PERSAMAAN DIFFERENSIAL

MATEMATIKA REKAYASA 1

AULIA SITI AISJAH – TEKNIK FISIKA ITS

PERSAMAAN DIFFERENSIAL

PD Exact

PD Exact

Bentuk PD

Bila ada fs  sehingga

Dan (x,y) = c dan dideff. y = (x) maka

Bentuk PD menjadi

Sehingga (x,y) = c merupakan solusi PD di atas Dalam kasus ini PD dikatakan PD exact.

0 )

, ( )

,

(x y + N x y y = M

) , ( )

, ( ),

, ( )

,

(x y M x y _y x y N x y

x =  =





^{, ( )}



) , ( )

,

( x x

dx d dx

dy y y x

y x N y

x

M   ₌  

 + 



=  + 



^{x, (x)}



^{= 0}

dx

d  

𝜕𝑀

𝜕𝑦 = 𝜕𝑁

𝜕𝑥

Jika PD dituliskan

Dimana fungsi M, N, M_y and N_x semua kontinyu

Dan daerah yang memenuhi R: (x, y)  (,  ) x (,  ).

Pers (1)mdikatakan sbg PD exact, jika dan hanya jika

Jika ada fungsi  yg memenuhi kondisi Maka M dan N adalah solusi (2).

) 1 ( 0

) , ( )

,

(x y + N x y y = M

) 2 ( )

, ( ),

, ( )

,

(x y N x y x y R

M_y = _x  

) 3 ( )

, ( )

, ( ),

, ( )

,

(x y M x y _y x y N x y

x =  =



Teori 1

Contoh 1

PD berikut

Disini

dan

Berdasar teori

Maka

0 )

4 ( ) 4 4 (

4  + + −  =

−

− +

= x y x y y

y x

y x

dx dy

y x y

x N y x

y x

M( , ) = +4 , ( , ) = 4 −

𝑀_𝑦 𝑥, 𝑦 = 4 = 𝑁_𝑥 𝑥, 𝑦 ⇒ 𝑃𝐷𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡

y x y

x y

x y

x _y

x( , ) = + 4 ,  ( , ) = 4 −



( )

^{4 ( )}

2 4 1

) , ( )

,

(x y =



^_x x y dx =



x+ y dx = x² + xy +C y



Solusi

Bila

dan

Diikuti oleh

Maka

Berdasar teorema

y x y

x y

x y

x _y

x( , ) = + 4 ,  ( , ) = 4 −



( )

^{4 ( )}

2 4 1

) , ( )

,

(x y =



^_x x y dx =



x+ y dx = x² + xy +C y



k y

y C y

y C y

C x y

x y

y x = − = +    = −  = − ² +

2 ) 1

( )

( )

( 4

4 ) ,

 (

k y

xy x

y

x = ² + − ² +

2 4 1

2 ) 1 ,

 (

c y

xy

x² +8 − ² =

Contoh 1 - Peny. Bentuk kurva

Bentuk PD dan solusi nya

Garifk yg menunjukkan arah dr medan dr PD tersebut

c y

xy x

y y x y

y x x

y x

dx

dy  + + −  =  + − =

−

− +

= ( 4 ) (4 ) 0 ² 8 ²

4 4

Contoh 1: Peny. Eksplisit dan grafik

Bentuk solusi PD

Pada kasus ini,

Beberapa kurva dengan nilai c yg berbeda

c x

x y

c x

xy

y² −8 − ² − = 0  = 4  17 ² + c

y xy

x² +8 − ² =

Contoh 2: PD Exact

PD berikut

Maka

dan

Berdasar teori,

Dan

0 )

1 (sin

) 2

cos

(y x+ xe^y + x+ x²e^y − y =

1 sin

) , ( , 2

cos )

,

(x y = y x + xe^y N x y = x + x²e^y − M

𝑀_𝑦 𝑥, 𝑦 = cos 𝑥 + 2𝑥𝑒^𝑦 = 𝑁_𝑥 𝑥, 𝑦 ⇒ 𝑃𝐷 exact

1 sin

) , ( ,

2 cos

) ,

( = = + ^y _y = = + ^{2 y} −

x x y M y x xe  x y N x x e



(

^{cos 2}

)

^{sin ( )}

) , ( )

,

(x y =



^_x x y dx =



y x + xe^y dx = y x+ x²e^y +C y



Contoh 2

Terdapat

dan

diikuti

Maka

Berdasar teori

1 sin

) , ( ,

2 cos

) ,

( = = + ^y _y = = + ^{2 y} −

x x y M y x xe  x y N x x e



(

^{cos 2}

)

^{sin ( )}

) , ( )

,

(x y =



^_x x y dx =



y x+ xe^y dx = y x+ x²e^y +C y



k y y

C y

C

y C e

x x e

x x y

x ^{y y}

y

+

−

=



−

 =



+  +

=

− +

=

) ( 1

) (

) ( sin

1 sin

) ,

( ^{2 2}



k y e

x x y

y

x, ) = sin + ^{2 y} − +

(

c y

e x x

ysin + ^{2 y} − =

Contoh 2 dan kurva

Bentuk PD solusi

Grafik solusi.

c y e

x x y

y e

x x xe

x y

y

y y

=

− +

 =

− +

+ +

2

2

sin

, 0 )

1 (sin

) 2

cos (

Contoh 3: Pers. Non exact → Gunakan Faktor Pengintegrasi

Bentuk PD

Maka

dan

Utk menunjukkan bahwa PD bukan exact, disini  maka

0 )

2 ( ) 3

( xy+ y² + xy + x³ y =

3

2, ( , ) 2

3 ) ,

(x y xy y N x y xy x

M = + = +

𝑀_𝑦 𝑥, 𝑦 = 3𝑥 + 2𝑦 ≠ 2𝑦 + 3𝑥² = 𝑁_𝑥 𝑥, 𝑦 ⇒ 𝑃𝐷 𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛 exact

3

2, ( , ) 2

3 )

,

(x y M xy y _y x y N xy x

x = = +  = = +



(

³

)

^{3 /2 ( )}

) , ( )

,

(x y =



^_x x y dx =



xy + y² dx = x²y + xy² +C y



Bila 𝜕𝑀

𝜕𝑦 ≠ 𝜕𝑁

𝜕𝑥

Contoh 3: PD bukan exact

Fungsi dan

Maka

Disini nilai.

sesuai dengan yang didefinisikan pada y, merupakan bukan solusi PD

3

2, ( , ) 2

3 )

,

(x y M xy y _y x y N xy x

x = = +  = = +



(

³

)

^{3 /2 ( )}

) , ( )

,

(x y =



^_x x y dx =



xy+ y² dx = x²y + xy² +C y



𝜓_𝑦(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 + 𝑥³ = 3𝑥²/2 + 2𝑥𝑦 + 𝐶^′(𝑦)

⇒ 𝐶^′ 𝑦 = 𝑥³ − 3𝑥²

2 ⇒ 𝐶 𝑦 = 𝑥³𝑦 − 3𝑥²𝑦/2 + 𝑘

c xy

y

x³ + ² =

Contoh 3: Grafik

PD dan solusi

Plot grafik dari y

Dari grafik, terlihat y tidak memenuhi PD c

xy y

x

y x xy y

xy

= +

 = +

+ +

2 3

3

2) (2 ) 0,

3 (

• Beberapa PD non exact dapat dijadikan PD exact dengan mengalikan dg faktor (x,y):

• Untuk menjadi PD exact, perlu

• Peny scr parsial akan sulit, maka jika  _{adalah fs} dr x dan _y = 0 dapat diperoleh

Terlihat sisi kana hanya x dan juga  adalah fs dr y saja.

Factor PengIntegrasi (FI)

0 )

, ( ) , ( )

, ( ) , (

0 )

, ( )

, (

 = +

 = +

y y x N y x y

x M y x

y y x N y

x M





(

^{ M}

) (

_y ^{=  N}

)

_x ^{ M}_y ^{− N}_x ⁺

(

^M_y ^{− N}_x

)

^{ = 0}

,



N N M

dx

d y − x

=

Contoh 4: PD non exact

Perhatikan PD non exact

Dengan FI

Kalikan PD dengan , diperoleh PD exact

dan solusinya

0 )

( ) 3

( xy + y² + x² + xy y =

x x x

dx d N

N M

dx

d _{y x}

=



=

− 

=    ( )



, 0 )

( ) 3

( x²y + xy² + x³ + x²y y =

c y

x y

x³ + ^{2 2} = 2

1

Tugas 2:

NRP Ganjil – 3 soal Ganjil (soal 1-10)+ 2 soal Ganjil (17-26)

NRP Genap – 3 soal Genap (soal 1-10)+ 2 soal Genap (17-26)

Tugas 2 dikumpulkan paling lambat

12 Oktober 2020, mell MyClassroom