PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Dalam statistika dan pemrosesan sinyal, runtun waktu (time series) adalah rangkaian data berupa pengamatan yang diukur selama kurun waktu tertentu. Ana- lisis runtun waktu merupakan metode yang mempelajari deret waktu, baik dari segi teori maupun untuk peramalan (prediksi). Dalam kehidupan sehari-hari beberapa permasalahan perlu diramalkan terlebih dahulu sebelum diambil keputusan seperti di bidang ekonomi, teknik, geofisika, pertanian, lingkungan, dan kesehatan.
Metode yang sering digunakan dalam analisis runtun waktu adalah ARMA.
Metode ARMA mewakili runtun waktu yang bersifat stasioner. Stasioner berarti tidak terdapat pertumbuhan atau penurunan pada data. Dengan kata lain, fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada wak- tu dan variansi. Namun, banyak data runtun waktu bersifat nonstasioner seperti data harian saham, inflasi, suku bunga, curah hujan, harga bursa komoditi, dan sebagai- nya. Suatu deret waktu yang tidak stasioner harus diubah menjadi data stasioner dengan melakukan differensiasi. Differensiasi adalah menghitung perubahan atau selisih nilai observasi. Nilai selisih yang diperoleh diperiksa kembali kestasione- rannya. Dalam kenyataannya, banyak data yang memiliki volatilitas sangat tinggi dan sulit distasionerkan. Untuk kasus seperti ini, metode ARMA kurang tepat di- gunakan.
Metode lain yang sering digunakan dalam analisis runtun waktu adalah tran- sformasi Fourier yang merupakan metode nonparametrik berdasarkan domain fre- kuensi. Seringkali informasi yang tidak dapat dilihat pada domain waktu dapat dilihat pada domain frekuensi, contohnya dalam bidang medis yaitu Electro Cardio Graphy (ECG). Namun, transformasi Fourier memiliki kelemahan, yaitu kurang
1
mampu merepresentasikan informasi waktu dan frekuensi secara bersamaan. Hal ini menyebabkan transformasi fourier tidak dapat digunakan untuk menganalisis data-data nonstasioner. Suatu pendekatan lain dikembangkan untuk mengatasi ke- lemahan dalam pemrosesan sinyal, yaitu dengan transformasi wavelet.
Transformasi wavelet mampu merepresentasikan informasi waktu dan fre- kuensi secara bersamaan. Representasi waktu dan frekuensi mengakibatkan tran- sformasi wavelet dapat digunakan untuk menganalisis data-data nonstasioner. Wa- velet adalah suatu konsep yang relatif baru dikembangkan. Kata wavelet diberikan oleh Jean Morlet dan Alex Grossmann diawal tahun 1980-an, berasal dari bahasa Prancis, ondelette yang berarti gelombang kecil. Kata onde kemudian diterjemahk- an ke bahasa Inggris menjadi wave, lalu digabung dengan kata aslinya sehingga terbentuk kata baru ”wavelet”. Fungsi wavelet diartikan sebagai suatu fungsi ma- tematika yang mempunyai sifat-sifat tertentu diantaranya berosilasi di sekitar nol (seperti fungsi sinus dan cosinus) serta terlokalisasi dalam domain waktu artinya pada saat nilai domain relatif besar, fungsi wavelet berharga nol (Walker, 2008).
Transformasi wavelet dibagi menjadi dua bagian, yaitu Continuous Wavelet Transform (CWT) dan Discrete Wavelet Transform (DWT). Dalam DWT diasum- sikan bahwa ukuran sampel N dapat dibagi menjadi 2J untuk suatu bilangan bulat positif J . Konsep baru dikembangkan untuk mengatasi keterbatasan DWT dalam ukuran sampel tersebut, yang dikenal dengan Maximal Overlap Discrete Wavelet Transform (MODWT). MODWT memiliki keunggulan daripada DWT antara lain, dapat digunakan untuk setiap ukuran sampel dan mereduksi data menjadi setengah- nya (down sampling) sehingga dalam setiap level dekomposisi terdapat koefisien wavelet dan skala sebanyak panjang data (Percival dan Walden, 2000).
Dalam tesis ini akan dibahas penerapan metode wavelet, khususnya MODWT- ARMA untuk menganalisis data runtun waktu. Dalam kasus ini, suatu data run- tun waktu didekomposisi menggunakan model MODWT menjadi level skala yang berbeda pada setiap level. Dekomposisi tersebut akan menghasilkan koefisien- koefisien MODWT yaitu koefisien wavelet dan skala. Penentuan koefisien wavelet
dan skala dihitung dengan sebuah algoritma yang disebut algoritma piramida, na- mun sebelumnya harus ditentukan dahulu filter wavelet dan filter skala yang akan digunakan. Koefisien wavelet dan skala tersebut belum bisa langsung digunakan untuk mengestimasi model runtun waktu. Estimasi model dapat dilakukan dengan menggunakan proses ARMA. Hasil akhir peramalan data runtun waktu diperoleh dari gabungan nilai ramalan smooth dan detail.
1.2 Pembatasan Masalah
Dalam penulisan tesis ini, pembahasan masalah hanya dibatasi pada pem- bentukan model melalui dekomposisi MODWT-ARMA pada suatu data runtun wak- tu. Filter yang digunakan adalah filter Daubechies dengan lebar filter 4 (Daub4).
Kemudian, dengan melihat nilai MSE dan MAPE dapat dilihat tingkat kesalahan ramalan. Paket program yang dipakai untuk membantu dalam pengaplikasiannya dibatasi pada program R.
1.3 Tujuan dan Manfaat Penelitian
Berdasarkan latar belakang masalah di atas, tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mempelajari model MODWT-ARMA untuk mendapatkan hasil peramalan data runtun waktu.
2. Mengaplikasikan model peramalan MODWT-ARMA untuk data runtun wak- tu.
Adapun manfaat dari penulisan tesis ini adalah mengetahui penggunaan model MO- DWT dalam mengestimasi suatu model runtun waktu yang tidak stasioner dengan jumlah data bebas, serta memberikan informasi tentang perkembangan metode da- lam analisis model runtun waktu dengan hasil yang semakin akurat.
1.4 Tinjauan Pustaka
Mallat (1998) telah membahas kajian yang berkaitan dengan transformasi wavelet. Beberapa kajian yang berkaitan dengan transformasi wavelet pada time series juga telah dilakukan, diantaranya Kozlowski (2005), Murguia dan Canton (2006). Kozlowski (2005) mengemukakan transformasi wavelet akan menghasilk- an himpunan koefisien wavelet yang dihitung dari titik (lokasi) observasi pada level (skala) dan lebar range yang berbeda. Perhitungan koefisien wavelet dapat dila- kukan dengan Discrete Wavelet Transform (DWT) sebagaimana dikemukakan oleh Mallat (1998) atau Maximal Overlap Discrete Wavelet Transform (MODWT) se- perti dalam Percival dan Walden (2000) dan Al Wadi dkk (2013).
Penelitian yang dilakukan oleh Renaud dkk (2002) membahas aplikasi wa- velet pada data runtun waktu dengan menentukan koefisien wavelet yang digunakan untuk prediksi pada skala yang berbeda berdasarkan level dekomposisinya. Tran- sformasi yang digunakan adalah ”`atrous” wavelet transform yang identik dengan MODWT. Prosedur yang diusulkan telah dibuktikan konvergen ke prosedur optimal dan estimator yang dihasilkan juga konvergen ke parameter yang menghasilkan pre- diksi terbaik jika prosesnya mengikuti proses autoregresif.
Penelitian Li Zhu dkk (2014) membahas tentang Model MODWT yang di- gabung dengan ARMA. Ide yang diangkatkan juga merupakan level dekomposisi untuk peramalan data runtun waktu pada skala yang berbeda. Kemudian untuk seti- ap level ARMA digunakan untuk memodelkan data dan membuat peramalan. Hasil akhir peramalan data runtun waktu diperoleh dari gabungan nilai smooth dan detail.
Dalam MODWT akan dipakai beberapa macam filter untuk proses peramalan dan macam-macam filter ini dapat dipelajari dalam Daubechies (1992). Sedangkan un- tuk mempelajari listing program peramalan dengan menggunakan R terdapat pada Nason (2008).
1.5 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur, yaitu mempelajari buku-buku, jurnal-jurnal, dan artikel penunjang yang berkaitan deng- an MODWT-ARMA. Selanjutnya dari model MODWT-ARMA dilakukan proses matematis sehingga diperoleh formula untuk mengestimasi data runtun waktu. Ke- mudian dilakukan studi kasus data runtun waktu menggunakan model MODWT- ARMA dengan jumlah data bebas.
1.6 Sistematika Penulisan
Tesis ini ditulis dengan sistematika penulisan sebagai berikut. Pendahuluan yang berisi tentang latar belakang dan permasalahan, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan diberikan pada Bab I.
Bab II berisi landasan teori yang menunjang pembahasan, diantaranya me- muat tentang peramalan, konsep dasar runtun waktu, stasioneritas, fungsi Autokore- lasi (ACF) dan fungsi Autokorelasi Parsial (PACF), proses Autoregressive (AR(p)), proses Moving Average (MA(q)), proses Autoregressive Moving Average (ARMA), dan tranformasi wavelet.
Sedangkan pada Bab III dibahas mengenai analisis runtun waktu menggu- nakan MODWT-ARMA. Berupa Discrete Wavelet Transform (DWT), Filter Wa- velet dan Skala Daubechies, Maximal Overlap Discrete Wavelet Transform (MO- DWT), dan model MODWT-ARMA. Bab IV studi kasus dengan data real berda- sarkan model yang dibahas dalam Bab III. Bab V merupakan penutup yang berisi kesimpulan terkait model MODWT-ARMA.
