1
DIOPTIMASI SECARA NELDER-MEAD SIMPLEX
Herlina D Tendean1), Hanna A Parhusip2), Suryasatria Trihandaru3), Bambang Susanto4) 1)
Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW 2)
Dosen Program Studi Matematika 3)
Dosen Program Studi Fisika 4)
Dosen Program Studi Matematika
Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711
1)
[email protected],2)[email protected] ,3) [email protected] , 4)[email protected]
Abstrak
Data denyut jantung manusia merupakan data yang memiliki gelombang periodik. Data denyut jantung didekati fungsinya dengan menggunakan fungsi Gauss. Parameter-parameter yang akan digunakan dalam fungsi Gauss dicari dengan menggunakan metode Nelder-Mead simplex untuk meminimumkan nilai eror yang terjadi pada fungsi Gauss. Dalam tiap gelombang denyut jantung selalu terjadi lima puncak sebut saja P, Q, R, S dan T. Jarak antar puncak P ke P, Q ke Q, R ke R, S ke S dan T ke T pada gelombang diseluruh data telah dicari frekuensi terjadinya jarak masing-masing antar puncak. Frekuensi terjadinya jarak tiap puncak ke puncak berikutnya merupakan distribusi Gamma dengan nilai parameter berada pada interval 269.7837 373.7805 dan parameter berada pada interval 0.0021 0.003
yang diperoleh dari distribusi Gamma.
Kata kunci : Denyut Jantung, Fungsi Gauss, Metode Nelder-Mead simplex, Nilai Eror, Frekuensi,
Distribusi Gamma
Pendahuluan
Model denyut jantung yang pernah diteliti merupakan sistem persamaan tak linier
yang berbentuk
� 1=−( 13− 1+ 2) 2= 1−
, model denyut
jantung telah diteliti dengan mengunakan teori bifurkasi untuk mencari sifat stabilitas titik setimbangnya dan didapatkan bahwa model merupakan jenis bifurkasi homoklinik yang siklus periodiknya dapat muncul dan menghilang apabila parameter divariasi dengan sifat stabilitas titik setimbang yang cenderung tidak stabil (Tendean dkk, 2014). Menurut (Thanom dan Robert, 2011) model denyut jantung yang telah diteliti belum tepat dengan data denyut jantung sehingga perlu dilakukan modifikasi. Modifikasi model yang dilakukan dengan ketegangan dalam otot pada model yang sebelumnya dianggap sebagai konstata sedangkan pada model yang baru ketegangan dijadikan sebagai
parameter dalam fungsi waktu, lalu penambahan konstanta yang mempresentasikan sinyal kontrol pada pacemaker (Thanom dan Robert, 2011). Sedangkan pada makalah ini modifikasi akan dilakukan dengan proses fitting terhadap data denyut jantung yang telah ada. Fitting dilakukan dengan menggunakan Metode Nelder-Mead simplex dengan mengasumsikan bahwa data sebagai jumlahan pada sebuah periode gelombang dengan fungsi Gauss
Model Denyut Jantung Dengan Kombinasi Fungsi Gauss
2 Gambar 1. Gambar data denyut jantung (kiri) dan denyut jantung dalam satu gelombang
(kanan) Pada gambar 1 terlihat titik-titik puncak
maksimum lokal dan minimum lokal. Puncak-puncak tersebut mempunyai makna fisis yang disimbolkan sebagai P, Q, R, S dan T sebagaimana ditunjukan pada Gambar 1 kanan. Irama jantung normal dapat dikatakan sebagai irama sinus yaitu irama yang terletak pada sekitar Vena Cava Superior di atrium kanan jantung. Irama jantung yang teratur yang berarti jarak antara gelombang yang relatif sama dan teratur. Hubungan P dengan Q, R dan S adalah bertujuan untuk membedakan suatu irama jantung, bentuk dan durasi pada puncak merupakan pembesaran pada atrium jantung. Sedangkan pada puncak-puncak Q, R dan S ditujukan untuk mendeteksi suatu irama jantung, abnormalitas konduksi. Gelombang T mengambarkan bahwa adanya kembali proses pemompaan
kedalam vetrikel jantung. Pada umumnya puncak T bernilai positif apabila puncak T negatif atau terbalik maka bisa terjadi ketidaknormalan pada jantung (Azhar dan Suyanto, 2009). Berdasarkan gambar 2 terlihat bahwa posisi puncak-puncak S terhadap potensial selalu berada pada posisi negatif sedangkan untuk puncak-puncak T selalu berada pada posisi positif. Data yang telah diukur merupakan data untuk jantung yang sehat. Pada penelitian ini akan ditentukan posisi P, Q, R, S dan T untuk keseluruhan data yang diukur. Untuk itu, diperlukan periode satu gelombang. Untuk menentukan periode satu gelombang maka syarat utama dari satu gelombang adalah satu gelombang harus memuat puncak-puncak P, Q, R, S dan T. Dengan contoh satu gelombang ditunjukan pada gambar 1 kanan.
Gambar 2. Posisi puncak S dan T pada data yang telah diukur
3 Gambar 3. Data pada satu gelombang dengan letak ��, 0� dan � pada tiap puncak P,
Q, R, S dan T Diasumsikan satu gelombang yang
memenuhi kombinasi fungsi Gauss yang berbentuk:
: titik-titik dugaan dengan menggunakan fungsi Gauss,
� : titik-titik pada data denyut jantung, �� : tinggi titik puncak pada gelombang
pada waktu ke �,
0� : waktu yang diperlukan pada saat ke �,
� : lebar setiap puncak pada waktu ke �, � : menghitung nilai eror,
� : banyaknya jumlahan data.
Setelah mendapatkan titik-titik puncak maksimum dan minimum dalam satu gelombang maka selanjutnya pada setiap puncak P, Q, R, S dan T dicari nilai parameter ��, 0� dan � yang akan dijadikan sebagai nilai-nilai parameter awal yang akan digunakan dalam menyusun fungsi Gauss. Puncak-puncak yang terjadi dalam satu gelombang harus memuat puncak minimum dan puncak maksimum P, Q, R, S dan T. Posisi P, Q, R, S dan T
ditentukan dengan bantuan aplikasi peakdet.m pada program Matlab R2009a untuk mendapatkan hasil ��, 0� dan � pada tiap puncak P, Q, R, S dan T yang ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1. Daftar hasil program peakdet.m
Titik puncak �� �� �
Puncak-puncak pada tabel 1 dijadikan sebagai puncak-puncak dugaan dalam menyusun fungsi Gauss dengan bantuan metode Nelder-Mead untuk menentukan nilai parameter ��, 0� dan � yang dapat meminimumkan nilai eror.
Metode Penelitian Data
4 dipakai untuk menentukan titik-titik dengan menggunakan fungsi Gauss yang bertujuan untuk meminimumkan nilai eror � dengan menggunakan metode Nelder-Mead.
Metode Nelder-Mead untuk
meminimumkan fungsi tujuan
Gambar 4 (kiri) menujukan bahwa terdapat 3 gelombang dari puncak R ke puncak R berikutnya pada setiap gelombang R pasti didalamnya memuat puncak-puncak P, Q, R, S dan T dan ditiap puncak P, Q, R, S dan dapat diurutkan yang memenuhi �1 �2
⋯ � +1 dimana + 1 adalah banyaknya titik puncak R, sedangkan adalah banyaknya gelombang. Jadi fungsi inilah sebagai fungsi tujuan yang diminimumkan.
Masalah optimasi disini adalah ditentukan
�∗ yang meminimumkan �∗ =��. Nelder-Mead bertujuan untuk meminimumkan nilai fungsi � ∗ untuk
∗∈ , dimana ∗ adalah pasangan ��,
0�, � pada setiap puncak P, Q, R, S dan T. Parameter skalar dalam metode Nelder-Mead yang harus ditentukan yaitu koefisien dari refleksi � , ekspansi atau perluasan
� , kontraksi � dan penyusutan � . Parameter yang dapat digunakan dalam Nelder-Mead (Lagarias dkk, 1998)
� > 0,�>�, 0 <�< 1, dan
0 <�< 1 (4)
Tetapi parameter �>� tidak didefinisikan secara tegas, sehingga parameter yang dipakai secara umum adalah
� = 1,�= 2,�=1
Diasumsikan bahwa parameter pada persamaan (4) merupakan kondisi untuk keadaan satu dimensi sedangkan untuk parameter (5) dapat digunakan untuk analisis dua dimensi. Pada penelitian ini parameter pada persamaan (5) juga masih digunakan.
5 langkah selanjutnya.
2. Mencerminkan
Menghitung titik-titik hasil pencerminan dari
= +� − +1 (7) dengan
=
�=1
Titik tengah terbaik terletak pada kecuali +1. Selanjutnya � =
� . Jika �1 � <� , maka titik refleksi diterima sehingga iterasi diakhiri dan dipilih sebagai parameter-parameter yang baru. Apabila tidak lanjutkan kelangkah perluasan 3.
3. Memperluas / ekspansi
Jika � <�1 atau �1>� hitung nilai titik perluasan atau ekspansi
yaitu
= +� −
= +��( − +1) (8) Selanjutnya evaluasi � =�( ), jika � <� maka langkah ini diterima dan iterasi dihentikan. Apabila � � ,maka diterima dan iterasi diakhiri
4. Kontraksi kontraksi yang terjadi pada tahap satu dengan menghitung
= +� −
= +�� − +1 (9) Evaluasi � =� , maka diterima dan hentikan iterasi sehingga dipakai sebagai parameter baru, apabila tidak memenuhi lanjutkan ke langkah 5 dan hentikan iterasi sehingga digunakan sebagai parameter baru. Apabila tidak memenuhi lanjutkan ke langkah 5
5. Langkah terakhir
Langkah terakhir apabila langkah 1 sampai 4 tidak dipenuhi yaitu dugaan awal (0) pada gelombang pertama dalam menggunakan metode Nelder-Mead.
(0)=
0.1111 0.3650 0.0478
−0.0427 0.4800 0.0478
1.0351 0.5150 0.0478
−0.2869 0.5400 0.0478
0.1916 0.7400 0.0478
Setelah mendapatkan puncak-puncak P, Q, R, S dan T untuk langkah awal dicari terlebih dahulu yang dijadikan sebagai titik-titik dugaan dari parameter-parameter
��, 0�, � pada puncak-puncak P, Q, R, S
6 Gambar 5. Pendekatan antara dengan 1
Pada Gambar 5 terlihat pendekatan antara dengan 1 dengan bantuan fminsearch dalam fungsi matlab dimana pada gambar adalah garis lurus yang merupakan pendekatan dengan menggunakan parameter-parameter dugaan P, Q, R, S dan T pada data dan titik-titik pada gambar merupakan 1 data pada gelombang yang pertama. Dengan bantuan fungsi fminsearch pada matlab didapatkan nilai pendekatan antara data dengan dugaan yang terdekat dan didapatkan nilai parameter ��, 0�, � yang baru untuk setiap puncak P, Q, R, S dan T
Tabel 2. Parameter ��, 0�, � yang baru pada gelombang pertama
Titik puncak
�� �� �
P 0.0892 0.3748 0.0190
Q 0.1332 0.5370 0.0126
R 1.2163 0.5125 0.0091
S 0.1859 0.5332 0.0387
T 0.1625 0.7315 0.0286
Parameter baru yang didapatkan merupakan parameter yang berdasarkan metode Nelder-Mead yang meminimumkan nilai eror. Sedangkan metode Nelder-Mead dilakukan untuk mencari pendekatan Gauss pada keseluruhan gelombang yang terjadi
adalah pendekatan Gauss untuk keseluruhan gelombang semakin bergeser karena parameter ��, 0� dan � pada keseluruhan gelombang hampir sama, dianggap bahwa satu gelombang pada semua gelombang memiliki periode dan jarak yang sama.
Distribusi Gamma untuk frekuensi waktu antar puncak ke puncak
Langkah selanjutnya dicari jarak antara puncak R ke puncak R berikutnya pada keseluruhan gelombang dalam waktu 120 detik. Laju denyut jantung dengan distribusi amplitudo denyut jantung yang pernah diamati antara orang sakit dan orang sehat dengan menggunakan analisis wavelet yang menunjukan bahwa perbedaan pada time series interval denyut jantung pada orang dewasa yang sehat dan tidak sehat tidak terletak pada variasi distribusi antar gelombang, karena variasi pola variabilitas denyut jantung selama sakit dapat mirip dengan pada saat sehat(Ivanov dkk, 1998). Pada makalah ini distribusi amplitudo diamati dengan memperhatikan frekuensi dari interval waktu antar puncak (P-P, Q-Q, R-R, S-S dan T-T).
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
t (detik)
y (m
V
7 Gambar 6. Waktu pada masing-masing puncak R ke puncak R berikutnya (kiri) dan frekuensi
munculnya pada gelombang Setelah semua puncak-punck R pada
keseluruhan data didapatkan maka dicari jarak antar masing-masing puncak R ke puncak R berikutnya terdapat 155 puncak R dengan masing-masing jarak antar puncak R ada 154 titik. Dengan variansi pada masing-masing jarak antar puncak 0.0017. Dari semua jarak antar R yang dijadikan sebagai jarak antar gelombang pada data, ditunjukan rata-rata gelombang berkisar 0.7693. Frekuensi yang muncul pada gambar 6 (kanan) yaitu jarak waktu yang diperlukan antara puncak R ke puncak R dengan memperhatikan histogram frekuensi yang muncul pada ∆ antar puncak untuk jantung yang sehat diduga sebagai distribusi Gamma. Distribusi Gamma pernah digunakan untuk memprediksi periode gelombang air di pantai barat daya India (Satheesh dkk, 2005). Distribusi Gamma
yang diduga pada gelombang denyut jantung dimana terdapat data = [ 1, 2,…, ] dengan adalah jarak antar masing-masing puncak data yang berdistribusi Gamma dengan parameter dan maka fungsi densitasnya atau fungsi kepadatan terjadinya peluang dapat dirumuskan sebagai masing-masing dicari jarak antar puncak yang kemudian dicari frekuensi yang muncul ∆ pada tiap puncak.
Tabel 3. Frekunsi terjadinya ∆ pada tiap puncak dan hasil fitting distribusi Gamma
8
Q-Q
R-R
S-S
T-T
Dengan aplikasi Toolbox pada Matlab
R2009a “dfittool” maka fitting data yang diduga berdistribusi Gamma dilakukan dengan fungsi densitas atau fungsi
9 distribusi Gamma terlihat hampir
menyerupai data frekuensi tiap puncak. Tabel 4. Parameter dan yang merupakan hasil fitting distribusi Gamma
Puncak Standar
eror distribusi Gamma terlihat bahwa data frekuensi tiap puncak yang terjadi pada data denyut jantung merupakan distribusi Gamma. Parameter berada pada interval
269.7837 a 373.7805 dan parameter
berada pada interval 0.0021
0.003. Sehingga dapat dikatakan bahwa
data denyut jantung berdistribusi Gamma dengan dan memiliki interval yang tidak terlalu jauh dan histogram yang terjadi dengan fungsi kepadatan peluang hampir sama.
Kesimpulan
Data denyut jantung yang telah diukur merupakan data periodik yang merupakan fungsi Gauss dengan bantuan metode Nelder-Mead maka diperoleh parameter-parameter pada data yang memenuhi fungsi Gauss yang meminimumkan nilai eror pada fungsi Gauss. Nilai eror yang terjadi pada fungsi Gauss adalah 0.0553%. Frekuensi pada tiap puncak yang dalam denyut jantung yang diukur merupakan distribusi Gamma dengan nilai parameter berada pada interval 269.7837 a 373.7805
dan parameter berada pada interval
0.0021 0.003.
Saran
Perlu adanya data jantung untuk orang yang tidak sehat untuk dapat mengetahui perbedaan puncak S dan T antara orang yang sehat dengan yang tidak sehat lalu ∆ frekuensi antar puncak berdistribusi Gamma atau tidak.
Pinto atas data denyut jantung yang telah diberikan sehingga dapat digunakan untuk penelitian dalam makalah ini.
Daftar Pustaka
[1].Lagarias. J. C, J. A. Reeds, M. H. Wright dan P. E. Wright, “Convergence Properties Of The Dimension Nelder-Mead Simplex Method In Low Dimension”, Siam J. Optim, vol. 9, no. 1 pp 112-147, 1998.
[2]. A. N. Azhar dan Suyanto, “Studi
Identifikasi Sinyal ECG Irama Myocardial Ischemia Dengan Pendekatan Fuzzy Logic”, Juti, vol. 7, no. 4, pp 193-206, 2009.
[3]. Gao, Funchang dan Lixing Han, “
Implementing The Nelder-Mead Simplex Algorithm With Adaptive Parameters”. Springer Science and Business Media, 2010.
[4]. Tendean, Herlina Dwi, Hanna. A. Parhusip dan Bambang Susanto, “Analisis Model denyut Jantung Dengan Menggunakan Teori Bifurkasi”. Prosiding Seminar Nasional Pendidikan Matematika
“Peran Matematika dan
Pendidikan Matematika sebagai solusi Problematika Pada Abad
ke-21”, pp 65-74, 2014, ISBN : 978-979-17763-7-0.
[5]. Ivanov. P.Ch, M.G. Rosenblum, C.-K. Peng, J.E. Mietus, S. Havlin, H.E. Stanley dan A.L Goldberger, “Scaling and Universality in Heart Rate Variability Distribution”, Elsevier. Physica A 249 pp 587-593, 1998.
[6]. Thanom, Witt dan Robert. N. K.
Loh, “Nonlinier Control of
Heartbeat Models”. Systemic, Cybernetics and Informatics, vol. 9, no. 1, pp 21-27, 2011, ISSN : 1690-4524.
[7]. Satheesh. S. P, V. K. Praveen, V. Jagadish Kumar, G. Muraleedhran
dan P. G. Kurup, “Weibul and
10 Geophys Union, vol. 9, no. 1, pp
