Sudaryatno Sudirham. Permutasi dan Kombinasi

Permutasi dan Kombinasi

Sudaryatno Sudirham

Permutasi adalah banyaknya pengelompokan sejumlah tertentu komponen yang diambil dari sejumlah komponen yang tersedia; dalam setiap

kelompok urutan komponen diperhatikan

Misalkan tersedia 2 huruf yaitu A dan B

dan kita diminta untuk membuat kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 2 huruf

Kelompok yang yang bisa kita bentuk adalah

B

A

A

B

dan diperoleh 2 kelompok Ada dua kemungkinan huruf yang bisa menempati

posisi pertama yaitu A atau B

Jika A sudah menempati posisi pertama, maka hanya satu kemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu B Jika B sudah menempati posisi pertama, maka hanya satu

Misalkan tersedia 3 huruf yaitu A, B, dan C

Kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 3 huruf adalah:

A

C

B

A

B

C

_C

B

A

B

A

C

_B

C

A

C

A

B

diperoleh 6 kelompok Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertama

tinggal 2 kemungkinan komponen yang dapat menempati posisi kedua Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertama dan salah satu dari 2 yang tersisa sudah menempati posisi kedua maka hanya tinggal 1 kemungkinan komponen yang dapat menempati

posisi terakhir yaitu posisi ketiga

Jadi jumlah kelompok yang bisa diperoleh adalah

6 1 2 3× × = Jumlah kemungkinan komponen yang

menempati posisi pertama _{Jumlah kemungkinan} komponen yang menempati posisi kedua

Jumlah kemungkinan komponen yang menempati posisi ketiga

Dari 4 huruf yaitu A, B, C dan D kita dapat membuat kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 4 huruf

ada

24 kelompok Kemungkinan penempatan posisi pertama : 4

Kemungkinan penempatan posisi kedua : 3 Kemungkinan penempatan posisi ketiga : 2 Kemungkinan penempatan posisi keempat : 1

ABCD BACD CDAB DABC ABDC BADC CDBA DACB ACBD BCAD CABD DBCA ACDB BCDA CADB DBAC ADCB BDAC CBAD DCAB ADBC BDCA CBDA DCBA

jumlah kelompok yang mungkin dibentuk

4×3×2×1=24 kelompok yaitu:

Secara umum jumlah kelompok yang dapat kita bangun

dari n komponen

yang setiap kelompok terdiri dari n komponen adalah

!

1

...

)

2

(

)

1

(

n

n

n

n

=

×

×

−

×

−

×

Kita katakan bahwa permutasi dari n komponen adalah n! dan kita tuliskan

!

n

P

_n

n

=

Kita baca : n fakultet

Namun dari n komponen tidak hanya dapat dikelompokkan

dengan setiap kelompok terdiri dari n komponen,

tetapi juga dapat dikelompokkan dalam kelompok yang

masing-masing kelompok terdiri dari k komponen dimana k < n

k

n

P

Kita sebut permutasi k dari n komponen dan kita tuliskan

Contoh: Permutasi dua-dua dari empat komponen adalah

12

3

4

2 4

P

=

×

=

Di sini kita hanya mengalikan kemungkinan penempatan pada posisi pertama dan ketiga saja yaitu 4 dan 3. Tidak ada komponen yang menempati posisi berikutnya.

Penghitungan ₄P₂ dalam contoh di atas dapat kita tuliskan

12

1

2

1

2

3

4

2 4

=

×

×

×

×

=

P

Secara Umum:

)!

(

!

k

n

n

P

_k n

−

=

Contoh:

30

5

6

1

2

3

4

1

2

3

4

5

6

)!

2

6

(

!

6

2 6

=

×

=

×

×

×

×

×

×

×

×

=

−

=

P

Contoh:

360

3

4

5

6

1

2

1

2

3

4

5

6

)!

4

6

(

!

6

4 6

=

×

×

×

=

×

×

×

×

×

×

=

−

=

P

Kombinasi merupakan pengelompokan

sejumlah komponen yang mungkin dilakukan

tanpa mempedulikan urutannya

Jika dari tiga huruf A, B, dan C, dapat 6 hasil permutasi yaitu ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, dan CBA

namun hanya ada satu kombinasi dari tiga huruf tersebut yaitu ABC

karena dalam kombinasi urutan posisi ketiga huruf itu tidak diperhatikan ABC = ACB = BCA = BAC = CAB = CBA

Oleh karena itu kombinasi k dari sejumlah n

komponen haruslah sama dengan

jumlah permutasi

_n

P

_k

dibagi dengan permutasi k

Kombinasi k dari sejumlah n komponen

dituliskan sebagai

_n

C

_k

Jadi

! )! ( ! ! n k k n k P C_k n k n = = _{− ×}

Contoh:

Berapakah kombinasi dua-dua dari empat huruf

A, B, C, dan D

6

1

2

1

2

1

2

3

4

!

2

)!

2

4

(

!

4

!

2

2 4 2 4

=

×

×

×

×

×

×

=

×

−

=

=

P

C

yaitu:

Jawab:

AB

AC

AD

BC

BD

CD

Contoh Aplikasi

Distribusi Maxwell-Boltzman

Distribusi Fermi-Dirac

Distribusi Maxwell-Boltzman

Setiap tingkat energi dapat ditempati oleh elektron mana saja

dan setiap elektron memiliki probabilitas yang sama untuk menempati suatu tingkat energi

Energi elektron dalam padatan terdistribusi pada tingkat-tingkat energi yang diskrit; kita sebut

dst.

_{2 3} 1

E

E

E

Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harus terdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada dan kita misalkan bahwa distribusi yang terbentuk adalah

dst.

elektron

terdapat

di

elektron

terdapat

di

elektron

terdapat

di

3 3 2 2 1 1

n

E

n

E

n

E

maka jumlah cara penempatan elektron di E₁ merupakan permutasi n₁ dari N yaitu

)!

(

!

1 1 ₁

n

N

N

P

P

_{n N}

−

=

=

Jumlah cara penempatan elektron di E₂ merupakan permutasi n₂ dari (N

−

n₁) karena sejumlah n₁ sudah menempati E₁

)!

(

)!

(

2 1 1 ) ( 2 _{2 1}

n

n

N

n

N

P

P

_{n N n}

−

−

−

=

=

₋

)!

(

)!

(

3 2 1 2 1 ) ( 3 _{3 1 2}

n

n

n

N

n

n

N

P

P

_{n N n n}

−

−

−

−

−

=

=

_{− −} dst.

Jumlah cara penempatan elektron di E₃ merupakan permutasi n₃ dari (N

−

n₁

−

n₂) karena sejumlah (n₁+n₂) sudah menempati E₁ dan E₂

Setelah n₁ menempati E₁ maka urutan penempatan elektron di E₁ ini sudah tidak berarti lagi karena kita tidak dapat membedakan antara

satu elektron dengan elektron yang lain

Jadi jumlah cara penempatan elektron di E₁ adalah kombinasi n₁ dari N yaitu

!

)!

(

!

!

n

_{1 1 1} 1 1

n

n

N

N

P

C

n N

−

=

=

Demikian pula penempatan elektron di E₂, E₃, dst.

!

)!

(

)!

(

!

)!

(

_{1 2 2} 1 2 1 ) ( 2 1 2

n

n

n

N

n

N

n

N-n

P

C

n N n

−

−

−

=

=

−

!

)!

(

)!

(

!

)!

(

_{1 2 3 3} 2 1 3 3 3 1 ) ( 3 2 1 3

n

n

n

n

N

n

n

N

n

n

n

n

N

P

C

n N n n

−

−

−

−

−

=

−

−

−

=

− − dst.

Namun setiap tingkat energi juga memiliki probabilitas untuk ditempati, yang disebut intrinksic probability

Misalkan intrinksic probability tingkat E₁ adalah g₁, E₂ adalah g₂, dst. maka probabilitas tingkat-tingkat energi

dst.

elektron

ditempati

elektron

ditempati

elektron

ditempati

3 3 2 2 1 1

n

E

n

E

n

E

adalah

dst.

3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 2 1

C

g

F

C

g

F

C

g

F

n n n

=

=

=

Dengan demikian maka probabilitas untuk terjadinya distribusi elektron seperti di atas adalah:

!...

!

!

...

...

....

....

3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1

n

n

n

g

g

g

C

C

C

g

g

g

F

F

F

F

n n n n n n

₌

=

=

Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi

Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contoh ini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian

permutasi dan kombinasi

Pembaca dapat melihat proses perhitungan lanjutan ini di buku-e

T k E i i g e i B Z N n = − /

Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kita pada formulasi distribusi Maxwell-Boltzmann

Jumlah elektron pada tingkat energi E_i

temperatur

konstanta Boltzmann tingkat energi ke-i

probabilitas intrinksik tingkat energi ke-i fungsi partisi

∑

−β = i E ie i g Z

Distribusi Fermi-Dirac

Energi elektron dalam terdistribusi pada tingkat-tingkat energi yang diskrit, misalnya kita sebut

dst.

_{2 3} 1

E

E

E

Setiap tingkat energi mengandung sejumlah tertentu status kuantum dan tidak lebih dari dua elektron berada

pada status yang sama.

Oleh karena itu jumlah status di tiap tingkat energi menjadi probabilitas intrinksik tingkat

energi yang bersangkutan Yang berarti menunjukkan jumlah elektron yang mungkin berada di suatu

Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harus terdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada,

yaitu

dst.

elektron

terdapat

di

elektron

terdapat

di

elektron

terdapat

di

3 3 2 2 1 1

n

E

n

E

n

E

Sehingga probabilitas untuk terjadinya distribusi elektron adalah:

Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Fermi-Dirac namun kita tidak membicarakan lebih lanjut karena proses selanjutnya tidak menyangkut

permutasi dan kombinasi

Maka banyaknya cara penempatan elektron di tingkat E₁, E₂, E₃ dst. merupakan kombinasi C₁, C₂, C₃ dst

!

)!

(

!

1 1 1

n

n

N

N

C

−

=

!

)!

(

)!

(

2 2 1 1 2

n

n

n

N

n

N

C

−

−

−

=

!

)!

(

)!

(

3 3 2 1 2 1 3

n

n

n

n

N

n

n

N

C

−

−

−

−

−

=

dst.

Dengan probabilitas intrinksik g₁, g₂, g₃ maka jumlah cara untuk menempatkan elektron di tingkat E₁, E_2, E₃ dst. menjadi

)!

(

!

!

1 1 1 1 1

n

g

n

g

F

−

=

!

)!

(

!

2 2 2 2 2

n

n

g

g

F

−

=

!

)!

(

!

3 3 3 3 3

n

n

g

g

F

−

=

dst.

∏

₋

=

=

i i i i i i

n

g

n

g

F

F

F

F

F

)!

(

!

!

...

3 2 1

Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi

Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contoh ini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian

permutasi dan kombinasi

Pembaca dapat melihat proses perhitungang lanjutan ini di buku-e

“Mengenal Sifat Material”, Bab-9 yang dapat diunduh di situs ini juga

Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kita pada formulasi distribusi Fermi Dirac

1 / ) ( ₊ = ₋ T k E E i i B F i e g n

Jika kita perhatikan persamaan ini untuk T →→→→ 0

0 ) ( untuk 0 ) ( untuk 0 lim ( )/ 0 > − ∞ = < − = − → F i F i T k E E T E E E E e i F B

Jadi jika T = 0 maka n_i = g_i yang berarti semua tingkat energi sampai E_F terisi penuh dan tidak terdapat

elektron di atas E_F

Bahan Kuliah Terbuka

Permutasi dan Kombinasi