PENYELESAIAN PERSAMAAN DIOHPANTINE EKPSONENSIAL (4m 2 + 1) x + (5m 2 1) y = (3m) z DENGAN m > 90 DAN 3 m KARYA ILMIAH OLEH

(1)

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIOHPANTINE EKPSONENSIAL (4m ² + 1) ^x + (5m ² − 1) ^y = (3m) ^z

DENGAN m > 90 DAN 3 |m

KARYA ILMIAH

OLEH

GALIN NINA MARTA SELLA NIM. 1603115664

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU

PEKANBARU

2020

(2)

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIOHPANTINE EKPSONENSIAL (4m

²

+ 1)

^x

+ (5m

²

− 1)

^y

= (3m)

^z

DENGAN m > 90 DAN 3 |m

Galin Nina Marta Sella

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293

galin.nina5664@student.unri.ac.id

ABSTRACT

This article discusses the solution of the exponential Diophantine equation (4m

²

+ 1)

^x

+ (5m

²

− 1)

^y

= (3m)

^z

,

with m > 90 and 3 |m. The equation is solved by using some properties of exponential Diophantine equation and some results on primitive divisors of Lucas number. In this study it was found that the equation only has one solution, which is (x, y, z) = (1, 1, 2). This article is a review of article from Su and Li [Abstract and Applied Analysis, 2014 (2014), 1-5].

Keywords: Exponential Diophantine equation, properties of exponential Diophantine equation, divisibility, primitive divisors of Lucas number

ABSTRAK

Artikel ini membahas solusi dari persamaan Diophantine eksponensial (4m

²

+ 1)

^x

+ (5m

²

− 1)

^y

= (3m)

^z

,

dengan m > 90 dan 3 |m. Persamaan ini diselesaikan dengan menggunakan beberapa sifat persamaan Diophantine Eksponensial dan beberapa hasil dari pembagi primitif bilangan Lucas. Solusi persamaan tersebut hanya satu yaitu (x, y, z) = (1, 1, 2).

Artikel ini merupakan review dari artikel Su dan Li [Abstract and Applied Analysis, 2014 (2014), 1-5].

Kata kunci: Persamaan Diophantine eksponensial, sifat persamaan Diophantine

Eksponensial, keterbagian, pembagi primitif bilangan Lucas

(3)

1. PENDAHULUAN

Matematikawan Yunani yang berasal dari Alexandria, Diophantus, membuat sebuah karya berupa buku yang berjudul Arithmetica. Isi dari karyanya tersebut merupakan pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat persamaan.

Kemudian, persamaan tersebut dikenal dengan persamaan Diophantine yaitu persamaan yang memiliki koefisien dan solusi hanya berupa bilangan bulat.

Persamaan Diophantine memiliki banyak bentuk persamaan salah satunya yaitu persamaan Diophantine eksponensial, yang merupakan fungsi polinom berderajat lebih dari satu. Bentuk umum dari persamaan Diophantine eksponensial adalah

a

^x

+ b

^y

= c

^z

, (1)

dengan a, b, c ∈ Z dan x, y, z ∈ N. Jika a = 4m

²

+ 1, b = 5m

²

− 1, dan c = 3m dengan m ∈ N maka persamaan (1) menjadi

(4m

²

+ 1)

^x

+ (5m

²

− 1)

^y

= (3m)

^z

. (2) Pada tahun 2012 seorang peneliti bernama Terai[8] menyelesaikan persamaan (2), dengan hanya satu solusi yaitu (x, y, z) = (1, 1, 2) ketika m ∈ N dan m ≤ 20.

Penyelesaian persamaan tersebut dilakukan dengan menggunakan metode elementer dan metode Baker’s.

Pada artikel ini ditunjukkan bahwa persamaan (2) dengan syarat yang berbeda dari Terai[8] berupa m > 90 dan 3 |m juga hanya memiliki satu solusi yaitu (x, y, z) = (1, 1, 2). Penyelesaian persamaan tersebut menggunakan beberapa sifat persamaan Diophantine eksponensial dan beberapa hasil dari keberadaan pembagi primitif bilangan Lucas. Penjelasan mengenai aturan pembagi primitif bilangan Lucas telah dijelaskan oleh Bilu et al.[1] dan Voutier[9].

Artikel ini merupakan review dari artikel Su dan Li[7]. Untuk penyajian ini, diberikan pada bagian kedua pembagi primitif bilangan Lucas dan bagian ketiga menentukan solusi persamaan Diophantine eksponensial.

2. PEMBAGI PRIMITIF BILANGAN LUCAS

Yuan[10] menjelaskan bahwa sebuah pasangan Lucas (α, β) adalah bilangan komplek sedemikian sehingga α + β dan αβ merupakan relatif prima dan α/β bukan root of unity. Untuk (α, β) adalah pasangan Lucas maka urutan bilangan Lucas yang sesuai yaitu

L

_n

(α, β) = α

ⁿ

− β

ⁿ

α − β , n = 0, 1, 2, . . . .

Selanjutnya, Voutier[9] menjelaskan tentang pembagi primitif seperti yang

tertera pada definisi berikut.

(4)

Definisi 1 Bilangan prima p dikatakan pembagi primitif dari bilangan Lucas L

n

jika p membagi L

_n

(α, β) tetapi p tidak membagi(α − β)

²

L

₁

(α, β) . . . L

_n₋₁

(α, β).

Kemudian, hasil dari pembagi primitif bilangan Lucas dapat dilihat pada artikel Bilu et.al[1] dan Voutier[9].

3. PERSAMAAN DIOPHANTINE EKSPONENSIAL

Le[6] membahas lema yang menentukan solusi persamaan Diophantine eksponensial sebagai berikut

Lema 2 [6] Jika (X, Y, Z) adalah solusi dari persamaan

D

₁

X

²

+ D

₂

Y

²

= k

^Z

X, Y, Z ∈ Z, (3) dengan min {D

1

, D

₂

, k } > 1, gcd(D

1

, D

₂

) = gcd(k, 2D

₁

D

₂

) = gcd(X, Y ) = 1, dan Z > 0, maka terdapat secara tunggal bilangan bulat positif l yang memenuhi

l ≡ − D

₁

X

Y (mod k), l < k. (4)

Kemudian, bilangan bulat positif l disebut bilangan karakteristik dari solusi (X, Y, Z) yang memiliki notasi ⟨X, Y, Z⟩.

Lema 3 [6] Misalkan S merupakan himpunan semua solusi (X, Y, Z) dari persamaan (3) dengan ⟨X

1

, Y

₁

, Z

₁

⟩ ≡ ±l(mod k), sehingga berlaku

(i) S memiliki solusi tunggal (X

1

, Y

1

, Z

1

) dengan X

1

> 0, Y

1

> 0 dan Z

1

≤ Z.

(ii) Setiap elemen (X, Y, Z) dari S dapat dinyatakan sebagai berikut

Z = Z

₁

t, t ∈ N, 2 - t, (5)

X √

D

₁

+ Y √

−D

2

=λ

₁

(X

₁

√

D

₁

+ λ

₂

Y

₁

√

−D

2

)

^t

, λ

₁

, λ

₂

∈ {±1}. (6) Lema 4 [6] Misalkan D, k ∈ N dengan min{D, k} > 1 dan gcd(k, 2D) = 1 maka setiap solusi (X, Y, Z) dari persamaan

X

²

+ DY

²

= k

^Z

, X, Y, Z ∈ Z, (7) dengan gcd(X, Y ) = 1 dan Z > 0 dapat dinyatakan sebagai berikut

Z = Z

₁

t, t ∈ N, (8)

X + Y √

−D = λ

1

(X

₁

+ λ

₂

Y

₁

√

−D)

^t

, λ

₁

, λ

₂

∈ {±1}, (9) dengan X

₁

, Y

₁

, Z

₁

merupakan bilangan bulat positif yang memenuhi

X

₁²

+ DY

₁²

= k

^Z¹

,

gcd(X

1

, Y

1

) = 1, h( −4D) ≡ 0(mod Z

1

),

(5)

dengan h( −4D) adalah kelas bilangan primitif kuadratik imajiner dari diskriminan

−4D.

Daftar nilai h( −4D) dapat dilihat pada [3]. Berikut diberikan proposisi yang berkaitan dengan h( −4D).

Proposisi 5 [2] Untuk setiap D ≥ 1 dan D ∈ Z berlaku h( −4D) < 4

π

√ Dlog(2e √

D), (10)

Diketahui bahwa himpunan bilangan prima P yang membagi a dengan a merupakan bilangan bulat dinotasikan oleh P (a). Berikut ini lema persamaan Diophantine eksponensial yang menggunakan pembagi primitif bilangan Lucas.

Lema 6 [7] Jika (X, Y, Z) merupakan solusi dari persamaan (7) dengan P ( |Y |) ⊆ P (D) dan D > 1, maka h( −4D) ≡ 0(mod Z) kecuali untuk kasus

(i) t ∈ {2, 3, 4, 6}, dengan t didefinisikan seperti persamaan (8), (ii) (D, k, X, Y, Z) = (10, 11 ± 401, ±5, 5), (19, 55, ±22434, ±1, 5),

(341, 377, ±2759646, ±1, 5), (6, 7, ±2399, ±40, 8), (2, 3, ±207, ±90, 10).

3. MENENTUKAN SOLUSI PERSAMAAN DIOHPANTINE EKSPONENSIAL

Sebelum menyelesaikan persamaan (2) diberikan lema berikut

Lema 7 [7] Jika min {D

1

, D

₂

} ≥ 4, 3 - D

1

D

₂

dan gcd(D

₁

, D

₂

) = 1, maka D

₁^r

√

D

₁

+ D

₂^s

√

−D

2

= λ

₁

( √

D

₁

+ λ

₂

√

−D

2

)

^t

, λ

₁

λ

₂

∈ {±1}, dengan r, s, t ∈ Z, r ≥ 0, s ≥ 0, t > 1, dan 2 - t tidak terpenuhi.

Diketahui x, y, z ∈ N merupakan solusi dari persamaan (2). Persamaan tersebut akan diselesaikan dengan menggunakan kontradiksi. Andaikan (x, y, z) ̸=

(1, 1, 2) dan sebelum menyelesaikan persamaan (2) diberikan lema dibawah ini.

Lema 8 Jika m > 90, maka 2 - y, 2 - m dan x ≥ (m

²

− 10)/4.

Bukti. Oleh karena min {x, y} > 1 maka dari persamaan(2) diperoleh z ≥ 2,

(4m

²

+ 1)

^x

≡ 1(mod m

²

), (11)

dan

(5m

²

+ 1)

^y

≡ (−1)

^y

(mod m

²

). (12)

(6)

Dengan menggunakan Teorema 4.4[5, h. 218] dan Teorema 4.2[5, h. 213]

dari persamaan (2), (11), dan (12) dengan z ≥ 2 menghasilkan

1 + ( −1)

^y

≡ 0(mod m

²

), (13)

karena m > 90 dan persamaan (13) terpenuhi, maka haruslah

2 - y. (14)

Selanjutnya, karena (x, y, z) ̸= (1, 1, 2) maka max{x, y} ≥ 2 sehingga dari persamaan (2) diperoleh (3m)

^z

> (4m

²

+1)

²

> (4m

²

)

²

= 16m

⁴

dan berdasarkan sifat pertidaksamaan haruslah (3m)

^z

> 16m

⁴

. Hal ini menunjukkan z yang memenuhi adalah

z ≥ 4. (15)

Kemudian, karena x ≥ 2 dan 2 - y maka dari persamaan (2) diperoleh

(4m

²

+ 1)

^x

≡ 4xm

²

+ 1(mod m

⁴

), (16) dan

(5m

²

− 1)

^y

≡ 5ym

²

− 1(mod m

⁴

), (17) Dengan menggunakan Teorema 4.4[5, h. 218] dan Teorema 4.2[5, h. 213] ke persamaan (2), (15), (16), dan (17) dengan m

²

|m

⁴

menghasilkan

(4x + 5y) ≡ 0(mod m

²

), (18)

andaikan 2 |m dari persamaan (18) diperoleh 2|y kontradiksi dengan persamaan (14) sehingga

2 - m.

Oleh karena 4x + 5y merupakan bilangan bulat positif maka dari persamaan (18) diperoleh

4x + 5y ≥ m

²

, (19)

karena y ≥ 2 maka dari pertidaksamaan (19) diperoleh x ≥ m

²

− 10

4 . (20)

Jadi terbukti jika m > 90, maka 2 - y, 2 - m, dan x ≥ (m

²

− 10)/4.

Teorema 9 Jika m > 90 dan 3 |m, maka persamaan (2) hanya memiliki satu solusi (x, y, z) = (1, 1, 2).

Bukti. Berdasarkan Lema 8 diperoleh 2 - m dan 2 - y. Selanjutnya, dibuktikan

dengan membagi 2 kasus, yaitu ketika 2 - x dan 2|x.

(7)

Kasus 1 Untuk 2 - x. Dengan mensubstitusikan D

1

= 4m

²

+ 1, D

2

= 5m

²

− 1, dan k = 3m ke persamaan (3) menghasilkan

(4m

²

+ 1)X

²

+ (5m

²

− 1)Y

²

= (3m)

^Z

, (21) dengan X, Y, Z ∈ Z, gcd(X, Y ) = 1, dan Z > 0. Dengan menyamakan persamaan (2) dan persamaan (21) diperoleh

(X, Y, Z) = ((4m

²

+ 1)

^x⁻¹²

, (5m

²

− 1)

^y⁻¹²

, z). (22) Selanjutnya, berdasarkan Lema 2 terdapat l yang memenuhi persamaan (4).

Dengan mensubstitusikan X, Y, D

₁

dan k ke persamaan (4) diperoleh

l ≡ − (4m

²

+ 1)

^x+1²

(5m

²

− 1)

^y⁻¹²

≡ (−1)

^(y+1)²

= ±1(mod 3m). (23) Langkah selanjutnya dimisalkan persamaan (21) memiliki solusi lain yaitu

(X

₁

, Y

₁

, Z

₁

) = (1, 1, 2), (24) lalu dengan mensubstitusikan X

₁

, Y

₁

, D

₁

, dan k ke persamaan (4) menghasilkan

l

^′

≡ −(4m

²

+ 1)(mod 3m),

karena 3m |m

²

maka dengan menggunakan Teorema 4.2[5, h. 213] diperoleh

l

^′

≡ −1(mod 3m). (25)

Selanjutnya, karena persamaan (23) berlaku maka persamaan (25) menjadi l

^′

≡ ±l(mod 3m),

dengan begitu berdasarkan Lema 3 diperoleh bahwa persamaan (22) dan persamaan (24) adalah himpunan S yang merupakan solusi dari persamaan (21). Dengan mensubstitusikan Z

₁

= 2 ke persamaan (5) diperoleh

Z = 2t,

dengan t ∈ N dan 2 - t. Oleh karena

^Z₂

= t dan 2 - t maka 2 -

^Z₂

. Lalu, dengan mensubstitusikan D

₁

, D

₂

, X, Y , X

₁

, Y

₁

, dan t =

^Z₂

ke persamaan (6) diperoleh

(4m

²

+ 1)

^x⁻¹²

√

4m

²

+ 1 + (5m

²

− 1)

^y⁻¹²

√

−(5m

²

− 1)

= λ

₁

( √

4m

²

+ 1 + λ

₂

√

−(5m

²

− 1))

^z²

, (26)

(8)

dengan λ

1

, λ

2

∈ {±1}. Selanjutnya karena 3|m maka 3|m

²

dan menghasilkan (4m

²

+ 1)(5m

²

− 1) ≡ −1(mod 3),

sehinga berdasarkan Definisi modulo[5, h. 212] diperoleh 3 - (4m

²

+ 1)(5m

²

− 1), dengan begitu berdasarkan Lema 7 persamaan (26) tidak berlaku untuk 2 - x.

Kasus 2 Untuk 2 |x. Dengan mensubstitusikan D = 5m

²

− 1 dan k = 3m ke persamaan (7) diperoleh

X

²

+ (5m

²

− 1)Y

²

= (3m)

^Z

, X, Y, Z ∈ Z, (27) dengan gcd(X, Y ) = 1. Selanjutnya, dengan menyamakan persamaan (2) dan (27) maka diperoleh solusi dari persamaan (27) yaitu

(X, Y, Z) = ((4m

²

+ 1)

^x²

, (5m

²

− 1)

^y−1²

, z). (28) Dengan mensubstitusikan persamaan (28) dan D ke persamaan (9) diperoleh

(4m

²

+ 1)

^x²

+ (5m

²

− 1)

^y−1²

√

−(5m

²

− 1)

= λ

1

(X

1

+ λ

2

Y

1

√ −(5m

²

− 1))

^t

, (29)

dengan λ

₁

, λ

₂

∈ {±1} dan t ∈ N. Oleh karena t ∈ N, maka t memenuhi kasus 2|t dan t = 3.

(i) Jika 2 |t, maka dengan mensubstusikan t = 2 dan λ

²2

= 1 ke persamaan (29) diperoleh

(4m

²

+1)

^x²

+ (5m

²

− 1)

^y⁻¹²

√

−(5m

²

− 1)

= X

₁²

λ

₁

− Y

1²

(5m

²

− 1)λ

1

+ 2X

₁

Y

₁

λ

₁

λ

₂

√

−(5m

²

− 1), (30) karena persamaan (30) berlaku maka diperoleh

(4m

²

+ 1)

^x²

= X

₁²

λ

₁

− Y

1²

(5m

²

− 1)λ

1

, (31) dan

(5m

²

− 1)

^y−1²

= 2X

₁

Y

₁

λ

₁

λ

₂

. (32) Selanjutnya, mensubstitusikan X

₁

= ±1 dan λ

1

, λ

₂

∈ {±1} ke persamaan (32) diperoleh

Y

₁

= ± (5m

²

− 1)

^y⁻¹²

2 . (33)

Dengan mensubstitusikan X

₁

= ±1 dan persamaan (33) ke ruas kanan per-

(9)

samaan (31) menghasilkan

(4m

²

+ 1)

^x²

= λ

₁

(

1 −

( (5m

²

− 1)

^y

4 ))

. (34)

Kemudian, karena 2 |x dan 2 - y maka dengan menggunakan Teorema 4.2[5, h. 213] dan persamaan (34) diperoleh

1 ≡ λ

1

( 1 −

( (5m

²

− 1)

^y

4 ))

≡ λ

1

+ λ

₁

1 4 (mod m

²

). (35) Dengan menggunakan Definisi modulo[5, h. 212] pada persamaan (35) menghasilkan

m

²

|1 − λ

1

− λ

1

1 4 = 4 − 5λ

1

4 ,

karena λ

₁

, λ

₂

∈ {±1} dan m > 90 maka tidak mungkin berlaku m

²

|

⁴^−5λ₄ ¹

sehingga diperoleh 2 - t.

(ii) Jika t = 3 maka dengan argumen yang sama seperti kasus (i) diperoleh kontradiksi sehingga

t ̸= 3.

Kemudian, karena 2 - y, y ̸= 1, y ∈ N dari persamaan (28) diperoleh Y = |Y | = (5m

²

− 1)

^y⁻¹²

dan menghasilkan

P ( |Y |) ⊆ P (5m

²

− 1), (36)

karena 2 - t, t ̸= 3, Z = z, dan persamaan (36) berlaku maka berdasarkan Lema 6 diperoleh h( −4(5m

²

− 1)) ≡ 0(mod z) sehingga

z ≤ h(−4(5m

²

− 1)), (37)

dengan menerapkan pertidaksaman (10) ke pertidaksamaan (37) diperoleh z < 4

π

√ 5m

²

− 1log(2e √

5m

²

− 1). (38)

Disisi lain, dari persamaan (2) diketahui

(3m)

^z

> (4m

²

+ 1)

^x

> (2m)

^2x

, (39) dengan menggunakan sifat logaritma pada pertidaksamaan (39) menghasilkan

z > 2xlog(2m)

log(3m) . (40)

(10)

Selanjutnya pertidaksamaan (20) disubstitusikan ke pertidaksamaan (40) diperoleh

z > (2m

²

− 20)log(2m)

4log(3m) . (41)

Dari pertidaksamaan (38) dan (41) diperoleh (2m

²

− 20)log(2m)

log(3m) <

( 16 π

√ 5m

²

− 1log(2e √

5m

²

− 1) )

. (42)

Tetapi, ketika m > 90 maka pertidaksamaan (42) tidak berlaku dengan begitu kasus 2 tidak terpenuhi. Oleh karena kedua kasus untuk 2 - x dan 2|x tidak tepenuhi, maka tidak ada (x, y, z) ̸= (1, 1, 2) sebagai solusi dari persamaan (2) sehingga persamaan (2) hanya memiliki satu solusi yaitu (x, y, z) = (1, 1, 2).

Contoh 1 Misalkan m = 102, kemudian akan ditunjukkan persamaan (2) terpenuhi ketika (x, y, z) = (1, 1, 2). Dengan mensubstitusikan m dan (x, y, z) ke persamaan (2) diperoleh

(4m

²

+ 1)

^x

+ (5m

²

− 1)

^y

= (3m)

^z

, (4(102)

²

+ 1)

¹

+ (5(102)

²

− 1)

¹

= (3(102))

²

, (4(10404) + 1) + (5(10404) − 1) = (306)

²

,

41617 + 52019 = 93636, 93636 = 93636,

terbukti persamaan (2) terpenuhi ketika m = 103 dan (x, y, z) = (1, 1, 2).

Contoh 2 Misalkan m = 93, kemudian akan ditunjukkan persamaan (2) tidak terpenuhi ketika (x, y, z) = (2, 2, 1). Dengan mensubstitusikan m dan (x, y, z) ke persamaan (2) diperoleh

(4m

²

+ 1)

^x

+ (5m

²

− 1)

^y

= (3m)

^z

, (4(93)

²

+ 1)

²

+ (5(93)

²

− 1)

²

= (3(93))

¹

, (4(8649) + 1)

²

+ (5(8649) − 1)

²

= 279,

(34597)

²

+ (43244)

²

= 279, 1196952409 + 1870043536 ̸= 279,

terbukti persamaan (2) tidak terpenuhi ketika m = 93 dan (x, y, z) = (2, 2, 1).

9. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan yang telah dibahas sebelumnya menunjukkan persamaan

(11)

Diophantine eksponensial

(4m

²

+ 1)

^x

+ (5m

²

− 1)

^y

= (3m)

^z

,

hanya memiliki satu solusi. Dari penelitian ini diperoleh bahwa solusi yang dimiliki persamaan tersebut sama seperti yang dibahas oleh Terai[8] yaitu (x, y, z) = (1, 1, 2), meskipun menggunakan syarat yang berbeda untuk nilai m. Pada artikel ini dibahas ketika syaratnya m > 90 dan 3 |m sedangkan Terai[8] menggunakan syarat ketika m ≤ 20.

Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Musraini M., M.Si. yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Y. Bilu, G. Hanrot, dan P. M. Vountier, Existence of primitive divisors of Lucas and Lehmer numbers, Journal fur die Reine und Angewandle Mathematics, 539 (2001), 75-122.

[2] Y. Bugeaud, dan T. N. Shorey, On the number of solutions of the generalized Ramanujan-Nagell equation, Journal fur die Reine und Angewandle Mathemat- ics, 539 (2001), 55-74.

[3] H. Cohen, A Course in Computational Algebraic Number Theory, Springer, Berlin, 1996.

[4] B. He, A.Togbe, dan S.Yang, On the solution of the exponential Diophantine equation a

^x

+ b

^y

= (m

²

+ 1)

^z

, Quaestiones Mathematicae, 35 (2013), 119-135.

[5] T. Koshy, Elementary Number Theory with Applications, Elsevier, New York, 2007.

[6] M. Le, Some exponential Diophantine equation D

₁

x

²

− D

2

y

²

= λk

^z

, Journal of Number Theory, 55 (1995), 209-211.

[7] J. Su dan X. Li, The exponential Diophantine equation (4m

²

+1)

^x

+(5m

²

−1)

^y

= (3m)

^z

, Abstract and Applied Analysis, 2014 (2014), 1-5.

[8] N. Terai, On the exponential Diophantine equation (4m

²

+ 1)

^x

+ (5m

²

− 1)

^y

= (3m)

^z

, International Journal of Algebra, 6 (2012), 1135-1146.

[9] P. M. Voutier, Primitive divisors of Lucas dan Lehmer sequence, Mathematics of Computation, 64 (1995), 869-888.

[10] P.Yuan, On the Diophantine equation ax

²

+ by

²

= ck

ⁿ

, Indagationes

Mathematicae-New Series, 16 (2005), 301-320.

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIOHPANTINE EKPSONENSIAL (4m 2 + 1) x + (5m 2 1) y = (3m) z DENGAN m > 90 DAN 3 m KARYA ILMIAH OLEH