dan (2) maka diperoleh
(𝑆𝑣+ 𝑆𝑒) + 𝑆𝑒 = 𝑣𝑘 1 + 2 + ⋯ + 𝑀 + 𝑆𝑒 = 𝑣𝑘 𝑀 𝑀+1
2 + 𝑆𝑒 = 𝑣𝑘 (3)
Berdasarkan persamaan (2), label sisi memberi sumbangan dua kali pada total konstanta ajaib, maka label sisi perlu diketahui lebih dahulu. Sementara label titik dapat ditentukan kemudian dengan mengurangi konstanta ajaib dengan label sisi yang hadir. Namun, hal ini tidak berlaku sebaliknya. Selanjutnya, untuk kepentingan pelabelan, batas 𝑆𝑒 perlu ditentukan. Batas bawah diperoleh dengan memberikan label terkecil sebanyak e sisi. Sementara itu batas atas nilai 𝑆𝑒 diperoleh dengan melabeli e sisi dengan label terbesar.
𝑒𝑖=1𝑖 ≤ 𝑆𝑒 ≤ 𝑒+𝑣𝑖=𝑣+1𝑖
1 + 2 + ⋯ + 𝑒 ≤ 𝑆𝑒 ≤ 𝑣 + 1 + 𝑣 + 2 + ⋯ + 𝑣 + 𝑒 𝑒 𝑒+1
2 ≤ 𝑆𝑒 ≤ 𝑣+𝑒 𝑣+𝑒+1
2 − 𝑣 𝑣+1
2 (4)
Batas nilai 𝑆𝑒 yang diperoleh dapat dimanfaatkan untuk memperoleh batas nilai konstanta ajaib. Dengan menggabungkan pertidaksamaan (3) dan (4) diperoleh
𝑒 𝑒+1
2 + 𝑣+𝑒 𝑣+𝑒+1
2 ≤ 𝑣𝑘 ≤ 𝑣+𝑒 𝑣+𝑒+1
2 − 𝑣 𝑣+1
2 + 𝑣+𝑒 𝑣+𝑒+1
2
𝑒 𝑒+1
2 + 𝑣+𝑒 𝑣+𝑒+1
2 ≤ 𝑣𝑘 ≤ 2 𝑣+𝑒 𝑣+𝑒+1
2 − 𝑣 𝑣+1
2 (5)
Pertidaksamaan (5) menyatakan interval nilai k yang memenuhi suatu pelabelan total ajaib titik pada suatu graf.
Secara keseluruhan, persamaan (1) menyatakan ketika nilai k diberikan dan label sisi telah diketahui, maka label titik dapat ditentukan. Jadi, pelabelan secara lengkap digambarkan oleh label sisi. Akibatnya, untuk konstanta ajaib yang sudah tertentu, sisi suatu graf dapat dilabeli dengan cara yang berbeda, meskipun label titiknya tidak diganti.
𝟒
𝟓 𝟏𝟐
𝟑 𝟗
𝟔
𝟏𝟎 𝟕
𝟖
𝟏𝟏
𝟐
𝟏
𝟏𝟑
𝟔
𝟓 𝟗
𝟑 𝟏𝟐 𝟒
𝟖 𝟕
𝟏𝟑
𝟏𝟏
𝟐
𝟏
𝟏𝟎
Gambar 3.1 Pelabelan total ajaib titik pada 𝑊4
Pelabelan total ajaib titik pada 𝑊4 yang terdapat pada gambar 3.2 merupakan contoh pelabelan total ajaib titik dengan nilai konstanta ajaib yang sama yakni 32 dan label titik yang sama, namun label sisinya berbeda. Hal ini menunjukkan bahwa label sisi memiliki peran penting dalam penggambaran suatu pelabelan, sehingga dalam suatu pelabelan total ajaib titik, label sisi perlu ditentukan terlebih dahulu.
B. Interval Nilai Konstanta Ajaib Pelabelan Total Ajaib Titik pada Graf Roda
Graf roda 𝑊𝑛 merupakan graf sederhana yang diperoleh dengan cara menghubungkan semua titik pada graf sikel 𝐶𝑛 ke titik baru yang disebut titik pusat (hub). Nilai n menyatakan banyaknya titik pada graf sikel𝐶𝑛. Graf roda 𝑊𝑛 memiliki 𝑛 + 1 titik dan 2𝑛 sisi. Titik 𝑣𝑖 sampai 𝑣𝑛 terletak pada sikel, sisi 𝑟𝑖 samapi 𝑟𝑛 berkorespondensi dengan sisi 𝑒𝑖 sampai 𝑒𝑛 . Jari – jari (spoke) menghubungkan titik pusat (hub) dengan setiap titik pada sikel dan terhitung sebagai sisi.
Berdasarkan pertidaksamaan (5) diperoleh interval nilai konstanta k untuk graf roda sebagai berikut :
2𝑛 2𝑛+1
2 + 3𝑛+1 3𝑛+2
2 ≤ (𝑛 + 1)𝑘 ≤ 2 3𝑛+1 3𝑛+2
2 − (𝑛+1) 𝑛 +2
2
13𝑛
2+11𝑛+2
2 ≤ 𝑛 + 1 𝑘 ≤17𝑛2+15𝑛+2
2
13𝑛
2+11𝑛+2
2 𝑛+1 ≤ 𝑘 ≤17𝑛2+15𝑛+2
2 𝑛+1 (6)
Dengan menyubstitusikan nilai n pada pertidaksamaan (6) maka diperoleh kemungkinan nilai k sebagai berikut :
Tabel 3.1 Kemungkinan Nilai Konstanta Ajaib k
n
ganjil Batas nilai k Kemungkinan nilai k
n
genap Batas nilai k Kemungkinan nilai k
3 19 ≤ 𝑘 ≤ 25 19,20,21,22,23,
24,25 4 25,4 ≤ 𝑘 ≤ 33,4 26,27,28,29,30, 31,32,33
5 31,83 ≤ 𝑘 ≤ 41,83 32,33,34,35,36,
37,38,39,40,41 6 38,28 ≤ 𝑘 ≤ 50.28
39,40,41,42,43, 44,45,46,47,48, 49,50
7 44,75 ≤ 𝑘 ≤ 58,75
45,46,47,48,49, 50,51,52,53,54, 55,56,57,58
8 51,22 ≤ 𝑘 ≤ 67,22
52,53,54,55,56, 57,58,59,60,61, 62,63,64,65,66, 67
9 57,7 ≤ 𝑘 ≤ 75,7
58,59,60,61,62, 63,64,65,66,67, 68,69,70,71,72, 73,74,75
10 64,18 ≤ 𝑘 ≤ 84,18
65,66,67,68,69, 70,71,72,73,74, 75,76,77,78,79, 80,81,82,83,84
11 70,67 ≤ 𝑘 ≤ 92,67
71,72,73,74,75, 76,77,78,79,80, 81,82,83,84,85, 86,87,89,90,91, 92
12 77,15 ≤ 𝑘 ≤ 101,53
78,79,80,81,82, 83,84,85,86,87, 88,89,90,91,92, 93,94,95,96,97, 98,99,100
... ... ... ... ... ...
Perhitungan dasar memberikan batas nilai k secara umum untuk semua jenis graf. Batas nilai konstanta k untuk graf roda dinyatakan oleh pertidaksamaan (6). Sementara kemungkinan nilai konstanta ajaib k pada setiap nilai n untuk graf roda dinyatakan pada tabel 3.1. Dalam prakteknya, tidak semua graf roda dapat dilabeli. Ada beberapa graf roda dengan n tertentu atau nilai k tertentu tidak memiliki pelabelan. MacDougall (2002) menyatakan interval dari nilai konstanta k yang ditunjukkan pertidaksamaan (6) diperoleh dan belum mempertimbangkan stuktur khusus pada graf yang bersangkutan. Dengan
demikian, perlu ada batasan nilai k yang telah disesuaikan dengan struktur graf yang bersangkutan, yakni struktur graf roda.
C. Pelabelan Graf Roda pada 𝒏 𝐁𝐞𝐬𝐚𝐫 ( 𝒏 > 11 ) dan 𝟑 ≤ 𝒏 ≤ 𝟏𝟏
Interval nilai kontanta ajaib k yang diperoleh dari perhitungan dasar menunjukkan ada pelabelan pada graf roda. Perhitungan dasar memberikan batas nilai konstanta k yang mungkin pada suatu graf secara umum.
Sementara, setiap kelas graf memiliki struktur yang berbeda-beda, sehingga kadang ditemui beberapa permasalahan seperti pada nilai n tertentu, graf roda tidak dapat dilabeli, ada nilai konstanta ajaib k yang tidak memiliki pelabelan, dll. Dengan demikian, perlu ada perhitungan khusus untuk menentukan batas nilai konstanta ajaib yang memepertimbangkan struktur graf yang bersangkutan.
Graf roda memiliki struktur yang berbeda dengan kelas graf yang lain.
Berdasarkan cara terbentuknya, setiap titik pada sikelnya berderajat tiga dan titik pusat berderajat n, menyesuaikan banyaknya nilai n. Setiap titik pada bagian sikel bersisian dengan tiga sisi yakni dua sisi di samping kanan dan kirinya serta satu jari-jari. Titik pusat graf roda memilki derajat n, sesuai dengan banyaknya titik pada sikel yang terhubung dengannya. Dengan kata lain, titik pusat memiliki derajat yang paling tinggi atau sama dengan titik pada sikel saat n = 3.
Derajat titik pusat menentukan suatu graf roda dapat dilabeli atau tidak.
Semakin besar derajatnya, makin besar juga nilai konstanta ajaibnya.
Sementara, label yang tersedia terbatas sehingga dimungkinkan pelabelan untuk n besar terbatas atau tidak ada pelabelan (MacDougal, 2002).
1. Pelabelan Graf roda dengan n besar (n > 11)
Graf roda 𝑊𝑛 memiliki titik sebanyak (n + 1) dan sisi sebanyak 2n, sehingga M = v + e = 3n + 1. Misal c adalah titik pusat dan 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 adalah titik pada sikel, sehingga
𝑘 ≥ 𝑤𝑡 ℎ
= 1 + 2 + ⋯ + 𝑛 + 1 = 𝑛+2 (𝑛+1)
2 (7) Pertidaksamaan (7) menyatakan batas bawah untuk bobot titik pusat dengan asumsi titik pusat memiliki derajat yang besar. Selanjutnya akan dihitung jumlah bobot titik pada sikel. Batas atas untuk jumlah bobot ini diperoleh dengan melabeli n sisi pada sikel dengan label besar. Label ini dihitung dua kali. Selanjutnya 2n label besar digunakan melabeli titik dan jari-jari, sehingga diperoleh
𝑤𝑡 𝑥1 + 𝑤𝑡 𝑥2 + ⋯ + 𝑤𝑡 𝑥𝑛 ≤ 𝑖 + 𝑖
3𝑛+1
2𝑛+2 3𝑛+1
2
= 2 3𝑛+1 (3𝑛+2)
2 − 2𝑛+1 (2𝑛+2)
2 − 1
= 𝑛(7𝑛 + 6) Dengan n titik pada sikel , maka diperoleh
𝑘 ≤ 7𝑛 + 6 (8) Nilai batas bawah lebih kecil dari batas atas, sehingga dapat ditulis
𝑛+2 𝑛+1
2 < 7𝑛 + 6 (9) Dengan menyederhanakan pertidaksamaan (9) diperoleh
𝑛 − 10
𝑛 < 11 (10) Saat nilai n > 11 pertidaksamaan (10) menjadi tidak benar. Dengan demikian, untuk n > 11 tidak ada pelabelan yang mungkin pada graf roda.
2. Pelabelan Graf roda 𝑊𝑛 dengan 3 ≤ 𝑛 ≤ 11
Graf roda 𝑊𝑛 merupakan hasil operasi join antara graf lengkap 𝐾1 dan graf sikel 𝐶𝑛. Nilai n terkecil untuk graf sikel adalah 3 sehingga nilai n terkecil untuk 𝑊𝑛 adalah 3. Pada pembahasan sebelumnya dinyatakan bahwa graf roda tidak dapat dilabeli bila 𝑛 > 11. Jadi, graf roda dapat dilabeli jika 3 ≤ 𝑛 ≤ 11 (Gallian, 2014).
Proses pelabelan yang dilakukan menemukan bahwa 𝑊3, 𝑊4, dan 𝑊5 dapat dilabeli dengan beberapa cara.
a. Pelabelan pada 𝑊3
Graf roda 𝑊3 isomorfik dengan graf lengkap 𝐾4 dan graf lengkap 𝐾4 merupakan graf teratur, maka 𝑊3 merupakan graf teratur. Dualitas pada graf teratur berlaku pada 𝑊3.
Graf roda 𝑊3 isomorfik dengan graf lengkap 𝐾4. Graf lengkap 𝐾4 merupakan graf teratur, maka graf roda 𝑊3 merupakan graf teratur.
sehingga dualitas juga berlaku pada 𝑊3.
