STK 511 Analisis statistika. Materi 6 Pengujian Hipotesis

Materi 6 Pengujian Hipotesis

1

STK 511 Analisis statistika

Pendahuluan



Dalam mempelajari Karakteristik Populasi kita sering telah memiliki pernyataan/anggapan tertentu.

 pemberian DHA pada anak-anak akan menambah kecerdasannya atau

 pemberian vaksin polio akan mengurangi jumlah anak-anak yang menderita penyakit ini



Diperlukan pengumpulan data

 Apakah data mendukung pernyataan/anggapan tersebut

Pendahuluan



Suatu pernyataan / anggapan yang mempunyai nilai mungkin benar / salah atau suatu pernyataan /anggapan yang

mengandung nilai ketidakpastian  Hipotesis



Hipotesis dalam statistika dinyatakan dalam dua bentuk yaitu:

 H0 (hipotesis nol): suatu pernyataan / anggapan yang umumnya ingin kita tolak

 H1 / HA (hipotesis alternatif): pernyataan lain yang akan diterima jika H₀ ditolak

Kesalahan dalam Keputusan

 Pengambilan keputusan akan memunculkan dua jenis kesalahan yaitu:

 Salah jenis I (Error type I) : kesalahan akibat menolak H0 padahal H0

benar

 Salah jenis II (Error type II) : kesalahan akibat menerima H0 padahal H1 benar

 Besarnya peluang kesalahan dapat ini dapat dihitung sebagai berikut:

 P(salah jenis I) = P(tolak H₀ | H₀ benar) = 

 P(salah jenis II) = P(terima H0 | H1 benar) = 

H⁰ benar H⁰ salah Tolak H⁰

Peluang salah jenis I

(Taraf nyata;

)

Kuasa pengujian (1-

)

Terima H⁰

Tingkat kepercayaan

(1-) Peluang salah jenis II

()

Pengaruh nilai  dan 



Teladan : Andaikan suatu perusahaan A akan menerima dari suplier apabila produknya minimal mengandung 55% zat X.

Untuk meyakinkan maka diambil 9 contoh (dgn asumsi

simpangan baku sebesar 2%).



Sisi Suplier : Ingin semua diterima

Dengan μ=65% hampir

semua kiriman suplier

diterima.



Kondisi ini tentu tidak menguntungkan suplier. Bagaimana

apabila kriteria β diturunkan?



Terlihat bahwa apabila beta diperkecil dgn kondisi yg lain tetap →Tidak menguntungkan sisi konsumen



Bagaimana supaya menurunkan keduanya?



Untuk menurukan kedua-duanya secara simultan → hanya

ada satu cara yaitu dengan meningkatkan banyaknya contoh

Teladan Menghitung Nilai  dan 

contoh berukuran 25 diambil secara acak dari populasi normal(  ; 

²

= 9).

Hipotesis yang akan diuji, H₀ :  = 15

H₁ :  = 13

Tolak H₀ jika rata-rata kurang dari atau sama dengan 13.5 Berapakah besarnya kesalahan jenis I dan II ?

Jawab:

P(salah jenis I) = P(tolak H₀| = 15)

= P(x  13.5)

= P(z  (13.5-15)/(3/25))

= P(z  - 2.5 ) = 0.0062 P(salah jenis II) = P(terima H₀| = 13)

= P(x  13.5)

= P(z  (13.5-13)/(3/25))

= P(z  0.83 )

= 1 - P(z  0.83 ) = 0.2033



Pada kenyataannya parameter populasi sering kali tidak diketahui



Sehingga dalam pengujian hipotesis hanya nilai salah jenis I (α) yang dapat dikendalikan.



Akan timbul pertanyaan :

– Berapa nilai α yang digunakan?

Tergantung resiko keputusan yang akan

diambil

Langkah-langkah Dalam Pengujian Hipotesis

Beberapa langkah yang perlu diperhatikan dalam pengujian hipotesis:

(1)

Tuliskan hipotesis yang akan diuji

1. Hipotesis satu arah

 H₀ :   ₀ vs H₁ :  < ₀

 H₀ :   ₀ vs H₁ :  > ₀ 2. Hipotesis dua arah

 H₀ :  = ₀ vs H₁ :   ₀

(2). Tetapkan tingkat kesalahan/Peluang salah jenis I/taraf nyata

 

(3). Deskripsikan data contoh yang diperoleh (hitung rataan, ragam, standard error dll)

(4). Hitung statistik ujinya

Statistik uji yang digunakan sangat tergantung pada sebaran statistik dari penduga parameter yang diuji

CONTOH

H₀:  = ₀ maka maka statistik ujinya bisa t-student atau normal baku (z)

atau

n s

t

_h

x

/



0

 

n z

_h

x

/

0





 

(5) Tentukan daerah kritis atau daerah penolakan H0

Daerah penolakan H0 sangat tergantung dari bentuk hipotesis alternatif (H1)

CONTOH

H₁:  < 0  Tolak H₀ jika th < -t(; db) H₁:  > 0  Tolak H₀ jika th > t(; db)

H₁:   0  Tolak H₀ jika |th | > t(/2; db)

(6) Tarik keputusan dan kesimpulan

Pengujian Nilai Tengah Populasi

Kasus Satu Contoh

 Suatu contoh acak diambil dari satu populasi Normal berukuran n

 Tujuannya adalah menguji apakah parameter  sebesar nilai tertentu, katakanlah ₀

Populasi

X~Sebaran(,²)

Contoh

Acak Uji 



Hipotesis yang dapat diuji:

Hipotesis satu arah:



H

₀

:   

₀

vs H

₁

:  < 

₀



H

₀

:   

₀

vs H

₁

:  > 

₀

Hipotesis dua arah:



H

₀

:  = 

₀

vs H

₁

:   

₀



Statistik uji:



Jika ragam populasi ( 

²

) diketahui (untuk X bukan normal  n besar) :



Jika ragam populasi ( 

²

) tidak diketahui dan X~Normal:

n s

t

_h

x

/



0

 

n z

_h

x

/

0





 



Daerah kritis pada taraf nyata (  )



Besarnya taraf nyata sangat tergantung dari bidang yang sedang dikaji



Daerah penolakan H

₀

sangat tergantung dari bentuk hipotesis alternatif (H

₁

) dan statistik uji

H1:  < 0  Tolak H0 jika zh < -z_ H1:  > 0  Tolak H0 jika zh > z_

H1:   0  Tolak H0 jika |zh | > z/2

H1:  < 0  Tolak H0 jika th < -t_{(; db=n-1)} H1:  > 0  Tolak H0 jika th > t₍; db=n-1)

H1:   0  Tolak H0 jika |th | > t₍/2; db=n-1)

 Ilustrasi

Batasan yang ditentukan oleh pemerintah terhadap emisi gas CO kendaraan bermotor adalah 50 ppm. Sebuah perusahaan baru yang sedang mengajukan ijin pemasaran mobil, diperiksa oleh petugas pemerintah untuk menentukan apakah perusahan tersebut layak diberikan ijin. Sebanyak 20 mobil diambil secara acak dan diuji emisi CO-nya. Dari data yang didapatkan, rata- ratanya adalah 55 dan ragamnya 4.2. dengan menggunakan taraf nyata 5%, layakkah perusahaan tersebut mendapat ijin ?



Hipotesis yang diuji:

H0 :  = 50 vs H1 :  < 50



Statistik uji:

t

_h

= (55-50)/  (4.2/20)=10.91



Daerah kritis pada taraf nyata 0.05

Tolak H0 jika t

_h

< -t

(0,05;db=19)

= -1,729



Kesimpulan:

Tolak H0, artinya emisi gas CO kendaraan

bermotor yang akan dipasarkan oleh perusahaan tersebut melebihi batasan yang ditentukan oleh pemerintah sehingga perusahaan tersebut tidak layak memperoleh ijin untuk memasarkan

mobilnya.

Perbandingan Nilai Tengah Dua Populasi

Kasus Dua Contoh Saling Bebas

 Setiap populasi diambil contoh acak berukuran tertentu (bisa sama, bisa juga tidak sama)

 Pengambilan kedua contoh saling bebas

 Tujuannya adalah menguji apakah parameter ₁ sama dengan

parameter ₂

Populasi I

X~Sebaran(₁,₁²)

Contoh I (n₁)

Populasi II X~Sebaran(₂,₂²)

Contoh II (n₂) Acak dan

saling bebas

₁ ??? ₂



Hipotesis

 Hipotesis satu arah:

H

₀

: 

₁

- 

₂



₀

vs H

₁

: 

₁

- 

₂

< 

₀

H

₀

: 

₁

- 

₂

 

₀

vs H

₁

: 

₁

- 

₂

> 

₀

 Hipotesis dua arah:

H

₀

: 

₁

- 

₂

= 

₀

vs H

₁

: 

₁

- 

₂



₀



Statistik uji:



Jika ragam kedua populasi diketahui katakan 

₁²

dan



₂²

(X bukan normal  n besar):



Jika X ~ Normal dan ragam populasi tidak diketahui:

) (

0 2

1

2 1

) (

x x h

x z x





 





) (

0 2

1

2 1

) (

x x

h s

x t x





 



 



















 

2 2 2

1 2

2 2 1

2 1

2 2 2

1 2

1

; 1 ; 1

2 1









n s n

s

n s n

s

g x

x













 

2 2 2

1

2 2 2

1

;

; 2 2 1









efektif

db n db n



Daerah kritis pada taraf nyata (



)

 Pada prinsipnya sama dengan kasus satu contoh, dimana daerah penolakan H₀ sangat tergantung dari bentuk hipotesis alternatif (H₁) dan statistik uji

H1: ₁- ₂ <₀  Tolak H0 jika z_h < -z

H1: ₁- ₂ >₀  Tolak H0 jika z_h > z_;

H1: ₁- ₂ ₀  Tolak H0 jika |z_h | > z_/2

H1: ₁- ₂ <₀  Tolak H0 jika t_h < -t_{(; db)} H1: ₁- ₂ >₀  Tolak H0 jika t_h > t_{(; db)}

H1: ₁- ₂ ₀  Tolak H0 jika |t_h | > t_{(/2; db)}

Teladan

 Dua buah perusahaan yang saling bersaing dalam industri kertas karton saling mengklaim bahwa produknya yang lebih baik, dalam artian lebih kuat menahan beban. Untuk

mengetahui produk mana yang sebenarnya lebih baik, dilakukan pengambilan data masing-masing sebanyak 10 lembar, dan diukur berapa beban yang mampu ditanggung tanpa merusak karton. Datanya adalah :

 Ujilah karton produksi mana yang lebih kuat dengan asumsi ragam kedua populasi berbeda, gunakan taraf nyata 10%

Persh. A 30 35 50 45 60 25 45 45 50 40

Persh. B 50 60 55 40 65 60 65 65 50 55

Jawab:

 Rata-rata dan ragam kedua contoh:

 Perbandingan kekuatan karton

 Hipotesis:

 H₀: ₁= ₂ vs H₁: ₁₂

 

 

66.94 10(9)

(565) -

32525) (

10 )

1 5 (

, 10 56

55 60

50

106.94 10(9)

(425) -

19025) (

10 )

1 5 (

, 10 42

40 35

30

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 1 1 1



 

 

 



 



 

 

 



 

 

 

n n

x x

s n x

n n

x x

s n x

i i





 Statistik uji: (ragam populasi tidak diketahui dan diasumsikan₁²  ₂² )

 Daerah kritis pada taraf nyata 10%:

Tolak H₀ jika |t_h| > t_(0,05;17) = 1,740

 Kesimpulan:

Tolak H₀, artinya kekuatan karton kedua perusahaan berbeda nyata pada taraf nyata 10%. Diduga karton yang diproduksi oleh perusahaan B lebih kuat

daripada karton A

36 , 10 3

/ 94 , 106 10

/ 94 , 66

0 5 , 42 5

, 56 )

/ ( ) / (

) (

) (

1 2 1 2

2 2

1 2

1

2 





 







 

n s

n s

x

t_h x  

17 10

, 17

9 / ) 10 / 8.18 (

9 / ) 10 / 10.34 (

) 10 / 8.18 10

/ 10.34 (

) 1 /(

) / ( ) 1 /(

) / (

) / /

(

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2 2 2 1

2 1 2 1

2 2 2 2 1

2 1







 







 

n n

s n

n s

n s n db s

Perbandingan Nilai Tengah Dua Populasi Berpasangan

Kasus Dua contoh Saling Berpasangan

 Setiap populasi diambil contoh acak berukuran n (wajib sama)

 Pengambilan kedua contoh

berpasangan, ada pengkait antar kedua contoh (bisa waktu, objek, tempat, dll)

 Tujuannya adalah menguji apakah parameter ₁ sama dengan

parameter ₂

Populasi I X~N(₁,₁²)

contoh I (n)

Populasi II X~N(₂,₂²)

contoh II (n) Acak dan

berpasangan

₁ ??? ₂

Pasangan 1 Pasangan …

Pasangan n

 Apabila D=X1-X2, maka hipotesis statistika:

Hipotesis satu arah:

H₀: _D ₀ vs H₁: _D<₀ H₀: _D  ₀ vs H₁: _D>₀

Hipotesis dua arah:

H₀: _D = ₀ vs H₁: _D₀

 Statistik uji:

Dimana adalah rata-rata simpangan antar pengamatan pada contoh pertama dengan contoh kedua

 Daerah Kritis: (lihat kasus satu contoh)

Pasangan 1 2 3 … n

contoh 1 (X1) x11 x12 x13 x1n

contoh 2 (X2) x21 x22 x23 x2n

D = (X1-X2) d1 d2 d3 dn

n s

t d

d

h

/



0

 

 Ilustrasi

Suatu klub kesegaran jasmani ingin mengevaluasi program diet, kemudian

dipilih secara acak 10 orang anggotanya untuk mengikuti program diet tersebut selama 3 bulan. Data yang diambil adalah berat badan sebelum dan sesudah program diet dilaksanakan, yaitu:

Apakah program diet tersebut dapat mengurangi berat badan lebih dari 5 kg?

Lakukan pengujian pada taraf nyata 5%!

Berat Badan Peserta

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Sebelum (X1) 90 89 92 90 91 92 91 93 92 91

Sesudah (X2) 85 86 87 86 87 85 85 87 86 86

D=X1-X2 5 3 5 4 4 7 6 6 6 5

Jawab:



Karena kasus ini merupakan contoh berpasangan, maka:



Hipotesis:

H0 : 

_D

= 5 vs H1 : 

_D

> 5



Deskripsi:



Statistik uji:

1 , 10 5

51 



 

n

d d

ⁱ

 

43 , ) 1

9 ( 10

) 51 ( ) 273 ( 10 )

1 (

2 2 2

2   











n n

d d

s_d n ^{i i}

20 , 1 43

,

1 

d

 s

26 , 0 10

/ 20 , 1

5 1 ,

5  

 

 



n s

d s

t d

d d d

d 





Daerah kritis pada



=5%

Tolak H₀, jika t_h > t_{(=5%,db=9)}= 1.833



Kesimpulan:

Terima H₀, artinya data belum mendukung program diet tersebut dapat mengurangi berat badan lebih dari 5 kg

Pengujian Proporsi Satu Populasi



Bentuk Hipotesis:

 H₀ : p = p₀

 H₁ : p < p₀ | H₁ : p > p₀ | H₁ : p ≠ p₀ ;



Jika n besar  sebaran Z



Statistik-uji : Z

_h

=

n p) σ²_pˆ p(1





Karena p tidak diketahui, maka digunakan p

⁰



Daerah Kritik :



H1:

p < p₀  Z_h < - Z_



H1:

p > p₀  Z_h > Z_



H1:

p ≠ p₀  |Z_h| > Z_/2

Teladan



Seorang produsen mengklaim bahwa paling tidak 95%

produknya bebas-rusak. Pemeriksaan terhadap contoh

acak produknya dengan n = 600 menunjukkan bahwa 39 di

antaranya rusak. Uji pernyataan produsen tersebut.

Pengujian Proporsi Dua Populasi



Bentuk Hipotesis:

 H₀ : p₁ - p₂ = p₀

 H₁ : p₁ - p₂ < p₀ | H₁ : p₁ - p₂ > p₀ | H₁ : p₁ - p₂ ≠ p₀



Jika n besar  sebaran Z



Statistik-uji : Z

_h

=

 dimana

) n 1 n

1 p)(

p(1

p )

pˆ pˆ

(

2 1

0 2

1









2 1

2 1

n n

X pˆ X



 



Karena p tidak diketahui, maka digunakan p

⁰



Daerah Kritik :



H1:

p₁ < p₂  Z_h < - Z_



H1:

p₁ > p₂  Z_h > Z_



H1:

p₁ ≠ p₂  |Z_h| > Z_/2

Teladan



Suatu Obat penenang diduga hanya 60% efektif. Hasil percobaan dengan obat baru terhadap 100 orang dewasa menunjukkan 70% obat tersebut efektif. Apakah ini bukti bahwa obat baru lebih baik dari yang beredar sekarang?

Gunakan taraf nyata 5%.

Pengujian Ragam Satu populasi



Bentuk Hipotesis:

 Satu Arah:

H

₀

: 

²

 

₀²

H

₀

: 

²

 

₀²

H

₁

: 

²

> 

₀²

H

₁

: 

²

< 

₀²

 Dua Arah:

H

₀

: 

²

= 

₀²

H

₁

: 

²

 

₀²



Statistik uji :  

₂

1) n 2 (db

0 2 2

hit

~ χ σ

s 1

χ n 

_{ }



Teladan



Sebuah perusahaan aki mobil mengatakan bahwa umur aki

mobil yang diproduksinya mempunyai simpangan baku 0.9

tahun. Bila suatu contoh acak 10 aki menghasilkan simpangan

baku s = 1.2 tahun, apakah menurut Anda



> 0.9 tahun?

Pengujian Ragam Dua populasi



Bentuk Hipotesis:

 Satu Arah:

H

₀

: 

₁²

 

₂²

H

₀

: 

₁²

 

₂²

H

₁

: 

₁²

> 

₂²

H

₁

: 

₁²

< 

₂²

 Dua Arah:

H

₀

: 

₁²

= 

₀²

H

₁

: 

₁²

 

₂²



Statistik uji :

db n 1;db n 1

2 2 2

1

2 2 2

1

hit

~ f

_{1 1 2 2}

) s , min(s

) s , max(s

f 

_{   }

Teladan

52

Selesai