i
PEMODELAN DATA PADA RANCANGAN ACAK LENGKAP (RAL) DENGAN ANALISIS ORTOGONAL POLINOMIAL
SKRIPSI
Untuk memenuhi sebagian persyaratan mencapai derajat sarjana (S - 1)
EKA FITRIAH MALADEWI F1A1 12 077
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HALU OLEO
KENDARI 2016
iii
KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Allah S.W.T atas segala rahmat, taufik, karunia dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul “PEMODELAN DATA PADA RANCANGAN ACAK LENGKAP (RAL)
DENGAN ANALISIS ORTOGONAL POLINOMIAL” serta salawat dan
salam penulis haturkan atas Nabi Muhammad Shallallahu Alaihi Wasallam, keluarga, sahabat dan para pengikutnya.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak dapat terselesaikan tanpa bimbingan dan arahan dari Bapak Dr. Ruslan, M.Si. selaku pembimbing I dan Ibu Agusrawati, S.Si., M.Si. selaku pembimbing II yang telah banyak meluangkan waktunya untuk membimbing dan mengarahkan penulis sejak dari perencanaan hingga terselesaikannya skripsi ini serta memberikan dorongan dan motivasi kepada penulis. Oleh karena itu penulis mengucapkan banyak terima kasih.
Ucapan terima kasih juga disampaikan kepada yang tersayang Ayahanda
Suhardi dan Ibunda Indrawati yang telah membesarkan dan membimbing serta
memberi dukungan dan doa yang tulus ikhlas serta kasih sayangnya kepada penulis dalam menyelesaikan studi hingga skripsi ini selesai, serta saudariku Adik Esti Dwi Haksa.
Suatu hal yang tidak terlupakan atas dorongan dan bimbingannya, serta arahan dan bantuan kepada penulis, maka patutlah kiranya penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan kepada semua pihak khususnya:
iv 1. Rektor Universitas Halu Oleo Kendari, Bapak Prof. Dr. Ir. H. Usman
Rianse, M.S.
2. Dekan F-MIPA Universitas Halu Oleo, Bapak Dr. Muh. Zamrun F., S.Si.,
M.Si.
3. Ketua Jurusan Matematika dan sekretaris jurusan F-MIPA Universitas Halu Oleo, Bapak La Gubu, S.Si., M.Si., dan Bapak Rasas Raya, S.Si., M.Si. 4. Kepala Laboratorium Matematika F-MIPA Universitas Halu Oleo, Ibu
Norma Muchtar, S.Si., M.Si.
5. Kepala Perpustakaan F-MIPA Universitas Halu Oleo, Ibu Dra. Hj.
Indrawati, M.Si.
6. Norma Muchtar, S.Si., M.Si. selaku penasehat akademik yang telah memberikan pengarahan dan bimbingan dalam memprogramkan mata kuliah. 7. La Gubu, S.Si., M.Si., Dr.rer.nat Wayan Somayasa, S.Si., M.Si. dan Dr.
Mukhsar, M.Si. selaku dewan penguji.
8. Bapak dan Ibu Dosen Jurusan Matematika serta seluruh staf lingkungan F-MIPA UHO, yang telah banyak memberikan bantuan, bimbingan dan pengarahan selama studi hingga penyelesaian skripsi ini.
9. Nenek Gami, Tante-tanteku: Nurhana, Nurjana, Nurlita, Hasnia, Om Ganepo, Om Djisman, Kakak-kakak sepupuku: Nono, Dodi, Siti Salni, Salma, Ayu, serta keponakan-keponakanku: Nugi, Way, Oya, Iong, dan Al yang tiada hentinya memberikan motivasi, dukungan, doa, dan semangat.
10. ChinguQ yang selalu ada selama studi hingga penyelesaian skripsi ini: Nur Yassin, Ekawati Sulistia Ningsih, Wiwin Narni, Desi Astuty, S.Mat,
v Herdiana, S.Mat, dan Hesti Yuspita yang tiada henti memberi semangat, bantuan dan doa kepada penulis.
11. Rekan seperjuangan Matematika Angkatan 2012: Yani, Aini, Muliawati, Kadek Ayu, Nisar, Bertin, Obil, Pantri Elastic, S.Mat, Astri, Treni Virdayanti, S.Mat, Ila Fitriani, Jendri, Igo, Fuad, Hajar, Suri, Yuli, Novita Rismayanti, S.Mat, Ummi, Asni, Rianto, S.Mat, Sarfia, S.Mat, Sarwiati, S.Mat dan seluruh mahasiswa seangkatan 012 yang telah memberikan semangat kebersamaan yang tidak terlupakan selama menyelesaikan studi.
12. Barisan senior-senior dan junior-junior Matematika yang tidak dapat saya sebutkan satu persatu atas bantuan dan bimbingannya selama masa perkuliahan.
13. Teman-teman N3S2FRE: Fitri, Rizkah, Nyai, Ani, Yuyu, Selfi, dan Eni. 14. Teman-teman KKNku: Cahyani Biodaeng, Wa Ode Masriani, Siti Nurjanna
Razak, Ikhsan Rizal, Kak Al, Kak Inal, dan Kak Indra.
Selanjutnya penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan. Sehingga dengan senang hati dan segala kerendahan hati penulis menerima segala saran yang sifatnya membangun demi penyempurnaannya. Akhir kata penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan.
Kendari, Juli 2016
vi
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN PENGESAHAN ... ii
KATA PENGANTAR ... iii
DAFTAR ISI ... vi
DAFTAR GAMBAR ... viii
DAFTAR TABEL ... ix DAFTAR LAMPIRAN ... x ABSTRAK ... xi ABSTRACT ... xii BAB I PENDAHULAN 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Rumusan Masalah ... 3 1.3 Tujuan Penelitian ... 3 1.4 Manfaat Penelitian ... 3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Perancangan Percobaan ... 4
2.2 Analisis Ragam pada Rancangan Acak Lengkap ... 6
2.3 Pengujian Asumsi-Asumsi Analisis Ragam ... 11
2.4 Transformasi Data ... 15
2.4.1 Transformasi Logaritma ... 15
2.4.2 Transformasi Akar Kuadrat... 16
2.4.3 Transformasi Arcsin ... 16
2.5 Model Regresi untuk Percobaan Satu Faktor Bertaraf Kuantitatif ... 17
2.6 Ortogonal Polinomial ... 21
BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat ... 29
3.2 Jenis dan Sumber Data ... 29
vii BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Ortogonal Polinomial pada Rancangan Acak Lengkap ... 31
4.2 Analisis Ragam pada Rancangan Acak Lengkap ... 37
4.3 Pengujian Asumsi-Asumsi Analisis Ragam ... 39
4.4 Metode Ortogonal Polinomial... 45
BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan ... 55
5.2 Saran ... 55
DAFTAR PUSTAKA ... 56
viii
DAFTAR GAMBAR
Halaman Gambar 4.1 Plot antara nilai dugaan galat dengan nilai amatan ... 45
ix
DAFTAR TABEL
Halaman Tabel 2.1 Struktur Data RAL... 7 Tabel 2.2 Analisis ragam untuk rancangan acak lengkap……….. 8 Tabel 2.3 Analisis ragam sesuai ortogonal polinomial……….. 25 Tabel 4.1 Analisis ragam tentang pengaruh hormon tumbuh terhadap produksi kedelai (kuintal/ha)……….. 38 Tabel 4.2 Analisis ragam untuk uji Non-Aditivitas bagi data pengaruh
hormon tumbuh terhadap produksi kedelai (kuintal/ha)………. 41 Tabel 4.3 Hasil perhitungan untuk uji kehomogenan ragam data pengaruh
hormon tumbuh terhadap produksi kedelai (kuintal/ha)………. 42 Tabel 4.4 Hasil perhitungan untuk uji kenormalan data……… 43 Tabel 4.5 Hasil transformasi dari variabel bebas X ke dalam peubah kode….. 46 Tabel 4.6 Nilai koefisien ortogonal polinomial……….. 46 Tabel 4.7 Analisis ragam untuk menguji ketepatan model regresi polinomial
berdasarkan penggunaan ortogonal polinomial………. 51 Tabel 4.8 Variabel produksi kedelai (Y) dan variabel kode bagi
hormon tumbuh (U)………. 52
x
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Data pengaruh hormon tumbuh terhadap produksi kedelai
(kuintal/ha) ... 59
Lampiran 2. Nilai dugaan... 60
Lampiran 3. Tabel distribusi F ... 61
Lampiran 4. Tabel distribusi ... 62
Lampiran 5. Tabel distribusi normal Z ... 63
xi
PEMODELAN DATA PADA RANCANGAN ACAK LENGKAP (RAL) DENGAN ANALISIS ORTOGONAL POLINOMIAL
Oleh:
EKA FITRIAH MALADEWI F1A1 12 077
ABSTRAK
Analisis ragam digunakan untuk menguji hipotesis mengenai ada atau tidaknya perbedaan pengaruh perlakuan yang diteliti pada rancangan acak lengkap. Dalam penelitian yang menggunakan perlakuan kuantitatif, uji lanjutan yang tepat adalah dengan menggunakan metode ortogonal polinomial. Metode ortogonal polinomial digunakan untuk menggambarkan hubungan fungsional antara respon dan taraf perlakuan. Berdasarkan data pada kasus ini, ketika percobaan memiliki enam taraf perlakuan kuantitatif hasil pengujian menunjukkan bahwa model yang signifikan terjadi hanya pada orde pertama atau linier. Ini berarti bahwa model yang cocok untuk menerangkan persamaan hubungan antara respon dengan taraf perlakuan adalah regresi polinomial orde satu atau regresi linier.
xii
DATA FORMALIZATION ON COMPLETELY RANDOMIZE DESIGN BY USING POLINOMIAL ORTOGONAL ANALYSIS
By:
EKA FITRIAH MALADEWI F1A1 12 077
ABSTRACT
Class analysis is used to examine the hypothesis about the effect of different treatment which is observed in completely randomize design. In quantitative research, polinomial ortogonal method is very appropriate to use. Ortogonal polinomial is use to show the functional correlation between response and level of treatment. According the data in this research, when the experiment has six quantitative treatment level, so the result shows that the significant type only occurs on first sequence or linear. It means that the appropriate form to explain the correlation between response and treatment level is first sequence polinomial regretion or linear regretion.
Keywords: Class Analysis, Completely Randomize Design, polinomial ortogonal.
1
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Analisis ragam bertujuan untuk menjawab hipotesis mengenai ada atau tidaknya perbedaan pengaruh perlakuan yang diteliti. Hipotesis merupakan suatu pernyataan sementara yang menjadi dasar tentang bagaimana fakta-fakta itu akan diinterpretasikan dan dijelaskan. Hipotesis nol (H0) adalah suatu hipotesis tentang
tidak adanya perbedaan. Hipotesis ini pada umunya diformulasikan dengan harapan akan ditolak. Dengan menolak H0 berarti akan menerima suatu hipotesis
alternatif (H1) (Supranto, 2001).
Jika ternyata H0 ditolak atau H1 diterima, maka langkah selanjutnya
dilakukan uji lanjut untuk menentukan perlakuan mana yang menyebabkan H0
ditolak atau untuk mengetahui perlakuan mana saja yang berpengaruh terhadap respon. Untuk perlakuan yang bersifat kualitatif, uji lanjut yang digunakan biasanya uji Kontras Ortogonal, dan beberapa uji lainnya. Jika penelitian menggunakan perlakuan kuantitatif, uji lanjutan yang tepat adalah dengan menggunakan metode ortogonal polinomial. Penggunaan taraf perlakuan kuantitatif dalam rancangan percobaan bertujuan untuk mengetahui hubungan fungsional antara respon dan taraf perlakuan dalam bentuk fungsi polinomial. Dari hubungan fungsi tersebut juga bisa diduga respon dari perlakuan di luar pengamatan. Fungsi matematis yang menggambarkan hubungan fungsional antara respon dan taraf perlakuan dapat ditentukan dengan metode ortogonal polinomial (Gomez dan Gomez, 1995).
2 Uji polinomial ortogonal dilakukan sebagai uji lanjut analisis ragam terhadap data percobaan dengan perlakuan kuantitatif untuk menentukan persamaan hubungan antara perlakuan dengan respon. Berdasarkan persamaan hubungan antara perlakuan dengan respon tersebut dapat ditentukan nilai optimum respon. Menurut Gaspersz (1995), secara umum bila ada satu variabel tak bebas tergantung pada satu atau beberapa variabel bebas, maka hubungan antara variabel ini disebut model regresi atau persamaan regresi.
Model regresi untuk percobaan satu faktor bertaraf kuantitatif sering dirumuskan dalam bentuk fungsi regresi polinomial. Untuk itu, pengaruh perlakuan diuraikan ke dalam respon linier, kuadratik, kubik atau respon dengan derajat yang lebih tinggi sampai derajat t-1, dimana t adalah banyaknya taraf perlakuan kuantitatif. Apabila taraf perlakuan yang diamati mempunyai jarak atau interval yang sama, maka dapat menemukan regresi polinomial yang sesuai dengan jalan menggunakan polinomial ortogonal. Dengan kata lain, model regresi polinomial dapat dibentuk melalui penerapan prinsip-prinsip polinomial ortogonal, dimana penggunaan polinomial ortogonal akan menyederhanakan proses perhitungan (Gaspersz, 1995).
Berdasarkan masalah diatas, maka peneliti mengambil judul penelitian “Pemodelan Data pada Rancangan Acak Lengkap (RAL) dengan Analisis
3
1.2 Rumusan Masalah
Masalah dalam penelitian ini dirumuskan sebagai berikut:
1. Bagaimana konsep analisis ortogonal polinomial pada rancangan acak lengkap?
2. Bagaimanakah pengaruh hubungan fungsional antara respon dan taraf perlakuan pada data yang ada?
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan:
1. Untuk menjelaskan konsep analisis ortogonal polinomial pada rancangan acak lengkap.
2. Untuk mengetahui pengaruh hubungan fungsional antara respon dan taraf perlakuan pada data yang ada.
1.4 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat penelitian ini:
1. Memberikan informasi kepada pembaca mengenai konsep analisis ortogonal polinomial pada rancangan acak lengkap.
2. Sebagai masukan kepada pembaca mengenai bagaimana menentukan pengaruh hubungan fungsional antara respon dan taraf perlakuan pada data yang ada.
4
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Perancangan Percobaan
Mattjik dan Sumertajaya (2000) menyatakan bahwa rancangan percobaan adalah suatu uji atau deretan uji baik menggunakan statistika deskripsi ataupun statistika inferensia, yang bertujuan untuk mengubah peubah input menjadi suatu output yang merupakan respons dari percobaan tersebut. Menurut Suwanda (2011), tujuan yang ingin dicapai dalam perancangan percobaan adalah untuk memperoleh atau mengumpulkan informasi yang sebanyak–banyaknya yang diperlukan dan berguna dalam melakukan penyelidikan persoalan yang akan dibahas.
Dalam suatu rancangan percobaan, data yang dianalisis statistika dikatakan sah dan valid apabila data tersebut diperoleh dari suatu percobaan yang memenuhi tiga prinsip dasar. Prinsip ini diperlukan untuk pendugaan yang valid dari galat percobaan dan usaha meminimumkan galat percobaan guna meningkatkan ketelitian percobaan. Menurut Mattjik & Sumertajaya (2000), tiga prinsip dasar tersebut antara lain :
1. Ulangan, yaitu pengalokasian suatu perlakuan tertentu terhadap beberapa unit percobaan pada kondisi yang seragam.
2. Pengacakan, yaitu setiap unit percobaan harus memiliki peluang yang sama untuk diberi suatu perlakuan tertentu. Pengacakan perlakuan pada unit-unit percobaan dapat menggunakan tabel bilangan acak, sistem lotere secara manual atau dapat juga menggunakan komputer.
5 3. Pengendalian lingkungan (local control), yaitu usaha untuk mengendalikan keragaman yang muncul akibat keheterogenan kondisi lingkungan. Usaha-usaha pengendalian lingkungan yang dapat dilakukan, antara lain dengan melakukan pengelompokan (blocking) satu arah, dua arah maupun multi arah. Pengelompokan dikatakan baik jika keragaman di dalam kelompok lebih kecil dibandingkan dengan keragaman antar kelompok.
Adapun beberapa istilah dalam rancangan percobaan yang harus dikenal menurut Mattjik & Sumertajaya (2000) adalah:
1. Perlakuan (Treatment), suatu prosedur atau metode yang diterapkan pada unit percobaan. Prosedur atau metode yang diterapkan dapat berupa pemberian pupuk yang berbeda, dosis pemupukan yang berbeda, jenis varietas yang berbeda, pemberian jenis pakan yang berbeda, dan lain-lain.
2. Unit percobaan, adalah unit terkecil dalam suatu percobaan yang diberi suatu perlakuan. Unit terkecil ini bisa berupa petak lahan, individu, sekandang ternak, dan lain-lain tergantung dari bidang penelitian yang sedang dipelajari. 3. Satuan amatan, adalah anak gugus dari unit percobaan tempat dimana respons
perlakuan diukur.
Menurut Montgomery (2009), hal–hal yang perlu diperhatikan dalam memilih rancangan untuk suatu percobaan adalah perlakuan yang akan dicobakan, unit percobaan yang digunakan, dan pengukuran dari respon yang diamati.
Pada rancangan percobaan, dilakukan analisis ragam untuk menguji nyata atau tidaknya pengaruh perlakuan, pengelompokkan serta interaksinya yang terjadi pada penelitian.
6
2.2 Analisis Ragam pada Rancangan Acak Lengkap
Analisis ragam merupakan proses aritmatika untuk menguraikan jumlah kuadrat total menjadi beberapa komponen yang berhubungan dengan sumber keragaman yang diketahui (Steel dan Torrie, 1993). Analisis ragam digunakan untuk menguji secara sistematik nyata tidaknya pengaruh perlakuan dan pengaruh pengelompokkan serta pengaruh interaksinya.
Pada Rancangan Acak Lengkap (RAL), analisis ragam digunakan untuk mengetahui ada atau tidaknya pengaruh perlakuan terhadap respon yang diamati. Model linear aditif pada data percobaan Rancangan Acak Lengkap (RAL), adalah sebagai berikut:
, (2.1)
dengan
dan
= pengamatan pada baris (perlakuan) ke-i dan lajur (ulangan) ke-j
= rataan umum
= pengaruh baris (perlakuan) ke-i =
= pengaruh acak pada baris (perlakuan) ke-i, lajur (ulangan) ke-j
= banyaknya perlakuan = banyaknya ulangan
Model linier aditif secara umum dari rancangan satu faktor dengan rancangan acak lengkap dapat dibedakan menjadi dua yaitu model tetap dan model acak. Model tetap merupakan model dimana perlakuan-perlakuan yang digunakan dalam percobaan berasal dari populasi yang terbatas dan pemilihan
7 perlakuannya ditentukan secara langsung oleh peneliti. Kesimpulan yang diperoleh dari model tetap terbatas hanya pada perlakuan-perlakuan yang dicobakan saja dan tidak bisa digeneralisasikan. Sedangkan model acak merupakan model dimana perlakuan-perlakuan yang dicobakan merupakan contoh acak dari populasi perlakuan. Kesimpulan yang diperoleh dari model acak berlaku secara umum untuk seluruh populasi perlakuan. (Mattjik dan Sumertaya, 2000)
Tahap-tahap dalam melakukan analisis ragam pada rancangan acak lengkap adalah sebagai berikut:
1. Hasil pengamatan pada Rancangan Acak Lengkap
Struktur data pengamatan untuk RAL yang terdiri dari t perlakuan dan r ulangan disajikan Tabel 2.1.
Tabel 2.1 Struktur Data RAL Ulangan
Perlakuan
1 2 t Total Ulangan ke-j (
)
1
2
Total Perlakuan ke-i ( )
(Gaspersz, 1995) 2. Pengujian Hipotesis
Untuk mengetahui ada atau tidaknya pengaruh perlakuan terhadap respon yang diamati maka dilakukan pengujian hipotesis. Bentuk hipotesis yang diuji adalah sebagai berikut:
8 : (perlakuan tidak berpengaruh terhadap respon
yang diamati)
: paling sedikit ada satu i dimana 3. Analisis Ragam
Tabel 2.2 Analisis ragam untuk rancangan acak lengkap Sumber Keragaman Derajat Bebas (db) Jumlah Kuadrat (JK) Kuadrat Tengah (KT) Fhitung Perlakuan Galat t-1 t(r-1) JKP JKG KTP KTG KTP/KTG Total rt-1 JKT dimana:
FK (Faktor Koreksi) adalah nilai untuk mengoreksi nilai rataan dari ragam data sehingga dalam analisis ragam nilai .
(2.2)
dengan adalah total keseluruhan data. JKT adalah Jumlah Kuadrat Total
∑ ∑ (2.3)
JKP adalah Jumlah Kuadrat Perlakuan ∑
(2.4) JKG adalah Jumlah Kuadrat Galat
(2.5)
KTP adalah Kuadrat Tengah Perlakuan
9 KTG adalah Kuadrat Tengah Galat
(2.7)
4. Fhitung
Fhitung digunakan dalam pengambilan keputusan berdasarkan hasil
analisis ragam.
(2.8)
5. Kriteria Keputusan
Statistik uji mengikuti sebaran F dengan derajat bebas pembilang -1 dan berderajat bebas penyebut (r-1). Hipotesis akan ditolak pada taraf apabila nilai dan akan
diterima apabila .
Pengambilan keputusan dalam pengujian hipotesis, selain dapat didasarkan pada nilai dengan taraf keberartian yang ditentukan
sebelumnya, juga dapat didasarkan pada nilai P (P value). Nilai P ialah peluang mengamati suatu nilai sampel terbesar (atau lebih besar dari) nilai sesungguhnya yang diamati bila benar. Secara umum, makin besar ukuran sampel makin besar nilai P. Makin kecil nilai P makin sulit mempercayai kebenaran atau makin besar dukungan dari data terhadap hipotesis . Hipotesis akan ditolak apabila nilai yang ditentukan sebelumnya dan akan diterima apabila nilai yang ditentukan sebelumnya (Walpole & Myers, 1995).
10 Asumsi-asumsi yang mendasari analisis ragam yang perlu diperhatikan agar hasil kesimpulan menjadi sahih menurut Gaspersz (1991) adalah:
a. Pengaruh perlakuan dan pengaruh lingkungan yang bersifat aditif.
Misalnya, dalam suatu percobaan dengan menggunakan rancangan acak lengkap. Komponen-komponen , , harus bersifat aditif yang artinya bersifat dapat dijumlahkan sesuai dengan model persamaan (2.1) yaitu
merupakan hasil penjumlahan dari , , dan . Setiap rancangan percobaan mempunyai model matematika yang disebut model linear aditif, bila model tidak bersifat aditif maka perlu dilakukan transformasi.
Jika suatu model tidak bersifat aditif, misalkan berbentuk multiplikatif seperti: maka penggunaan transformasi logaritma dapat
dilakukan sehingga akan menjadi linear aditif, seperti berikut ini: . Dengan demikian, analisis ragam dapat
dilakukan terhadap data yang telah ditransformasi. b. Galat percobaan memiliki ragam yang homogen.
Misalnya dalam rancangan acak lengkap, komponen galat yang berasal dari beberapa perlakuan semuanya harus diduga dari ragam populasi yang sama. Bila nilai tengah satu atau dua perlakuan lebih tinggi dari yang lain dan keragaman juga lebih tinggi dari yang lainnya, maka akan mengakibatkan keragaman galat yang tidak homogen. Konsekuensi tidak terpenuhinya kehomogenan ragam berpengaruh pada kepekaan hasil pengujian analisis ragam. Artinya pengaruh perlakuan sebelum diuji kelayakannya menunjukkan pengaruh sangat nyata tetapi setelah asumsi dipenuhi, berpengaruh hanya nyata
11 saja. Sebaliknya semula dipengaruhi hanya nyata saja tetapi setelah asumsi dipenuhi, berpengaruh sangat nyata.
c. Galat percobaan saling bebas.
Ini berarti peluang bahwa galat dari salah satu pengamatan yang mempunyai nilai tertentu haruslah tidak bergantung dari nilai-nilai galat untuk pengamatan yang lain atau dapat dikatakan bahwa tidak ada korelasi antar galat.
d. Galat percobaan menyebar normal.
Asumsi ini berlaku terutama untuk uji-uji nyata (pengujian hipotesis) dan tidak diperlukan pada pendugaan komponen ragam. Jika sebaran dari galat percobaan secara jelas terlihat menceng (tidak normal), maka komponen galat dari perlakuan cenderung menjadi fungsi dari nilai tengah perlakuan. Ini akan mengakibatkan ragam tidak homogen. Jika hubungan fungsional diketahui, maka transformasi dapat ditentukan untuk membuat galat tersebut menyebar mendekati sebaran normal. Dengan demikian analisis ragam dapat dilakukan pada data transformasi agar galat menjadi homogen.
2.3 Pengujian Asumsi-Asumsi Analisis Ragam
Pengujian pada asumsi-asumsi analisis ragam agar hasil kesimpulan menjadi sahih, adalah:
1. Pengujian Keaditifan Model
Motode pengujian yang dapat dilakukan apakah model yang digunakan aditif atau tidak adalah uji Tukey (Yitnosumarto, 1991). Langkah-langkah pengujiannya adalah sebagai berikut:
12 a. Hipotesis
: Pengaruh utama perlakuan bersifat aditif : Pengaruh utama perlakuan tidak bersifat aditif b. Taraf nyata ( ) c. Statistik Uji ∑ ̅̅̅ ̅ ∑ ̅̅̅ ̅ , (2.9) dengan ∑ ∑ ̅ ̅ ( ̅̅̅ ̅) ,
NAT = Non-aditivitas Tukey = Kuadrat Tengah NAT
KTG = Kuadrat Tengah Galat d. Kriteria Keputusan
Jika maka H0 ditolak, sedangkan jika maka keaditifan model atau H0 dapat diterima.
2. Pengujian Kehomogenan Ragam
Pengujian yang dapat digunakan untuk pengujian kehomogenan ragam adalah uji Bartlett (Mattjik & Sumertajaya, 2000).
Langkah-langkah pengujiannya adalah sebagai berikut: a. Hipotesis
(ragam dari semua perlakuan sama) paling sedikit satu dari ragam perlakuan tidak sama
13 b. Taraf nyata ( ) c. Statistik Uji { ∑ ∑ } , (2.10) dengan ∑ ( ̅̅̅̅) ∑ ; = sebaran khi-kuadrat
= nilai pengamatan pada perlakuan ke-i dan ulangan ke-j
̅ = total semua pengamatan dalam perlakuan ke-i r = banyaknya ulangan
si = ragam sampel pada perlakuan ke-i
s2 = ragam gabungan dari semua sampel N = jumlah seluruh amatan
t = banyaknya perlakuan.
Statistik ini akan menyebar mengikuti sebaran khi-kuadrat dengan derajat bebas . Nilai biasanya perlu dikoreksi sebelum dibandingkan dengan nilai . Besarnya nilai terkoreksi adalah (1/FK) , dengan FK (Faktor Koreksi) adalah:
* + [∑ ∑
] (2.11)
d. Kriteria keputusan
ditolak jika artinya kehomogenan ragam perlakuan tidak dipenuhi. Sedangkan apabila maka ragam galat homogen (Steel & Torrie, 1993).
14 3. Pengujian Kebebasan galat
Untuk melihat keacakan galat percobaan dibuat plot antara nilai dugaan galat percobaan ( ̂ ) dengan nilai dugaan respons ( ̂ ). Apabila plot yang
dibuat menunjukkan sisaan berfluktuasi acak disekitar nol maka dapat dikatakan bahwa galat percobaan menyebar bebas (Mattjik & Sumertajaya, 2000).
4. Pengujian Kenormalan Data
Menurut Mattjik & Sumertajaya (2000) secara visual kenormalan data dapat dilihat dari plot peluang normal. Plot peluang normal ini dinamakan plot kuantil-kuantil (Plot Q-Q). Pola pencaran titik-titik dalam plot yang membentuk garis lurus menjadi petunjuk bahwa sebaran data dapat didekati oleh pola sebaran normal. Pengujian yang dapat digunakan untuk menguji apakah suatu data berdistribusi normal adalah Uji Lilliefors. Dalam uji ini data disusun dari yang terkecil sampai terbesar. Langkah-langkah Pengujiannya adalah sebagai berikut :
a. Hipotesis
: sampel berasal dari populasi yang berdistribusi normal : sampel tidak berasal dari populasi yang berdistribusi normal b. Taraf nyata (α )
c. Statistik Uji
| ( ) ( )| , (2.12)
dengan:
15
= pengamatan pada baris (perlakuan) ke-i dan lajur (ulangan) ke-j
̅ = rata-rata nilai data = simpangan baku data
( ) = proporsi amatan sampel yang kurang atau sama dengan = (jumlah amatan sampel yang kurang atau sama dengan ) / n
( ) = fungsi sebaran komulatif normal.
d. Kriteria Keputusan
Jika maka H0 ditolak, artinya sampel tidak berasal dari
populasi yang berdistribusi normal. adalah nilai kritis dalam Tabel Lilliefors dengan banyaknya pengamatan n dan diuji pada taraf nyata α.
2.4 Transformasi Data
Jika data melanggar asumsi analisis agam, maka dilakukan transformasi data. Kegunaan transformasi adalah: (1) mengubah skala pengukuran asal ke dalam skala baru sesuai transformasi yang digunakan, (2) membuat data menyebar normal, dan (3) mampu membuat pengaruh nyata dari perlakuan menjadi linear aditif (Vincent, 1991).
Transformasi yang umum digunakan adalah transformasi logaritma, transformasi akar, dan transformasi sudut atau arcsin (Steel dan Torrie, 1993).
2.4.1 Transformasi Logaritma
Transformasi logaritma paling sesuai untuk data dimana simpangan bakunya berbanding dengan rataan atau bila pengaruh perlakuan bersifat multiplikatif. Transformasi ini digunakan pada bilangan-bilangan positif yang mempunyai kisaran sangat luas, dan transformasi ini tidak dapat digunakan secara
16 langsung pada nilai nol dan nilai-nilai yang kecil (kurang dari 10). Sebagai alternatif digunakan logaritma (X+1) daripada log X, dimana X adalah data aslinya.
2.4.2 Transformasi Akar Kuadrat
Transformasi akar kuadrat cocok digunakan untuk data bilangan bulat yang kecil misalnya data yang diperoleh melalui perhitungan kejadian-kejadian yang jarang, seperti banyaknya serangga yang tertangkap dalam perangkap. Data ini sering menyebar menurut sebaran Poisson yang mempunyai nilai tengah dan ragam yang sama. Transformasi akar kuadrat juga cocok untuk data persentase apabila rentangnya antara 0 dan 30% atau antara 70 dan 100%. Jika gugus datanya adalah kecil (kurang dari 10) terutama adanya angka nol, sebaiknya digunakan daripada , dimana X adalah data aslinya (Gomez & Gomez,
1995).
2.4.3 Transformasi Arcsin
Transformasi arcsin atau transformasi sudut biasanya diterapkan pada data binomial yang dinyatakan sebagai pecahan desimal atau persentase, seperti persentase serangga yang hidup atau persentase tanaman yang terserang penyakit. Data tersebut mempunyai dua kemungkinan (hidup atau mati; terserang penyakit atau tidak). Transformasi ini biasanya dilakukan dengan menggunakan tabel arcsin. Nilai 0% harus digantikan dengan (1/4n) dan nilai 100% digantikan dengan (100 - 1/4n), dimana n adalah banyaknya satuan data persentase yang dibuat (Hanafiah, 1994).
17
2.5 Model Regresi untuk percobaan Satu Faktor Bertaraf Kuantitatif
Suatu faktor dikatakan bertaraf kuantitatif jika taraf-taraf faktor tersebut dapat dinyatakan dalam nilai-nilai numerik yang sesuai pada setiap taraf faktor, sebaliknya apabila taraf-taraf faktor tersebut tidak dapat dapat dinyatakan dalam nilai-nilai numerik pada setiap titik taraf maka disebut bertaraf kualitatif. (Gasperzs, 1995)
Model regresi untuk percobaan satu faktor bertaraf kuantitatif sering dirumuskan dalam bentuk fungsi regresi polinomial. Persamaan regresi polinomial yang menyatakan hubungan antara variabel respons (Y) dan variabel bebas (X) dengan orde q dapat dinyatakan sebagai berikut:
, (2.13)
dimana:
Yi, i = 1, 2, …, n adalah variabel respons yang diamati
Xi = variabel bebas yang diteliti (taraf perlakuan ke-i)
= parameter intersep (konstan)
, j = 1, 2, …, q adalah parameter pengaruh variabel bebas pada variabel respon = galat (error) yang merupakan variabel acak pada taraf perlakuan ke-i
(Montgomery, 1991)
Dalam persamaan (2.13), derajat polinomial ditentukan oleh nilai q, apabila nilai q = 1 maka disebut regresi polinomial orde satu (regresi linear), jika nilai q = 2 maka disebut regresi polinomial orde dua (regresi kuadratik), jika nilai q = 3 maka disebut regresi polinomial orde tiga (regresi kubik), jika nilai q = 4 maka disebut regresi polinomial orde empat (regresi kuartik), dan seterusnya.
18 Pada umumnya dalam suatu percobaan, taraf-taraf faktor kuantitatif dari variabel bebas (X) dirancang dengan jarak (interval) yang sama. Hal ini dilakukan untuk mempermudah analisis terhadap data yang diperoleh dari percobaan yang dilakukan. Dengan taraf-taraf faktor berjarak sama maka perhitungan analisis regresi dapat dilakukan transformasi dari peubah asli menjadi peubah kode, melalui suatu bentuk transformasi berikut:
̅
, (2.14)
dimana
Ui = peubah kode, hasil transformasi dari variabel bebas Xi
Xi = variabel bebas sebagai peubah asli (taraf perlakuan ke-i)
d = jarak atau interval antara taraf faktor variabel bebas X ̅ = rata-rata dari taraf faktor variabel bebas X
(Montgomery, 1991) Model penduga dari persamaan (2.13) adalah sebagai berikut:
̂ , (2.15)
dimana: ̂ = dugaan dari variabel respon Yi
bj = dugaan dari parameter model , j = 1, 2, …, q.
(Draper dan Smith, 1981)
Dari persamaan (2.13) dan (2.15) diperoleh galat dari setiap pengamatan, yang dapat dinyatakan sebagai berikut:
̂, (2.16) dimana:
19 = nilai sesungguhnya yang diperoleh dari pengamatan
̂ = nilai pendugaan bagi (Walpole dan Myers, 1995)
Jika persamaan (2.16) masing masing ruas (ruas kiri dan ruas kanan) dikuadratkan maka akan diperoleh persamaan berikut:
∑ ∑ ( ̂) (2.17)
Jumlah kuadrat galat persamaan polinomial orde q sebagaimana dituliskan pada persamaan (2.17) dapat diuraikan sebagai berikut:
∑ ∑ ( ) (2.18) Menurut Montgomery (1991), koefisien-kofisien penduga bagi parameter model (2.15) dapat diperoleh dengan cara menurunkan persamaan (2.18) terhadap tiap koefisien polinomial. Dengan memisalkan ∑ maka diperoleh:
∑ ( ) ∑ ( ) ∑ ( ( )) (2.19) ∑ ( )
Untuk mendapatkan penyelesaian optimum, sebagai syarat perlu berlaku:
0, 1, 2, …, q (2.20)
Dengan menerapkan syarat perlu persamaan (2.20) pada persamaan (2.19) maka diperoleh persamaan berikut:
20 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ [ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ] [ ] [ ∑ ∑ ∑ ∑ ] (2.21)
Persamaan (2.21) selanjutnya dapat disederhanakan penulisannya seperti pada persamaan berikut:
(2.22) dimana: [ ] [ ] [ ] [ ]
Dengan mengalikan kedua ruas pada persamaan (2.22) dengan invers dari
(XTX) yaitu (XTX)-1 maka diperoleh:
21 dimana:
B = matriks koefisien penduga parameter dalam model regresi
XTX = matriks perkalian antara matriks XT dan matriks X
XTY = matriks perkalian antara matriks XT dan matriks Y
(XTX)-1 = invers dari matriks (XTX) (Draper dan Smith, 1981). 2.6 Ortogonal Polinomial
Uji ortogonal polinomial dilakukan sebagai uji lanjut analisis ragam terhadap data percobaan dengan taraf perlakuan kuantitatif. Pada taraf perlakuan yang bersifat kuantitatif biasanya ingin menentukan persamaan hubungan antara perlakuan dengan respon. Dari persamaan hubungan tersebut dapat ditentukan nilai optimum respon terhadap pemberian perlakuan kuantitatif. Metode yang digunakan untuk tujuan tersebut adalah ortogonal polinomial.
Prinsip keortogonalan dalam polinomial ortogonal untuk menentukan regresi polinomial serupa dengan prinsip keortogonalan pada dua buah vektor yang saling ortogonal diberikan pada definisi berikut:
Definisi 2.1 (Anton, 1987).
Dalam ruang hasil kali dalam, dua vektor u dan v dinamakan ortogonal jika <u,v>= u.v = 0. Selanjutnya, jika u ortogonal terhadap setiap vektor pada himpunan W maka dikatakan u ortogonal terhadap W.
Dari definisi diatas, dapat diilustrasikan bahwa jika u = (u1, u2, …, un) dan v =
(v1, v2, … , vn) maka vektor u ortogonal terhadap v (u ┴ v) jika u.v = (u1v1 + u2v2
22
Definisi 2.2 (Anton, 1987).
Sebuah matriks A berukuran n x n yang mempunyai sifat AT = A-1 dikatakan sebagai matriks ortogonal.
Dimana: AT = transpose dari matriks A
A-1 = invers dari matriks A
Polinomial ortogonal digunakan untuk menduga model polinom orde berapapun di dalam satu variabel. Gagasan yang mendasarinya adalah sebagai berikut. Misalkan terdapat t amatan (Xi,Yi), i = 1, 2, 3, …, t, dimana X merupakan
variabel bebas dan Y merupakan variabel terikat, dimana taraf-taraf faktor X yaitu X1, X2, …, Xt mempunyai jarak atau interval yang sama. Dengan demikian dapat
dituliskan: X2 = X1 + d
X3 = X2 + d
Xt = Xt-1 + d
dimana d = Xt – Xt-1, merupakan selisih/jarak atau interval antara faktor-faktor
yang diamati.
Maka persamaan regresi polinomial yang menyatakan hubungan antara variabel respon (Y) dan variabel bebas (X) dengan orde dapat dituliskan dalam bentuk persamaan polinomial ortogonal sebagai berikut:
, (2.24) dimana
= variabel terikat (respons), i = 1, 2, 3, …, t = parameter model, j = 1, 2, 3, …, q
23 = polinomial dalam X dari orde ke-j, j = 1, 2, 3, …, q
(Montgomery, 1991) Persamaan dugaan bagi model polinomial pada persamaan (2.24) adalah sebagai berikut:
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ , (2.25) dimana ̂ , ̂ , …, ̂ adalah penduga parameter model.
Tahap-tahap dalam menerapkan uji ortogonal polinomial adalah sebagai berikut:
1. Menentukan Koefisien Ortogonal Polinomial
Penggunaan polinomial ortogonal untuk menentukan model regresi polinomial memanfaatkan tabel koefisien polinomial ortogonal. Metode baku yang dipergunakan oleh Ronald A. Fisher dalam menyusun tabel polinomial adalah berdasarkan persamaan berikut:
( ) , j = 1, 2, …, q (2.26)
dimana dipilih sama dengan 1. (Gaspersz, 1991).
Berdasarkan persamaan (2.26) maka diperoleh beberapa koefisien polinomial ortogonal sebagai berikut:
( ( )) ( ( ) )
24 dan seterusnya, dimana:
= suatu konstanta yang membuat polinomial bernilai bilangan bulat t = banyaknya taraf faktor variabel bebas X.
Dalam tabel polinomial berbagai nilai P dipilih sedemikian rupa sehingga diperoleh perkalian yang ortogonal, yaitu berlaku:
∑ , j = 1,2, …, q
∑ , , dimana = 1, 2, …, q (Montgomery, 1991) Berdasarkan nilai koefisien ortogonal polinomial yang diperoleh maka dapat dilakukan analisis ragam sesuai ortogonal polinomial.
2. Analisis Ragam pada Ortogonal Polinomial
Analisis ragam pada ortogonal polinomial dilakukan untuk mengetahui model mana yang cocok untuk menerangkan hubungan antara taraf faktor perlakuan dengan respon yang terjadi pada penelitian. Dengan menggunakan koefisien ortogonal polinomial yang diperoleh kemudian dihitung jumlah kuadrat setiap sumber keragamannya, dimana:
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ( ) (2.27)
25 ∑ ∑ ( )
Setelah diperoleh hasil perhitungan tersebut, kemudian disusun dalam Tabel 2.3.
Tabel 2.3 Analisis ragam sesuai ortogonal polinomial Sumber Keragaman derajat bebas (db) Jumlah Kuadrat (JK) Kuadrat Tengah (KT) Statistik Uji F Perlakuan t -1 KTP F Linier 1 KTP1 F1 Kuadratik 1 KTP2 F2 Kubik 1 KTP3 F3 Kuartik 1 KTP4 F4 Galat Percobaan Sisa KTG Total
Untuk pengambilan keputusan dapat dilihat dari hasil pembandingan nilai statistik uji F yang telah dihitung dengan nilai kritis. Menurut Widiharih (2001), penentuan derajat polinomial didasarkan pada kontras-kontras ortogonal yang nyata, sehingga akan didapatkan hubungan fungsi respon antar perlakuan sesuai dengan derajat polinomial yang signifikan.
26 3. Persamaan hubungan antara taraf faktor perlakuan dan respon
Setelah dilakukan analisis ragam sesuai ortogonal polinomial, maka berdasarkan hasil analisis ragam tersebut jika signifikansi terjadi hanya pada orde pertama, ini berarti model yang cocok untuk menerangkan hubungan antara taraf faktor perlakuan dan respon adalah regresi polinomial orde satu atau regresi linear. Jika signifikansi terjadi pada orde pertama dan kedua, ini berarti model yang cocok untuk menerangkan hubungan antara taraf faktor perlakuan dan respon adalah regresi polinomial orde dua atau regresi kuadratik, dan seterusnya.
4. Menentukan Koefisien Parameter Model Regresi Polinomial
Setelah diketahui model yang cocok untuk menerangkan hubungan antara taraf faktor perlakuan dengan respon, maka selanjutnya dilakukan pendugaan nilai koefisien parameter model regresi polinomial.
Untuk mengetahui nilai-nilai koefisien parameter model regresi polinomial pada persamaan (2.25), dibentuk dengan menggunakan persamaan analog cara memperoleh persamaan (2.22) yaitu:
, (2.28) dengan: [ ] [ ] [ ̂ ̂ ̂ ̂ ]
27 [ ] [ ∑ ∑ ∑ ∑ ] [ ∑ ∑ ∑ ∑ { } ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ { } ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ { } ]
Berdasarkan sifat ortogonalitas dari polinomial pada persamaan (2.27), maka matriks menjadi:
n 0 0 0
0 ∑ { } 0 0
0 0 ∑ { } 0
0 0 0 ∑ { }
Dengan mengalikan kedua ruas pada persamaan (2.28) dengan invers dari (XTX)
yaitu (XTX)-1 maka diperoleh:
, (2.29)
dimana:
A = matriks koefisien penduga parameter model regresi polinomial
XTX = matriks perkalian antara matriks XT dan matriks Xi
28
(XTX)-1 = invers dari matriks (XTX) (Draper dan Smith, 1981).
Tampak bahwa dengan sifat ortogonalitas dari polinomial , maka matriks XTX dalam sistem persamaan (2.27) bersifat ortogonal, sehingga
pembalikan matriks XTX menjadi (XTX)-1 menjadi lebih mudah, yaitu sebagai berikut: 0 0 0 0 ∑ { } 0 0 0 0 ∑ { } 0 0 0 0 ∑ { }
29
BAB III
METODE PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat
Pengumpulan informasi pada penelitian ini dilaksanakan dari bulan Februari sampai dengan bulan Juni 2016 dan akan dilanjutkan pada tugas akhir perkuliahan. Penelitian ini dilakukan di Laboratorium Komputasi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Halu Oleo.
3.2 Jenis dan Sumber Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder mengenai pengaruh hormon tumbuh terhadap produksi kedelai (kuintal/ha) (pertanian.untag-smd.ac.id). Data tersebut terdiri dari enam taraf perlakuan kuantitatif yaitu H0 = 0 ppm, H1 = 0,25 ppm, H2 = 0,50 ppm, H3 = 0,75 ppm, H4 =
1.00 ppm, dan H5 = 1,25 ppm diulang sebanyak empat kali ulangan sehingga
terdapat 24 unit percobaan. Data tersebut digunakan untuk menentukan pengaruh hubungan fungsional antara respon dan taraf perlakuan dengan menggunakan polinomial ortogonal.
3.3 Prosedur Penelitian
Metode penelitian dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Konsep analisis ortogonal polinomial pada kasus data rancangan acak
lengkap.
2. Melakukan analisis ragam rancangan acak lengkap pada kasus data. 3. Pengujian asumsi yang memenuhi analisis ragam, yaitu:
30 2.) Pengujian asumsi kehomogenan ragam galat dengan menggunakan uji
Bartlett.
3.) Pengujian normalitas dengan menggunakan uji Lilliefors. 4.) Pengujian kebebasan galat dengan menggunakan plot.
4. Melakukan transformasi data yang sesuai jika data melanggar asumsi analisis ragam.
5. Menerapkan uji lanjutan ortogonal polinomial dengan langkah-langkah: 1.) Menentukan koefisien ortogonal polinomial.
2.) Menghitung Jumlah Kuadrat (JK), Kuadrat Tengah (KT) dan statistik uji F masing-masing derajat polinomial kemudian menyajikannya dalam tabel analisis ragam.
3.) Menentukan derajat polinomial tertentu yang dianggap paling baik untuk menjelaskan hubungan antara perlakuan dan respon yang terjadi dalam percobaan. Misalnya jika hanya yang nyata atau signifikan maka hubungan antara perlakuan dan respon adalah linier, jika dan yang nyata maka hubungan perlakuan dan respon tersebut adalah kuadratik, dan seterusnya.
4.) Menentukan nilai koefisien parameter model regresi polinomial. 6. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil yang diperoleh.
31
BAB IV
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN 4.1 Ortogonal Polinomial pada Rancangan Acak Lengkap
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data sekunder mengenai pengaruh hormon tumbuh terhadap produksi kedelai (kuintal/ha) dimana variabel bebasnya merupakan hormon tumbuh dan variabel responnya adalah produksi kedelai. Pada penelitian ini menggunakan enam taraf faktor perlakuan kuantitatif yaitu 0 ppm; 0,25 ppm; 0,50 ppm; 0,75 ppm; 1,00 ppm; dan 1,25 ppm dimana taraf-taraf faktor X yaitu X1, X2, X3, X4, X5, dan X6 mempunyai jarak yang sama
yaitu . Adapun nilai-nilai dari enam taraf faktor X tersebut diperoleh dari:
Karena pada penelitian ini mempunyai enam taraf faktor perlakuan kuantitatif, maka derajat polinomial yang dapat dibentuk adalah linier, kuadratik, kubik, kuartik, dan kuintik. Bentuk persamaan polinomial ortogonal untuk data percobaan pada penelitian ini adalah sebagai berikut.
, (4.1) dimana:
32 = variabel terikat (respons), = 1, 2, …, 6
= parameter model, j = 1, 2, …, 5
= polinomial dalam X dari orde ke-j, j = 1, 2, …, 5
Persamaan dugaan bagi model polinomial pada persamaan (4.1) adalah sebagai berikut:
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ , (4.2) dimana ̂ , ̂ , …, ̂ adalah penduga parameter model.
Langkah awal dalam menerapkan uji lanjut ortogonal polinomial adalah menentukan koefisien ortogonal polinomial. Untuk menyusun tabel koefisien ortogonal polinomial dalam penelitian ini maka berdasarkan persamaan (2.26) diketahui dan , sehingga diperoleh koefisien ortogonal polinomial sebagai berikut:
untuk , maka: ( ) ( ( )) ( ( )) untuk , maka: ( ) ( ( ( )) ) (( ( ) ) ) ( ( ( )) )
33 ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) untuk , maka: ( ) ( ( ( ) ) ( ( ))) (( ( ) ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) untuk , maka: ( ) ( ( ( ) ( )) ) (( ( ) ( ( )) ) ( ( ) )) (( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) )
34 ( ( ) ( ) )
( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )
Selanjutnya berdasarkan nilai koefisien ortogonal polinomial yang diperoleh maka dapat dilakukan analisis ragam sesuai ortogonal polinomial untuk mengetahui model yang cocok untuk menerangkan hubungan antara taraf faktor perlakuan dan respon.
Setelah diketahui model yang cocok untuk menerangkan hubungan antara taraf faktor perlakuan dan respon, maka selanjutnya dilakukan pendugaan nilai parameter model regresi polinomial pada penelitian ini. Untuk mendapatkan koefisien-koefisien model regresi polinomial pada persamaan (4.2) maka digunakan persamaan (2.29) dengan matriks dasarnya adalah sebagai berikut:
[ ] [ ] [ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ] [ ] sehingga,
35 [ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ] , [ ∑ ∑ ∑ ∑ { } ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ { } ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ { } ]
Dengan sifat ortogonalitas dari polinomial , maka ∑ dan ∑ , , dimana = 1, 2, …, 5 sehingga matriks
bersifat ortogonal. Maka matriks menjadi:
6 0 0 0
0 ∑ { } 0 0
0 0 ∑ { } 0
0 0 0 ∑ { } sehingga pembalikan matriks menjadi adalah sebagai berikut:
0 0 0 0 0 0 ∑ { } 0 0 0 0 0 0 ∑ { } 0 0 0 0 0 0 ∑ { } 0 0 0 0 0 0 ∑ { } 0 0 0 0 0 0 ∑ { } dimana: ( ̅)
36 ( ( )) (( ̅) ( )) (( ̅) ( )) ( ( ) ) (( ̅) ( ) ( ̅)) (( ̅) ( ) ( ̅)) ( ( ) ( )) (( ̅) ( ) ( ̅) ( )) (( ̅) ( ) ( ̅) ) ( ( ) ( ) ) (( ̅) ( ) ( ̅) ( ) ( ̅)) (( ̅) ( ) ( ̅) ( ) ( ̅)) untuk i = 1, 2, …, 6.
Berdasarkan hal tersebut, maka persamaan dugaan model polinomial menjadi:
̂ ̂ ̂ ( ( ̅)) ̂ ( (( ̅) (
)))
37
4.2 Analisis Ragam pada Rancangan Acak Lengkap
Sebelum dilakukan analisis lanjutan, dalam penelitian ini dilakukan analisis ragam berdasarkan Rancangan Acak Lengkap (RAL). Analisis ragam ini dibutuhkan untuk melihat apakah ada pengaruh yang signifikan antara hormon tumbuh (variabel bebas) terhadap produksi kedelai (variabel terikat) yang diukur pada jarak tertentu. Karena data variabel bebas dalam penelitian ini terdiri atas 6 taraf faktor perlakuan maka model regresi polinomial yang akan terbentuk paling tinggi berorde (berderajat) 5. Hipotesis yang diuji untuk melihat adanya pengaruh hormon tumbuh terhadap produksi kedelai adalah sebagai berikut.
H0 : Pemberian hormon tumbuh tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap produksi kedelai (kuintal/ha)
H1 : Minimal ada salah satu taraf faktor pemberian hormon tumbuh
mempunyai pengaruh yang signifikan terhadap produksi kedelai (kuintal/ha)
Kriteria pengujian: H0 diterima jika nilai Fhitung < Ftabel.
Langkah-langkah perhitungan: db perlakuan db galat db total ∑ ∑ [ ]
38 ∑ [ ]
Hasil perhitungan untuk keperluan analisis ragam disajikan pada Tabel 4.1. Tabel 4.1 Analisis Ragam tentang pengaruh pemberian hormon tumbuh terhadap
produksi kedelai (kuintal/ha)
Sumber Keragaman Db JK KT Fhitung
Ftabel
(α = 0,05) Perlakuan (Hormon tumbuh) 5 4,8733 0,9747
6,8018* 2,77
Galat 18 2,58 0,1433
Total 23 7,4533
Dari analisis ragam pada Tabel 4.1, terlihat bahwa Fhitung > Ftabel yang berarti
bahwa pemberian hormon tumbuh mempunyai pengaruh yang signifikan terhadap produksi kedelai (kuintal/ha). Hal ini berarti bahwa paling sedikit ada satu taraf faktor pemberian hormon tumbuh yang menyebabkan nilai rata-rata produksi
39 kedelai (kuintal/ha) yang digunakan berbeda dengan taraf-taraf pemberian hormon tumbuh lainnya yang diamati.
4.3 Pengujian Asumsi-asumsi Analisis Ragam
Untuk memeriksa terpenuhi atau tidaknya asumsi-asumsi analisis ragam, maka dilakukan uji sebagai berikut:
1) Pengujian Keaditifan Model
Untuk memeriksa asumsi ini digunakan uji Tukey. Langkah pengujiannya adalah sebagai berikut:
1. Hipotesis
: Pengaruh utama perlakuan bersifat aditif : Pengaruh utama perlakuan tidak bersifat aditif 2. Taraf nyata ( ) = 0,05
3. Perhitungan
Untuk pengujian ini dilakukan perhitungan JK-JK yang terlibat. ∑ ∑ [ ] ∑ [ ]
40 ∑ ∑ ̅ ̅ ( ̅̅̅ ̅) ( ) ( ) ∑ ̅ ̅ ∑ ( ̅̅̅ ̅) ∑ ̅̅̅ ̅ ∑ ̅̅̅ ̅
41 Tabel 4.2 Analisis Ragam untuk uji Non-Aditivitas bagi data pengaruh hormon
tumbuh terhadap produksi kedelai (kuintal/ha) Sumber Keragaman Db Jumlah Kuadrat (JK) Kuadrat Tengah (KT) Fhitung F0,05(1,17) Perlakuan 5 4,8733 0,9747 0,8467 4,45 NAT 1 0,1224 0,1224 Galat 17 2,4576 0,1446 Total 23 7,4533
Dari Tabel 4.2 dapat diketahui bahwa nilai Fhitung = 0,8467 <
F0,05(1,17)= 4,45. Hal ini berarti bahwa H0 diterima.
4. Kesimpulan
Dengan taraf nyata 0,05 dapat disimpulkan bahwa model bersifat aditif atau pengaruh perlakuan bersifat aditif. Hal ini berarti asumsi keaditifan dalam Analisis Ragam dipenuhi.
2) Pengujian Kehomogenan Ragam
Untuk memeriksa asumsi ini digunakan uji Bartlett. Langkah pengujiannya adalah sebagai berikut:
1. Hipotesis
(ragam dari semua perlakuan sama) paling sedikit satu dari ragam perlakuan tidak sama 2. Taraf nyata ( ) = 0,05
3. Perhitungan
Ragam dari setiap perlakuan
∑ ( ̅̅̅̅)
42 Dengan cara yang sama, diperoleh ragam untuk , , , dan berturut-turut sebagai berikut:
; ; ; dan Tabel 4.3 Hasil perhitungan untuk uji kehomogenan ragam data pengaruh hormon
tumbuh terhadap produksi kedelai (kuintal/ha) No. Konsentrasi Hormon db 1/db log (db) log db . 1. H0 = 0 ppm 3 0,33 0,0758 -1,1203 -3,3609 0,2274 2. H1 = 0,25 ppm 3 0,33 0,0358 -1,4461 -4,3383 0,1074 3. H2 = 0,50 ppm 3 0,33 0,2025 -0,6936 -2,0808 0,6075 4. H3 = 0,75 ppm 3 0,33 0,22 -0,6576 -1,9728 0,66 5. H4 = 1,00 ppm 3 0,33 0,1558 -0,8074 -2,4222 0,4674 6. H5 = 1,25 ppm 3 0,33 0,17 -0,7695 -2,3085 0,51 Total 18 1,98 0,86 -5,4945 -16,4835 2,5797
Ragam gabungan dari 6 perlakuan tersebut adalah
∑ Sehingga dan ∑ Jadi, { ∑ ∑ } Sedangkan .
Karena maka H0 diterima
43 4. Kesimpulan
Dengan taraf nyata 0,05 dapat disimpulkan bahwa ragam homogen. Hal ini berarti asumsi kehomogenan ragam dalam Analisis Ragam dipenuhi.
3) Pengujian Kenormalan Data
Untuk memeriksa asumsi ini digunakan Uji Lilliefors. Langkah pengujiannya adalah sebagai berikut :
1. Hipotesis
: sampel berasal dari populasi yang berdistribusi normal : sampel tidak berasal dari populasi yang berdistribusi normal 2. Taraf nyata (α ) = 0,05
3. Perhitungan
Data sampel diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar, kemudian ditransformasikan ke dalam nilai baku ̅ ; (
)
. Dari data diketahui ̅ dan . Tabel 4.4 Hasil perhitungan untuk uji kenormalan data
No. ̅ ( ) ( ) ( ) ( ) 1. 7,5 -1,87 0,0307 0,0417 0,011 2. 7,7 -1,52 0,0643 0,0833 0,019 3. 7,9 -1,17 0,1210 0,125 0,004 4. 8,0 -0,99 0,1611 0,1667 0,0056 5. 8,0 -0,99 0,1611 0,2083 0,0472 6. 8,1 -0,81 0,2090 0,25 0,041 7. 8,2 -0,64 0,2611 0,2917 0,0306 8. 8,2 -0,64 0,2611 0,3333 0,0722 9. 8,3 -0.46 0,3228 0,375 0,0522 10. 8,3 -0,46 0,3228 0,4167 0,0939 11. 8,3 -0,46 0,3228 0,4583 0,1355*
44 12. 8,5 -0,11 0,4562 0,5 0,0438 13. 8,7 0,23 0,5910 0,5417 │-0,049│= 0,049 14. 8,8 0,40 0,6554 0,5833 │-0,072│= 0,072 15. 8,9 0,58 0,7190 0,625 │-0,094│= 0,094 16. 8,9 0,58 0,7190 0,6667 │-0,052│= 0,052 17. 8,9 0,58 0,7190 0,7083 │-0,011│= 0,011 18. 8,9 0,58 0,7190 0,75 0,031 19. 9,0 0,76 0,7764 0,7917 0,0153 20. 9,0 0,76 0,7764 0,8333 0,0569 21. 9,0 0,76 0,7764 0,875 0,0986 22. 9,3 1,28 0,8997 0,9167 0,017 23. 9,5 1,63 0,9484 0,9583 0,0099 24. 9,7 1,99 0,9767 1 0,0233
Berdasarkan Tabel 4.6 diketahui bahwa D = 0,1355. Dengan n = 24 dan taraf nyata = 0,05 maka berdasarkan nilai kritis untuk uji Lilliefors diperoleh L tabel = 0,1766.
4. Kesimpulan
Karena D = 0,1355 < L tabel = 0,1766 maka H0 diterima,
artinya sampel berasal dari populasi yang berdistribusi normal. Hal ini berarti asumsi kenormalan data dalam Analisis Ragam dipenuhi.
4) Pengujian Kebebasan Galat
Pengujian kebebasan galat percobaan dilakukan dengan membuat plot antara nilai dugaan galat percobaan ( ̂ ) dengan nilai amatan ( ).
Nilai dugaan galat percoban ( ̂ ) pada penelitian ini terdapat pada Lampiran 2. Kemudian dengan bantuan program SPSS 16, dibuat plot antara nilai dugaan galat percobaan ( ̂ ) dengan nilai amatan ( ). Hasil
45 Gambar 4.1 Plot antara nilai amatan dengan nilai dugaan galat
Dari Gambar 4.1 dapat dilihat plot yang dibuat menunjukkan titik-titik menyebar secara acak (berfluktuasi secara acak disekitar nol). Maka dapat disimpulkan bahwa galat menyebar bebas.
Berdasarkan hasil pengujian asumsi-asumsi pada analisis ragam sudah terpenuhi, sehingga dapat dilakukan analisis lanjutan dengan metode ortogonal polinomial.
4.4 Metode Ortogonal Polinomial
Pengujian analisis ragam pada data rancangan acak lengkap menujukkan bahwa pemberian hormon tumbuh mempunyai pengaruh yang signifikan terhadap peningkatan produksi kedelai sehingga dapat dilakukan uji lanjut. Untuk menentukan persamaan hubungan antara taraf faktor perlakuan dengan respon, uji lanjutan yang tepat yaitu dengan menggunakan ortogonal polinomial. Dari persamaan hubungan ini dapat ditentukan nilai optimum respon dari pemberian taraf perlakuan kuantitatif. Langkah-langkah dalam menerapkan uji lanjut ortogonal polinomial adalah sebagai berikut:
46 1. Menentukan Koefisien Ortogonal Polinomial
Koefisien ortogonal polinomial digunakan dalam melakukan analisis ragam sesuai ortogonal polinomial. Untuk menentukan koefisien ortogonal polinomial dilakukan transformasi data dari peubah asli X ke dalam peubah kode U, dimana:
̅ ∑
Dengan menggunakan persamaan (2.14), nilai peubah kode U disajikan dalam Tabel 4.5.
Tabel 4.5 Hasil transformasi dari variabel bebas X ke dalam peubah kode
No. Taraf Faktor
Peubah Asli (X) Peubah Kode (U)
1. 0 2. 0,25 3. 0,50 4. 0,75 5. 1,00 6 1,25
Berdasarkan Tabel 4.5 dan persamaan (2.26), maka nilai-nilai dari koefisien ortogonal polinomial disajikan dalam Tabel 4.6.
Tabel 4.6 Nilai koefisien ortogonal polinomial
U Koefisien Polinomial ( ) ( ) -2,5 2 × (-2,5) = -5 ×(6,25 - ) = 5 ×(-15,625 – ( )(-2,5)) = -5
47 -1,5 2 × (-1,5) = -3 ×(2,25 - ) = -1 ×(-3,375 – ( )(-1,5)) = 7 -0,5 2 × (-0,5) = -1 ×(0,25 - ) = -4 ×(-0,125 – ( )(-0,5)) = 4 0,5 2 × (0,5) = 1 ×(0,25 - ) = -4 ×(0,125 – ( )(0,5)) = -4 1,5 2 × (1,5) = 3 ×(2,25 - ) = -1 ×(3,375 – ( )(1,5)) = -7 2,5 2 × (2,5) = 5 ×(6,25 - ) = 5 ×(15,625 – ( )(2,5)) = 5 U Koefisien Polinomial ( ) ( ( )( )) ( ) ( ) -2,5 ×(39,0625 – (( )(6,25)) + 5,0625) = 1 ×(-97,65625 – (( )(-15,625)) + ( )(-2,5)) = -1 -1,5 ×(5,0625 – (( )(2,25)) + 5,0625) = -3 ×(-7,59375 – (( )(-3,375)) + ( )(-1,5)) = 5 -0,5 ×(0,0625 – (( )(0,25)) + 5,0625) = 2 ×(-0,03125 – (( )(-0,125)) + ( )(-0,5)) = -10 0,5 ×(0,0625 – (( )(0,25)) + 5,0625) = 2 ×(0,03125 – (( )(0,125)) + ( )(0,5)) = 10 1,5 ×(5,0625 – (( )(2,25)) + 5,0625) = -3 ×(7,59375 – (( )(3,375)) + ( )(1,5)) = -5 2,5 ×(39,0625 – (( )(6,25)) + 5,0625) = 1 ×(97,65625 – (( )(15,625)) + ( )(2,5)) = 1
48 2. Analisis Ragam pada Ortogonal Polinomial
Setelah ditentukan nilai-nilai koefisien ortogonal polinomial, maka selanjutnya dapat dilakukan analisis ragam. Analisis ragam pada ortogonal polinomial digunakan untuk mengetahui model mana yang cocok untuk menjelaskan hubungan antara taraf faktor perlakuan dengan respon. Hipotesis yang diuji untuk menguji kecocokan model regresi polinomial yang dibentuk dengan menggunakan ortogonal polinomial adalah sebagai berikut.
H0 : Model yang dibentuk tidak cocok untuk menerangkan hubungan data
yang diamati.
H1 : Model yang dibentuk cocok untuk menerangkan hubungan data yang
diamati.
Kriteria pengujian: H0 diterima jika nilai Fhitung < Ftabel pada taraf siginifikansi
α = 5% Perhitungan: ∑ ∑ [ ] ∑ [ ]
49 ∑ ∑ ( ) [( ) ( ) ( ) ] ∑ ∑ ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] ∑ ∑ ( ) [ ( ) ( ) ] ∑ ∑ ( ) [ ( ) ] ∑ ∑ ( ) [ ( ) ]
50
