BAB 2 TEORI DASAR
2.1 Umum
Peristiwa gempa merupakan salah satu aspek yang sangat menentukan dalam merencanakan struktur. Struktur yang direncanakan harus mempunyai ketahanan terhadap gempa dengan tingkat keamanan yang dapat diterima. Prinsip utama dalam perancangan tahan gempa adalah meningkatkan kekuatan struktur terhadap gaya horizontal yang umumnya tidak mencukupi (Agus, 2002). Muto, 1987 juga mengatakan hal yang sama bahwa gaya dalam arah vertikal hanya sedikit mengubah gaya gravitasi yang bekerja pada struktur. Oleh karena itu struktur umumnya jarang sekali runtuh akibat gaya gempa vertikal. Sebaliknya gaya gempa horizontal menyerang titik-titik lemah pada struktur yang kekuatannya tidak memadai dan akan langsung menyebabkan keruntuhan.
Penyelesaian perhitungan pengaruh gempa terhadap struktur dapat dilakukan dengan analisis statik maupun dinamik. Struktur harus dapat memberikan layanan yang sesuai dengan perencanaan. Menurut Pauly dan Priestley, 1992 tingkat layanan dari struktur akibat gaya gempa terdiri dari:
1. Serviceability;
Jika gempa dengan intensitas percepatan tanah yang kecil dalam waktu ulang yang besar mengenai suatu struktur, disyaratkan tidak mengganggu fungsi bangunan seperti aktivitas normal di dalam bangunan dan
perlengkapan yang ada. Dengan kata lain, tidak dibenarkan terjadi kerusakan pada struktur baik pada komponen struktur maupun elemen non-struktur yang ada. Dalam perencanaan harus diperhatikan kontrol dan batas simpangan (drift) yang terjadi semasa gempa, serta menjamin kekuatan yang cukup bagi komponen struktur untuk menahan gaya gempa yang terjadi dan diharapkan struktur masih berprilaku elastik.
2. Kontrol Kerusakan (damage control);
Jika struktur dikenai gempa dengan waktu ulang sesuai dengan umur rencana bangunan, maka struktur direncanakan untuk dapat menahan gempa ringan tanpa terjadi kerusakan pada komponen struktur ataupun non-struktur dan diharapkan struktur masih dalam batas elastis.
3. Survival ;
Jika gempa kuat yang mungkin terjadi pada umur rencana bangunan membebani suatu struktur, maka struktur tersebut direncanakan untuk dapat bertahan dengan tingkat kerusakan yang besar tanpa mengalami keruntuhan (collapse). Tujuan utama dari keadaan batas ini adalah untuk menyelamatkan jiwa manusia.
Sedangkan sifat khusus dari struktur yang berhubungan dengan tingkat layanan bangunan akibat beban gempa adalah:
1. Kekuatan (Strength)
Kekuatan dapat diartikan sebagai ketahanan dari struktur atau komponen struktur atau bahan yang digunakan terhadap beban yang membebaninya.
Perencanaan kekuatan suatu struktur bergantung pada maksud dan kegunaan struktur tersebut.
2. Daktilitas (ductility)
Kemampuan suatu struktur gedung untuk mengalami simpangan pasca-elatik yang besar secara berulang kali dan bolak-balik akibat beban gempa di atas beban gempa yang menyebabkan terjadinya pelelehan pertama, sambil mempertahankan kekuatan, dan kekakuan yang cukup, sehingga struktur gedung tersebut tetap berdiri, walaupun sudah berada dalam kondisi ambang keruntuhan.
3. Kekakuan (stiffness)
Deformasi akibat gaya lateral perlu dihitung dan dikontrol. Perhitungan yang dilakukan berhubungan dengan sifat kekakuan. Deformasi pada struktur dipengaruhi oleh besar beban yang bekerja. Hubungan ini merupakan prinsip dasar mekanika struktur, yaitu sifat geometri dan modulus elastisitas bahan. Kekakuan mempengaruhi besarnya simpangan pada saat terjadi gempa.
2.2 Struktur Beraturan dan Tidak Beraturan
Bangunan dengan bentuk beraturan, sederhana, dan simetris akan berperilaku lebih baik terhadap gempa dibandingkan dengan bangunan yang tidak beraturan (Pauly dan Priestley, 1992). Struktur bangunan gedung harus diklasifikasikan sebagai beraturan dan tidak beraturan berdasarkan konfigurasi horizontal dan vertikal dari struktur bangunan gedung. Pada RSNI 03-1726-201x
struktur bangunan gedung beraturan dan tidak beraturan diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Ketidakberaturan Horizontal
Struktur yang mempunyai satu atau lebih ketidakberaturan seperti berikut ini dianggap mempunyai ketidakberaturan struktur horizontal.
- Ketidakberaturan torsi, yaitu jika simpangan antar lantai tingkat maksimum, torsi yang dihitung termasuk tak terduga, di sebuah ujung struktur melintang terhadap sumbu lebih dari 1,2 kali simpangan antar lantai tingkat rata-rata di ke dua ujung struktur. Dan hanya berlaku untuk struktur dimana diafragmanya kaku atau setengah kaku.
- Ketidakberaturan torsi berlebihan, yaitu jika simpangan antar lantai tingkat maksimum, torsi yang dihitung termasuk tak terduga, di sebuah ujung struktur melintang terhadap sumbu lebih dari 1,4 kali simpangan antar lantai tingkat rata-rata di ke dua ujung struktur. Dan hanya berlaku untuk struktur dimana diafragmanya kaku atau setengah kaku.
- Ketidakberaturan sudut dalam, yaitu jika kedua proyeksi denah struktur dari sudut dalam lebih besar dari 15% dimensi denah struktur dalam arah yang ditentukan.
- Ketidakberaturan diskontinuitas diafragma, yaitu jika terdapat diafragma dengan diskontinuitas atau variasi kekakuan mendadak, termasuk yang mempunyai daerah terpotong atau terbuka lebih besar 50% daerah diafragma bruto yang melingkupinya, atau perubahan kekakuan diafragma efektif lebih dari 50% dari suatu tingkat ke tingkat selanjutnya.
- Ketidakberaturan pergeseran melintang terhadap bidang, yaitu jika terdapat diskontinuitas dalam lintasan tahanan gaya lateral, seperti pergeseran melintang terhadap bidang elemen vertikal.
- Ketidakberaturan sistem non-paralel
Yaitu jika elemen penahan gaya lateral vertikal tidak paralel atau simetris terhadap sumbu-sumbu ortogonal utama sistem penahan gaya gempa.
2. Ketidakberaturan Vertikal
Struktur yang mempunyai satu atau lebih ketidakberaturan seperti berikut ini dianggap mempunyai ketidakberaturan struktur vertikal.
- Ketidakberaturan kekakuan tingkat lunak, yaitu jika terdapat suatu tingkat dimana kekakuan lateralnya kurang dari 70% kekakuan lateral tingkat di atasnya atau kurang 80% kekakuan rata-rata 3 tingkat di atasnya.
- Ketidakberaturan kekakuan tingkat lunak berlebihan, yaitu jika terdapat suatu tingkat dimana kekakuan lateralnya kurang dari 60% kekakuan lateral tingkat di atasnya atau kurang 70% kekakuan rata-rata 3 tingkat di atasnya.
- Ketidakberaturan berat (massa), yaitu jika massa efektif semua tingkat lebih dari 150% massa efektif tingkat didekatnya. Atap yang lebih ringan dari lantai di bawahnya tidak perlu ditinjau.
- Ketidakberaturan geometri vertikal, jika dimensi horizontal sistem penahan gaya gempa di semua tingkat lebih dari 130% dimensi horizontal sistem penahan gaya gempa tingkat didekatnya.
- Diskontinuitas arah bidang dalam ketidakberaturan elemen penahan gaya lateral vertikal, yaitu jika pergeseran arah bidang elemen penahan gaya lateral lebih besar dari panjang elemen itu atau terdapat reduksi kekakuan elemen penahan di tingkat di bawahnya.
- Diskontinuitas dalam ketidakberaturan kuat lateral tingkat, yaitu jika kuat lateral tingkat kurang dari 80% kuat lateral tingkat di atasnya. Kuat lateral tingkat adalah kuat lateral total semua elemen penahan seismik yang berbagi geser tingkat untuk arah yang ditinjau.
- Diskontinuitas dalam ketidakberaturan kuat lateral tingkat yang berlebihan, yaitu jika kuat lateral tingkat kurang dari 65% kuat lateral tingkat di atasnya. Kuat lateral tingkat adalah kuat lateral total semua elemen penahan seismik yang berbagi geser tingkat untuk arah yang ditinjau.
Sebaliknya jika suatu bangunan tidak termasuk dalam syarat yang berlaku dalam RSNI 03-1726-201x, gedung tersebut dikategorikan sebagai gedung beraturan.
2.3 Model Matematik dan Persamaan Diferensial
Model matematik adalah salah satu kebijakan dalam persoalan keteknikan. Penyederhanaan atau anggapan yang ada pada matematik diambil sedemikian rupa sehingga secara keseluruhan diperoleh suatu ketelitian yang cukup tanpa adanya kesalahan yang berarti. Permodelan menjadi sesuatu yang penting agar persoalan yang kompleks dapat ditransfer menjadi persoalan yang
dapat diselesaikan dengan mudah secara matematik. Model matematik ini diperlukan tidak hanya pada persoalan statik tetapi juga pada problem dinamik
Penyelesaian problem statik umumnya hanya memerlukan sekali penyelesaian, artinya tidak ada pengulangan-pengulangan, sedangkan penyelesaian problem dinamik akan dilakukan berulang-ulang sesuai dengan step integrasi numerik dan durasi pembebanan yang ditinjau. Hal tersebut mengakibatkan penyelesaian problem dinamik menjadi lebih lama, lebih banyak, dan lebih mahal daripada penyelesaian problem statik. Pengaruh beban dinamik terhadap respon struktur akan lebih besar daripada pengaruh beban statik. Hal inilah yang menjadi alasan utama mengapa analisis dinamik tetap dibutuhkan walaupun diperlukan waktu dan biaya yang lebih mahal dibanding dengan analisis statik.
Model matematik pada hakekatnya adalah pemodelan suatu persoalan sedemikian rupa sehingga penyelesaian persoalan tersebut dapat dilakukan secara lebih jelas dan mudah dengan memakai prinsip-prinsip matematik. Apabila semua aksi dan reaksi yang terlibat dalam sistem yang ditinjau kesemuanya telah dimodelkan, maka ekspresi matematik atas keseimbangan sistem bersangkutan dapat disusun dengan mudah. Oleh karena itu, ekspresi matematik atas suatu keseimbangan dapat dituangkan dengan mudah dan benar apabila telah dilakukan permodelan fisik secara visual sehingga memudahkan dalam menuangkan ekspresi matematik atas suatu keseimbangan.
g W m q=t/m' F (t) k y F (t) k F y
a) Struktur yang sebenarnya b) Model Matematik c) Linier Elastik m
2.3.1 Struktur Tanpa Redaman
Pada gambar 2.1.a suatu struktur bangunan 1 tingkat mendukung beban gravitasi yang berupa beban terbagi dan beban horizontal dinamik F(t). Akibat beban dinamik, struktur akan bergoyang berganti-ganti ke kanan maupun ke kiri. Terdapat dua parameter penting yang mempengaruhi besar-besarnya goyangan yaitu massa (m) dan kekakuan (k). Dua parameter ini selanjutnya akan disebut dinamik karakteristik dari struktur yang bersangkutan. Secara sepintas akan mudah diketahui bahwa semakin kaku kolom maka goyangan massa akan semakin kecil dan sebaliknya.
Gambar 2.1 Pemodelan struktur Sumber: Widodo (2001)
Beban gravitasi seperti Gambar 2.1.a selanjutnya dimodel sebagai suatu massa m, yang dapat dihitung menurut,
(2.1) dimana:
W adalah berat beban gravitasi g adalah percepatan gravitasi
Massa struktur yang dihitung menurut persamaan 2.1 tersebut dimodelkan sebagai suatu massa m yang bergerak diatas landasan melalui roda-rodanya seperti tampak pada gambar 2.1.b. Dalam hal ini dianggap tidak ada gesekan antara roda-roda dengan landasannya. Gerakan massa m akibat beban dinamik F(t) tersebut dikendalikan oleh suatu pegas sebagaimana tampak pada gambar 2.1.b. Simpangan horisontal y(t) selanjutnya diukur dari posisi massa saat diam.
Sebagaimana disampaikan di atas, kolom akan memegang peranan penting pada proses goyangan massa. Peran kolom pada peristiwa goyangan massa ini akan ditunjukkan oleh adanya kekakuan kolom. Kekakuan kolom kemudian dimodelkan sebagai suatu pegas seperti tampak pada gambar 2.1.b. Kekakuan kolom yang dimaksud adalah fungsi langsung dari sistem pengekangan pada ujung-ujung kolom, modulus elastik E, momen inersia Ix, dan berbanding terbalik secara kubik dengan panjang kolom h. Dengan kenyataan seperti itu, maka kekakuan kolom sangat dipengaruhi oleh panjang kolom.
Gambar 2.1.b adalah model matematik atas struktur yang tidak memakai redaman. Untuk seterusnya, pembahasan respon struktur dipakai anggapan bahwa kolom masih berperilaku elastik sehingga model pegas yang dipakai adalah pegas linier elastik sebagaimana tampak pada gambar 2.1.c.
2.3.2 Struktur Dengan Redaman
Benda yang bergerak dipermukaan bumi umumnya akan mengalami resistensi baik karena gesekan dengan benda-benda sekelilingnya maupun oleh
peristiwa intern yang ada pada benda yang bersangkutan. Dengan adanya resistensi gerakan itu maka gerakan benda lambat laun akan melemah. Umumnya dikatakan bahwa terdapat sistem penyerapan energi pada peristiwa yang bersangkutan atau struktur yang bersangkutan mempunyai sistim peredaman. Sistim penyerapan energi ini hanya ada pada peristiwa dinamik.
Ada beberapa jenis redaman yang dapat dikenal yaitu: 1) Structural damping
Sructural damping adalah redaman yang dihasilkan oleh adanya gesekan secara intern atas molekul-molekul di dalam bahan, gesekan antara bagian-bagian struktur dengan alat-alat penyambung, maupun gesekan antara struktur dengan sistem dukungan.
2) Coulumb damping
Coulumb damping adalah redaman yang dihasilkan gesekan sesama benda padat, misalnya gesekan antara suatu kotak dengan berat/gaya normal N dengan lantai. Besarnya gaya redam C akan bergantung pada besarnya gaya normal N dan sudut gesek alam material f, yang dapat dinyatakan sebagai berikut:
C = N tan Ø (2.2)
3) Viscous damping
Viscous damping adalah redaman yang dihasilkan oleh gesekan antara benda padat dengan benda cair/gas (air, minyak, oli, dan udara), yang dapat dinyatakan sebagai berikut:
m F (t) k F (t) a) Struktur SDOF c) Model Matematik
b) Simpangan Horizontal Massa
m k c 0 50 100 150 200 0 1 2 -1 -2 S im p ang an (cm ) c
d) Model Redaman Viscous
c=C.ý
Persamaan 2.3 menunjukkan bahwa gaya redam C merupakan fungsi lurus terhadap koefisien redaman c dan kecepatan massa ý . Koefisien redaman c selanjutnya akan dinyatakan oleh rasio redaman (damping ratios). Setiap jenis material dan tingkat respon struktur akan mempunyai rasio redaman yang berbeda. Walaupun struktur mempunyai rasio redaman yang cukup tinggi tetapi pada pembebanan yang relatif singkat seperti pada peristiwa ledakan, maka efektivitas penyerapan energi relatif kecil. Penyerapan energi akan berjalan sangat efektif apabila struktur mempunyai rasio redaman cukup besar dan durasi pembebanan yang relatif lama. Redaman yang efektif selanjutnya akan banyak mengurangi atau mengeliminasi goyangan.
Gambar 2.2 Model Matematik Struktur yang Mempunyai Redaman Sumber: Widodo (2001)
Pada gambar 2.2.a gaya redam akan proporsional dengan kecepatan relatif antara dua massa yang berdekatan. Gaya redam pada massa ke-i akan
dipengaruhi oleh kecepatan massa ke (i-1) dan kecepatan massa ke (i+1). Ada juga gaya redam yang merupakan fungsi dari absolut kecepatan massa. Pada redaman jenis ini gaya redam masing-masing tingkat akan saling independen, artinya redaman tingkat ke-i hanya dipengaruhi oleh kecepatan massa ke-i. Untuk bangunan gedung bertingkat banyak, jenis-jenis redaman seperti itu akan berpengaruh terhadap matriks redaman dan akan berpengaruh terhadap respon struktur.
Simpangan massa pada struktur yang mempunyai redaman akan berkurang secara terus menerus sebagaimana tampak pada gambar 2.2.b. Pada struktur yang bersifat elastik, simpangan massa akan menjadi nol setelah terjadi penyerapan energi secara total. Pada saat itu posisi massa akan kembali atau sama seperti pada posisi awal.
Model matematik struktur yang mempunyai redaman selengkapnya telihat seperti gambar 2.2.c, dimana suatu massa m yang bergerak di atas landasan akibat beban dinamik F(t), gerakannya dikendalikan oleh kekakuan pegas k, dan koefisien redaman c. Gaya pegas dan gaya redam akan bekerja secara berlawanan dengan arah gerakan. Hal ini yang memungkinkan bangunan kembali seperti pada posisi semula setelah bergoyang akibat gempa bumi atau oleh beban dinamik yang lain.
2.4 Derajat Kebebasan (Degree Of Freedom)
Derajat kebebasan (degree of freedom) adalah derajat independensi yang diperlukan untuk menyatakan posisi suatu sistem pada setiap saat. Apabila suatu
titik yang ditinjau mengalami perpindahan tempat secara horizontal, vertikal, dan ke samping misalnya, maka sistem tersebut mempuyai 3 derajat kebebasan. Hal ini terjadi karena titik yang bersangkutan dapat berpindah secara bebas dalam 3 arah.
Sesuai dengan penyederhanaan yang dapat diambil pada persoalan engineering, goyangan tersebut dapat dianggap hanya terjadi dalam satu bidang saja (tanpa putiran). Hal ini dimaksudkan agar penyelesaian persoalan menjadi sedikit berkurang baik secara kualitas atau pun secara kuantitas. Penyelesaian yang dahulunya kompleks menjadi lebih sederhana. Hal ini terjadi karena penyelesaian dinamik merupakan penyelesaian berulang-ulang dalam ratusan bahkan ribuan kali.
Pada problem dinamik, setiap titik atau massa umumnya hanya diperhitungkan berpindah tempat dalam satu arah saja yaitu arah horizontal. Karena simpangan hanya terjadi dalam satu bidang (2 dimensi) maka simpangan suatu massa pada setiap saat hanya mempunyai posisi/ordinat tertentu baik bertanda positif ataupun negatif. Pada kondisi 2D tersebut simpangan suatu massa pada saat t dapat dinyatakan dalam koordinat tunggal yaitu y(t). Struktur seperti itu dinamakan struktur dengan derajat kebebasan tunggal. Secara umum bangunan 1 tingkat dianggap hanya mempunyai derajat kebebasan tunggal (single degree of freedom, SDOF) dan struktur yang mempunyai n tingkat akan mempunyai n derajat kebebasan atau struktur dengan derajat kebebasan banyak (multi degree of freedom, MDOF). Dengan begitu, dapat disimpulkan bahwa, jumlah derajat kebebasan adalah jumlah koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi
suatu massa pada saat tertentu.
2.5 Prinsip Shear Building
Pada struktur bangunan bertingkat yang bergoyang ke arah horizontal umumnya terapat 3 pola goyangan yang terjadi. Kombinasi antara kelangsingan struktur, jenis struktur utama penahan beban dan jenis bahan yang dipakai akan berpengaruh terhadap pola goyangan yang dimaksud.
Pola goyangan pertama adalah bangunan yang bergoyang dengan dominasi geser (shear mode) atau pola goyangan geser, yang akan terjadi pada bangunan bertingkat banyak dengan portal terbuka sebagai struktur utama seperti gambar 3.2.a. Pola goyangan kedua adalah pola goyangan yang didominasi oleh lentur (flexural mode), yang akan terjadi pada struktur dinding yang kaku baik pada frame walls atau cantilever wall yang kedua-duanya dijepit secara kaku pada fondasinya seperti gambar 3.2.b. Pola goyangan ketiga adalah kombinasi diantara keduanya, yang dapat terjadi pada struktur portal terbuka yang dikombinasi dengan struktur dinding (structural walls) yang tidak terlaku kaku seperti gambar 3.2.c.
Pada analisiss dinamika struktur pola goyangan pertamalah yang umumnya diadopsi, artinya struktur dianggap cukup fleksibel dengan lantai-lantai tingkat yang relatif kaku, sehingga akan tercapai anggapan hanya terdapat satu derajat kebebasan pada setiap tingkat. Dengan begitu portal seoalah-olah menjadi bangunan yang bergoyang akibat gaya lintang saja (lentur balok dianggap tidak ada) atau bangunan yang pola goyangannya didominasi oleh geser yang disebut
F F F
a) Shear M ode b) Flexural M ode c) Kom binasi
dengan istilah shear building.
Gambar 2.3 Pola Goyangan Struktur Bertingkat Banyak Sumber: Widodo (2001)
2.6 Karakteristik Struktur Bangunan
Persamaan diferensial melibatkan tiga properti utama suatu struktur yaitu massa, kekakuan, dan redaman. Ketiga properti struktur itu umumnya disebut dinamik karakteristik struktur. Properti-properti tersebut sangat spesifik dan tidak semuanya digunakan pada problem statik. Kekakuan elemen/struktur adalah salah
satu-satunya karakteristik yang dipakai pada problem statik, sedangkan karakteristik yang lainya yaitu massa dan redaman tidak dipakai.
2.6.1 Massa
Struktur yang kontiniu kemungkinan mempunyai banyak derajat kebebasan karena banyaknya massa yang mungkin dapat ditentukan. Banyaknya derajat kebebasan umumnya berasosiasi dengan jumlah massa tersebut akan menimbulkan kesulitan. Hal ini terjadi karena banyaknya persamaan differensial yang ada. Terdapat dua pendekatan pokok yang umumnya dilakukan untuk mendeskripsikan massa struktur. Pendekatan pertama adalah prinsip lumped mass mass dan pendekatan kedua adalah prinsip consitent mass matrix.
a) Model Lumped Mass
Model diskretisasi massa yaitu massa dianggap menggumpal pada tempat-tempat (lumped mass) join atau tempat-tempat tertentu. Dalam hal ini gerakan/degre of freedom suatu join sudah ditentukan. Untuk titik model yang hanya mempunyai satu derajat kebebasan/satu translasi maka nantinya elemen atau struktur yang bersangkutan akan mempunyai matriks yang isinya hanya bagian diagonal saja. Clough dan Penzien (1993) mengatakan bahwa bagian off diagonal akan sama dengan nol karena gaya inersia hanya bekerja pada tiap-tiap massa. Selanjutnya juga dikatakan apabila terdapat gerakan rotasi massa (rotation degre of freedom), maka pada model lumped mass ini juga tidak akan ada rotation moment of inertia. Hal ini terjadi karena pada model ini massa dianggap menggumpal
pada suatu titik yang tidak berdimensi (mass moment of inertia dapat dihitung apabila titik tersebut mempunyai dimensi fisik). Dalam kondisi tersebut terdapat matriks massa dengan diagonal mass of moment inertia sama dengan nol.
Apabila prinsip di atas dipakai, maka hanya terdapat satu degree of freedom untuk setiap modal/massa, yaitu simpangan horizontal. Kondisi seperti itu adalah seperti prinsip bangunan geser (shear bulding). Pada bangunan gedung bertingkat banyak, konsentrasi beban akan terpusat pada tiap-tiap lantai tingkat bangunan. Dengan demikian untuk setiap tingkat hanya ada satu tingkat massa yang mewakili tingkat yang bersangkutan. Karena hanya terdapat satu derajat kebebasan yang terjadi pada setiap massa/tingkat, maka jumlah derajat kebebasan pada suatu bangunan bertingkat hanya akan ditunjukkan oleh banyaknya tingkat bangunan yang bersangkutan. Pada kondisi tersebut matriks hanya akan berisi pada bagian diagonal saja.
b) Model Consitent Mass Matrix
Pada prinsip consitent mass matrix, elemen struktur akan berdeformasi menurut bentuk fungsi (shape function) tertentu. Permodelan massa seperti ini akan sangat bermanfaat pada struktur yang distribusi massanya kontiniu.
Apabila tiga derajat kebebasan (horizontal, vertikal, dan rotasi) diperhitungkan pada setiap node maka standar consistent mass matrix akan menghasilkan full populated consistent matrix artinya suatu matriks
yang off diagonal matriksnya tidak sama dengan nol. Melalui pendekatan finite elemen, maka untuk setiap element balok lurus dan degre of freedom yang ditinjau akan menghasilkan konsisten matriks massa yang sudah standar.
Clough dan Penzein (1993) mengatakan bahwa pemakaian consistent mass matriks akan memerlukan hitungan yang banyak. Pada lumped mass model tidak akan terjadi ketergantungan antar massa (mass coupling) karena matriks massa adalah diagonal. Apabila tidak demikian maka mass moment of inertia akibat translasi dan rotasi harus diperhitungkan. Pada bangunan bertingkat banyak yang massanya terkonsentrasi pada tiap-tiap tingkat bangunan, maka penggunaan model lumped mass masih cukup akurat. Untuk pembahasan struktur MDOF seterusnya maka model inilah (lumped mass) yang akan dipakai.
2.6.2 Kekakuan
Kekakuan adalah salah satu dinamik karakteristik struktur bangunan yang sangat penting di samping massa bangunan. Antara massa dan kekakuan struktur akan mempunyai hubungan yang unik yang umumnya disebut karakteristik diri atau eigenproblem. Hubungan tersebut akan menentukan nilai frekuensi sudut ω dan priode getar struktur T. Ke dua nilai ini merupakan parameter yang sangat penting dan akan dapat mempengaruhi respons dinamik struktur.
dianggap tetap horizontal baik sebelum maupun sesudah terjadi pergoyangan. Adanya plat lantai yang menyatu secara kaku dengan balok diharapkan dapat membantu kekakuan balok sehingga anggapan tersebut tidak terlalu kasar. Pada prinsip desain bangunan tahan gempa dikehendaki agar kolom lebih kuat dibanding dengan balok, namun rasio tersebut tidak selalu linear dengan kekakuannya. Dengan prinsip shear building maka dimungkinkan pemakaian lumped mass model. Pada prinsip ini, kekakuan setiap kolom dapat dihitung berdasarkan rumus standar.
2.6.3 Redaman
Redaman merupakan peristiwa penyerapan energi (energi dissipation) oleh struktur akibat adanya berbagai sebab. Beberapa penyebab itu diantaranya adalah pelepasan energi oleh adanya gerakan antar molekul di dalam material, pelepasan energi oleh adanya gesekan alat penyambung maupun sistem dukungan, pelepasan energi akibat gesekan dengan udara dan pada respons inelastik. Pelepasan energi juga terjadi akibat adanya sendi plastik. Karena redaman berfungsi melepaskan energi maka hal ini akan mengurangi respons struktur.
Secara umum redaman atau damping dapat dikategorikan menurut damping system dan damping types. Damping system yang dimaksud adalah bagaimana sistem struktur mempunyai kemampuan dalam menyerap energi. Menurut sistem struktur yang dimaksud, terdapat dua sistem disipasi energi yaitu:
a) Damping klasik (Classical Damping)
Sistem struktur memakai bahan yang sama, yang mempunyai rasio redaman (damping ratio) yang relatif kecil, dan struktur damping dijepit didasarnya, maka sistem struktur tersebut mempunyai damping yang bersifat klasik (classical damping). Damping dengan sistem ini akan memenuhi kaidah kondisi orthogonal (orthogonality condition).
b) Damping Nonklasik (Non Classical Damping)
Suatu sistem struktur yang memakai bahan yang berlainan, dimana bahan-bahan yang bersangkutan mempunyai rasio redaman yang berbeda secara signifikan, sehingga keduanya tidak bisa membangun redaman yang klasik.
Berdasarkan jenisnya, maka damping dapat dibedakan dalam beberapa golongan yaitu sebagai berikut.
1. Damping Proporsional terhadap Massa (Mass Proportional Damping) Dalam hal ini suatu damping akan berbanding langsung dengan massa struktur. Apabila dipakai matriks massa diagonal, maka damping matriks juga hanya pada diagonal saja. Chopra (1995) mengatakan bahwa damping jenis ini agak kurang rasional secara fisik karena massa hanya bersinggungan dengan udara padahal redaman akibat ini relatif kecil dan bahkan kadang-kadang dapat diabaikan.
2. Damping Proporsional dengan Kekakuan (Stiffness Proportional Damping)
matriks redaman akan senada dengan matriks kekakuan. Selanjutnya Chopra (1995) mengatakan bahwa damping jenis ini secara fisik agak rasional, karena disipasi energi akan dikaitkan dengan deformasi antar tingkat. Deformasi atau simpangan antar tingkat banyak bergantung pada kekakuan dan banyak pernyataan telah disampaikan bahwa semakin besar simpangan struktur maka semakin besar pula potensi meredam energi.
3. Damping Proporsional dengan Massa dan Kekakuan (Mass and Stiffness Proportional Damping)
Menyadari bahwa dua jenis redaman di atas masih mempunyai kelemahan-kelemahan maka umumnya dipakai kombinasi antara ke dua jenis redaman tersebut. Kelemahan-kelemahan terletak pada nilai-nilai rasio redaman pada mode-mode lebih tinggi rasio redamannya menjadi sangat kecil dan sangat besar. Sebaliknya pada mode-mode yang rendah rasio redamannya menjadi kebalikannya. Dengan kenyataan ini dipakai kombinasi antar jenis redaman yang pertama dengan yang ke dua.
2.7 Persamaan Diferensial Struktur Pada SDOF
Struktur dengan derajat kebebasan tunggal (SDOF) hanya akan mempunyai satu koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi massa pada saat tertentu yang ditinjau.
q = t/m ' F (t) k F (t) a ) S tru ktu r S D O F c) M o d el M a tem a tik
b ) M o d el F isik S tru ktu r S D O F
m c d ) F ree B o d y D ia g ra m k c m F (t) F s FD FI
Gambar 2.4 Pemodelan Struktur SDOF Sumber: Widodo (2001)
Pada gambar 2.4.a tersebut tampak bahwa F(t) adalah beban dinamik yaitu beban yang intensitasnya merupakan fungsi dari waktu. Sruktur seperti gambar 2.4.a kemudian digambar secara ideal seperti tampak pada gambar 2.4.b. Notasi m,c, dan k seperti yang tampak digambar tersebut berturut-turut adalah massa, koefisien redaman, dan kekakuan kolom. Pada gambar 2.4.c ditampilkan model matematik untuk struktur SDOF yang mempunyai redaman. Pada gambar tersebut bekerja sebuah gaya dinamik F(t).
Apabila beban dinamik F(t) seperti gambar 2.4.c bekerja ke arah kanan, maka akan terdapat perlawanan pegas, damper, dan gaya inersia. Gambar 2.4.d adalah gambar keseimbangan dinamik yang bekerja pada massa m. Gambar tersebut disebut free body diagram. Berdasarkan prinsip keseimbangan dinamik pada free body diagram tersebut dapat diperoleh hubungan dalam persamaan di
bawah ini: FI+FD+FS=F(t) (2.4) dimana : FI= m. ÿ FD= c. ý Fs = k.y (2.5)
Yang mana FI, FD, FS berturut-turut adalah gaya inersia, gaya redam dan gaya pegas, sedangkan ÿ, ý, dan y berturut-turut adalah percepatan, kecepatan dan simpangan.
Apabila persamaan 2.5 diatas disubstitusikan pada persamaan 2.4 maka akan diperoleh,
m. ÿ + c. ý + k. y = F(t) (2.6)
2.8 Persamaan Diferensial Struktur SDOF Akibat Base Motions
Beban dinamik yang umum dipakai pada analisis struktur selain beban angin adalah beban gempa. Gempa bumi akan mengakibatkan permukaan tanah menjadi bergetar yang getarannya direkam dalam bentuk aselerogram. Tanah yamg bergetar akan menyebabkan semua benda yang berada di atas tanah ikut bergetar termasuk struktur bangunan. Dalam hal ini masih ada anggapan bahwa antara pondasi dan tanah pendukungnya bergerak secara bersamaan. Anggapan ini sebenarnya tidak sepenuhnya benar karena tanah bukanlah material yang kaku yang mampu menyatu dengan pondasi. Kejadian yang sesungguhnya adalah bahwa antara pondasi dan tanah tidak akan bergerak secara bersamaan. Pondasi masih akan begerak horizontal relatif terhadap tanah yang mendukungnya. Keadaan seperti ini cukup rumit karena sudah mempertimbangkan pengaruh tanah
k c ) M o d e l M a te m a tik b ) B e b a n G e m p a E fe k tif m c d ) F re e B o d y D ia g ra m -mÿb k c m k y cý k c m y y1 yb a ) S tru k tu r Id e a l yb mÿ
terhadap analisis struktur yang umumnya disebut soil structure in teraction analisis.
Untuk menyusun persamaan diferensial gerakan massa akibat gerakan tanah maka anggapan diatas tetap dipakai yaitu tanah menyatu secara kaku dengan kolom atau kolom dianggap dijepit pada bawahnya. Pada kondisi tersebut ujung bawah kolom dan tanah dasar bergerak secara bersamaan. Hal tersebut dapat digambarkan seperti gambar 2.5.
Gambar 2.5 Struktur SDOF akibat Base Motion Sumber: Widodo (2001)
Berdasarkan free body diagram seperti pada gambar di atas, maka persamaan diferensial gerakan adalah,
m. ÿ + c. ý + k. y = 0 (2.7)
Dimana ÿ, ý, dan y berturut-turut adalah percepatan, kecepatan dan simpangan absolut massa yang dihitung dari referensi awal. Dengan memakai hubungan
antara percepatan dan simpangan absolut dengan kecepatan dan simpangan relatif pada percepatan tanah seperti berikut:
y1= yb+ y
ý1= ýb+ y (2.8) ÿ1= ÿb+y
Dimana yb adalah simpangan tanah dan y adalah simpangan massa relative terhadap fondasinya. Kemudian dengan melakukan substitusi persamaan 2.8 ke dalam persamaan 2.7, maka akan diperoleh persamaan berikut,
m. ÿ + c. ý + k. y = - m . ÿb (2.9) (2.7)
Ruas kanan pada persamaan 2.9 biasa disebut sebagai beban gempa efektif atau beban gerakan tanah efektif, yang seolah-olah menjadi gaya dinamik efektif yang bekerja pada elevasi lantai tingkat seperti pada gambar 2.5
2.9 Persamaan Diferensial pada Struktur MDOF
Paz, 1987 mengatakan bahwa struktur tidak selalu dapat digolongkan sebagai model berderajat tunggal dan pada umumnya dapat dinyatakan oleh model berderajat banyak. Kenyataannya, struktur adalah sistem berkesinambungan, jadi merupakan sistem berderajat kebebasan banyak (MDOF).
Untuk menyatakan persamaan diferensial gerakan pada struktur dengan derajat kebebasan banyak maka dipakai anggapan dan pendekatan seperti pada struktur dengan derajat kebebasan tunggal (SDOF). Anggapan seperti prinsip shear building masih berlaku pada struktur dengan derajat kebebasan banyak (MDOF). Untuk memperoleh persamaan diferensial tersebut, maka tetap dipakai prinsip keseimbangan dinamik pada suatu massa yang ditinjau. Untuk
F3 (t)
k1
a) Struktur dengan 3 DOF
b) Model Matematik m1 c1 F2 (t) F1 (t) k3 k2 k1 h h h l l F1 (t) k2 m2 c2 F2 (t) k3 m3 c3 F3 (t)
c) Free Body Diagram
k1y1 c1ý1 m 1ÿ1 k2 (y2-y1) c2(ý2-ý1) m2ÿ2 k3 (y3-y2) c3(ý3-ý2) m3ÿ3
memperoleh persamaan tersebut, maka diambil model struktur MDOF seperti gambar 2.6.
Gambar 2.6 Struktur 3 DOF dengan Redaman Sumber: Widodo (2001)
Berdasarkan pada keseimbangan dinamik pada free body diagram akan diperoleh, m1 ÿ1 + k1y1+ c1ý1– k2(y2-y1) – c2(ý2- ý1) - F1(t) = 0 (2.10) m2ÿ2 + k2(y2-y1) + c2(ý2- ý1) – k3(y3-y2) – c3(ý3- ý2)-F2(t) = 0 (2.11) m3ÿ3+ k3(y3-y2) + c3(ý3- ý2) – F1(t) = 0 (2.12)
Pada persamaan-persamaan tersebut di atas tampak bahwa keseimbangan dinamik suatu massa yang ditinjau ternyata dipengaruhi oleh kekauan, redaman, simpangan massa sebelum dan sesudahnya. Persamaan dengan sifat-sifat seperti itu umumnya disebut coupled equation, karena persamaan-persamaan tersebut akan bergantung satu sama lain. Penyelesaian persamaan coupled harus dilakukan secara simultan, artinya dengan melibatkan semua persamaan yang ada. Pada struktur dengan derajat kebebasan banyak, persamaan diferensial gerakan
) ( 3 ) ( 2 ) ( 1 3 2 1 3 3 0 3 2 1 2 0 2 2 1 3 2 1 3 3 0 3 2 1 2 0 2 2 1 3 2 1 3 0 0 0 2 0 0 0 1 , , , , , , , , , t F t F t F y y y k k k k k k k k k y y y c c c c c c c c c y y y m m m
3 3 0 3 2 1 2 0 2 2 1 , 3 3 0 3 2 1 2 0 2 2 1 , 3 0 0 0 2 0 0 0 1 k k k k k k k k k K c c c c c c c c c C m m m M
) ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) ( , 3 2 1 , 3 2 1 , 3 2 1 . . . . .. .. .. .. t F t F t F t F dan y y y Y y y y Y y y y Ymerupakan persamaan yang dependent atau coupled antara satu dengan yang lain. Selanjutnya dengan menyusun persamaan-persamaan di atas menurut parameter yang sama (percepatan, kecepatan, dan simpangan), maka akan diperoleh,
m1ÿ1+ (c1+c2)ý1- c2ý2+ (k1+k2)y1- k2y2= F1(t) (2.13) m2ÿ2- c2ý1+ (c2+c3)ý2- c3ý3- k2y1+ (k2+k3)y2- k3y3= F2(t) (2.14) m3ÿ3- c3ý2+c3ý3- k3y2+ k3y3= F3(t) (2.15)
Persamaan-persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut,
(2.16)
Matriks di atas dapat ditulis ke dalam matriks yang lebih kompak, yakni:
[M]{ÿ} + [C]{ý} + [K]{y} = {F(t)} (2.17)
Dimana [M], [C], dan [K] berturut-turut adalah mass matriks, damping matriks dan matriks kekakuan yang dapat ditulis menjadi,
(2.18) Sedangkan { ÿ },{ý},{ y} dan {P(t)}masing-masing adalah vektor percepatan, vector kecepatan, vektor simpangan dan vektor beban, yang dapat dituliskan sebagai berikut,
F (t)
Displacement y Velocity ý Acceleration ÿ
fS
Displacement y Velocity ý Acceleration ÿ
fD fI
(a) (b) (c) (d)
= + +
Secara visual Chopra (1995) menyajikan keseimbangan antara gaya dinamik, gaya pegas, gaya redam, dan gaya inersia seperti gambar berikut:
Gambar 2.7 Keseimbangan Gaya Dinamik dengan fs, fd, dan fI (Chopra, 1995) Sumber: Widodo (2001)
2.10 Analisis Time History (Analisis Riwayat Waktu)
Analisis time history dapat dilakukan dengan metode superposisi dan metode integrasi langsung. Dan pada tugas akhir ini yang digunakan adalah metode superposisi, yang disebut juga modal analysis method. Metode ini pada intinya adalah dengan memakai standar mode shapes sebagai persoalan utama. Standar mode shapes ini akan menjadi parameter yang sangat penting pada metode ini, karena respons struktur merupakan fungsi langsung atas mode shapes struktur yang bersangkutan.
Pada metode superposisi ini, persamaan diferensial coupling ditransfer menjadi persamaan simultan uncoupling, yaitu persamaan diferensial simultan yang masing-masing anggota persamaannya saling independen. Dengan persamaan diferensial uncoupling, maka struktur MDOF seolah-olah menjadi struktur SDOF. Penyelesaian persamaan dilakukan untuk setiap mode. Standar
mode shapes seperti disinggung di atas dipakai untuk mentransformasi dari N-persamaan diferensial coupling menjadi N N-persamaan diferensial uncoupling.
Persamaan diferensial uncoupling yang diperoleh adalah persamaan diferensial setiap mode atau setiap ragam/pola goyangan yang saling independen. Penyelesaian persamaan simultan independen akan menghasilkan simpangan tingkat yang berasal dari kontribusi setiap mode. Simpangan total untuk setiap tingkat dapat diperoleh dengan menjumlahkan/superposisi dari simpangan konstribusi setiap mode. Dengan alasan tersebut maka metode ini disebut mode displacement superposition method.
2.11 Analisis Statik Ekivalen
Pawirodikromo (2012) mengatakan bahwa analisis dinamik akan memberikan hasil yang akurat tetapi memerlukan hitungan yang banyak, memakan waktu, dan lebih banyak untuk kepentingan akademik. Untuk keperluan praktis di lapangan maka analisis dinamik jarang dilakukan. Mengingat alasan-alasan tersebut, oleh karena itu para peneliti sejak dulu telah berusaha bagaimana analisis dinamik terhadap struktur dapat disederhanakan dengan memakai asumsi-asumsi tertentu sehingga mudah dan praktis digunakan di lapangan. Efek beban dinamik disederhanakan menjadi gaya horizontal yang bekerja pada pusat massa yang bersifat statik. Gaya-gaya horizontal tersebut sifatnya hanya ekivalen sebagai pengganti dari efek dinamik yang sesungguhnya pada saat terjadi gempa bumi yang disebut sebagai beban horizontal statik ekivalen.
