Suku Banyak.doc

SUKU BANYAK

SUKU BANYAK

1.

1. PENGERTIAN PENGERTIAN SUKU SUKU BANYAKBANYAK

Suku banyak (polinomial) dalam x berderajat n biasanya dituliskan secara

Suku banyak (polinomial) dalam x berderajat n biasanya dituliskan secara umum sebagai berikut :umum sebagai berikut :

0 0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x x aa    x x ... aa x x aa x x aa a a  x  x a a_nn nn

++

_nn−− nn−−

++

_nn−− nn−−

++

++

++

++

Untuk n bilangan cacah dan

Untuk n bilangan cacah dan aa00,, aa11,,   aa22,,...,..., aann konstanta dan konstanta dan aann

≠≠

00.. n n a a a a a a a a _{,,   ,, ,...,,...,} 3 3 2 2 1

1  disebut koefisien dan disebut koefisien dan aa00 disebut konstanta sedangkan x disebut disebut konstanta sedangkan x disebut

variabel (peubah) variabel (peubah)

Penulisan suatu suku banyak biasanya terurut dari pangkat yang tertinggi ke pangkat yang lebih Penulisan suatu suku banyak biasanya terurut dari pangkat yang tertinggi ke pangkat yang lebih rendah.

rendah. ontoh !

ontoh ! : Pada : Pada suku banysuku banyakak 22 x x55

−−

44 x x33

++

77 x x22

++

66xx

−−

33 tentukan derajat suku banyak tersebut" tentukan derajat suku banyak tersebut" koefisien

koefisien 55 44

,, xx  x

 x  _{dan konstantanya # dan konstantanya #} $

$aa%%aabb : : &&&&&&&&&&

2.

2. NINILALAI SUI SUKU KU BABANYNYAKAK

Untuk menentukan nilai suatu suku banyak dalam x

Untuk menentukan nilai suatu suku banyak dalam x atau sering ditulis f(x) pada suatu harga atau sering ditulis f(x) pada suatu harga x ' cx ' c ada  cara" yaitu :

ada  cara" yaitu : !.

!. cara sucara substitbstitusi" yusi" yaitu daitu dengaengan mengn menggantganti variai variabel x denbel x dengan hargan harga c atau fga c atau f(c)(c) .

. cara skecara skema (pema (pembagian mbagian sintetis)" sintetis)" yaitu dyaitu dengan engan mengoperasimengoperasikan koefikan koefisienkoefisiensienkoefisiennya denya denganngan pola tertentu.

pola tertentu.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh di ba%ah ini Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh di ba%ah ini ## ontoh 

ontoh  : *entukan : *entukan nilai suku nilai suku banyakbanyak 22 x x33

−−

55 x x22

++

44xx

++

11 pada x '  # pada x '  # $a

$a%a%abb : c: carara + a + (d(denengagan sun subsbstititutusisi))

= = )) (( x x   f     f   ₂₂ 33

₋₋

₅₅ 22

₊₊

₄₄

₊₊

₁₁ x x  x  x  x  x  maka maka  f    f  ((22))

==

22..2233

−−

55..2222

++

44..22

++

11

==

1616

−−

2020

++

88

++

11

==

55 cara +

cara ++ (deng+ (dengan skeman skema)a)     , , - - !! - -   - - 

 ! !   , , /ilai /ilai suku suku banyak banyak yang yang dimaksud.dimaksud. berarti

berarti kalikan kalikan bilangan bilangan yang yang di di ba%ah ba%ah dengan dengan .. $ika pada suatu suku banyak

$ika pada suatu suku banyak tidak terdapat variabel tertentu (urutan derajat variabel meloncattidak terdapat variabel tertentu (urutan derajat variabel meloncat)) maka koefisien variabel tersebut dianggap 0.

maka koefisien variabel tersebut dianggap 0. 1isal suku banyak

1isal suku banyak 44 x x55

−−

66 x x33

++

xx

−−

77 maka koefisien dari maka koefisien dari 44 22  x  x dan dan  x  x  _{dianggap 0. dianggap 0.}

LATIHAN SOAL

!. 2itunglah nilai suku banyak berikut pada masingmasing harga x dengan cara substitusi #

1 8 4 3 2 ) ( . 3 2 5 2 3 9 ) ( . 2 1 1 2 6 2 ) ( . 3 3 8 ) ( . 2 2 3 4 ) ( . 2 3 4 2 3 2 3 4 3 2 − = − − − − = = − + + = = − + − = − = + − = = + + =  x untuk   x  x  x  x  x   f   e  x untuk   x  x  x  x   f   d   x untuk   x  x  x  x   f   c  x untuk   x  x  x   f   b  x untuk   x  x  x   f   a

. 2itunglah nilai suku banyak pada soal no. ! dengan cara skema 3pembagian sintetis# 4. $ika  f  ( x)

=

4 x4

−

20 x3

+

3 x2

+

ax

+

20 untuk x ' , nilai f(,) ' 0 maka tentukan nilai a #

3. PEMBAGIAN SUKU BANYAK

Untuk membagi suatu suku banyak dengan pembagi (x 5 c) ada  cara" yaitu :

!. cara pembagian biasa seperti pembagian suatu bilangan dengan bilangan lain yang lebih kecil (bagi kurung). 6alam hal ini derajat sisanya harus kurang dari derajat pembagi.

. cara pembagian sintetis 3skema seperti yang sudah dijelaskan di atas dengan mengambil x ' c dengan operasi tambah atau x ' c dengan operasi kurang.

ontoh ! : *entukan hasil bagi dan sisa dari 3 x4

−

5 x3

+

2 x2

−

7x

+

1 dibagi x 5  1 4 3 x3

+

 x2

+

x

+

hasil bagi $a%ab : cara + : x 5  3 x4

−

5 x3

+

2 x2

−

7x

+

1 3 4 6 3 x − x  2 3 _2 x  x

+

2 3 2 x  x −   x  x 7 4 2 −  x  x 8 4 2 −  2 1 − +  x  x  4 sisa

$adi hasil baginya : 3 x3

+

 x2

+

4x

+

1 dan sisanya 4 atau bisa ditulis : 1 7 2 5 3 x4

−

 x3

+

 x2

−

x

+

 ' (x 5 ) (3 x3

+

 x2

+

4x

+

1)  4 cara ++a :  4 ,  7 !

8  9   4 ! - ! 4 sisa hasil bagi cara ++b :  4 ,  7 ! 8  9   4 ! - ! 4 sisa hasil bagi

$adi hasil baginya : 3 x3

+

 x2

+

4x

+

1 dan sisanya 4.

LATIHAN SOAL

!. *entukan hasil bagi dan sisa dari pembagian berikut dengan cara pembagian bentuk biasa dan cara pembagian sintetis# ( ) ( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

(

)

( )

(

64

)

:( 2) . 5 : 125 . 3 1 : 2 4 6 9 . 1 : 12 8 3 5 2 . 2 : 9 2 . ) 3 ( : ) 7 2 3 ( . 3 : 8 6 . 6 3 2 3 2 3 4 2 3 2

−

−

+

−

 

 

 



 

  +

+

+

+

+

+

+

+

−

+

+

−

−

−

−

−

+

 x  x  g   x  x   f    x  x  x  x e  x  x  x  x  x d   x  x  x c  x  x  x b  x  x a

. *entukan nilai a jika x3

+

ax2

−

4x

+

3 dibagi (x 5 ,) mempunyai sisa 94 # 4. *entukan nilai a jika 4 x4

−

20 x3

+

3 x2

+

ax

+

20 habis dibagi (x 5 ,) #

-. *entukan k jika  x2

+

kx

+

4 dibagi dengan (x 5 !) dan (x  !) memberikan sisa yang sama #

4. TEOREMA SISA

Suatu suku banyak f(x) yang dibagi oleh pembagi (x 5 c) dan menghasilkan hasil bagi 2(x) dan sisa S dapat ditulis :

f(x) ' (x 5 c).2(x)  S

$ika x ' c maka f( c) ' (c 5 c).2(c )  S atau S ' f(c )

$adi jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh x 5 c " maka sisanya adalah f(c ).

Pernyataan di atas sering dikenal dengan nama teorema sisa. $adi untuk menentukan sisa dari pembagian f(x) oleh x 5 c bisa digunakan cara substitusi x oleh c atau dengan pembagian skema3sintetis.

ontoh ! : *entukan sisa pembagian 2 x4

−

3x2

+

5 oleh x   $a%ab : Sisanya ' f() ' 2(−2)4 −3(−2)2 +5= 25

5. PEMBAGIAN DENGAN AX - B

$ika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh ax 5 b dapat ditulis : f(x) ' (ax 5 b).2(x)  S f(x) ' a(x  a b ).2(x)  S f(x) ' (x  a b ).a 2(x)  S

1enurut teorema sisa di atas maka sisa pembagian suku banyak f(x) oleh pembagi ax 5 b adalah f(

a b

). 2asil baginya harus dibagi a supaya kembali ke 2(x).

ontoh  : *entukan hasil bagi dan sisa dari pembagian 4 x4

+

3 x2

−

6x

+

1 oleh x 5 ! $a%ab : 6engan menggunakan pembagian sintetis :

2 1

- 0 4 8 !  !   -  - - !

$adi sisanya ' ! dan hasil baginya ' 2 2 2 2 4 4 2 4 3 2 2 3

−

+

+

=

−

+

+

 x  x  x  x  x  x LATIHAN SOAL

(

)

(

)

(

)

(

)

(

3 5 11 8

)

:(3 1) . 3 2 : 4 4 2 . ) 1 2 ( : 2 6 4 . ) 4 3 ( : 11 4 2 5 . ) 1 2 ( : ) 5 4 3 2 ( . 2 3 2 3 2 2 3 2 3 4

−

+

−

+

−

+

+

+

−

−

+

+

+

−

+

+

+

+

+

 x  x  x  x e  x  x  x  x d   x  x  x c  x  x  x  x b  x  x  x  x  x a

. *entukan a jika 4 x4

−

12 x3

+

13 x2

−

8 x

+

a habis dibagi x 5 ! 4. *entukan a jika 2 x3

−

7 x2

−

ax

+

2 habis dibagi x  !

-. *entukan a jika 2 x3

+

ax2

−

22x

−

105 habis dibagi x  ,

6. TEOREMA FAKTOR

Suku banyak f(x) jika dibagi oleh (x 5 c) menghasilkan sisa 0" maka dikatakan (x 5 c) merupakan faktor dari f(x).

$adi suku banyak f(x) mempunyai faktor (x 5 c) jika dan hanya jika f(c ) ' 0

Untuk mencari faktorfaktor dari suku banyak f(x) bisa digunakan cara pembagian

sintetis3skema" yaitu dengan mencobacoba faktorfaktor dari konstanta suku banyak yang menghasilkan sisa 0.

ontoh !: aktorkanlah suku banyak  x4

−

2 x3

−

9 x2

+

2x

+

8

$a%ab : aktorfaktor dari konstanta 9 adalah ±1, ± 2, ±4, ±8

! !  ;  9 ! 4 8 9  ! 4 8 9 0 ! !  9  !  9 0   9  ! - 0 $adi  x4

−

2 x3

−

9 x2

+

2 x

+

8

=

( x

+

1)( x

−

1)( x

+

2)(x

−

4) LATIHAN SOAL

12 19 8 . 3 10 12 6 . 4 3 4 3 . 2 2 . 5 9 2 . 2 3 2 3 4 2 3 2 3 2 − + − + − + − + − − − − + − + t  t  t  e  x  x  x  x d   p  p  p c  x  x  x b  x  x a

. *entukan a jika  x4

+

4 x3

−

ax2

+

4x

+

1 mempunyai faktor : a. x  !

b. x 5 !

4. *entukan p sehingga 2 x4 +9 x3 +5 x2 +3 x+ p mempunyai faktor x 

--. 2itunglah a dan b jika x4

+

2 x3

−

7 x2

+

ax

+

b habis dibagi oleh  x2

+

2x

−

3 ,. <uktikan bah%a :

a. x 5  adalah faktor dari  x3

−

6 x2

+

3x

+

10

b. x  4 adalah faktor dari 6 x4

+

13 x3

−

32 x2

−

59x

−

3 8. <uktikan bah%a :

a.  x2n −1 habis dibagi oleh x  ! b. 2 +1 2 +1

+ n n

a

 x  habis dibagi oleh x  a c. n n

b

a

−

 habis dibagi oleh a 5 b

7. PERSAMAAN SUKU BANYAK

Persamaan suku banyak berbentuk f(x) ' 0 dimana f(x) merupakan suku banyak bisa diselesaikan  jika f(x) difaktorkan terlebih dahulu. =emudian dengan menggunakan prinsip >.< ' 0 maka > ' 0

atau < ' 0.

ontoh ! : *entukan himpunan penyelesaian dari  x4

−

2 x3

−

9 x2

+

2x

+

8 ' 0 # $a%ab : Seperti contoh mengenai teorema faktor di atas " maka :

8 2 9 2 3 2 4

₋

₋

₊

₊

x  x  x  x  ' 0 ) 4 )( 2 )( 1 )( 1 ( x +  x −  x+ x− _{' 0} x ' !" x ' !" x '  atau x ' -2P : ?"!"!"-@ LATIHAN SOAL

0 3 10 12 6 .. 0 8 2 25 6 . 0 12 20 9 . 0 6 11 6 . 0 4 3 . 2 3 4 2 3 2 3 2 3 2 = + − + − = − + + = − + − = − + − = − +  x  x  x  x e  x  x  x d   x  x  x c  x  x  x b  x  x a

. <uktikan bah%a 5- merupakan akar persamaan 5 x3

+

7 x2

−

58x

−

24

=

0 dan tentukan akarakar  yang lain

4. <uktikan bah%a

3 1

−  _{merupakan akar persamaan 6} 4

₋

3

₋

₁₂₁ 2

₊

₁₈₅

₊

₇₅

₌

₀

x  x

 x

 x  dan tentukan

akarakar yang lain #

-. *entukan koordinat titik potong kurva  y = x3 −2 x2 −5x+6 dengan sumbu A

,. *entukan himpunan penyelesaian untuk 0

≤

 x

≤

2π   dari _2sin3 _x

+

_3sin2 _x

−

_8sinx

+

₃

=

₀

8. PEMBAGIAN DENGAN BENTUK KUADRAT 

$ika pembaginya berbentuk kuadrat maka sisanya harus berupa linier (berderajat !) atau konstanta.

ara menentukan sisanya ada  cara" yaitu dengan pembagian bagi kurung atau dengan menggunakan teorema sisa.

ontoh ! : *entukan sisa pembagian 3 x3

−

7 x2

−

11x

+

4 oleh  x2

−

 x

−

2

4 3 x− $a%ab : 2 2

₋

₋

 x  x 3 x3

−

7 x2

−

11x

+

4  x  x  x 3 6 3 3 − 2 −  4 x2

−

5x

+

4 4 x2

+

4x

+

8  4 9 − − x $adi sisanya ' ;x 5

- ara lain dengan teorema sisa : 4 11 7 3 x3

−

 x2

−

x

+

 ' ( x2

−

 x

−

2).2(x)  Sisa 4 11 7 3 x3

−

 x2

−

x

+

 ' (x 5 ) (x  !).2(x)  (ax  b) 1enurut teorema sisa :

Untuk x '  maka f() ' a  b atau a  b '  &&&. (!) Untuk x ' ! maka f(!) ' a  b atau 5a  b ' , &&&.. ()

6ari (!) dan () didapat a ' ; dan b '  sehingga sisa ' ax  b ' ;x 5

-LATIHAN SOAL

(

)

(

)

(

)

(

)

(

4 2

)

:( 3) . ) 4 ( : 5 2 . ) 6 ( : 7 2 2 . ) 9 ( : 4 2 . ) 2 3 ( : 2 3 6 . 2 2 3 2 3 4 2 2 4 2 2 3 2 2 3

+

+

+

−

+

+

+

−

−

+

−

−

−

−

+

+

−

−

+

−

 x  x  x  x  x e  x  x  x d   x  x  x  x c  x  x  x b  x  x  x  x  x a

. *entukan nilai a dan b jika x4

+

2 x3

−

7 x2

+

ax

+

b habis dibagi oleh  x2

+

2x

−

3

4. 6iketahui  x3

−

(a

−

1) x2

+

bx

+

2a  _{habis dibagi x  . $ika dibagi oleh x 5  bersisa 5-. *entukan}

nilai a dan b serta ketiga akarakar persamaan tersebut #

-. Suatu fungsi f jika dibagi x 5 ! sisanya  dan jika dibagi x 5  sisanya 8!. *entukan sisanya jika f dibagi oleh (x 5 !)(x 5 )

,. $ika suku banyak x4 −ax3 −(a−b) x2 −3a−b dibagi oleh  _x2

+

 _x

−

₂ maka sisanya x 5 4.

*entukan nilai a dan b #

8. Suatu suku banyak berderajat dua dalam x habis dibagi x  . $ika suku banyak itu dibagi dengan x 5 ! maka sisanya 8 dan jika dibagi dengan x 5  maka sisanya !. *entukan rumus suku banyak tersebut #