Pengaruh panas terhadap aliran konveksi bebas yang melalui sebuah bola berpori

(1)

JURUSAN MATEMATIKA

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOVEMBER SURABAYA

2015

PENGARUH PANAS TERHADAP ALIRAN KONVEKSI

BEBAS YANG MELALUI SEBUAH BOLA BERPORI

Oleh

Mohamad Tafrikan (1213201051)

Dosen Pembimbing : 1. Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc. 2. Dr. Chairul Imron, MI.Komp.

(2)

PENDAHULUAN

Gambar 1. Model fisik aliran konveksi bebas yang melalui sebuah bola berpori

𝑞_𝑤

(3)

Metodologi Penelitian

Persamaan Pembangun dimensional Persamaan Similar Persamaan Pembangun non-dimensional Proses Diskritisasi Simulasi

(4)

Persamaan Pembangun dimensional

Hukum Konservasi Massa Hukum Ke-dua Newton Hukum Termodinamika I

Persamaan kontinuitas Persamaan Momentum Persamaan Energi

(5)

Persamaan Pembangun dimensional Persamaan kontinuitas Persamaan Momentum Persamaan Energi 𝜕 𝜕𝑥

𝑟 𝑢 +

𝜕 𝜕𝑦

𝑟 𝑣 = 0

(1) 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝜈 𝜕 2_𝑢 𝜕𝑥 2 − 𝑘₀ 𝜌 𝑢 𝜕3𝑢 𝜕𝑥 3_𝑦2 + 𝑣 𝜕3𝑢 𝜕𝑦 3 − 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕2𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕2𝑢 𝜕𝑦 2 + 𝑔𝛽 𝑇 − 𝑇 _∞ sin 𝑥 𝑎 − 𝜈 𝐾∗𝑢 2 𝑢 𝜕𝑇 _𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑇 _𝜕𝑦 = 𝛼 _𝜕𝑦𝜕2𝑇 ₂ + 𝑄₀ 𝑇 − 𝑇 _∞ (3) 𝑢 = 𝑣 = 0,𝜕𝑇 𝜕𝑦 = − 𝑞_𝑤 𝑘 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑦 = 0 𝑢 = 0,𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 0, 𝑇 = 𝑇 ∞ 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑦 → ∞

(6)

Persamaan Non-dimensional Parameter non-dimensi

𝑣 =

𝑎_𝑣

𝐺𝑟

−14

𝑣

𝜃 =

𝑇 −𝑇∞ 𝑞𝑤𝑎 𝑘

𝑥 =

_𝑎𝑥

𝑦 = 𝐺𝑟

14 𝑦 𝑎

𝑢 =

𝑎_𝑣

𝐺𝑟

−12

𝑢

𝑟 =

_𝑎𝑟 (4)

(7)

Persamaan Non-dimensional Persamaan Momentum Persamaan Energi 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 + 𝜃 sin 𝑥 − 𝐾 𝑢 𝜕3𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦2 + 𝑣 𝜕3𝑢 𝜕𝑦3 − 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕2𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦 + 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 − 𝑃𝑢 5 𝑢𝜕𝜃 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝜃 𝜕𝑦 = 1 𝑃𝑟 𝜕2𝜃 𝜕𝑦2 + 𝛾𝜃 6 dengan 𝑃𝑟 = _𝛼𝜈 dan 𝛾 = 𝑎2𝑄0

𝜐𝜌𝐶_𝑝𝐺𝑟12 berturut-turut adalah bilangan Prandtl dan heat generation.

Dengan kondisi batas :

𝑢 = 𝑣 = 0, 𝜕𝜃_𝜕𝑦 = −1 untuk 𝑦 = 0 𝑢 = 0, 𝜕𝑢_𝜕𝑦 = 0, 𝜃 = 0 untuk 𝑦 → ∞ 7 Dengan

K =

𝑘_𝜌0 𝐺𝑟 1/2 𝑎2

𝑑𝑎𝑛 𝑃 =

𝑎2 𝐺𝑟1/2𝐾∗

(8)

Persamaan Similar

Untuk mentransformasi persamaan non-dimensi ke persamaan no-singular , maka digunakan stream function yang didefiniskan sebagai berikut.

𝜓 = 𝑥𝑟 𝑥 𝑓 𝑥, 𝑦 , 𝜃 = 𝜃 𝑥, 𝑦 𝑢 = 1 𝑟 𝜕𝜓 𝜕𝑦 , 𝑣 = − 1 𝑟 𝜕𝜓 𝜕𝑥

Dengan 𝑟 𝑥 = sin 𝑥, sehingga didapatkan :

𝑢 = 𝑥𝜕𝑓 𝜕𝑦,

𝑣 = −𝑓_𝑟 𝑟 + 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑥 𝜕𝑓_𝜕𝑥

Sehingga didapat persamaan non-singular sebagai berikut :

𝑓′2 − 2𝑓𝑓′′ = 𝑓′′′ + 𝜃 − 𝐾 2𝑓′𝑓′′′ − 2𝑓𝑓′′′′ − (𝑓′′)2 − 𝑃𝑓′ 8 dan

−2𝑓𝜃′ = _𝑃𝑟1 𝜃′′ + 𝛾𝜃 9 Dengan kondisi batas :

𝑓 0 = 𝑓′(0) = 0, 𝜃′(0) = −1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑦 = 0

(9)

Diskritisasi

Dengan menggunakan metode beda hingga pusat, maka didapat hasil diskritasi dari Persamaan (8), (9), dan (10) sebagai berikut:

𝑡₁𝑓_𝑖+2𝑓_𝑖+1 − 4𝑡₁𝑓_𝑖𝑓_𝑖+2 − 𝑡₁𝑓_𝑖+2𝑓_𝑖−1 + 𝑡₂𝑓_𝑖+12 + 𝑡₃𝑓_𝑖𝑓_𝑖+1 − 𝐵₂ 𝑓_𝑖−1𝑓_𝑖+1 − 𝑡₁𝑓_𝑖−2𝑓_𝑖+1 + 𝑡₄𝑓_𝑖2 + 𝑡₃𝑓_𝑖𝑓_𝑖−1 − 4𝑡₁𝑓_𝑖𝑓_𝑖−2 + 𝑡₂𝑓_𝑖−12 + 𝑡₁𝑓_𝑖−2𝑓_𝑖−1+ 𝑡₅𝑓_𝑖+1 −

𝑡₅𝑓_𝑖−1 + 𝐶₂ 𝑓_𝑖−2 − 𝜃_𝑖 = 0 (11) Dan

𝐴𝑓_𝑖 − 𝐵1 𝜃_𝑖−1 − 𝐴𝑓_𝑖 + 𝐵1 𝜃_𝑖+1 + 2𝐵1 − 𝛾 𝜃_𝑖 = 0 12

Dengan kondisi batas :

𝑓_𝑖 = 0, 𝑓_𝑖+1 = 𝑓_𝑖−1, 𝜃_𝑖+1 = −2∆𝑦 + 𝜃_𝑖−1 𝑓_𝑖+1= 𝑓_𝑖−1, 𝑓_𝑖+1= 2𝑓_𝑖 − 𝑓_𝑖−1, 𝜃_𝑖 = 𝜃_𝑖−1 − ∆𝑦, 𝜃_𝑖 = 0 (13) Dengan 𝐴 = _∆𝑦1 , 𝐵 = _∆𝑦1₂, 𝐶 = _∆𝑦1₃, 𝐷 = _∆𝑦1₄, 𝑡₁ = 𝐷𝐾₂ , 𝑡₂ = 𝐵−8𝐷𝐾₄ , 𝑡₃ = 12𝐷𝐾 − 2𝐵, 𝑡₄ = 4𝐵 − 16𝐷𝐾, dan 𝑡₅ = 2𝐶+𝐴𝑃₂ .

(10)

Linierisasi

menurut Berlin Chen, Persamaan (11) dan (12) dapat dilinierisasi dengan metode Gauss-Seidel. Adapun formula dari metode Gauss-Seidel sebagai berikut:

𝑥_𝑖𝑘 = _𝑎1 𝑖𝑖 −𝑎𝑖𝑗 𝑘−1 _{+ 𝑏} 𝑖 𝑚 𝑗=1,𝑗≠𝑖 , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚. (14) dengan 𝑎_𝑖𝑖 sebuah konstanta dan 𝑥_𝑖𝑘−1 nilai awal.

Dengan Persamaan (14), maka dapat dicari nilai 𝑓 1 , 𝑓 2 , … , 𝑓(𝑀 − 1), 𝑓(𝑀) dan 𝜃 1 , 𝜃 2 , … , 𝜃 𝑀 − 1 , 𝜃 𝑀 .

Untuk iterasi ke-1 didapat :

𝑓₁ = 𝑠𝑞𝑟𝑡 (−1)( 𝑡₁𝑓₃𝑓₂ − 4𝑡₁𝑓₁𝑓₃ − 𝑡₁𝑓₃𝑓₀ + 𝑡₂𝑓₂2 + 𝑡₃𝑓₁𝑓₂ − 𝐵 2 𝑓0𝑓2 − 𝑡1𝑓1𝑓2 + 𝑡3𝑓1𝑓0 − 4𝑡₁𝑓₁𝑓₀ + 𝑡₂𝑓₀2 + 𝑡₁𝑓₀𝑓₀ + 𝑡₅𝑓₂ − 𝑡₅𝑓₀ + 𝐶 2 𝑓1 − 𝜃₁ )/𝑡₄ 𝜃₁ = 𝐵1 − 𝐴𝑓0 𝜃2 + 2∆𝑦 + 𝐴𝑓0 + 𝐵1 𝜃2 2𝐵1 − 𝛾

(11)

Linierisasi • Iterasi ke-2 𝑓₂ = 𝑠𝑞𝑟𝑡 (−1)( 𝑡₁𝑓₄𝑓₃ − 4𝑡₁𝑓₂𝑓₄ − 𝑡₁𝑓₄𝑓₁ + 𝑡₂𝑓₃2 + 𝑡₃𝑓₂𝑓₃ − 𝐵 2 𝑓1𝑓3 − 𝑡1𝑓0𝑓3 + 𝑡4𝑓𝑖2 + 𝑡3𝑓2𝑓1 − 4𝑡₁𝑓₂𝑓₀ + 𝑡₂𝑓₁2 + 𝑡₁𝑓₀𝑓₁ + 𝑡₅𝑓₃ − 𝑡₅𝑓₁ + 𝐶 2 𝑓0 − 𝜃2 )/𝑡4 𝜃₂ = 𝐵1 − 𝐴𝑓0 𝜃1 + 2∆𝑦 + 𝐴𝑓0 + 𝐵1 𝜃3 2𝐵1 − 𝛾 ⋮ • Iterasi ke-(M) 𝑓_𝑀 = 𝑠𝑞𝑟𝑡 (−1)( 𝑡₁𝑓_𝑀−1𝑓_𝑀−1 − 4𝑡₁𝑓_𝑀𝑓_𝑀 − 𝑡₁𝑓_𝑀𝑓_𝑖−1 + 𝑡₂𝑓_𝑀−12 + 𝑡₃𝑓_𝑀𝑓_𝑀−1 − 𝐵 2 𝑓𝑀−1𝑓𝑀−1 − 𝑡₁𝑓_𝑀−2𝑓_𝑀−1 + 𝑡₃𝑓_𝑀𝑓_𝑀−1 − 4𝑡₁𝑓_𝑀𝑓_𝑀−2 + 𝑡₂𝑓_𝑀−12 + 𝑡₁𝑓_𝑀−2𝑓_𝑀−1 + 𝑡₅𝑓_𝑀−1 − 𝑡₅𝑓_𝑀−1 + 𝐶 2 𝑓𝑀−2 − 𝜃𝑀 )/𝑡4 𝜃_𝑀 = 𝐵1 𝜃𝑀−1 2𝐵1 − 𝛾 Dengan 𝐵1 = _𝑃𝑟𝐵

(12)

Hasil Simulasi

1. Grafik profil kecepatan fluida dengan pengaruh nilai parameter 𝛾 = 0.5, 𝑃𝑟 = 1, 𝑃 = 10 dan viskoselastik (K) yang divariasi.

K = 𝑘0 𝜌

𝐺𝑟1/2 𝑎2

(13)

Hasil Simulasi(lanj)

2. Grafik profil temperatur fluida dengan pengaruh nilai parameter 𝛾 = 0.5, 𝑃𝑟 = 1, 𝑃 = 10 dan viskoselastik (K) divariasi.

K = 𝑘0 𝜌

𝐺𝑟1/2 𝑎2

(14)

3. Grafik profil kecepatan fluida dengan pengaruh nilai parameter 𝐾 = 0.01, 𝑃𝑟 = 1, 𝑃 = 0.1, dan parameter heat generation (𝛾) yang divariasi.

𝛾 = 𝑎 2_𝑄

0 𝜐𝜌𝐶_𝑝𝐺𝑟12

(15)

4. Grafik profil temperatur fluida dengan pengaruh nilai parameter 𝐾 = 0.01, 𝑃𝑟 = 10, 𝑃 = 1 dan parameter heat generation (𝛾) yang divariasi.

𝛾 = 𝑎 2_𝑄

0 𝜐𝜌𝐶_𝑝𝐺𝑟12

(16)

5. Grafik profil kecepatan fluida dengan pengaruh nilai parameter 𝐾 = 0.01, 𝜸 = 0.5, 𝑃 = 0.1 dan parameter bilangan Prandtl (Pr) yang divariasi.

𝑃𝑟 = 𝜈 𝛼

(17)

6. Grafik profil temperatur fluida dengan pengaruh nilai parameter 𝐾 = 0.01, 𝜸 = 0.5, 𝑃 = 0.1 dan parameter bilangan Prandtl (Pr) yang divariasi.

𝑃𝑟 = 𝜈 𝛼

(18)

7. Grafik profil kecepatan fluida dengan pengaruh nilai parameter 𝐾 = 0.01, 𝛾 = 0.2, 𝑃𝑟 = 1 dan parameter porositas (P) yang divariasi.

𝑃 = 𝑎

2 𝐺𝑟1/2_𝐾∗

(19)

8. Grafik profil temperatur fluida dengan pengaruh nilai parameter 𝐾 = 0.01, 𝛾 = 0.2, 𝑃𝑟 = 1 dan parameter porositas (P) yang divariasi.

𝑃 = 𝑎2 𝐺𝑟1/2_𝐾∗

(20)

Kesimpulan

Pengaruh dari parameter viskoelastik (𝐾), bilangan Prandtl (𝑃_𝑟), pembangkit panas (𝛾), dan porositas (𝑃) terhadap profil kecepatan (𝑓′) dan profil temperatur (𝜃) dari aliran konveksi bebas yang melalui permukaan sebuah bola berpori didapat hasil sebagai berikut :

• Pengaruh nilai parameter pembangkit panas (𝛾 = 0.5), bilangan Prandtl ( 𝑃𝑟 = 1), porositas 𝑃 = 10 , dan viskoselastik yang divariasi (K= 0.01, 0.2, 0.5, 1) terhadap kecepatan aliran berbanding terbalik. Sedangkan pengaruh nilai parameter pembangkit panas (𝛾 = 0.5), bilangan Prandtl( 𝑃𝑟 = 1), porositas 𝑃 = 0.1 , dan viskoselastik yang divariasi (K= 0.01, 0.2, 0.5, 1) terhadap temperatur aliran berbanding lurus.

• Pengaruh nilai parameter viskositas (𝐾 = 0.01) , bilangan Prandtl ( 𝑃𝑟 = 10), porositas

𝑃 = 1 , dan pembangkit panas (heat generation) yang divariasi (𝛾 = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4)

terhadap kecepatan aliran dan temperatur berbanding lurus.

• Pengaruh nilai parameter viskositas (𝐾 = 0.01) , porositas 𝑃 = 0.1 , pembangkit panas

(𝛾 = 0.5), dan bilangan Prandtl ( 𝑃𝑟 = 1, 5, 7, 10) yang divariasi terhadap kecepatan

aliran dan temperatur berbanding terbalik.

• Pengaruh nilai parameter viskositas (𝐾 = 0.01) , pembangkit panas (𝛾 = 0.5), bilangan Prandtl ( 𝑃𝑟 = 1), dan porositas yang divariasi 𝑃 = 1, 4, 7, 10 terhadap kecepatan aliran berbanding terbalik. Sedangkan pengaruh nilai viskositas (𝐾 = 0.01) , pembangkit

panas ( 𝛾 = 0.5 ), bilangan Prandtl ( 𝑃𝑟 = 1) , dan porositas yang divariasi

(21)

Saran

Adapun saran-saran untuk penelitian berikutnya adalah sebagai berikut :

1. Sebaiknya aliran lapisan batas konveksi bebas yang dikaji bersifat tak tunak (unsteady).

(22)

Daftar Pustaka

[1] Amin, N., Nazar, R., dan Pop, I, (2002), “On The Mixed Convection Boundary-Layer Flow About A Solid Sphere With Constant Surface Temperature”, The Arabian Journal for Science and Engineering, Volume 27, Number 2C. This article from : upm.edu.sa/articles/272c_05p.pdf. [2] Kasim, A.R.M, (2014), Convective Boundary Flow of Viscoelastic Fluid, Universitas Teknologi

Malaysia, Malaysia.

[3] Munson, Bruce, (2003), Mekanika Fluida, Edisi 4, Erlangga. Jakarta.

[4] Nazar, R., Pop, I., Salleh., M.Z, (2010), “Mixed Convection Boundary Layer Flow about A Solid Sphere with Newtonian Heating”, Arch. Mech, 62, 4, pp. 283-303, Warszawa. This article from: http://am.ippt.pan.pl/am/ article/viewFile/v62p283/pdf.

[5] Sleigh, Andrew, (2001), An Introduction to Fluid Mechanics, University of Leeds. England. [6] Widodo, B., Fatahillah, A., Rahayuningsih, T, ( 2011), “Mathematical Modelling and Numerical

Solution of Iron Corrosion Problem Based on Condensation Chemical Properties”, Australian Journal of Basic and Applied Sciences,5(1), pp. 79-86.