Solusi Persamaan Ricci Flow dalam Ruang Empat Dimensi Bersimetri Bola

Solusi Persamaan Ricci Flow dalam Ruang Empat Dimensi Bersimetri Bola

Berdasarkan bentuk kanonik metrik bersimetri bola (2.18), dapat dibuat sebuah metrik bersimetri bola yang bergantung parameter non-koordinat τ sebagai,

ds

²

= e

^ν

dt

²

− e

^λ

dr

²

− f r

²

dθ

²

+ sin

²

θ dφ

²

, (3.1) dengan ν = ν (r,τ ), λ = λ (r,τ ), dan f = f (τ ). Rincian perhitungan besaran- besaran geometri seperti simbol Christoffel, tensor Ricci, skalar Ricci, tensor Ein- stein, dan identitas Bianchi terkontraksi yang diperoleh dari metrik tersebut diberikan pada Lampiran B.

3.1 Solusi Persamaan Ricci Flow

Persamaan Ricci flow untuk metrik (3.1) adalah

˙ν = γ 4



2ν

⁰⁰

+ ν

⁰

(ν

⁰

− λ

⁰

) + 4 r ν

⁰



e

^−λ

(3.2)

˙λ = γ 4



−2ν

⁰⁰

− ν

⁰

(ν

⁰

− λ

⁰

) + 4 r λ

⁰



e

^−λ

(3.3)

− ˙ f = γ r

²

n

1 − f e

^−λ

1 + r

2 (ν

⁰

− λ

⁰

)  o

, (3.4)

9

dengan notasi ”dot” menyatakan turunan terhadap parameter τ ( ˙ν ≡

^∂ν_∂τ

, dan seterusnya). Dengan menganggap bahwa ν(r, τ ) dan λ(r, τ ) dapat dipecah (sepa- rable),

ν(r, τ ) = a(r) + b(τ ) λ(r, τ ) = c(r) + d(τ ),

(3.5)

maka persamaan (3.2) hingga (3.4) dapat diubah menjadi

˙be

^d

= γ 4



2a

⁰⁰

+ a

⁰

(a

⁰

− c

⁰

) + 4 r a

⁰



e

^−c

(3.6)

− ˙ de

^d

= γ 4



−2a

⁰⁰

− a

⁰

(a

⁰

− c

⁰

) + 4 r c

⁰



e

^−c

(3.7)

f = − ˙ γ r

²

n

1 − f e

^−d

e

^−c

h 1 + r

2 (a

⁰

− c

⁰

) io

. (3.8)

Persamaan (3.6) dan (3.7) merupakan persamaan terkopel, ruas kiri hanya meru- pakan fungsi dari τ sementara ruas kanan fungsi dari r saja. Sehingga, berlaku

k

1

= ˙be

^d

= γ 4



2a

⁰⁰

+ a

⁰

(a

⁰

− c

⁰

) + 4 r a

⁰



e

^−c

(3.9)

dan

k

₂

= − ˙ de

^d

= γ 4



−2a

⁰⁰

− a

⁰

(a

⁰

− c

⁰

) + 4 r c

⁰



e

^−c

, (3.10)

dengan k

₁

dan k

₂

merupakan konstanta. Penjumlahan kedua persamaan tersebut menghasilkan

k

₁

+ k

₂

=  ˙b − ˙d 

e

^d

= γ

r (a

⁰

+ c

⁰

) e

^−c

, (3.11) dan pengurangan (3.10) dari (3.9) menghasilkan

k

1

− k

2

=  ˙b + ˙d e

^d

= γ 4



4a

⁰⁰

+ 2a

⁰

(a

⁰

− c

⁰

) + 4

r (a

⁰

− c

⁰

)



e

^−c

. (3.12)

Dari kedua persamaan terakhir, dapat ditinjau dua kasus, masing-masing dengan

k

₁

= −k

₂

(sebagai kasus khusus) dan k

₁

6= −k

₂

(kasus umum).

3.1.1 Solusi Khusus (k

₁

= −k

₂

)

Untuk kasus dengan k

₁

= −k

₂

, persamaan (3.11) memberikan

b = d dan a = −c. (3.13)

Dari persamaan (3.9) dan (3.10), diperoleh

b = d = ln (k

₁

τ + k

₃

) . (3.14) dengan k

₃

merupakan konstanta integrasi. Substitusi (3.13) untuk nilai c dan (3.14) ke (3.12) menghasilkan

2k

₁

γ =



a

⁰⁰

+ a

⁰²

+ 2a

⁰

r



e

^a

. (3.15)

Dengan menuliskan a = ln y, persamaan terakhir dapat dituliskan sebagai 2k

₁

γ = y

⁰⁰

+ 2y

⁰

r = y

⁰⁰

r

²

+ 2y

⁰

r

r

²

= (y

⁰

r

²

)

⁰

r

²

. (3.16)

Sehingga,

2k

₁

3γ r

³

+ k

₄

= y

⁰

r

²

⇔ y = k

₁

3γ r

²

− k

₄

r + k

₅

, (3.17)

dengan k

₄

dan k

₅

merupakan konstanta integrasi. Dengan demikian, diperoleh a = −c = ln  k

₁

3γ r

²

− k

4

r + k

₅



. (3.18)

Substitusi nilai a, b, c, dan d ke (3.8) memberikan f = k

₁

τ + k

₃

k

₅

. (3.19)

Sehingga, bentuk metrik untuk kasus khusus ini adalah

ds

²

= (k

₁

τ + k

₃

)

"

 k

₁

3γ r

²

− k

₄

r + k

₅



dt

²

−  k

₁

3γ r

²

− k

₄

r + k

₅



⁻¹

dr

²

− r

²

k

₅

dθ

²

+ sin

²

θ dφ

²

#

. (3.20)

Dengan menganggap metrik saat τ = 0 sebagai kondisi awal, diperoleh k

3

= 1.

Selanjutnya, ditinjau keberlakuan identitas Bianchi pada metrik solusi khusus

tersebut. Untuk sebuah metrik bersimetri bola bergantung parameter seperti diberikan

oleh persamaan (3.1), keberlakuan identitas Bianchi yang terkontraksi ditentukan oleh tiga suku,

ν

⁰

2 G

¹¹

+ e

^ν−λ

G

⁰⁰

= e

^−2λ

 ν

⁰

(ν

⁰

+ λ

⁰

) 2r



(3.21)

∂

₁

G

¹¹

+ λ

⁰

G

¹¹

= e

^−2λ

"

1 − f 2

 λ

⁰⁰

r − λ

⁰²

r − λ

⁰

r

²



− f λ

⁰

r

²

+ 2 e

^λ

− f
r

³

+ 1 + f

2

 ν

⁰⁰

r − λ

⁰

ν

⁰

r − ν

⁰

r

²

 #

(3.22)

2  G

¹¹

r − f re

^−λ

G

²²



= 2e

^−2λ

 (λ

⁰

− ν

⁰

) ν

⁰

− 2ν

⁰⁰

4r + ν

⁰

+ λ

⁰

2r

²

+ f − e

^λ

f r

³



(3.23) (rincian perhitungan diberikan pada bagian B.1 pada lampiran). Jika jumlah keti- ga suku tersebut nol, maka identitas Bianchi terpenuhi. Persamaan (3.21) dengan sendirinya bernilai nol berdasarkan persamaan (3.13). Jumlah dari kedua suku yang lainnya (3.22 dan 3.23) adalah

2 (k

5

− 1) f

⁻²

k

₅⁻²

 f − 1 r

³

  k

₁

3γ r

²

− k

₄

r + k

5



. (3.24)

Sehingga, agar identitas Bianchi terpenuhi untuk semua τ dan r, haruslah k

₅

= 1.

Pada

^k_γ¹

= 0 metrik khusus akan memenuhi solusi Schwarzschild jika k

₄

= 2m.

Dengan demikian, bentuk akhir solusi khusus ini adalah

ds

²

= (γξτ + 1)

"



1 − 2m r + ξ

3 r

²

 dt

²

−



1 − 2m r + ξ

3 r

²



−1

dr

²

− r

²

dθ

²

+ sin

²

θ dφ

²

#

. (3.25)

dengan ξ ≡

^k_γ¹

sebuah konstanta.

3.1.2 Solusi Umum (k

₁

6= −k

₂

)

Persamaan (3.11) dan (3.8) masing-masing dapat dimodifikasi menjadi k

1

+ k

2

γ r

²

= r (a

⁰

+ c

⁰

) e

^−c

, (3.26) dan

2e

^d

f + 2e

^d

f ˙

γf r

²

= 2e

^−c

+ r (a

⁰

− c

⁰

) e

^−c

. (3.27)

Pengurangan (3.26) dari (3.27) menghasilkan 2e

^d

f + 2e

^d

f ˙

γf − k

₁

+ k

₂

γ

!

r

²

= 2e

^−c

− 2rc

⁰

e

^−c

= 2 re

^−c

0

. (3.28)

Integrasi persamaan terakhir menghasilkan

e

^−c

= e

^d

f + k

₆

r + e

^d

f ˙

f − k

₁

+ k

₂

2

! r

²

3γ . (3.29)

Agar bersesuaian dengan hasil sebelumnya (solusi khusus), bahwa e

^−c

= 1 − 2m

r + ξ

3 r

²

, (3.30)

haruslah berlaku

e

^d

f = 1, (3.31)

k

₆

= −2m, (3.32)

e

^d

f ˙

f − k

₁

+ k

₂

2

! 1

γ = ξ. (3.33)

Substitusi (3.31) ke (3.33) menghasilkan, f =



γξ + k

₁

+ k

₂

2



τ + k

₇

= e

^d

, (3.34)

dengan k

₇

sebuah konstanta. Seperti kasus khusus, selanjutnya dipilih k

₇

= 1. Sub- stitusi (3.34) ke (3.9) menghasilkan

b = 2γξ

2γξ + k

₁

+ k

₂

ln f. (3.35)

Substitusi (3.30) ke (3.26) memberikan

a = −c +

Z

^k1+k2

γ

r

1 −

^2m_r

+

^ξ₃

r

²

dr. (3.36) Dapat dilakukan pemecahan (separasi) fraksi parsial,

k1+k2

γ

r

1 −

^2m_r

+

^ξ₃

r

²

= ρ

₁

(r − r

₁

) + ρ

₂

(r − r

₂

) + ρ

₃

(r − r

₃

) (3.37) dengan, r

₁

, r

₂

, dan r

₃

merupakan akar-akar dari

1 − 2m r + ξ

3 r

²

= 0

dan ρ

₁

, ρ

₂

, dan ρ

₃

merupakan konstanta. Sehingga,

a = −c + ρ

₁

ln (r − r

₁

) + ρ

₂

ln (r − r

₂

) + ρ

₃

ln (r − r

₃

) . (3.38)

Dengan demikian, bentuk akhir solusi umum ini adalah

ds

²

= F F

^k8

HXdt

²

− X

⁻¹

dr

²

− r

²

dθ

²

+ sin

²

θdφ

²

 , (3.39)

dengan

H = (r − r

₁

)

^k8

(r − r

₂

)

^k9

(r − r

₃

)

^k10

X = 1 − 2m

r + ξ 3 r

²

F = 1 +



γξ + k

₁

+ k

₂

2

 τ k

8

= 2γξ

2γξ + k

₁

+ k

₂

− 1.

Identitas Bianchi yang terkontraksi akan terpenuhi oleh metrik ini jika,

F

⁻²

X

²

 1

4r (Σ

₁

)

²

+ X

⁰

X

 1 + 2f 4r



Σ

₁

− f

2r

²

Σ

₁

+  f − 1 2r

 Σ

₂



= 0, (3.40)

dengan

Σ

₁

= H

⁰

H =

3

X

i=1

ρ

i

r − r

_i

Σ

₂

=  H

⁰

H



⁰

= −

3

X

i=1

ρ

_i

(r − r

i

)

²

.

Sehingga, agar ∇

_α

G

^αβ

= 0, haruslah Σ

₁

= 0 ⇔ H = konstan. Dengan merujuk pada persamaan (3.36) dan (3.37), diperoleh fakta bahwa H bernilai konstan hanya jika k

₁

= −k

₂

. Dengan kondisi ini, bentuk solusi umum tereduksi menjadi metrik solusi khusus.

3.2 Pembahasan

Metrik solusi persamaan Ricci flow dalam ruang empat dimensi bersimetri bola,

seperti yang diberikan oleh persamaan (3.25) menggambarkan sebuah ruang yang

berubah secara linear terhadap parameter τ . Menurut (2.20), jika dipilih γ > 0 maka metrik akan mengembang secara terus menerus. Dengan demikian, konstanta ξ haruslah bernilai positif. Jika γ = 0, diperoleh metrik yang konstan terhadap parameter τ . Hal ini sesuai dengan konsekuensi dari persamaan Ricci flow (2.20).

Pada kasus γ = 0 ini, persamaan (3.9) akan memberikan k

₁

= 0 sehingga ξ =

^k_γ¹

bernilai konstan.

Jika ξ = 0, maka k

₁

= γξ = 0, sehingga metrik tersebut menjadi konstan ter- hadap parameter τ . Menurut persamaan Ricci flow (2.20), metrik yang konstan terhadap parameter τ akan didapat jika γ = 0. Dengan demikian, berlaku

ξ = 0 =⇒ k

₁

= 0 =⇒ γ = 0. (3.41)

Pada kasus ξ = 0 ini, metrik (3.25) tereduksi menjadi metrik Schwarzschild (2.19).

Dengan demikian, dalam ruang empat dimensi bersimetri bola, solusi persamaan Einstein merupakan solusi khusus dari persamaan Ricci flow pada kasus tidak ada aliran (no flow ).

Bentuk metrik yang mirip dengan (3.25) juga didapatkan oleh F.W. Shu dan Y. G.

Shen ketika memperkenalkan persamaan aliran geometri umum, dan memecahkannya untuk kasus aliran geometri hiperbolik (hyperbolic geometric flow ). Dengan metrik seperti di atas, sebuah lubang hitam dapat memiliki lebih dari satu horizon peristiwa [16].

Nilai komponen-komponen tak nol tensor Ricci yang didapat dari metrik (3.25) adalah,

R

00

= ξ



1 − 2m r + ξ

3 r

²



(3.42)

R

11

= −ξ



1 − 2m r + ξ

3 r

²



−1

(3.43)

R

₂₂

= −ξr

²

(3.44)

R

₃₃

= −ξr

²

sin

²

θ. (3.45)

Saat τ = 0, berlaku R

_αβ

= ξg

_αβ

, yang menunjukkan bahwa solusi yang didapat

termasuk metrik Einstein (yaitu metrik dengan R

_αβ

= κg

_αβ

dengan κ sebuah kon-

stanta, [13, 17]). Nilai skalar Ricci berubah terhadap parameter τ menurut,

R = 4ξ (γξτ + 1)

⁻¹

. (3.46)

Pada kasus γ < 0, metrik akan mencapai singularitas (suatu keadaan dengan keleng- kungan takhingga) pada saat τ = |γ|ξ.

Komponen-komponen tensor Einstein yang didapatkan dari metrik di atas adalah,

G

00

= −ξ



1 − 2m r + ξ

3 r

²



(3.47)

G

11

= ξ



1 − 2m r + ξ

3 r

²



−1

(3.48)

G

₂₂

= ξr

²

(3.49)

G

₃₃

= ξr

²

sin

²

θ. (3.50)

Dengan bentuk semacam ini, dipenuhi persamaan Einstein dengan konstanta kos- mologi untuk kasus vakum (2.17),

G

_αβ

− Λg

_αβ

= 0, (3.51)

jika ξ = −Λ. Karena ξ merupakan konstanta positif (sesuai analisis pada awal subbab 3.2), maka Λ = −ξ < 0.

Divergensi tensor Einstein yang dibentuk dari metrik (3.25) bernilai nol. Dari

segi geometri, hal ini menjamin berlakunya identitas Bianchi, sedangkan dari segi

fisis hal tersebut menjamin berlakunya hukum kekekalan energi-momentum. Dengan

demikian, dapat dikatakan bahwa solusi yang telah didapatkan valid secara geometri

dan fisis.