Bahan Ajar Perkalian Vektor

(1)

1 1 Indikator

Indikator

2.1.1

2.1.1 MemuncMemunculkan sulkan sikap ilikap ilmiah (miah (rasa irasa ingin tangin tahu dan bekhu dan bekerja saerja sama) sima) siswa meswa melalui dlalui diskusiskusii kelompok

kelompok 2.1.2

2.1.2 MemuncMemunculkan sulkan sikap ilikap ilmiah (miah (jujur djujur dan telian teliti) dati) dalam melam menyelesnyelesaikan laikan latihanatihan-lati-latihan soahan soall 2.1.3

2.1.3 MemuncMemunculkan ulkan sikap isikap ilmiah lmiah (cerm(cermat, teat, teliti liti dan tdan tekun) dekun) dalam malam menggambenggambarkan aarkan arahrah ektor

ektor 3.1.

3.1.11 MenMenjeljelaskaskan an pengpengertertian ian perperkalkalian ian ekektor tor 3.1.

3.1.22 MenMenjeljelaskaskan jan jenienis-js-jenienis pes perkarkalialian en ektoktor r 3.1

3.1.3.3 MeMembmbedaedakan kan ekektotor perr perkakalilian tan tititik (ik (dot product dot product ) dan ektor perkalian silang () dan ektor perkalian silang (croscros product

product )) 3.1.!

3.1.! MenerMenerapkan apkan persapersamaan maan perkalperkalian ian ektor ektor dalam dalam permapermasalahasalahan ken kehidupahidupan sn sehari-ehari-harihari !.1.1

!.1.1 MenggamMenggambarkan barkan arah arah ektor ektor perkalperkalian tian titik itik dan pdan perkalierkalian sian silang lang dengan dengan benar benar !.2.

!.2.11 MenMenuliuliskaskan lan laporporan han hasiasil dil diskuskusi si kelkelompompok ok !.2.

(2)

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions!

Start Free Trial Cancel Anytime.

(3)

Semester 1 Semester 1

VEKTOR

Gambar 1.

Gambar 1. #ua $rang mendorong Meja dari arah berlawanan #ua $rang mendorong Meja dari arah berlawanan

(( sumber: Handayani, 2009 sumber: Handayani, 2009))

%ernahkah kalian berpikir bahwa aktiitas kita sehari-hari banyak melibatkan ektor& %ernahkah kalian berpikir bahwa aktiitas kita sehari-hari banyak melibatkan ektor& 'ontohnya pada saat parker mobil. eorang tukang parkir memberi aba-aba, kiri...kiri*, artinya 'ontohnya pada saat parker mobil. eorang tukang parkir memberi aba-aba, kiri...kiri*, artinya bergeraklah

bergeraklah (perpindahan) (perpindahan) dengan dengan jarak jarak tertentu tertentu kearah kearah kiri. kiri. +tau +tau pada pada saat saat mundur. mundur. ukangukang parkir

parkir berkata berkata terus...terus*. terus...terus*. +ba-aba +ba-aba ini ini dapat dapat berarti berarti berilah berilah kecepatan kecepatan yang yang besarnya besarnya tetaptetap dengan arah kebelakang.

dengan arah kebelakang. epert

eperti gambar di atas. Merupai gambar di atas. Merupakan salah satu contoh kejakan salah satu contoh kejadian seharidian sehari-hari yang -hari yang jugajuga melibatkan ektor, dimana kedua anak tersebut mendorong meja dengan gaya tertentu dan arah melibatkan ektor, dimana kedua anak tersebut mendorong meja dengan gaya tertentu dan arah ter

tertententu. tu. ikika a ketketika ika menmendordorong ong mejmeja a tidtidak ak di di tenttentukaukan n araarah h menmendordorong ong makmaka a bisbisa a terterjadjadii kesalahan dalam mendorong meja tersebut. +gar tidak salah arah ketika mendorong meja maka kesalahan dalam mendorong meja tersebut. +gar tidak salah arah ketika mendorong meja maka harus di tunjukkan arahnya.

harus di tunjukkan arahnya.

eberapa contoh peristiwa di atas selalu melibatkan nilai besaran itu dan butuh arah yang eberapa contoh peristiwa di atas selalu melibatkan nilai besaran itu dan butuh arah yang tepat

tepat. . esaresaran an yang memilikyang memiliki si/at seperti inilah yang i si/at seperti inilah yang disebdisebutut besaran vektor besaran vektor . ebelumnya juga. ebelumnya juga telah di jelaskan mengenai

(4)

(5)

A.

A. OpeOperasi Prasi Perkerkaliaalian Vn Veektorktor

eperti yang diketahui bahwa konsep-konsep, hukum-hukum atau teori-teori /isika dapat eperti yang diketahui bahwa konsep-konsep, hukum-hukum atau teori-teori /isika dapat dinyat

dinyatakan dalam bentuakan dalam bentuk perumusak perumusan yang banyak berupa perkaln yang banyak berupa perkalian. Misaian. Misalnya, lnya, jika terdajika terdapatpat

sebuah gaya yang bekerja pada sebuah benda degan arah kecondongan gaya

sebuah gaya yang bekerja pada sebuah benda degan arah kecondongan gaya F F sudut sebesar sudut sebesar

α

α _{terhadap perpindahannya}_{terhadap perpindahannya} ⃗⃗ss

, maka besarnya usaha yang dilakukan oleh gaya selama , maka besarnya usaha yang dilakukan oleh gaya selama

perpindahan

perpindahan dapat dapat dinyatakan dinyatakan dengandengan W W == F . F .⃗⃗sscoscosα α . #engan besar momen gaya itu sendiri

. #engan besar momen gaya itu sendiri

adalah

adalah τ τ

=

F F .. LLsinsinaa dan besar gaya adalah dan besar gaya adalah F F

=

mm..aa⃗⃗

. %ada dasarnya besar dari usaha (0) . %ada dasarnya besar dari usaha (0)

dan momen gaya () tersebut merupakan konsep dari hasil perkalian dua buah ektor. %erkalian dan momen gaya () tersebut merupakan konsep dari hasil perkalian dua buah ektor. %erkalian ektor yang

ektor yang

+kan kita pelajari ada tiga macam, antara lain perkalian ektor dengan skalar, perkalian titik +kan kita pelajari ada tiga macam, antara lain perkalian ektor dengan skalar, perkalian titik (( dot product dot product )) , , dan perkalian silang (dan perkalian silang (cross product cross product ).).

1.

1. PerPerkalikalian an VVeektor ktor dengdengan San Skalakalarr

nt

ntuk uk memmemahamahami i si/si/at at perperkalkalianian e

ektktor or dadan n skskalalarar, , peperhrhatatikikan an sesebubuahah sseepepedda a mmoottoor r yyanang g mmeellaajju u ddeenngagann kece

kecepatpatan an tertertenttentu, u, sepseperterti i tamtampak pak padpadaa gambar. Misalkan motor bergerak dengan gambar. Misalkan motor bergerak dengan ke

kececepapatatan 1 m4n 1 m4s kes keututarara. a. eetetelalahh beberapa

beberapa waktu, waktu, motor motor telah telah mengalamimengalami perpindahan. #i M%4Ms, telah dipelajari perpindahan. #i M%4Ms, telah dipelajari

men

mengenagenai i konkonsep sep keckecepatepatan. an. 5ec5ecepatepatanan adalah perpindahan per selang waktu. #ari adalah perpindahan per selang waktu. #ari

(6)

(7)

#ar

#ari i penpenjeljelasaasan n sebsebeluelumnymnya, a, kitkita a tahtahu u bahbahwa wa keckecepatepatan an mermerupakupakan an besbesaraaran n ektektoror,, sed

sedangangkan kan waktwaktu u mermerupakupakan an besbesaraaran n skaskalarlar. . ererdasdasarkarkan an perpersamsamaan aan tertersebsebut, ut, perperkalkalianian kece

kecepatpatan an dengdengan an waktwaktu u menmenghasghasilkilkan an perperpinpindahadahan n yanyang g tertermasmasuk uk besbesaraaran n ektektoror. . adadii kesimpulannya,

kesimpulannya, hasil kali antara vektor dengan scalar adalah vektor hasil kali antara vektor dengan scalar adalah vektor .. +gar lebih mudah untuk +gar lebih mudah untuk memahami perkalian ektor dengan skalar, perhatikan contoh berikut 6

memahami perkalian ektor dengan skalar, perhatikan contoh berikut 6

2.

2. PePerkrkalaliaian tn tititik (ik (dot Product dot Product ))

eorang anak menarik gerobak mobil-mobilan dengan tali, eorang anak menarik gerobak mobil-mobilan dengan tali, mobil bergerak maju mengikuti arah anak berjalan dan membentuk mobil bergerak maju mengikuti arah anak berjalan dan membentuk su

sududut t dedengangan n ararah ah tatali li yayag g memenarnarik ik momobibil-l-momobibilalan. n. "am"ambar bar

disamping ektor

disamping ektor A A dan ektor dan ektor BB satu titik tangkap dan salingsatu titik tangkap dan saling

⃗ ⃗

(8)

(9)

Semester 1 Semester 1 #engan7

#engan7 a

a 8 sudut yang di bentuk oleh ektor 8 sudut yang di bentuk oleh ektor A A dandan BB dengan dengan

0

0° ≤ a ≤° ≤ a ≤180180°°

+ 8

||

A A⃗⃗

||

besar ektor besar ektor A A

#ari de/inisi perkalian titik tersebut, dapat disimpulkan bahwa

#ari de/inisi perkalian titik tersebut, dapat disimpulkan bahwa hasil perkalian titik duahasil perkalian titik dua buah vektor adalah skalar

buah vektor adalah skalar . . 9as9asil kali titiil kali titik k dua buah ektor disdua buah ektor disebuebut t jugjugaa dot product dot product . ntuk . ntuk menyatakan perkalian titik dua ektor dalam ektor satuan dapat dinyatakan sebagai berikut 6 menyatakan perkalian titik dua ektor dalam ektor satuan dapat dinyatakan sebagai berikut 6

9a

9asisil l perperkalkaliaian n titititik k dadapat pat didinyanyatatakakan n daldalam am ekektotor r sasatutuan. an. 'o'ontntoh oh ekektotorr A A

dinyat

dinyatakan dengan persamaan,akan dengan persamaan, .. _#a_#an_{n e}_ekt_ktor_or BB _dinyat_{dinyatakan dengan}_{akan dengan}

persamaan,

persamaan, 9asil 9asil perkalian perkalian titik titik antara antara ektorektor A A dan ek dan ektotorr BB dapat di tuliskan sebagai berikut7

dapat di tuliskan sebagai berikut7

+gar lebih jelas memahami perkalian titik dua ektor, perhatikan contoh soal

(10)

(11)

3.

3. PePerkrkalaliaian n sisilalang ng ((cros product cros product ))

9asil kali silang dua buah ektor disebut juga 9asil kali silang dua buah ektor disebut juga crosscross product

product . #ua buah ektor yang dioperasikan dengan cross. #ua buah ektor yang dioperasikan dengan cross product

product menghasilkan menghasilkan sebuah sebuah ektor.ektor. VVeektor ktor hasil hasil dari dari cros

cross s prodproduct adalauct adalah h dua buah vektodua buah vektor,r, dapat dapat digambdigambar ar sebagai sebuah ektor yang tegak lurus terhadap sebagai sebuah ektor yang tegak lurus terhadap masing-masing ektor tersebut dengan arah searah dengan hasil masing ektor tersebut dengan arah searah dengan hasil perputaran

perputaran system system kedua kedua ektor ektor melalui melalui sudut sudut apit apit yangyang kecil (seperti arah gerak mur baut putar kanan).

kecil (seperti arah gerak mur baut putar kanan).

Tips Tips ;;

Ket

Ketika ika melmelakuakukan kan perperkalkalian ian vektvektor or satsatuan uan dua dua tittitik, ik, sebsebaikaiknya nya tak tak perperlu lu memmemperperhathatikaikann

perkalian titik dua vektor satuan yang berbeda. Kita hanya perlu memperhatikan perkalian dua perkalian titik dua vektor satuan yang berbeda. Kita hanya perlu memperhatikan perkalian dua

vektor yang sejenis, misalnya

vektor yang sejenis, misalnya ii ..^^ii

^^

, , j j ..^^ j j^^ , dan, dan kk ..

^

k k

^^

Perlu juga di ingat trigonometri. Perlu juga di ingat trigonometri.

(12)

(13)

Cancel Anytime.

Kelas X SMA Kelas X SMA Semester 1 Semester 1

BAHAN AJAR PERKALIAN VEKTOR

%

%eerrkkaalliiaan n ssiillaanng g eekkttoorr A A ddan an eekkttoor r

B

((

A × A × BB

))

_{di de/inisika}_{di de/inisikan}_{n sebagai perkali}_{sebagai perkalian}_{an kompone}_komponen_n

ektor

ektor A A dan komponen ektor dan komponen ektor BB yang tegak lurus yang tegak lurus

dengan ektor

dengan ektor A A . 5omponen yang tegak lurus dengan . 5omponen yang tegak lurus dengan e

ektktoror A A ad adalalahah BBsinsinaa . ehingga hasil perkalian. ehingga hasil perkalian

silang ektor

silang ektor A A dan ektor dan ektor BB adalah6 adalah6

#ari de/inisi perkalian silang dua ektor di atas, perkalian silang dua ektor satuan dapat #ari de/inisi perkalian silang dua ektor di atas, perkalian silang dua ektor satuan dapat di tuliskan sebagai berikut7

di tuliskan sebagai berikut7

uga dapat ditentukan besar dan arah ektor dari hasil perkalian silang ektor

uga dapat ditentukan besar dan arah ektor dari hasil perkalian silang ektor A A dan ektor dan ektor

B B ..

(14)

(15)

Cancel Anytime.

BAHAN AJAR PERKALIAN VEKTOR

ntuk lebih mudah memahami perkalian cros

ntuk lebih mudah memahami perkalian cros product dua buahektor, perhatikan contohproduct dua buahektor, perhatikan contoh berikut6

(16)

(17)

Cancel Anytime.

BAHAN AJAR PERKALIAN VEKTOR

_{ntuk mengetahui sejauh mana pemahaman tentang operasi perkalian silang pada ektor,}_{ntuk mengetahui sejauh mana pemahaman tentang operasi perkalian silang pada ektor,} kerjakanlah latihan soal berikut6

kerjakanlah latihan soal berikut6

EVALUAS EVALUAS

1.

1. esesaraaran-ben-besarsaran beran berikut yikut yang meang meruparupakan bekan besarsaran ektan ektor adaor adalah ..lah ... aa.. MMaassssaa b. b. 0a0aktuktu cc.. ssaahhaa d d.. aarraak k ee.. 55eecceeppaattaann 2.

2. ::aang ng mermerupakupakan an perperisistiwtiwa a pekpekalialian an ekektortor dot product dot product berikut adalah; berikut adalah; a.

a. +di +di menmengendgendaraarai mi motootor sr sejaejauh  uh  kmkm b.

b. :u:uli berjalan menuju rumah <na selama 2= menitli berjalan menuju rumah <na selama 2= menit c.

c. +n+ni meni mendordorong piong pintu dentu dengan pngan pergergeseeseran piran pintu 2 cmntu 2 cm d.

d. ::uudi medi mendorong ndorong meja meja dengan dengan usaha usaha sebessebesar 3 ar 3 >m>m e.

e. udi udi menmenariarik kurk kursi si dengdengan gan gaya aya 1= >1= > 3.

3. ::aang ng mermerupakupakan an perperisistiwtiwa a pekpekalialian an ekektortor cros product cros product berikut adalah; berikut adalah; a.

a. +di m+di mengeengendandarai mrai motor otor dengdengan kecan kecepatepatan != kman != km4ja4jamm b.

b. :u:uli menutup jendela dengan momemtum gaya pada engsel 3 >mli menutup jendela dengan momemtum gaya pada engsel 3 >m c.

c. +n+ni meni mendordorong piong pintu dentu dengan pengan pergrgeseeseran piran pintu 2 cmntu 2 cm d.

d. ::uudi mdi mendoronendorong mejg meja denga dengan usan usaha seaha sebesar besar 3 >m3 >m e.

e. ududi mi menarenarik ik kurkursi si dengdengan gan gaya aya 1= 1= >> !

! #ib#iberierikan dkan dua buua buah eah ektoktor mar masinsing-mg-masiasing eng ektoktor dar dan besn besarnyarnya adaa adalahlahAA 8 ? 8 ? satuan,

satuan, !! 8 1= satuan. 5edua 8 1= satuan. 5edua ektor ini membentuk sudut 3@A. 9asil dari + B ektor ini membentuk sudut 3@A. 9asil dari + B  adalah;

(18)

(19)

Cancel Anytime.

BAHAN AJAR PERKALIAN VEKTOR

.

C

C.. eebbuuaah gh gaayyaa"" 8 (2 8 (2ii D 3 D 3 # #) > ) > melakukan melakukan usaha dengan titiusaha dengan titik tangkapnya berpindahk tangkapnya berpindah menurut r 8 (!

menurut r 8 (!ii D a D a # #) m dan ektor ) m dan ektor i i dan dan # # berturut-turut adalah ektor satuan yang berturut-turut adalah ektor satuan yang searah dengan sumbu E dan sumbu y pada koordinat kartesian. ila usaha itu searah dengan sumbu E dan sumbu y pada koordinat kartesian. ila usaha itu bernilai 2C , maka nilai a sama dengan...

bernilai 2C , maka nilai a sama dengan... a. a.  b. C b. C c. @ c. @ d. ? d. ? e. 12 e. 12 @.

@. #i#iberberikikan duan dua buaa buah ekh ektotor mar masisingng-m-masiasingng66 + 8 !

+ 8 !i i D 3 D 3 j j F 2 F 2k k

 8 @

 8 @i i D 2 D 2 j j D  D k k

hasil dari + G  adalah; hasil dari + G  adalah; aa.. 11HHi i F3! F3! j j F 13 F 13k k

b.

b. 11i i F3= F3= j j F 13 F 13k k i

(20)

(21)

Cancel Anytime.

BAHAN AJAR PERKALIAN VEKTOR

_{aa.. 2}_{2 m}_m44ss b. b. 3 m4s3 m4s cc.. ! ! mm44ss d d..   mm44ss ee.. C C mm44ss 1 1 = =

ebuah gaya dengan persamaan

ebuah gaya dengan persamaan F F ⃗⃗==

((

ii

^^

++22 j j^^₋₋k k

^^

))

N

N bekerja pada engsel sebuah bekerja pada engsel sebuah jendela, gaya tersebut bekerja pada ektor posisi

Nm Nm

(22)

(23)

Cancel Anytime.

BAHAN AJAR PERKALIAN VEKTOR

>urhayati, >u/us I JurKon +

>urhayati, >u/us I JurKon +. 2==H.. 2==H. Fisika Fisika SMA/MA Keas ! SMA/MA Keas ! . akarta 6 %usat %embukuan. akarta 6 %usat %embukuan #epartemen %endidikan >asional

#epartemen %endidikan >asional

9andayani, . 2==H.

9andayani, . 2==H. Fisika " : #ntuk Fisika " : #ntuk SMA/MA Keas !.SMA/MA Keas !. akarta 6 %usat %erbukuan, #epartemen akarta 6 %usat %erbukuan, #epartemen %endidikan >asional

%endidikan >asional

0idodo, ri. 2==H.

0idodo, ri. 2==H. Fisika SMA/MA Keas !. Fisika SMA/MA Keas !. akarta 6 %usat %erbukuan, #epartemen %endidikan akarta 6 %usat %erbukuan, #epartemen %endidikan >asional