http://adisetiawan26.files.wordpress.com/2012/02/adi setiawan2011e.

PEMBUATAN GRAFIK PENGENDALI BERDASARKAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA (PRINCIPAL COMPONENT ANALYSIS)

Wirayanti1), Adi Setiawan2), Bambang Susanto2) 1)Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW Jl. Diponegoro 52-62 Salatiga, email: wiraH9@yahoo.com

2) Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW Jl. Diponegoro 52-62 Salatiga

Abstrak

Upaya yang dapat dilakukan untuk dapat meningkatkan kualitas dari suatu proses produksi, adalah dengan mengurangi cacat produk. Hal ini dapat dilakukan dengan menerapkan pengendalian kualitas secara statistik yang dapat dilakukan dengan metode Statistical Process Control. Salah satu teknik yang dapat digunakan adalah grafik pengendali berdasarkan Analisis Komponen Utama (Principal Component Analysis -PCA). Dengan metode PCA ini dihasilkan suatu komponen utama yang dapat mewakili semua variabel asli tanpa kehilangan banyak informasi. Data yang digunakan adalah data kandungan Kapsul Herbal Glucoser. Analisis Komponen Utama digunakan untuk memilih variabel yang dominan, selanjutnya digunakan untuk menbuat grafik pengendali untuk menentukan titik sampel yang out of control.

Kata kunci : Statistical Process Control, Principal Component Analysis (PCA), grafik pengendali.

1. Pendahuluan

Ketatnya persaingan dunia industri dewasa ini, membuat para pelaku usaha memerlukan

suatu usaha untuk meningkatkan kualitas. Tujuan utama suatu usaha adalah mendapatkan

keuntungan yang sebesar-besarnya. Oleh karena itu, perusahaan harus memuaskan konsumen

dengan produknya agar produknya mampu bersaing dipasaran, karena konsumen mulai selektif

dalam memilih produk yang akan digunakan. Salah satu usaha yang dilakukan adalah dengan

mengurangi cacat produk, yang dilakukan dengan menerapkan pengendalian kualitas yang baik.

Usaha Pengendalian kualitas merupakan suatu usaha yang sifatnya menjaga kualitas

produk yang dihasilkan minimal mempertahankan mutu produk yang sudah ada, atau bahkan

meningkatkan mutunya sehingga didapatkan hasil produk yang unggul. Menurut Montgomery

pengendalian kualitas adalah aktivitas keteknikan dan manajemen, dimana aktivitas tersebut

mengukur ciri-ciri kualitas produk, membandingkannya dengan spesifikasi atau persyaratan,

dan mengambil tindakan penyehatan yang sesuai apabila ada perbedaan antara penampilan yang

sebenarnya dengan yang standar. Hal ini dilakukan agar segera diidentifikasi

kesalahan-kesalahan untuk dilakukan perbaikan.

Dalam pengendalian kualitas ini sering digunakan pengendalian proses statistik. Salah

satu teknik pengendalian proses statistik adalah grafik pengendali. Grafik pengendali

merupakan teknik pengendali proses pada jalur yang bertujuan menyidik dengan cepat

terjadinya pergeseran proses sampai penyelidikan terhadap proses itu sehingga tindakan

pembetulan dapat dilakukan sebelum terlalu banyak unit yang tak sesuai diproduksi. Namun

permasalahan yang sering terjadi pada banyak grafik pengendali adalah grafik tersebut kurang

Oleh Karena itu, dapat digunakan grafik pengendali berdasarkan Principal Component Analysis

(PCA) yang akan diterapkan pada kandungan Kapsul Herbal Glucoser yang terdiri dari empat

variabel yaitu Tinospora Caulis, Piper Decumanun, Plantago Herba, dan Azadirachta Folia.

Principal Component Analysis (PCA) adalah suatu analisis yang menjelaskan struktur

varian-kovarian dari suatu himpunan variabel yang melalui beberapa kombinasi linear dari

variable – variabel tersebut (Johnson and Wichern, 2002). Secara sederhana analisis komponen

utama ini adalah prosedur pengurangan variabel, dimana komponen utama merupakan

kombinasi linier dari p variabel asli.

Penggunaan metode PCA ini sangat disarankan untuk memilih atau meringkas variabel

yang banyak sehingga perbuatan grafik pengendalinya menjadi lebih mudah.

2. Dasar Teori dan Metode Penelitian 2.1 Grafik pengendali

Statistical Process Control (pengendalian proses secara statistik) merupakan

pengaplikasian teknik-teknik statistik untuk mengendalikan suatu proses untuk menentukan

stabilitasnya dan kemampuannya menghasilkan produk/jasa bermutu (Sugian, 2006). Suatu alat

yang digunakan dalam pengendalian kualitas secara statistik pada proses produksi disebut grafik

pengendali (Control Chart). Salah satu contoh grafik pengendali adalah grafik pengendali

rata-rata x atau disebut dengan grafik pengendali Shewhart.

Dalam grafik pengendali umumnya terdiri dari batas atas (UCL), batas bawah (LCL)

dan batas tengah (CL). Untuk itu, akan dicari UCL, LCL dan CL dari variabel yang menjadi

komponen utama pada data multivariat.

Jika µ dan



diketahui maka UCL, LCL dan CL dari grafik pengendali adalah











k

LCL

CL

k

UCL











(1)

dengan



= rata-rata (mean) sampel,



= deviasi standar sampel,

kelipatan deviasi standar.

Biasanya kelipatan deviasi standar dalam teknik statistik digunakan k = 3 (Montgomery, 1990).

2.2 Principal Componen Analysis (PCA)

Analisis komponen utama merupakan suatu teknik statistik untuk mengubah dari

sebagian besar variabel asli yang digunakan dan saling berkorelasi satu dengan yang lainnya

pengukuran multivariat (atau observasi), komponen utama merupakan kombinasi linier dari

variabel p awal. Tujuan utama analisis komponen utama ialah untuk mengurangi dimensi

peubah-peubah yang saling berhubungan dan cukup banyak variabelnya sehingga lebih mudah

untuk menginterpretasikan data-data tersebut (Johnson & Wichern, 2002). Metode yang

digunakan yaitu menentukan komponen utama dengan melakukan alih ragam orthogonal atau

membentuk kombinasi linier Y A'X(Sumarga, 1996). Dari sini akan dipilih beberapa

komponen utama yang dapat memberikan sebagian besar keragaman total data semula.

2.3 Menentukan Komponen Utama

Komponen utama merupakan suatu kombinasi linear vektor p variabel acak X1, . . . , Xp. Misalkan matriks X = [X1, . . . , Xp] mempunyai matriks kovariansi



. Dalam hal ini



adalah matriks simetris dan positif tegas (positive definite) dengan nilai eigen

0

...

2

1











p





dan sebutlah vektor eigen yang bersesuaian untuk setiap

0 ...

2

1  p 

 adalah

e

e

p





,...,

1 yang saling orthogonal, dengan mencari kombinasi linier

yaitu

, ...

2 21 1

1i pi p

T i

i e X e X e X e X

Y      i= 1, 2, . . . , p . (2)

Dengan pemilihan ini,

Var

(

Y

_i

)



e



_iT



e



_i





_i i= 1, 2, . . . , p . (3)

Cov(

Y

_i

,

Y

_k)=

e



_iT



e



_k



0

, ik. (4)

Proporsi total variansi komponen prinsip ke-i didefinisikan sebagai

p k

 

 

 

 ₂ ...

1

, k =1, . . . , p.

Nilai e_ki menyatakan ukuran pentingnya variabel ke-k terhadap komponen prinsip ke-i.

Secara khusus, e_kimenyatakan korelasi antara komponen-komponen Y_i dan variabel-variabel

k

X . Hal ini dijelaskan dengan menggunakan koefisien korelasi antara komponen-komponen Yi

dan variabel-variabel X_kadalah

kk i ki X Y

e

k

i 



 ,  i,k =1, 2, . . . , p. (5)

dengan



_kkadalah simpangan baku variabel ke-k. (Johnson and Wichern, 2002)

2.4 Metode penelitian

Data yang digunakan adalah data sekunder yang merupakan data kandungan Kapsul

Herbal Glucoser pada bulan Maret 2011 sampai dengan Agustus 2011 sebanyak 290 titik

sampel. Langkah langkah dalam analisis data dijabarkan sebagai berikut :

2.Menerapkan grafik pengendali yang berdasarkan komponen utama.

3. Analisis dan pembahasan

3.1 Data kandungan Kapsul Herbal Glucoser

Data kandungan Kapsul Herbal Glucoser terdiri dari Tinospora Caulis, Piper

Decumanun, Plantago Herba dan Azadirachta Folia. Produksi tidak dilakukan setiap hari

melainkan dilakukan pada waktu tertentu dan disesuaikan dengan persediaan. Pengambilan

sampel dilakukan sebanyak 20 kali setiap kali produksi. Dimana perusahaan telah menentukan

spesifikasi dari berat masing-masing bahan. Secara keseluruhan berat kapsul (keseragaman

bobot) harus berada pada range 450-500 mg. Oleh karena itu, perusahaan memberikan batas

toleransi untuk setiap bahan dengan menghitung perbandingan antara berat kapsul dan berat

masing-masing bahan yaitu dengan perbandingan 2:1.5:1:5.

3.2 Grafik Pengendali Unit Individu untuk Kandungan Kapsul Herbal Glucoser

Berdasarkan data kandungan Kapsul Herbal Glucoser menggunakan persamaan (1)

diperoleh UCL, LCL dan CL untuk masing-masing variabel (kandungan). Dengan bantuan

program, diperoleh batas UCL, LCL dan CL yang ditunjukkan pada Tabel 1. Selanjutnya

berdasarkan tabel batas-batas tersebut dapat dibuat grafik pengendali untuk masing-masing

kandungan Kapsul Herbal Glucoser pada Gambar 1.

Tabel 1. UCL, LCL dan CL untuk masing-masing kandungan Kapsul Herbal Glucoser

No. kandungan UCL LCL CL

1 Tinospora Caulis 206.5541 189.4018 197.9779

2 Piper Decumanun 154.9258 142.0659 148.4959

3 Plantago Herba 103.286 94.6974 98.9917

0 50 100 150 200 250 300 180 195 210 Index x1 UCL LCL CL Tinospora Caulis

0 50 100 150 200 250 300

140 150 160 Index x2 UCL LCL CL Piper Decumanun

0 50 100 150 200 250 300

90 100 110 Index x3 UCL LCL CL Plantago Herba

0 50 100 150 200 250 300

46 50 54 Index x4 UCL LCL CL Azadirachta Folia

Gambar 1. Grafik pengendali individu untuk tiap kandungan

Dari grafik pengendali pada Gambar 1. dapat dilihat bahwa untuk setiap masing-masing

kandungan ada 4 titik sampel yang di luar kendali, dan dari keempat kandungan memiliki empat

titik sampel yang di luar kendali yang sama yaitu titik sampel ke 12, 55, 123 dan 172. Grafik

pengendali dari keempat kandungan memperlihatkan bahwa terjadi suatu penyimpangan atau

tidak kesesuaian pada proses produksi yang mungkin terjadi karena kurangnya pengawasan

ataupun terjadinya kesalahan penimbangan untuk masing-masing kandungan Kapsul Herbal

Glucoser tersebut.

3.3 Principal Component Analysis(PCA) Dari data dibentuk matriks kovariansi,

              51 . 0 03 . 1 54 . 1 05 . 2 03 . 1 05 . 2 07 . 3 09 . 4 54 . 1 07 . 3 59 . 4 13 . 6 05 . 2 09 . 4 13 . 6 17 . 8

selanjutnya dicari eigen value dan eigen vektor. Eigen value dan eigen vektor akan digunakan

untuk mencari komponen utama yang terlebih dahulu dibentuk persamaan kombinasi liniernya.

Diperoleh eigen value dan eigen vektor adalah

3290 . 15

1

 e₁



0.73,0.55,0.37,0.18



₂ 0.0008 e₂ 



0.26,0.54,0.57,0.57



₄ 0.0003 e₄ 



0.18,0.59,0.13,0.77



.

Kombinasi linier menurut persamaan (2) menjadi

' _{1 2 3 4}

1 e1X 0.73X 0.55X 0.37X 0.18X

Y     

' _{1 2 3 4}

2 e2X 0.26X 0.54X 0.57X 0.57X

Y     

4 3

2 1

'

3 e3X 0.6X 0.25X 0.73X 0.21X

Y     

' _{1 2 3 4}

4 e4X 0.18X 0.59X 0.13X 0.77X

Y      .

Proporsi dari total variansi untuk komponen utama pertama

Y

₁ adalah





15.3290/



15.3290 0.0008 0.0005 0.0003



0.9998

/ 1 2 3 4

1         

 .

Proporsi tersebut telah menjelaskan 99.98% dari keragaman total data. Hal itu berarti

Y

₁ dapat

menggantikan keempat variabel asli tanpa banyak kehilangan informasi. Jika dilihat dari

korelasi antara

Y

₁ dengan keempat variabel yaitu

X

₁,

X

₂,

X

₃ dan

X

₄ dihitung berdasarkan

persamaan (5), keempatnya relatif dekat ke 1 dapat disimpulkan bahwa keempat variabel sama

pentingnya.

9999

.

0

11 1 11 , 1

1











_{Y X}

e

,

0

.

9999

22 1 21 , 2

1











_{Y X}

e

,

9998

.

0

33 1 31 , 3

1











_{Y X}

e

,

0

.

9995

44 1 41 , 4

1











_{Y X}

e

.

Hubungan yang tersisa dapat diabaikan karena komponen kedua, ketiga dan keempat dapat

dianggap tidak penting.

3.4 Grafik pengendali berdasarkan komponen utama

Dalam membangun grafik pengendali yang berdasarkan komponen utama ini

dibutuhkan beberapa langkah yang telah dijelaskan pada dasar teori. Komponen utama yang

akan digunakan sebagai dasar membuat grafik pengendali diperoleh dengan membentuk

kombiasi linier dengan metode PCA. Komponen utama tersebut telah diperoleh pada

pembahasan 3.3 yang menghasilkan variabel baru

4 3

2 1

'

1 e1X 0.73X 0.55X 0.37X 0.18X

Y      sebagai komponen utama pertama.

Grafik pengendali dibangun dari komponen utama pertama

Y

₁. Dalam hal ini

Y

₁

merupakan kombinasi linier dari data, komponen utama

Y

₁ dapat menggantikan variabel asli,

karena dengan

Y

₁ dapat dibangun grafik pengendali secara sederhana dengan satu data

transformasi

Y

₁ saja, tanpa harus membangun grafik pengendali untuk keempat variabel karena

sehingga diperoleh nilai UCL = 282.4756, CL = 270.7455 dan LCL=259.0154, dan dibuat

grafik pengendali yang ditunjukkan pada Gambar 2.

Dari grafik pengendali Gambar 2. diperoleh empat titik sampel yang di luar batas

kendali. Keempat titik sampel tersebut berada di bawah batas bawah (LCL) yang ditentukan,

yaitu titik sampel ke-12, 55, 123 dan 172. Titik sampel ke-12 merupakan titik sampel ke-12

pada produksi pertama, titik sampel ke-55 merupakan titik sampel ke-15 pada produksi ketiga,

selanjutnya titik sampel ke-123 merupakan titik sampel ke-3 pada produksi keenam, sedangkan

untuk Titik sampel ke-172 merupakan titik sampel ke-12 pada produksi kedelapan. Titik sampel

yang di luar kendali pada komponen utama

Y

₁ tersebut sama dengan titik sampel yang berada di

luar kendali pada grafik pengendali secara individu untuk masing-masing variabel (kandungan).

0 50 100 150 200 250 300

250

260

270

280

290

Index

y1

UCL

LCL CL

Grafik pengendali kandungan Kapsul Herbal Glucoser

Gambar 2. Grafik pengendali kandungan Kapsul Herbal Glucoser berdasarkan komponen utama

4. Kesimpulan

Dari pembahasan di atas dapat dibuat kesimpulan sebagai berikut:

1. Grafik pengendali dapat dibuat berdasarkan komponen utama dari variabel.

2. Data kandungan Kapsul Herbal Glucoser dibangun grafik pengendali individu yang

masing-masing kandungan menghasilkan empat data yang di luar batas kendali, yaitu pada

data ke-12,55,123 dan 172.

3. Komponen utama diperoleh dengan metode Principal Component Analysis (PCA) dan

memperoleh variabel baru ₁ ' 0.73 ₁ 0.55 ₂ 0.37 ₃ 0.18 ₄

1X X X X X

e

komponen utama pertama yang dapat mewakili semua variabel asli tanpa kehilangan

banyak informasi dari total keragaman data semula yang berasal dari data kandungan

Kapsul Herbal Glucoser.

4. Grafik pengendali yang digunakan adalah grafik pengendali dengan komponen utama

Y

₁

yang menghasilkan empat titik sampel di luar kendali, sama halnya dengan grafik

pengendali individu untuk masing-masing variabel (kandungan) yang juga diperoleh empat

titik sampel yang di luar kendali.

5. Daftar Pustaka

Johnson, Richard. Dean Wichern. 2007. Applied Multivariate StatisticalAnalysis, 6th ed. New

Jersey : Prentice Hall, hal. 356-360.

Montgomery, Douglas C. 1990. Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik. Yogyakarta:

Gadjah Mada University Press, hal.7, 225.

Sugian O, Syahu. 2006. Kamus Manajemen (Mutu). Jakarta : PT Gramedia Pustaka Utama, hal.

214-215.

Sumarga, H.1996. Eksplorasi Data Peubah Ganda. Salatiga: Fakultas Sains dan Matematika

Universitas Kristen Satya Wacana, hal. 21.

Web 1:

Principal Component Control Chart

http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section3/pmc342.htm (Diunduh pada 2