TURUNAN (DIFERENSIAL) FUNGSI

(1)

SOAL DAN SOLUSI MATEMATIKA IPA

UJIAN NASIONAL 2014 – 2013

TURUNAN (DIFERENSIAL) FUNGSI

1. UN 2014

Diketahui fungsi

 

1 3 2 7 3

g x  x A x , A konstanta. Jika f x

  

g 2x1



dan f turun pada

2 1 2

3_ _

 x , nilai minimum relatif g adalah.... A. 4 3 B. 3 5 C. 2 D. 3 7 E. 3 8 Solusi: [B]

  

 

1



3 2





2 1 2 1 2 1 7 3 f x g x  x A x 

  



2 ₂ ' 2 2 1 2 f x  x  A

Fungsi f turun jika f'

 

x 0, sehingga 2 2



x1



22A20



2x 1 A



2x 1 A



0 1 1 2 2 A A x      1 3 2 2 A _{ } 2 A 

 

1 3 4 7 3 g x  x  x

 

2 ' 4 g x x 

 

" 2 g x  x

Nilai stasioner fungsi g dicapai jika g x'

 

0, sehingga x2 4 0

2 x 

Karena g"

 

   2 4 0, maka fungsi g adalah maksimum. Karena g" 2

 

 4 0, maka fungsi g adalah minimum.

Jadi, nilai minimum fungsi g adalah

 

2 1 23 4 2 7 8 1 5

3 3 3 g         2. UN 2014 Diketahui fungsi

 

2 3 1 1 3 9 A

g x  x  x , A konstanta. Jika f x

  

g 2x1



dan f naik pada 0atau 1

(2)

A. 7 3 B. 3 5 C. 3 1 D. 3 1  E. 3 5  Solusi: [A]

  

 

1



3 2





2 1 2 1 2 1 1 3 9 A f x g x  x  x 

  



2 2 2 ' 2 2 1 9 A f x  x 

 

x 0, sehingga





2 2 2 2 2 1 0 9 A x  





2 2 2 1 0 9 A x   2 1 ₃ 2 1 ₃ 0 A A x x  _{ }  _{ } _       1 1 2 6 2 6 A A x    x 1 0 2 6 A   3 A

 

2 3 1 1 3 9 A g x  x  x

 

3 1 1 3 g x  x  x

 

2 ' 1 g x x 

 

" 2 g x  x

Nilai stasioner fungsi g dicapai jika g x'

 

0, sehingga x2  1 0

1 x 

Karena g"

 

Jadi, nilai maksimum fungsi g adalah

     

1 1 1 3 1 1 7

3 3

g       

3. UN 2014

Diketahui fungsi

 

1 3 2 7 3

g x  x A x , A konstanta. Jika f x

  

g 2x1



dan f turun pada

1 3

2 x 2

   , nilai maksimum relatif g adalah.... A. 37 3  B. 7 3  C. 2 D. 5 3  E. 4 3  Solusi: [D]

(3)

  

 

1



3 ₂





2 1 2 1 2 1 7 3 f x g x  x A x 

  



2 ₂ ' 2 2 1 2 f x  x  A

 



x1



22A20



2x 1 A



2x 1 A



0 1 1 2 2 A A x     1 1 2 2 A  _{ } 2 A

 

1 3 4 7 3 g x  x  x

 

2 ' 4 g x x 

 

" 2 g x  x

 

2 x 

Karena g"

 

Jadi, nilai maksimum fungsi g adalah

   

2 1 2 3 4

 

2 7 8 1 5

3 3 3

g           

4. UN 2014

Diketahui fungsi

 

1 3 2 2 3

  

g 2x1



dan f naik pada 0

x atau x1 nilai minimum relatif g adalah.... A. 8 3  B. 4 3  C. 0 D. 4 3 E. 8 3 Solusi: [D]

  

 

1



3 ₂





2 1 2 1 2 1 2 3 f x g x  x A x 

  



2 ₂ ' 2 2 1 2 f x  x  A

 

x 0, sehingga 2 2



x1



22A20





2 2 2x1 A 0



2x 1 A



2x 1 A



0 1 1 2 2 A A x   x 

(4)

1 0 2 A  _ 1 A

 

3 1 2 3 g x  x  x

 

2 ' 1 g x x 

 

" 2 g x  x

 

1 x 

Karena g"

 

 2 0, maka fungsi g adalah minimum. Jadi, nilai minimum fungsi g adalah

 

1 1 13 1 2 4

3 3

g     

5. UN 2014

Diketahui fungsi

 

1 3 2 3 3

  

g 2x1



dan f naik pada 1

x  atau x0, nilai minimum relatif g adalah.... A. 11 3 B. 3 C. 7 3 D. 5 3 E. 1 Solusi: [C]

  

 

1



3 ₂





2 1 2 1 2 1 3 3 f x g x  x A x 

  



2 ₂ ' 2 2 1 2 f x  x  A

 



x1



22A2 0



2x 1 A



2x 1 A



0 1 1 2 2 A A x   x  1 1 2 A   _{ } 1 A

 

1 3 3 3 g x  x  x

 

2 ' 1 g x x 

 

" 2 g x  x

 

1 x 

(5)

Karena g"

 

1 1 13 1 3 7

3 3

g     

6. UN 2014

Diketahui fungsi

 

1 3 2 2 3

  

g 2x1



dan f turun pada 0 x 1, nilai minimum relatif g adalah....

A. 8 3 B. 3 5 C. 4 3 D. 2 3 E. 1 3 Solusi: [C]

  

 

1



3 2





2 1 2 1 2 1 2 3 f x g x  x A x 

  



2 2 ' 2 2 1 2 f x  x  A

Fungsi f turun jika f'

 



x1



22A20



2x 1 A



2x 1 A



0 1 1 2 2 A A x  _{ }  1 0 2 A  _ 1 A

 

3 1 2 3 g x  x  x

 

2 ' 1 g x x 

 

" 2 g x  x

 

1 x 

Karena g"

 

1 1 13 1 2 4

3 3

g     

7. UN 2014

Diketahui fungsi

 

1 3 2 1 3

g x  x A x ; f x

  

g 2x1



, A suatu konstanta. Jika f naik pada 0

x _ataux1_{, nilai maksimum relatif g adalah....} A. 7 3 B. 3 5 C. 1 3 D. 1 3  E. 5 3  Solusi: [C]

(6)

  

 

1



3 ₂





2 1 2 1 2 1 1 3 f x g x  x A x 

  



2 ₂ ' 2 2 1 2 f x  x  A

 



x1



22A20





2 2 2x1 A 0



2x 1 A



2x 1 A



0 1 1 2 2 A A x   x  1 0 2 A  _ 1 A

 

3 1 1 3 g x  x  x

 

2 ' 1 g x x 

 

" 2 g x  x

 

1 x 

Karena g"

 

1 1 13 1 1 1

3 3

g     

8. UN 2013

Sebuah taman berbentuk persegi dengan keliling



2x24



m dan lebar



8x



m. Agar luas taman maksimum, maka panjang taman tersebut adalah ....

A. 4m B. 8m C. 10m D. 12m E. 13m Solusi: [C]

Ambillah persegi panjang dengan panjang p, lebar l, keliling K, dan luas L.



p l



K2 



p x



x242 8 2 x p x12 8 4 2   x p pl L



x



x



L 2 4 8 16x2x2324x 3212x2x2

(7)

x

L'124

Nilai stasioner L dicapai jika L'0, sehingga 124x0

x3

p23410

Jadi, panjang taman tersebut adalah 10 m. 9. UN 2013

Dari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran sisi 30 cm akan dibuat kotak tanpa tutup, dengan cara menggunting empat persegi di setiap pojok karton, seperti ada gambar. Volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah….

A. 3 cm 2000 B. 3000cm3 C. 4000cm3 D. 5000cm3 E. 3 cm 6000 Solusi: [A]

Volume kotak adalah

V 



302x



2x 



900120x4x2



x 900x120x24x3 V'900240x12x2

Nilai stasioner V dicapai jika V'0, sehingga 900240x12x20

x220x750



x5



x15



0

x5 (diterima) atau x15 (ditolak)

volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah

 

2 3 3

max 5 90051205 45 2.000cm

V

10. UN 2013

Dari selembar karton berbentu persegi yang berukuran sisi 18 cm akan dibuat kotak tanpa tutup, dengan cara menggunting empat buah persegi di setiap pojok karton, seperti gambar berikut. Volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah....

A. 256 cm2\ B. 392 cm2 C. 432 cm2 D. 512 cm2 E. 588 cm2 Solusi: [C]

Volume kotak adalah

V 



182x



2x 



32472x4x2



x 324x72x24x3 V'324144x12x2

Nilai stasioner V dicapai jika V'0, sehingga 324144x12x20 x212x270



x3



x9



0 x 30 cm x x 18 cm x

(8)

volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah V_max

 

3 32437232433432cm3 11. UN 2013

Sebuah kotak tanpa tutup tampak seperti pada gambar mempunyai volume 108 cm3 . Agar luas permukaan kotak maksimum, maka nilai x adalah ….

A. 3cm B. 4cm C. 6cm D. 9cm E. 12cm Solusi: [C]

Volume kotak adalah y x V  2 y x2 108 2 108 x y .... (1)

Luas permukaan kotak adalah xy x L 24 2 4 108₂ x x x    x x2432  2 432 2 ' x x L 

Nilai stasioner L dicapai jika L'0, sehingga

0 432 2 2   x x 0 432 2x3  216 3_ x x3 2166 12. UN 2013

Dua bilangan bulat m dan n memenuhi hubungan

2 m



n



40

. Nilai minimum dari 2 2 n m p  adalah.... A. 320 B. 295 C. 280 D. 260 E. 200 Solusi: [A]

40

2 m



n



40 2   m n 2 2 n m p  2





2 40 2   m m m24m2160m16005m2160m1600 160 10 ' m p

Nilai stasioner p dicapai jika p'0, sehingga 10m1600

m16

x

x y

(9)

p_min

 

16 5162160161600320 13. UN 2013

Diketahui persegi panjang PQRS seperti pada gambar dengan panjang 5 cm dan lebar 3 cm. Agar luas ABCD mencapai nilai minimum, luas daerah yang diarsir adalah….

A. 5cm2 B. 6cm2 C. 7cm2 D. 8cm2 E. 10cm2 Solusi: [D]

Ambillah luas segi-4 ABCD adalah L.



x



x



x



x L       5 2 1 2 3 2 1 2 3 5 153xx25xx2 2x28x15 8 4 ' x L

Nilai stasioner L dicapai jika L'0, sehingga 0 8 4x  2  x

Luas daerah yang diarsir







5



8 2 2 8 2 2 22 8cm2 2 1 3 2 1 2_    _        x x x x x x 14. UN 2013

Diketahui bilangan bulat p dan q yang memenuhi hubungan

q



2 p



50

. Nilai minimum dari 2 2

q

p



adalah.... A. 100 B. 250 C. 500 D. 1250 E. 5000 Solusi: [C] 50 2   p q 50 2   p q Ambillah y p2q2, sehingga y p2



2p50



2  p24p2200p25005p2200p2500 200 10 ' p y

Nilai stasioner y dicapai jika y'0, sehingga 10m2000

m20

ymin



20

 

520



2200



20



2500500 15. UN 2013

Dari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran sisi 30 cm akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara menggunting empat persegi di setiap pojok karton, seperti ada gambar. Volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah….

A. 2.000cm3 B. 3.000cm3 P Q R S A B C D P Q R S A B C D x x x x 3  x 3  x 5  x 5  x 30 cm

(10)

C. 4.000cm3 D. 5.000cm3 E. 6.000cm3 Solusi: [A]

Volume kotak adalah

V 



302x



2x 



900120x4x2



x900x120x24x3 V'900240x12x2

Nilai stasioner V dicapai jika V'0, sehingga 900240x12x20

x220x750



x5



x15



0

volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah

 

2 3 3

max 5 90051205 45 2.000cm V