M00901

(1)

ANALISA SAHAM MENGGUNAKAN TRANSFORMASI

FOURIER STOKASTIK

Kharisma Yusea Kristaksa 1) Hanna Arini Parhusip 2), dan Bambang Susanto 3)

1)

Mahasiswa Program Studi Matematika 2) 3)Dosen Program Studi Matematika email:1)

kharismakristaksa@yahoo.com 2)hannaariniparhusip@yahoo.co.id3) bsusanto5@gmail.com

Fakultas Sains dan Matematika

Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711

Abstrak

Analisa fluktuasi saham untuk menentukan risiko pada salah satu perusahan dengan menggunakan deret Fourier telah dibahas. Hasil yang diperoleh mempunyai frekuensi 0.4092 dengan resiko yang terbesar yaitu return data pada periode (25/4/2012 – 8/5/2012). Semakin besar risiko maka semakin besar pula nilai harapan return yang diperoleh. Oleh karena frekuensi yang dihasilkan dari deret Fourier juga menunjukkan konsekuensi risiko yang sama yaitu frekuensi yang terbesar dari data juga menjelaskan risiko yang terbesar. Dalam makalah ini, data volume saham dianalisa dengan cara yang sama yaitu data volume sebagai deret Fourier. Akan tetapi pada penelitian ini data volume hasil Fuorier dimodelkan secara stokastik sebagai kombinasi linear antara rata-rata dan standar deviasi. Bobot kombinasi linier divariasi. Hasil penelitian menunjukkan bahwa data volume mempunyai frekuensi 0.4054 dengan resiko terbesar yaitu data volume pada periode (25/4/2012 – 8/5/2012). Jadi dari kedua analisa, frekuensi yang diperoleh terdapat pada periode yang sama.

Kata-kata kunci: Deret Fourier , Distribusi Normal , Return Saham, Risiko Saham, Stokastik Fourier

PENDAHULUAN

Analisa return saham Asuransi Bina Dana Arta Tbk pada periode 1/02/2012 – 31/01/2013telah dilakukan [1] dengan menggunakan deret Fourier untuk mendapatkan frekuensi terbesar. Dari frekuensi terbesar yang diperoleh dapat didefinisikan resiko yang terbesar dan dapat ditentukan periodenya.

Berdasarkan penelitian tersebut frekuensi yang dihasilkan dari Fourier juga menunjukkan konsekuensi risiko yang sama yaitu frekuensi yang terbesar dari data juga menjelaskan risiko yang besar. Dari data diperoleh bahwa pada posisi ke 61-70 (25/04/2012 – 08/05/2012) memberikan ekspektasi return terbesar bagi perusahaan. Untuk selanjutnya, tujuan dari makalah ini adalah menganalisa data volume saham dengan cara yang sama yaitu data volume sebagai deret Fourier. Akan tetapi pada penelitian ini data volume hasil Fuorier dimodelkan secara stokastik sebagai kombinasi linear antara rata-rata dan standar deviasi. Bobot kombinasi linier divariasi. Data volume yang digunakan doperoleh dari data indeks saham

perusahaan sama yaitu Asuransi Bina Dana Arta Tbk. yang di www.yahoo.finance.com

DASAR TEORI

Distribusi Normal. Distribusi probabilitas yang paling terkenal dan paling banyak digunakan adalah distribusi Gaussian atau normal. Distribusi normal memiliki fungsi kepadatan probabilitas yang diberikan oleh[3]

√

⁄

, ∞ ∞ (1)

dimana dan adalah parameter distribusi, yaitu berturut - turutanan mean dan deviasi standar dari X. Distribusi normal sering diidentifikasi sebagai N ( ,

)

Distribusi Normal Standar. Sebuah distribusi normal dengan parameter = 0 dan = 1, disebut distribusi normal standar, dilambangkan sebagai N (0, 1). Dengan demikian fungsi kepadatan dari variabel standar normal (Z) diberikan oleh

√ ⁄ , ∞ ∞ (2)

(2)

ditransformasi sebagai variabel normal standar dengan menggunakan transformasi

(3)

dengan probabilitas

√ ⁄ / (4)

dari Persamaan (4) dan = , Persamaan (4) dapat ditulis kembali sebagai

√

/

/ (5)

Integral ini merupakan luas di bawah kurva normal standar kepadatan antara /

dan / dan karena

(6)

Penyusunan Fourier stokastik

Ma’ruf,(2010) menjelaskan proses stokastik dan dimana bentuk Bayesian juga dibahas. Analisa Fourier juga diperekanlakan untuk fungsi “Step Function” dan estimasi spectral juga dilakukan untuk sinyal sinus

Untuk mendekati data volume sebagai gelombang maka kita perlu memilih tipe gelombang yang diasumsikan dapat mempresentasikan data yang ada. Pada makalah ini akan dicari bentuk gelombang yang dianggap sesuai.

Dari persamaan (3) data volume saham dinyatakan sebagai

/ , t = 1,2, . . .,T (7) Setelah data ditransformasi menurut persamaan (7) maka data akan dinyatakan dalam bentuk Fourier.

Pada makalah [1[ deret Fourier untuk data return berbentuk

sin – sin sin (8)

Pada penelitian ini digunakan cara yang sama untuk data volume saham. Dengan mengikuti pemodelan program linear stokastik [3], maka Volume Fourier persamaan (8) dapat dinyatakan sebagai:

(9a)

dimana : := rata-rata volume dan :=deviasi volume. Parameter

k

₁ dan

k

₂

bilangan tak negatif yang menjelaskan hubungan relatif pentingnya V dan standard deviasi V untuk optimasi. Jadi untuk

0

2

=

k

menandakan bahwa nilai harapan V diminimalkan tanpa memperhatikan standard deviasi V. Sebaliknya jika

k

1

=

0

,

menandakan bahwa kita tertarik dengan peminimalan variabilitas V disekitar

rata-ratanya tanpa terganggu dengan apa yang terjadi dengan nilai rata-rata V. Secara sama jika

k

₁=

k

₂=1, hal ini menjelaskan bahwa kita memandang bahwa rata-rata dan standard deviasi sama pentingnya. Pada pembahasan maka nilai

k

₁ dan

k

₂

akan divariasi sebagai bahan kajian.

Untuk menyusun frekuensi maka digunakan formula (Kristaksa,dkk,2013)

⁄ (9b)

dimana menyatakan banyaknya data yang memenuhi syarat untuk menyusun Fourier. Sedangkan T menyatakan subinterval waktu yang digunakan. Jadi

Untuk mendapatkan nilai frekuensi (f),dapat dituliskan

dan maka . (10)

untuk lebih jelasnya, berikut ini diberikan contoh penggunaan model tersebut pada sebagian data.

Menentukan dan yang optimal Parameter k dan k pada persamaan (9a)dapat divariasi dengan menetapkan dahulu, dan dapat pula ditentukan dengan cara optimasi dengan metode kuadrat terkcil.

Unutk mendapatkan parameter k dan k yang optimal akan digunakan metode kuadrat terkecil [2] yaitu:

min ∑ , ,

∑ , (11)

Syarat kritis o dimana tiap komponennya adalah

o. (12)

dalam notasi vektor persamaan (11) ditulis dalam bentuk · · dengan komponen pertama dari persamaan (11) adalah

· dimana

… (13) Tiap komponen adalah .

Jadi diperoleh

… ·

(3)

,

dan untuk dapat disusun secara sama

seperti yaitu

·

Jadi dengan menyelesaikan atau

diperoleh . Untuk

menguji meminimumkan R

maka perlu ditunjukkan yaitu Hessian R positive definite yang artinya, nilai eigen matriks Hessian R pada semua positif [2]. Bentuk Hessian R adalah

.

Untuk mendapatkan sebagai berikut :

Karena · · dan

· maka ·

·∆ dimana ∆ adalah vektor dengan komponen sebagai berikut :

Diketahui vektor …

maka

∆ … .

Komponen baris ke-1 kolom ke-2 dari Hessian R adalah :

·

· ·

dimana, sehingga

… .

Komponen pertama dapat diperoleh dengan

mengetahui sehingga

maka

dan secara sama dapat disusun untuk

komponen-komponen yang lain dari matriks Hessian R. Selanjutnya nilai

disubstitusikan pada Hessian R dan dicari nilai eigennya. Jika semua positif

maka jelas bahwa

meminimumkan R.

Contoh 1. Data volume saham

Dengan menggunakan 10 data volume saham, persamaan (8) digunakan untuk menyatakan data volume secara Fourier. Hasil ditunjukkan pada Gambar 1, dimana A dan pada persamaan (8) berturut-turut adalah :

A = 0.5096 dan = 2.3268

Hasil pendekatan ini diilustrasikan pada Gambar 1 dimana data dinyatakan dengan interpolasi. Intropalasi dilakukan karena data harus dalambentuk agar dapat menggunakan Fourier.

Gambar 1 Hasi deret Fourier untuk 10 data dari data ke 51-60 dibandingkan dengan data yang diinterpolasi

Gambar 2Periode(Horizontal) dan Frekuensi (Vertikal) dari deret Fourier Gambar 1

Sebagaimana pada penelitian awal (Kristaksa,dkk,2013), amplitudo gelombang tidak diperlukan. Informasi yang digunakan adalah frekuensi dari deret Fourier menurut persamaan (9)-(10). Deret sudah menjelaskan frekuensi data yang diperlukan diperoleh T = 2.7121 dan frekuensi f = 0.3687yang ditunjukkan pada Gambar 2.

METODO PENELITIAN

Tahap 1. Menyusun data volume saham sebagai deret Fourier sesuai dengan persamaan (8)

Tahap 2. Menyusun hasil deret Fourier Volume menggunakan stokastik Fourier menurut persamaan (9a), dengan rata-rata dan untuk setiap 10 data berturutan

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

(4)

Tahap 3. Menentukan probabilitas distribusi normalnya dari hasil stokastik Fourier menggunkan persamaan (6) dengan Parameter

k

₁ dan

k

₂ bilangan tak negatif Tahap 4. Dengan menggunakan cara yang sama seperti persamaan (6) menentukan probabilitas frekuensi return saham.

Tahap 5. Didapatkan informasi probabilitas dari hasil stokastik Fourier Volume dan Frekuensi return saham.

Tahap 6. Hasil probabilitas akan dibandingkan antara volume saham dan return saham terhadap risiko

Tahap 7. Studi Frekuensi yang dihasilkan

ANALISA DAN PEMBAHASAN

Dalam menganalisa berikut ini data yang digunakan adalah semua data volume dengan banyak data 260 data. Proses ini dilakukan secara sama untuk setiap 10 data dari seluruh data volume .

Gambar 3Deret Fourier untuk 260 data volume

Untuk 260 data volume dengan cara yang sama seperti sebelumnya dapat dilihat pada gambar 3 dimana data dinyatakan dengan interpolasi.

Gambar 4 Periode(Horizontal) dan Frekuensi (Vertikal) dari hasil deret Fourier untuk 10 data

beruntun dari 260 data

Pada Gambar 4 menunjukan setiap 10 data yang mempunyai frekuensi berada pada

sekitar 0.3 sampai 0.49,selain itu ada 2 frekuensi yang berbeda yaitu f = 0.9053 dan f = 0.1670 pada T = 1.1046 dan T = 5.9888.

Dengan menggunakan persamaan (9a), rata-rata V(t) ditulis dan variansi V(t) ditulis untuk setiap 10 data berturutan yang ditunjukkan pada Tabel 1.

Tabel 1. Nilai dan

M M

1 0.0004 0.0308 14 0.0058 0.0609 2 0.0005 0.441 15 0.0021 0.0485 3 0.0027 0.1048 16 -0.0002 0.1817 4 -0.4744 0.2302 17 0.0013 0.0149 5 0.0178 0.2944 18 0.0005 0.1413 6 0.0738 0.5995 19 0.0025 0.0665 7 -0.0016 0.2514 20 0.0056 0.0629 8 0.0055 0.2557 21 0.0027 0.3339 9 0.1619 0.8877 22 -0.0001 0.3165 10 0.0007 0.0488 23 0.0001 0.1865 11 0.0000 0.0623 24 0.0001 0.4205 12 -0.0027 0.0914 25 -0.0002 0.0168 13 0.0007 0.1089 26 -0.0155 0.1584

Berdasarkan hasil Tabel 1, jelas sangat kecil karena berosilasi sekitar 0 sehingga k tentunya cukup kecil dan k cukup besar yang menunjukan stadar deviasi lebih peting dari rata-rata. Setelah mendapatkan nilai dan maka akan dicari stokastik dari frekuensi dimana nilai k dan k . Maka diperoleh hasil pada Tabel 2 untuk setiap 10 data berturutan untuk seluruh data.

Contoh 2. Menentukan volume menurut persamaan (9a)

Kasus 1. Untuk k dan k pada data ke-1 Tabel 1 diperoleh dengan car sebagai berikut:

(5)

11 0.00003 24 0.0001

12 ‐0.0027 25 ‐0.0002

13 0.0007 26 ‐0.0155

Kasus 2. Menggunakan data dan cara yang sama dengan nilai k . dan k .

Kasus 4. Untuk menguji parameter k dan k yang diperoleh optimal maka akan diselidiki persamaan (11-13) untuk parameter Volume Stokastik Fourier, sehingga

Untuk parameter k

. . .

Untuk parameter k

. . .

Hasil yang diperoleh menunjukan matrik Hessian untuk k dan k

.

Sehingga matrik Hessian definit positif, jadi diperoleh k dan k 0ptimal tetapi error yang dihasilkan 32%. Untuk hasil yang

optimal diperoleh parameter k . dan k . , sehingga

. . . .

.

Hasil dari semua data volume stokasitik Fourier ditunjukkan pada Gambar 5. Dengan cara yang sama dilakukan untuk data return stokastik Fourier ditunjukan pada Gambar 6.

Contoh 3. Dengan cara yang sama pada Contoh 2 untuk return:

Kasus 5. Untuk k dan k pada data ke-1 Tabel 1 diperoleh

(6)

Gambar 6. Hasil Return Stokastik Fourier dengan k , k dan k . , k . dan k ,

k dan k . , k .

Probabilitas distribusi untuk Volume stokastik Fourier yang diperoleh dicari

dan dari Tabel 2. Untuk k =1 dan k = 0 didapat .

. dengan menggunakan persamaan (6) akan dicari probabilitas menurut persamaan (6) yaitu

. .

Dalam bentuk variabel yang sudah distandarisasi maka penyataan tersebut menjadi

Selanjutnya, dengan cara yang sama pada data berikutnya diperoleh probabilitas untuk Volume stokastik Fourier pada Tabel 5.

Tabel 5. Prosentase distribusi normal (M := periode ke-M)

10 94.05% 17.86% 14.88% 12.62%

11 94.05% 15.95% 10.89% 13.17%

12 92.05% 12.62% 7.92% 15.77%

13 94.05% 11.45% 5.91% 18.74%

14 80.28% 15.95% 10.81% 13.17%

15 84.19% 17.86% 14.88% 12.62%

16 94.05% 10.11% 4.60% 28.77%

17 84.19% 29.36% 0.14% 8.97%

18 94.05% 10.11% 4.82% 22.10%

19 84.19% 15.95% 10.89% 13.17%

20 80.28% 15.95% 10.89% 13.17%

21 84.19% 17.86% 12.76% 57.28%

22 94.05% 18.08% 10.89% 54.86%

23 94.05% 10.11% 4.82% 28.77%

24 94.05% 26.22% 19.93% 73.82%

25 94.05% 29.44% 25.95% 8.97%

26 56.08% 10.11% 4.60% 22.10%

Menggunakan cara yang sama akan dicari probabilitas untuk data return stokastik Fourier yang ditunjukkan pada Gambar 6.

Gambar 7. Prosentase distribusi normal untuk hasil volume stokastik Fourier

(7)

Gambar 8. Prosentasai distribusi normal untuk hasil Return stokastik Fourier

Berdasarkan Gambar 7 dan Gambar 8 ditunjukan Prosentase distribusi normal untuk hasil volume stokastik Fourier dengan 4 parameter yang berbeda. Pada parameter k dan k menunjukan beberapa prosentase yang terbesar karena pada k dan k hasil stokastik Fourier dari volume dan return berosilasi di sekitar nol dan pada saat itu nilai probabilitas mendekati satu. Jadi penulis memilih frekuensi yang dihasilkan dengan stokastik Fourier untuk k dan k

KESIMPULAN

Pada makalah telah dibahas tetang data volume yang dinyatakan oleh bentuk stokastik Fourier sehinggadapat dihasilkan frekuensi. Hasil menunjukan interval frekuensi yang hampir sama yaitu diantara 0.3 sampai 0.49. Dari hasil makalah sebelumnya menggunakan data return saham didapat pada indeks ke 7 untuk frekuensi tertinggi yaitu f = 0.4092 dan T = 2.4437 sedangkan untuk makalah ini menggunakan data volume saham pada indeks ke 7 diperoleh f = 0.4054 dan T = 2.4669. Dilihat dari kedua hasil yang diperoleh tidak menunjukan perbedaan yang signifikan. Jadi pada interval yang sama frekuensi yang dihasilkan bisa dibilang sama.

Berdasarkan analisa data dan hasil pembahasan untuk volume dan return stokastik Fourier diperoleh frekuensi yang terbesar pada data ke-7 dengan menggunakan parameter k dan k diperoleh probabilitas untuk volume 0.9205 dengan prosentase 92.05% sedangkan probabilitas untuk return 0.8419 dengan prosentase 84.19%. Kedua hasil ini tidak menunjukan perebedaan yang signifikan. Jadi risiko tertinggi terdapat pada data ke-7 untuk periode (25/4/2012 – 8/5/2012)

DAFTAR PUSTAKA

[1]Kristaksa. K.Y, Perhusip. H.A dan

Susanto, B. 2013.Analisa Fluktuasi Saham menggunakan Fast Fourier Transform. FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta. Yogyakarta.

[2]Parhusip, H.A dan Martono,

Y.2012, Optimization Of Colour Reduction For Producing Stevioside Syrup Using Ant Colony Algorithm

Of Logistic Function, proceeding of

The Fifth International Symposium on Computational Science, ISSN:2252-7761,Vol1, pp91-101, GMU.

[3] Rao, S.S. 2009. Engineering

Optimization, John Wiley & Sons, Inc, BAB 11

[4]Salivahan, S.,Vallavaraj, A.,

Gnanapriya C., 2000. Digital Signal

Processing. Singapore: