SISTEM PERSAMAAN LINIER
Persamaan linier adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat fungsi eksponensial, trigonometri, logaritma serta tidak melibatkan suatu hasil kali peubah atau akar peubah atau pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri.
Bentuk :
,
dimana , , … , dan b adalah konstanta real.
Sistem persamaan linier adalah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier.
Bentuk :
Atau dalam bentuk :
Atau
. dimana :
A disebut matriks koefisien X disebut matriks peubah B disebut matriks konstanta.
Contoh 1 :
FMIPA UAD membeli sebuah Laptop dan 2 PC seharga 5 jt. Jika yang dibeli 3 laptop dan 1 PC maka harganya 10 jt.
Dalam bentuk SPL masalah ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
Missa
Atau d
Solusi suatu Untuk
Maka Untuk - -
al x = laptop x + 2y = 5 3x + y = 1 dapat ditulis
i SPL adala SPL akan m k SPL
x + 2y = 5 3x + y = 1 { x = 30000 k suatu SPL t SPL memp SPL memp
Solusi (tepa
so
p dan y = PC 5000000 10000000.
dalam bentu
ah himpunan memenuhi nil
5000000 10000000.
000, , y = 100 terdapat tiga punyai tak h punyai solus
Mempun Solusi(Kons
Tunggal at satu
lusi)
, maka
uk
n bilangan re lai kebenaran
00000} adal a kemungkin hingga banya
si tunggal
SPL non Homogen
B≠ 0
nyai sisten)
Tak hingga banyak solusi
m
.
eal yang jik n SPL terseb
lah solusi SP nan terkait de ak solusi
SPL AX=B
i Tidak mempunyai
Solusi
Solu x
a disubstitus but.
PL tersebut.
engan solusi
SPL Hom B = 0
Selal mempu solus
usi trivial xi =0
sikan pada p
i:
ogen 0
u nyai si
TAk hingga banyak solus
peubah dalam
si
m
- SPL tidak mempunyai solusi
Ilustrasi solusi SPL (untuk SPL 2 x 2 , SPL dengan 2 persamaan dan 2 peubah)
Dalam grafik, solusi SPL adalahtitik potong dari kedua garis.
Pada gambar (a) terlihat kedua garis sejajar sehingga tidak mempunayi titik potong, jadi tidak ada solusi.
Pada gambar (b) kedua garis berpotongan tepat di satu titik, jadi SPL punyai solusi tunggal.
Pada gambar (c) kedua garis berhimpit, sehingga SPL punya banyak tak hingga solusi.
Contoh 2: (Silakan anda verfikasi) a. SPL yang punya tepat satu solusi
2 5
3 10
b. SPL yang tidak punya solusi
2 0
2 4 4
c. SPL yang punya tak hingga banyak solusi
2 0
2 4 0
Mencari solusi SPL
Solusi SPL dengan Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi baris elementer (OBE)
Sebelum nya kita tinjau mengenai Operasi Baris Elementer (OBE).
Ada tiga jenis OBE, yaitu:
1. Menukarkan satu baris dengan baris lain
2. Mengalikan suatu baris dengan konstanta nonnegative
3. Menjumlahkan hasil perkalian suatu baris dengan knstanta nonnegative dengan baris lain.
Contoh : Misalkan
3 1 2
6 0 2
3 7 8
OBE 1. ( baris pertama ditukar dengan baris kedua) diperoleh
6 0 2
3 1 2
3 7 8
OBE 2. ½ b1 ( baris pertama dikalikan ½ ) diperoleh
3 0 1
3 1 2
3 7 8
OBE 3. ½ b1 + b3 (setengah kali baris pertama ditambahkan ke baris ketiga)
diperoleh 3 0 1
6 1 3
3 7 8
.
Beberapa istilah dalam matriks yang perlu diketahui:
Misalkan diberikan matriks
1 0 2 0 3 3 0 0 0
.
- Baris tak nol adalah baris yang memuat unsur tak nol. Untuk matriks B diatas baris pertama dan kedua adalah baris tak nol.
- Baris nol adalah baris yang semua unsurnya nol. Baris ketiga pada matriks B adalah baris nol
- Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris kedua matriks B adalah unsur pertama tak nol pada masing-masing baris.
- Bilangan 1 pada baris pertama kolom pertama dinamakan satu utama.
Sifat matriks hasil OBE:
1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 ( satu utama)
2. Baris yang lebih rendah ( urutan dibawahnya) memuat satu utama yang lebih ke kanan.
3. Jika ada baris nol, maka diletakkan pada baris terakhir.
4. Pada kolom yang memuat unsur satu utama, maka unsur yang lain adalah nol.
Jika suatu matriks memenuhi sifat 1,2,3 maka dinamakan bentuk eselon baris dan proses utuk memperoleh matriks eselon baris ini dinamakan Eliminasi Gauss.
Jika suatu matriks memenuhi sifat 1,2,3, dan 4 maka dinamakan bentuk eselon baris tereduksi dan proses utuk memperoleh matriks eselon baris tereduksi ini dinamakan Eliminasi Gauss-Jordan.
Contoh 3 :
Bentuk eselon baris
Bentuk eselon baris terseduksi
Selanjutnya akan dicari solusi SPL dengan OBE.
Langkah:
- Tulis SPL dalam bentuk matriks yang diperbesar (Augmented Matrix) - Lakukan OBE sampai menjadi bentuk eselon baris /eselon baris tereduksi.
Contoh 4:
Selesaikan SPL x + 2y = 5 3x + y = 10.
Jawab :
Dalam bentuk matriks yang diperbesar
1 2 5
3 1 10 Selanjutnya kita lakukan OBE
1 2 5 3 1 10
1 2 5
0 5 5
/ 1 2 5 0 1 1
Persamaan yang besesuaian x + 2y = 5
3x + y = 10 x + 2y = 5 - 5y = -5
x + 2y = 5 y = 1
Sampai disini kita telah mendapatkan betuk eselon baris (proses eliminasi Gauss). Dengan substitusi mundur kita dapatkan:
y = 1
x + 2y = 5 2.1 5 5 2 3.
Jadi solusi SPL adalah 3, 1 .
Jika diinginkan bentuk eselon baris tereduksi (proses eliminasi Gauss-Jordan) maka dari langkah terakhir diatas perlu dilanjutkan sebagai berikut:
1 0 3
0 1 1 merupakan bentuk eselon baris tereduksi, yang menunjukkan solusi
SPL, yaitu 3, 1 .
Contoh 5: (SPL dengan solusi tunggal)
Tentukan solusi SPL dengan eliminasi Gauss-Jordan
2 5
3 2 11
2 2.
Jawab:
Dalam bentuk matriks yang diperbesar SPL menjadi
1 2 1
3 1 2
2 1 1 5 112
Selanjutnya dengan OBE
1 2 1
0 7 5
2 1 1
5 26 2
1 2 1
0 7 5
0 3 3
5 26 12
1 2 1
0 7 5
0 1 1
5 264
1 2 1
0 1 1
0 7 5
5 4 26
1 2 1
0 1 1
0 0 2 5 42
/
1 2 1
0 1 1
0 0 1 5 41
1 2 1
0 1 0
0 0 1 5 3
1
1 2 0
0 1 0
0 0 1 4 31
1 0 0 0 1 0 0 0 1 2
31 .
Jadi diperoleh solusi SPL tersebut adalah 2, 3, 1 .
Contoh 6: (SPL punya banyak solusi) Selesaikan SPL
4 8 12
3 6 9
2 4 6.
Jawab:
4 8 12
3 6 9
2 4 6
1 2 3
3 6 9
2 4 6
1 2 3
0 0 0
2 4 6
1 2 3
0 0 0
0 0 0
.
Dari sini terliha peubah bebas yang tidak memuat unsur kunci adalah . Persamaan baru yang sesuai adalah
2 3.
Selanjutnya kia berikan nilai parameter tertentu pada peubah bebas tersebut, kemudian substitusikan pada persamaan baru.
Misalkan . Dengan t bilangan real (konstanta), maka
2 3 2 3 3 2 .
Degnan demikian solusi SPL adalah 3 2 , untuk sebarang bilangan real t.
Jika diambil t = 0, maka salah satu penyelesaiannya adalah 3, 0 . Pembaca dapat mencoba untuk t yang lain.
Contoh 7 : (SPL tidak konsisten/tidak punya solusi) Selesaikan SPL
2 3 2
3 1
2 2 3 8 3.
Jawab:
Matriks yang diperbesar:
1 1 2
1 1 3
2 2 3 3 18 2
13
Dengan OBE
1 1 2
0 0 1
2 2 3
3 2 8
2 1 3
1 1 2
0 0 1
0 0 1
3 2 2
2 1 1
1 1 2
0 0 1
0 0 0
3 2 0
2 1 2
Dari hasil ini diperoleh persamaan 0 0 0 0 2, yang tidak ada nilai x yang memenuhi. Jadi SPL ini tidak punya solusi.
Solusi SPL dengan invers matriks Perhatikan SPL
Atau
. Jika kita kalikan kedua ruas SPL di atas dengan ,
diperoleh:
.
Sebelum menyelesaikan SPL ini dengan invers matriks, kita perlu ingat bahwa suatu matriks A mempunyai invers jika det 0.
Contoh:
Selesaikan SPL
4 1 8
2 1 3
1 0 2
22 75
Jawab:
Perhatikan bahwa
| | 4 1 8
2 1 3
1 0 2
1 0.
Jadi A punya invers, yaitu
2 2 11
1 0 4
1 1 6
.
Dengan demikian diperoleh
2 2 11
1 0 4
1 1 6
227 5
= 32 1
Jadi solusi SPL di atas adalah 3, 2, 1 .
Solusi SPL dengan Aturan Crammer
Langkah dalam memyelesaikan SPL menggunakan Aturan Crammer adalah:
Langkah 1. Hitung determinan A
Langkah 2. Tentukan , yaitu matriks A dimana kolom ke-i diganti oleh B.
Langkah 3. Tentukan det .
Langkah 4. Solusi SPL adalah det
det .
Contoh:
Selesaikan SPL
4 1 8
2 1 3
1 0 2
22 75
Menggunakan aturan Carmmer.
Jawab:
Perhatikan det(A),
| | 4 1 8
2 1 3
1 0 2
1.
Sehingga,
det det
22 1 8
7 1 3
5 0 2
1
3 1 3.
det det
4 22 8
2 7 3
1 5 2
1
2 1 2.
dan
det det
4 1 22
2 1 7
1 0 5
1
1 1 1.
Jadi solusi SPL di atas adalah 3, 2, 1 .
SPL Homogen
SPL homogen berbentuk AX = 0.
SPL homogen selalu punyai solusi, yaitu salah satu dari dua kemungkinan berikut:
1. Solusi trivial ( 0 , untuk semua i.
2. Tak hingga banyak solusi.
Suatu SPL homogen akan memiliki solusi tak hingga banyak (nontrivial) jika determinan matriks koefisiennya sama dengan nol, yaitu jika det 0.
Contoh : SPL homogen dengan solusi trivial 2 3 0
2 0 0.
Silakan anda coba sebagai latihan.
Contoh: SPL homogen dengan solusi tak hingga banyak.
3 0
5 0
Solusi dari SPL ini adalah , , , .
Silakan anda coba.
SOAL
Selesaikan SPL berikut dengan eliminasi Gauss-Jordan:
1. 2 2 4 10
3 2
4.
2. 2 3 2
3 1
2 2 3 8 5.
3. 2 4 1
3 7 2 2
12 11 16 5.
4. 3 5 0
4 7 3 0
3 2 7 8 0.
