1
SISTEM BILANGAN RIIL
(Sifat Aljabar ℝ, sifat urutan ℝ, Trikotomi, Ketaksamaan Bernoulli)
Edi Sutomo*
Abstrak: Salah satu konsep dasar untuk mengkaji bidang matematika analisis adalah sistem bilangan Riil ℝ beserta sifat – sifatnya. Ada dua cara yang dapat digunakan untuk mengenali system bilangan real ini, yaitu secara konstruksi dan secara aksiomatik. Pembahasan dalam makalah ini terfokus pada sifat aljabar ℝ, sifat urutan ℝ, trikotomi dan ketaksamaan bernoulli sistem bilangan real akan dikenali secara aksiomatik, yaitu dengan menganggap system bilangan real memenuhi sifat-sifat tertentu yang dirumuskan.
Kata kunci: Bilangan riil, aksiomatik
1. Pendahuluan
Matematika sebagai suatu ilmu pengetahuan yang sistematis serta ditandai dengan penalaran yang ketat (rigorous) dan terstruktur rapi. Perkembangan matematika yang begitu cepat berimplikasi kepada keluasan cakupan keilmuan dan pencabangannya. Cabang-cabang pokok matematika yang lazim dikenal orang awam adalah geometri, aritmatika, aljabar, logika, analisis, statistika, dan matematika diskrit. Setiap cabang mengenal anak – anak cabang, demikian seterusnya, sehingga diperoleh sebuah pohon keilmuan.
Salah satu cabang dalam ilmu matematika adalah analisis. Matematika analisis atau sering disebut analisis, merupakan cabang matematika murni yang banyak mengkaji berbagai teori mengenai limit, deret tak hingga, fungsi analitik, derivative, serta ukuran dan integral. Matematika analisis dapat diaplikasikan pada berbagai cabang matematika yang mempunyai hubungan dengan konsep nearness (ruang topologi) atau distance (ruang metrik). Matematika analisis
* Mahasiswa Magister Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
2 mengajarkan cara berfikir analitis, sehingga dapat membantu dalam menyelesaikan masalah-masalah baru yang tidak standar/baku.
Salah satu konsep dasar untuk mengkaji bidang matematika analisis adalah sistem bilangan Riil ℝ beserta sifat – sifatnya. Ada dua cara yang dapat digunakan untuk mengenali system bilangan real ini, yaitu secara konstruksi dan secara aksiomatik. Pembahasan dalam makalah ini sistem bilangan real akan dikenali secara aksiomatik, yaitu dengan menganggap system bilangan real memenuhi sifat-sifat tertentu yang dirumuskan.
2. Pembahasan
Pembahasan dalam sistem bilangan riil himpunan semestanya mencakup semua bilangan riil yang ada. Bilangan riil merupakan sekumpulan bilangan rasional dan irasional serta dapat berkoresponden satu – satu dengan sebuah titik pada garis bilangan. Pada sitem bilangan riil terdapat dua operasi biner yang dinotasikan dengan penjumlahan + dan perkalian ∙ . Dengan dua operasi tersbeut disusun beberapa aksioma penting.
Dua aksioma penting dalam bilangan riil adalah eksistensi elemen dan elemen . Elemen ini merupakan elemen pertama yang perlu diketahui dalam kajian sistem bilangan Riil.
2.1 Sifat Aljabar Bilangan Riil
Bilangan riil ℝ sebagai suatu himpunan terdapat dua operasi biner yang disebut " + " dan " ∙ " yang menyatakan pernjumlahan dan perkalian yang memiliki sifat – sifat:
(A1) + = + untuk setiap , ∈ ℝ sehingga dikatakan komutatif terhadap penjumlahan
(A2) + + = + + untuk setiap , , ∈ ℝ yaitu asosiatif terhadap penjumlahan
(A3) terdapat elemen di ℝ sedemikian hingga + = + = untuk setiap ∈ ℝ sehingga disebut sebagai sifat elemen identitas.
3 (A4) untuk setiap ∈ ℝ, terdapat − ∈ ℝ sedemikian hingga + − =
− + = (eksistensi dari elemen negatif)
(M1) ∙ = ∙ untuk setiap , ∈ ℝ sehingga dikatakan komutatif terhadap perkalian
(M2) ∙ ∙ = ∙ ∙ untuk setiap , , ∈ ℝ atau sifat asosiatif terhadap perkalian
(M3) teradapat unsur ∈ ℝ sehingga . = dan . = untuk setiap
∈ ℝ, sehingga elemen 1 dikatakan elemen satuan
(M4) untuk setiap ∈ ℝ dan ≠ selalu ada ∈ ℝ sehingga ∙ =
∙ = , sehingga disebut sebagai kebalikan dari
(D) ∙ + = ∙ + ∙ dan + ∙ = ∙ + ∙ untuk semua , , ∈ ℝ, sehingga disebut sebagai distributif perkalian terhadap penjumlahan
Terdapat 4 (empat) sifat yang berkorelasi dengan sifat penjumlahan (Addition) yang dinotasikan dengan �, yaitu sifat � , � , � , dan � , begitu juga terdapat 4 (empat) sifat berkaitan dengan perkalian (multiplication) yang dinotasikan dengan � yaitu � , � , � dan � dan 1 (satu) yang menggabungkan keduanya, yaitu sifat Distributif � . Kesembilan sifat tersebut merupakan sifat aljabar atau aksioma bilangan riil.
Sampai saat ni belum didefinisikan bilangan negatif dan operasi pengurangan. Notasi − dianggap satu elemen di dalam ℝ, begitu juga elemen kebalikan dianggap sebagai satu elemen didalam ℝ serta operasi pembagian belum juga didefinisikan.
2.1.1 Teorema jika sebarang bilangan riil, maka persamaan + � = , mempunyai penyeleseaian tunggal, � = − +
Bukti:
Perlu ditunjukan terlebih dahulu eksistensi penyelesaiannya terlebih dahulu.
+ � =
4
− + + � = − +
( − + ) + � = − + ... sifat (A2)
+ � = − + ... sifat (A4)
� = − + ... sifat (A3)
selanjutnya akan ditunjukan penyelesaiannya adalah tunggal. Misal diberikan � penyelesaian ytang lain, maka berlaku + � = , sehingga diperoleh hubungan + � = + �. Berdasarkan langkah sebelumnya diperoleh � = − + + � . Dengan menggunakan (A2) kemudian (A4) maka diperoleh � = �, sehingga disimpulkan penyelesaiannya adalah tunggal.
Teorema 1.1
(a) jika � dan adalah bilangan riil, maka � + = maka � = (b) jika , ∈ ℝ dan , ≠ sedemikian hingga ∙ =
, maka =
(c) jika ∈ ℝ, maka ∙ = Bukti
(a) karena di ℝ, maka berdasarkan A4, terdapat – ∈ ℝ sedemikian sehingga + − = . Jadi, � + + − = + − =
dan berdasarkan sifat (A2), (A4) dan (A3) kita peroleh
� + ( + − ) = � + =
� =
(b) Karena ∈ ℝ dan , maka berdasarkan sifat M4 maka terdapat unsur ∈ ℝ sedemikian sehingga ∙ = . Berdasarkan sifat (M2), (M4) dan (M3) kita peroleh
∙ ∙ = ∙ ( ∙ ) = ∙ = ,
jadi =
(c) Berdasarkan (M3) kita mempunyai ∙ = . Selanjutnya kedua ruas ditambahkan dengan , sehingga diperoleh
+ ∙ = ∙ + ∙
5 = ∙ + ... sifat (D)
= ∙ ... sifat (A3) = ... sifat (A3) teorema 2.1.2 (c) mengatakan bahwa bilangan apapun jika dikalikan dengan nol maka hasilnya adalah nol. Fakta ini merupakan teorema yang kebenarannya dapat dibuktikan bukan suatu kesepakatan atau aksioma. Begitu juga dengan fakta lain pada teorema ini.
Teorema 1.2
(a) jika , ∈ ℝ sedemikian hingga + = , maka = −
(b) jika , ∈ ℝ dan ≠ sedemikian sehingga ∙ = , maka
= Bukti
(a) karena ∈ ℝ, berdasarkan (A4), maka ada − ∈ ℝ sedemikian hingga + − = . Jadi, + + − = + − = − dan berdasarkan sifat (A2), (A4) dan (A3) diperoleh
+ + − = + = −
jadi = − .
(b) Karena ∈ ℝ dan ≠ , berdasarkan sifat (M4) maka terdapat elemen ∈ ℝ sehingga ∙ = . Jadi ∙ ∙ = ∙ = , melalui penggunaan sifat (M2), (M4) dan (M3) diperoleh ∙ ∙
= ∙ ( ∙ ) = ∙ = jadi, = Teorema 1.3
Jika , , ∈ ℝ, maka pernyataan berikut berlaku (a) Jika ≠ maka ≠ dan 1
� = (b) Jika ∙ = ∙ dan ≠ , maka = (c) Jika ∙ = maka berlaku = atau =
6 Bukti
(a) Karena ≠ , maka sesuai sifat (M4) selalu ada ∈ ℝ. Andai
= maka diperoleh
= ∙ ( ) = ∙ =
Hal ini kontradiksi dengan (M3). Jadi pengandaian ini tidak benar sehingga ≠ . Karena ≠ dan ∙ = maka berdasarkan teorema 1.2, maka = 1
�
(b) Karena ≠ dan ∈ ℝ maka terdapat ∈ ℝ
∙ = ∙ dikalikan dengan
∙ = ( ∙ ) ...
( ∙ ) ∙ = ( ∙ ) ∙ ... Sifat (M2) ∙ = ∙ ... sifat (M4).
(c) Misalkan bahwa ∙ = dan ≠ . Selanjutny, jika kedua ruas dikalikan dengan , maka akan diperoleh
= ∙ = ( ) ∙ ∙ = ( ) ∙ ∙ = ( ) ∙ = dengan alasan yang sama dapat digunakan untuk menunjukkan jika b 0, maka diperoleh a = 0.
2.1.2 Beberapa Operasi Lainnya pada ℝ
Sejauh ini, hanya ada dua operasi pada bilangan riil. Melalui dua operasi ini diturunkan beberapa operasi lain yang didefinisikan sebagai berikut
(a) Operasi pengurangan
Bila , ∈ ℝ, maka notasi − dibaca dikurang dengan didefinisikan oleh
− ≔ + −
7 (b) Operasi pembagian
Jika , ∈ ℝ dan ≠ maka notasi dibaca dibagi dengan dan didefinisikan oleh
≔ ∙ ( ) (c) Operasi pangkat
Jika ∈ ℝ maka notasi dibaca dipangkatkan dengan dua atau kuadrat dan didefinisikan sebagai ≔ ∙ . Secara umum untuk � bilangan asli, maka � adalah dipangkatkan dengan � didefinisikan oleh
� ≔ ∙ ∙ ∙ ⋯ ∙⏟
y k � k
Untuk ≠ , notasi − dimaksudkan untuk menuliskan dan notasi −� untuk �
2.1.3 Beberapa himpunan bagian pada ℝ
Pada sistem bilangan riil memiliki himpunan bagian (subset) diantaranya bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional dan sebagainya. Dalam tulisan ini akan diberikan beberapa himpunan bagian yang dianggap penting dalam kajian analisis riil, diantaranya:
(a) Bilangan asli
Himpunan bilangan asli dinotasikan dengan ℕ dan � ∈ ℕ ∈ ℝ dan difenisikan sebagai
� ≔ + + + ⋯ +⏟
y k � k
(b) Bilangan bulat
Himpunan bilangan bulat dilambangan dengan ℤ dan keanggotaannya didefinisikan sebagai berikut:
ℤ ≔ {−�: � ∈ ℕ} ∪ ℕ ∪ { }, dengan
−� ≔ − + − + − + ⋯ + −⏟
y k � k
8 (c) Bilangan rasional dan irasional
Himpunan bilangan rasional dinotasikan dengan yang dapat ditulis dalam bentuk pecahan, jadi
≔ { : , ∈ ℤ, ≠ }
Dalam sistem bilangan riil selain bilang rasional terdapat bilangan irrasional dan himpunan bilangan irrasional dinotasikan dengan ℝ ∖
Gambar 1. Struktur bilangan riil 2.2 Sifat Urutan Bilangan Riil
Urutan pada bilangan riil mengacu pada hubungan ketaksamaan antara dua bilangan riil.
Definisi 1.1
Pada sistem bilangan ℝ terdapat himpunan bagian tak kosong dengan sifat – sifat berikut
1. Jika , ∈ maka + ∈ 2. Jika , ∈ maka ∙ ∈
Himpunan ini selanjutnya disebut sebagai himpunan bilangan positif.
Selanjutnya, akan diturunkan sifat trikotomi pada bilangan riil, yaitu apabila sebarang ∈ ℝ maka akan memenuhi tepat satu pernyataan berikut:
∈ atau = atau − ∈
Terdapat − atau bilangan negatif yang didefinisikan oleh {− : ∈ }
≔ {⋯ , − , − , , , , , ⋯ }
ℝ ∖ ≔ , �, � � � ���
ℝ
ℤ≔ {⋯ , − , − , − , , , , ⋯} ℕ≔ { , , , , ⋯}
9 Jadi himpunan bilangan riil terbagi atas tiga himpunan yang saling asing, yaitu bilangan positif, bilangan negatif dan nol yang didefinisikan lebih lanjut.
Definisi 1.2
1. Bilangan ∈ dikatakan bilangan positif dan dinotasikan oleh
> . Untuk notasi berarti ∈ ∪ { } dan disebut bilangan tak negatif.
2. Bilangan ∈ sehingga − ∈ dikatakan bilangan negatif dan dinotasikan oleh < . Untuk notasi berarti
− ∈ ∪ { } dan disebut bilangan tak positif.
3. Bilangan riil dikatakan lebih besar dari dan ditulis >
jika dan hanya jika − ∈ Teorema 1.4
Misalkan , , ∈ ℝ, maka akan berlaku pernyataan berikut ini:
(a) Jika > dan > maka >
(b) Akan memenuhi tepat satu pernyataan < , = , >
Bukti
(a) Karena > dan > maka berdasarkan definisi 1.2 bagian 3 berlaku − ∈ dan − ∈ , sehingga
− + − ∈
− + − ∈
+ − − ∈ ... sifat A1 + − − ∈ ... sifat A2
− ∈
Karena − ∈ sesuai dengan definisi 1.2 poin 3 berlaku >
(b) Dari sifat trikotomi berakibat bahwa untuk , ∈ ℝ terdapat tepat satu yang akan memenuhi − ∈ , − = atau − −
∈
i. Jika − ∈ berakibat pada − >
10 Jika − > dikedua ruas ditambahkan dengan b, diperoleh
− + > + = >
ii. Jika − = kebudian dikedua ruas ditambahkan dengan b, diperoleh
− + = +
=
iii. Jika – − ∈ berakibat pada − <
Jika − < dikedua ruas ditambahkan dengan b, diperoleh
− + < + = <
Teorema 1.5
Jika sembarang , , ∈ ℝ, maka akan berlaku:
(a) Jika > dan > maka >
(b) Jika > maka + > + (c) Jika > dan > maka >
(d) Jika > dan < maka <
Bukti
(a) Jika > dan > maka berlaku − > dan − >
sehingga bisa dinotasikan − ∈ dan − ∈ , maka
− + − = − ∈
Karena − ∈ maka berlaku >
(b) Jika > maka berakibat − > sehingga bisa dinotasikan
− ∈ , maka + − + ∈ .
Maka + − + ∈ mengakibatkan + −
+ > , Kedua ruas dijumlahkan dengan + di +
− + + + > + +
Maka, + > +
(c) Jika > berakibat − > dan dinotasikan dengan
− ∈ dan > dinotasikan dengan ∈ , maka sesuai
