Turunan Berarah Dan Gradien

(1)

611.12.029 Kalkulus Multivariabel I

Turunan Berarah dan Gradien

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

(2)

Turunan Berarah

Laju Perubahan Maksimum Latihan

Turunan Berarah

Turunan-turunan parsial fx(x , y ) dan fy(x , y ) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar dengan sumbu x dan sumbu y . Pada materi ini akan dipelajari laju perubahan f pada sebarang arah.

Gunakan notasi vektor p = (x , y ). Misalkan i dan j adalah vektor-vektor satuan pada arah sumbu x dan sumbu y positif. Turunan-turunan parsial fx(x , y ) dan fy(x , y ) di p dapat ditulis: fx(p) = lim h→0 f (p + hi) − f (p) h fy(p) = lim h→0 f (p + hj) − f (p) h

(3)

Definisi

Untuk sebarang vektor satuan u, misalkan Duf (p) = lim

h→0

f (p + hu) − f (p) h

(4)

Turunan Berarah

Vektor u menentukan sebuah garis L di bidang xy melalui (x0, y0). Bidang yang melalui L tegak lurus terhadap bidang xy dan

memotong permukaan z = (x , y ) pada kurva C . Persinggungannya di titik (x0, y0, f (x0, y0)) mempunyai kemiringan Duf (x0, y0). Duf (x0, y0) mengukur laju perubahan f terhadap jarak dalam arah u.

(5)

Hubungan Turunan Berarah dengan Gradien

Ingat kembali bahwa ∇f (p) = fx(p)i + fy(p)i.

Teorema A

Misalkan f dapat didiferensialkan di p, maka f mempunyai turunan berarah di p pada arah vektor satuan u = u1i + u2j dan

Duf (p) = u · ∇f (p) yakni

(6)

Turunan Berarah

Contoh 1

Jika f (x , y ) = 4x2_{− xy + 3y}2_{, tentukan turunan berarah dari f di} (2, −1) pada arah vektor a = 4i + 3j.

Penyelesaian:

Vektor satuan u pada arah a adalah 4₅ i + 3 5 j. fx(x , y ) = 8x − y ⇔ fx(2, −1) = 17 fy(x , y ) = −x + 6y ⇔ fy(2, −1) = −8 Berdasarkan Teorema A, maka

Duf (−2, 1) = 4 5, 3 5 · h17, −8i = 4 5(17) + 3 5(−8) = 44 5

(7)

Contoh 1

Jika f (x , y ) = 4x2_{− xy + 3y}2_{, tentukan turunan berarah dari f di} (2, −1) pada arah vektor a = 4i + 3j.

Penyelesaian:

Vektor satuan u pada arah a adalah 4₅ i + 3 5 j. fx(x , y ) = 8x − y ⇔ fx(2, −1) = 17 fy(x , y ) = −x + 6y ⇔ fy(2, −1) = −8 Berdasarkan Teorema A, maka

Duf (−2, 1) = 4 5, 3 5 · h17, −8i = 4 5(17) + 3 5(−8) = 44 5

(8)

Turunan Berarah

Contoh 2

Tentukan turunan berarah dari fungsi f (x , y , z) = xy sin z di titik (1, 2, π/2) pada arah vektor a = i + 2j + 2k.

Penyelesaian:

Vektor satuan u pada arah a adalah 1₃i +2₃j +2₃k fx(x , y , z) = y sin z ⇔ fx(1, 2, π/2) = 2 fy(x , y , z) = x sin z ⇔ fy(1, 2, π/2) = 1 fz(x , y , z) = xy cos z ⇔ fz(1, 2, π/2) = 0 Maka, Duf 1, 2,π 2 = 1 3, 2 3, 2 3 · h2, 1, 0i = 1 3(2) + 2 3(1) + 2 3(0) = 4 3

(9)

Contoh 2

Tentukan turunan berarah dari fungsi f (x , y , z) = xy sin z di titik (1, 2, π/2) pada arah vektor a = i + 2j + 2k.

Penyelesaian:

Vektor satuan u pada arah a adalah 1₃i +2₃j +2₃k fx(x , y , z) = y sin z ⇔ fx(1, 2, π/2) = 2 fy(x , y , z) = x sin z ⇔ fy(1, 2, π/2) = 1 fz(x , y , z) = xy cos z ⇔ fz(1, 2, π/2) = 0 Maka, Duf 1, 2,π 2 = 1 3, 2 3, 2 3 · h2, 1, 0i = 1 3(2) + 2 3(1) + 2 3(0) = 4 3

(10)

Turunan Berarah

Laju Perubahan Maksimum

Latihan

Laju Perubahan Maksimum

Untuk sebuah fungsi f yang diketahui pada titik p yang diketahui, ke arah mana fungsi tersebut berubah paling cepat, yaitu ke arah mana Duf (p) paling besar? Dari rumus geometri untuk hasilkali titik, kita dapat menuliskan

Duf (p) = u · ∇f (p) = |u| |∇f (p)| cos θ = |∇f (p)| cos θ di mana θ adalah sudut di antara u dan ∇f (p), sehingga Duf (p) dapat dimaksimumkan ketika θ = 0 dan diminimumkan ketika θ = π.

(11)

Teorema B

Sebuah fungsi meningkat paling cepat di p pada arah gradiennya (dengan laju |∇f (p)|) dan menurun paling cepat pada arah yang berlawanan (dengan laju −|∇f (p)|).

(12)

Turunan Berarah

Laju Perubahan Maksimum

Latihan

Contoh 3

Andaikan seekor serangga berada pada paraboloid hiperbolik z = y2− x2 _{di titik (1, 1, 0). Ke arah manakah seharusnya} serangga tersebut bergerak untuk melewati lintasan yang paling curam dan bagaimanakah kemiringannya ketika serangga tersebut mulai keluar? Penyelesaian: Misalkan f (x , y ) = y2− x2_{. Karena f} x(x , y ) = −2x dan fy(x , y ) = 2y , maka ∇f (1, 1) = f_x(1, 1)i + fy(1, 1)j = −2i + 2j

Jadi, serangga tersebut seharusnya bergerak dari (1, 1, 0) pada arah −2i + 2j, di mana kemiringannya adalah | − 2i + 2j| =√8.

(13)

Contoh 3

Andaikan seekor serangga berada pada paraboloid hiperbolik z = y2− x2 _{di titik (1, 1, 0). Ke arah manakah seharusnya} serangga tersebut bergerak untuk melewati lintasan yang paling curam dan bagaimanakah kemiringannya ketika serangga tersebut mulai keluar? Penyelesaian: Misalkan f (x , y ) = y2− x2_{. Karena f} x(x , y ) = −2x dan fy(x , y ) = 2y , maka ∇f (1, 1) = f_x(1, 1)i + fy(1, 1)j = −2i + 2j

(14)

Turunan Berarah Laju Perubahan Maksimum

Latihan

1. Tentukan turunan berarah dari f di titik p pada arah a untuk fungsi-fungsi berikut a. f (x , y ) = y2_{ln x ; p = (1, 4); a = i − j} b. f (x , y ) = ex_{sin y ; p = (0, π/4); a = i +}√_3j c. f (x , y ) = e−xy; p = (1, −1); a = −i +√3j d. f (x , y , z) = x3y − y2z2; p = (−2, 1, 3); a = i − 2j + 2k e. f (x , y , z) = x2+ y2+ z2; p = (1, −1, 2); a =√2i − j − k

(15)

2. Tentukan vektor satuan pada arah di mana f meningkat paling cepat di p. Berapakah laju perubahan pada arah tersebut?

a. f (x , y ) = ey_{sin x ; p = (5π/6, 0)}

b. f (x , y , z) = xeyz_{; p = (2, 0, −4)}

3. Ketinggian sebuah gunung di atas permukaan laut di titik (x , y ) adalah 3000e−x 2+2y 2100 meter. Sumbu x positif mengarah ke timur dan sumbu y positif mengarah ke utara. Seorang pendaki tepat berada di titik (10, 10). Jika pendaki tersebut bergerak ke arah barat laut, apakah ia akan mendaki atau menurun? dan pada kemiringan berapa?