Pembahasan Soal SNMPTN 2010 Matematika IPA kode 546

(1)

Pembahasan

Pembahasan Soal

Soal

SELEKSI NASIONAL MASUK PERGURUAN TINGGI NEGERI

Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS

Disusun Oleh :

Pak Anang

(2)

Bimbel SNMPTN 2012 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 1

Kumpulan

Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT

SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT

Pembahasan

Pembahasan Soal

Soal

Soal SNMPTN

Soal

SNMPTN

SNMPTN 201

201

201 2010000

Matematika

Matematika IPA

IPA

IPA Kode Soal

Kode Soal

Kode Soal 555546

46

By By By

By Pak AnangPak AnangPak AnangPak Anang ((((http://pakhttp://pakhttp://pakhttp://pak----anang.blogspot.comanang.blogspot.comanang.blogspot.comanang.blogspot.com))))

1. Diketahui 2 dan 3 adalah dua bilangan bulat positif yang memenuhi 5₆+₈5= 5:_:;. Nilai 23(2 + 3) adalah ....

A. 468 B. 448 C. 368 D. 49 E. 36

Penyelesaian: Penyelesaian:Penyelesaian: Penyelesaian:

1

2 +13 =1336 ⇒ 2 + 3_{23 =}13₃₆ ⇒ 2 + 3 = 13 dan 23 = 36

(3)

Jadi, untuk C < −3 dimana berada pada daerah C < −5_:, maka fungsi harga mutlak bernilai fungsi negatifnya harga mutlak.

Ternyata kita masih bertemu lagi dengan fungsi bernilai mutlak, |2 + 3C|.

|2 + 3C| = K 2 + 3C, untuk C ≥ − 2 3 −2 − 3C, untuk C < −2₃

Jadi, untuk C < −3 dimana berada pada daerah C < −M_:, maka fungsi harga mutlak bernilai fungsi negatifnya harga mutlak.

⇒ |2 + 3C| = −2 − 3C

Sehingga jawaban yang tepat adalah A.

C = −4 ⇒ F1 − |1 + 3(−4)|F

Coba saja substitusikan salah satu nilai yang memenuhi C < −3, misalkan ambil nilai C = −4

Maka cari di pilihan jawaban jika disubstitusikan C = −4 menghasilkan nilai 10.

(4)

3. Suku banyak yang akarnya √2 − √5 adalah .... A. CR_{+ 14C}M_{+ 9}

B. CR_{− 14C}M_{+ 9} C. CR_{− 14C}M_{− 9} D. CR_{+ 14C}M_{+ 89} E. CR_{− 14C}M_{+ 89} Pembahasan: Pembahasan:Pembahasan: Pembahasan:

C = √2 − √5

Karena suku banyak mengandung variabel CM_{dan C}R_{, maka tentukan nilai C}M_{dan C}R_: CM _{= T√2 − √5U}M _{= T√2 − √5UT√2 − √5U = 2 − √10 − √10 + 5 = 7 − 2√10}

CR _{= T7 − 2√10U}M _{= T7 − 2√10UT7 − 2√10U = 49 − 14√10 − 14√10 + 40 = 89 − 28√10}

Jadi,

CR _{+ C}M _{= T89 − 28√10U + T7 − 2√10U} ⇒ CR _{+ C}M _{= 96 − 30√10}

⇔ CR _{+ C}M _{= 15T7 − 2√10U − 9 Tingat C}M _{= 7 − 2√10U} ⇔ CR _{+ C}M _{= 15C}M_{− 9}

⇔ CR_{+ C}M_{− 15C + 9 = 0} ⇔ CR_{− 14C}M _{+ 9 = 0}

4. Diketahui 2W, 3W, dan X̅ vektor dalam dimensi-3. Jika 2W ⊥ 3W dan 2W ⊥ T3W + 2X̅U, maka 2W ∙ T23W − X̅U adalah ....

A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 E. −1

Penyelesaian: Penyelesaian:Penyelesaian: Penyelesaian: Ingat:

Jika 2W dan 3W saling tegak lurus maka 2W ∙ 3W = 0

Dan pada perkalian titik berlaku: 2W ∙ T3W + X̅U = 2W ∙ 3W + 2W ∙ X̅

Dari soal diketahui bahwa: 2W ⊥ 3W ⇒ 2W ∙ 3W = 0

2W ⊥ T3W + 2X̅U ⇒ 2W ∙ T3W + 2X̅U = 0

⇔ 2W ∙ 3W + 2W ∙ 2X̅ = 0 (ingat 2W ∙ 3W = 0) ⇔ 0 + 2(2W ∙ X̅) = 0

⇔ 2W ∙ X̅ = 0

Maka nilai dari 2W ∙ T23W − X̅U adalah: 2W ∙ T23W − X̅U = 2W ∙ 23W − 2W ∙ X̅

(5)

5. Jumlah 50 suku pertama deret log 5 + log 55 + log 605 + log 6655 + ⋯ adalah .... A. log(5555]^₎

B. log(5555]^₎ C. log(5M]₁₁5MM]₎ D. log(25M]₁₁5MM]₎ E. 1150 log(5) Penyelesaian: Penyelesaian:Penyelesaian: Penyelesaian: Ingat:

Deret aritmetika:

_` = a_{2 (22 + (a − 1)3)}

Logaritma:

log(2 × 3) = log 2 + log 3 2 log 3 = log 36

Pangkat:

(2b₎` _{= 2}b×`

Dari deret tersebut kita bisa menentukan suku-suku barisan sebagai berikut:

c5 cM c: cR

log 5 log 55 log 605 log 6655

Perhatikan, pertama kita harus menentukan termasuk dalam barisan apakah barisan tersebut? Barisan aritmetika yang mempunyai selisih tetap, atau barisan geometri yang memiliki rasio tetap? Oke, mari kita lihat dengan seksama bahwa,

c5 = log 5

c_M = log 55 = log(5 × 11) = log 5 + log 11 c_: = log 605 = log(55 × 11) = log 55 + log 11 cR = log 6655 = log(605 × 11) = log 605 + log 11

Jadi dari barisan tersebut kita bisa menyimpulkan bahwa barisan tersebut memenuhi ciri-ciri barisan aritmetika yang memiliki selisih tetap.

2 = log 5 3 = log 11

Sehingga jumlah 50 suku pertama deret aritmetika tersebut adalah: _` = a_{2 (22 + (a − 1)3)}

a = 50 ⇒ _]^= 50_{2 (2 log 5 + (50 − 1) log 11)}(ingat 2 log 3 = log 36) ⇔ = 25(log 5M _{+ log 11}Re₎

⇔ = 25 log 25 + 25 log 11Re _{(ingat 2 log 3 = log 3}6₎

⇔ = log 25M]_{+ log(11}Re₎M] _{(ingat (2}b₎` _{= 2}b×`₎

(6)

Barisan aritmetika adalah barisan yang memiliki selisih tetap.

Sedangkan kadang kita menemui barisan yang bukan barisan geometri tetapi selisihnya tidak tetap. Nah mungkin kita sedang menemui barisan aritmetika bertingkat.

Apa itu barisan aritmetika bertingkat? Barisan aritmetika bertingkat adalah barisan bilangan yang tidak memiliki beda tetap, tetapi apabila beda itu dijadikan barisan bilangan, demikian seterusnya maka pada suatu saat akan ditemukan beda yang tetap.

c` = _{0! +}2 (a − 1)3_1! +(a − 2)(a − 1)X_2! +(a − 3)(a − 2)(a − 1)h_3! + … dst dst dst

Barisan aritmetika bertingkat a, artinya beda tetap didapatkan pada tingkat ke-a.

f5 = 15

Terlihat bahwa beda tetap didapatkan pada tingkat ke-2. Jadi barisan tersebut merupakan barisan aritmetika tingkat 2.

(7)

7. Kubus klmn. opqr panjang sisinya 1 dm. Titik s pada lm dengan |sm| = t dm. Titik u adalah proyeksi k pada ns dan v adalah proyeksi u pada bidang opqr. Luas segitiga kuv adalah .... dmM A. _M√w5_x_y5

Perhatikan segitiga PCD, berlaku aturan Pythagoras sebagai berikut: nsM _{= sm}M_{+ mn}M _{⇒ ns}M _{= t}M_{+ 1}M

⇔ ns = ztM_{+ 1}

Perhatikan segitiga APD. Misal P’ adalah proyeksi dari P pada garis AD Luas segitiga APD bisa dicari menggunakan 2 cara.

Pertama, |∆ksn = 5_M× ss~_{× kn}

Jadi luas segitiga AQR adalah: |∆kuv =1_{2 × ku × uv}

Misal t = 1 dm berarti luas daerah diarsir adalah seperempat dari luas bidang diagonal.

Luas bidang diagonal adalah diagonal sisi kali panjang sisi.

Jadi luas daerah adalah 5_R√2

(8)

8. Manakah pernyataan berikut yang benar? A. Jika sin C = sin †, maka C = †

B. Jika cos C = cos †, maka C = † C. Jika CM _{= 2 log C, untuk semua C ≠ 0} D. Jika log C = log †, maka C = †

E. √CM _{= C, untuk semua C} Penyelesaian:

Penyelesaian:Penyelesaian: Penyelesaian:

Penyelesaian untuk soal ini harus dianalisis setiap pilihan jawaban. Analisis jawaban:

A. Jika sin C = sin †, maka C = †.

Ini kurang tepat karena tidak selalu C = †, tetapi ada nilai lain selain † yang memenuhi persamaan tersebut. Ingat lagi konsep trigonometri antar kuadran.

sin C = sin † ⇒ C = † + ˆ ∙ 360°

⇒ C = (180° − †) + ˆ ∙ 360° Jadi jawaban A salah.

B. Jika cos C = cos †, maka C = †.

Ini kurang tepat karena tidak selalu C = †, tetapi ada nilai lain selain † yang memenuhi persamaan tersebut. Ingat lagi konsep trigonometri antar kuadran.

cos C = cos † ⇒ C = † + ˆ ∙ 360°

⇒ C = (360° − †) + ˆ ∙ 360° Jadi jawaban B juga salah.

C. Jika CM _{= 2 log C, untuk semua C ≠ 0.}

Ingat syarat logaritma, jika 6_{log Š(C) = ‹, maka Š(C) = 2}Œ_{, syarat Š(C) > 0.}

Jadi untuk CM _{= 2 log C, syarat C > 0. Sehingga tidak semua C ≠ 0 yang bisa memenuhi} persamaan tersebut, karena jelas tidak akan memenuhi untuk bilangan C < 0.

Jadi jawaban C juga salah.

D. Jika log C = log †, maka C = †. Jelas ini sesuai dengan sifat persamaan logaritma, dengan tambahan syarat C, † > 0.

Jadi jawaban D adalah jawaban yang tepat.

E. √CM _{= C, untuk semua C.}

(9)

(10)

10. Luas daerah persegi panjang terbesar yang dapat dibuat dalam daerah yang dibatasi kurva † =5_:CM dan † = 5 adalah ....

A. 5;_: √5 B. 5›_: √5 C. 6√5 D. 5e_: √5 E. M^_: √5 Penyelesaian: Penyelesaian:Penyelesaian: Penyelesaian:

Mari kita sketsa dulu grafiknya:

Perhatikan daerah berwarna merah. Daerah tersebut adalah daerah persegi panjang yang dapat dibuat di dalam daerah yang dibatasi kurva † = 5_:CM_{dan † = 15.}

Panjang persegi panjang tersebut adalah jarak dari C ke – C yaitu C − (−C) = 2C. Lebar persegi panjang tersebut adalah jarak dari 5 ke 5_:CM_{yaitu 5 −}5

:CM.

Luas daerah persegi panjang tersebut adalah: | = ‹ × ℓ = 2C ž5 −1_{3 C}M_{Ÿ = 10C −}2

3 C:

| = 10C −2_{3 C}: _{⇒ |}~_{= 10 − 2C}M

Luas maksimum akan dipenuhi untuk |~_{= 0} 10 − 2CM _{= 0}

⇒ 2CM _{= 10}

⇔ CM _{= 5}

⇔ C = √5

Jadi luas maksimum persegi panjang tersebut adalah: | = 2T√5U ž5 −1_{3 T√5U}MŸ

= 2√5 ž15_{3 −}5_3Ÿ

= 2√5 ž10_{3 Ÿ}

= 20_{3 √5}

Y

X † =1_{3 C}M

† = 5

žC,1_{3 C}M_Ÿ −C

ž−C,1_{3 C}M_Ÿ

5

(11)

11. Perhatikan gambar berikut! Persegi klmn dengan panjang sisi 10 cm. Lingkaran melalui titik k dan n dan menyinggung sisi lm. Luas lingkaran tersebut adalah .... cmM

A. 10¢ B. 20¢ C. ;M]_5; ¢ D. :M]_£ ¢ E. £]_M ¢ Penyelesaian: Penyelesaian:Penyelesaian: Penyelesaian:

Mari kita lihat titik singgung persegi klmn terhadap lingkaran. Juga lihat titik pusat lingkaran.

Maka garis merah tersebut adalah jari-jari lingkaran.

Nah, sekarang mari kita lihat ukuran persegi panjang dan misalkan jari-jari lingkaran adalah ¤.

Perhatikan segitiga berwarna merah. Pada segitiga tersebut berlaku aturan Pythagoras: (10 − ¤)M_{+ 5}M _{= ¤}M

⇒ 100 − 20¤ + ¤M_{+ 25 = ¤}M

⇔ 125 − 20¤ = 0

⇔ 20¤ = 125

⇔ ¤ =5M]_M^

⇔ ¤ =M]_R

Jadi luas lingkaran dengan jari-jari ¤ =M]_R adalah:

| = ¢¤M _{= ¢ ž}25 4 Ÿ

M

=625_{16 ¢}

A B

C D

A B

C D

A B

C D

¤

10

10 − ¤

5

¤

5

¤

(12)

12. Jika nilai maksimum Š(C) = C + z2‹ − 3C adalah ]_R, maka nilai ‹ adalah .... A. 1

B. M_: C. :_R D. :_M E. 2

Sifat turunan:

† = C` _{⇒ †}~_{= aC}`g5

Sifat turunan substitusi:

† = TŠ(C)U` ⇒ †~_{= a ∙ TŠ(C)U}`g5_{∙ Š}~_(C)

Š(C) = C + z2‹ − 3C = C + (2‹ − 3C)5M ⇒ Š~_{(C) = 1 +}1

2 (2‹ − 3C)g5M∙ (−3) = 1 −32_{(2‹ − 3C)}1 5

M = 1 −

3 2z2‹ − 3C Nilai Š(C) akan maksimum untuk Š~_{(C) = 0.}

Š~_{(C) = 0}

⇒ 1 − 3

2z2‹ − 3C = 0

⇔ 3

2z2‹ − 3C = 1 ⇔ 2z2‹ − 3C = 3

⇔ z2‹ − 3C =3₂(kuadratkan kedua ruas)

⇔ 2‹ − 3C =9₄

⇔ 3C = 2‹ −9₄(bagi kedua ruas dengan 3)

⇔ C =2_{3 ‹ −}3₄

Maka nilai ‹ adalah:

Š ž2_{3 ‹ −}3_{4Ÿ =} 5_{4 ⇒ ž}_{3 ‹ −}2 3_{4Ÿ +}˜2‹ − 3 ž2_{3 ‹ −}3_{4Ÿ =} 5₄

⇔ 2_{3 ‹ −}3_{4 +}˜9

4 =54 ⇔ 2_{3 ‹ −}3_{4 +}3_{2 =}5₄

⇔ 2_{3 ‹ =}5_{4 +}3_{4 −}6₄

⇔ 2_{3 ‹ =}1₂

⇔ ‹ =1_{2 ∙}3₂

(13)

13. Diketahui selembar seng dengan panjang 80 cm dan lebar 30 cm. Jika panjang dan lebarnya dipotong dengan ukuran sama sehingga luas seng menjadi 275 cmM_{, maka panjang dan lebarnya} harus dipotong .... cm

A. 30 B. 25 C. 24 D. 20 E. 15

Penyelesaian: Penyelesaian:Penyelesaian: Penyelesaian:

Perhatikan daerah diarsir berwarna merah. Daerah tersebut adalah daerah yang harus dipotong. Luas daerah yang tidak diarsir adalah 275 cm2_.

Sehingga,

| = 275 ⇒ (80 − C)(30 − C) = 275 ⇔ 2400 − 110C + CM _{= 275} ⇔ CM _{− 110C + 2125 = 0} ⇔ (C − 25)(C − 85) = 0 ⇔ C − 25 = 0 atau C − 85 = 0 ⇔ C = 25 C = 85

Ada dua nilai C yaitu 85 (tidak mungkin karena lebarnya hanya 30) dan 25.

Jadi seng tersebut harus dipotong panjang dan lebarnya sepanjang 25 cm, supaya luas seng yang tersisa sebesar 275 cm2_.

C

C 80 − C

30 − C

80

30

TRIK SUPERKILAT LOGIKA PRAKTIS: TRIK SUPERKILAT LOGIKA PRAKTIS:TRIK SUPERKILAT LOGIKA PRAKTIS: TRIK SUPERKILAT LOGIKA PRAKTIS: Bilangan (80 − C)(30 − C) = 275

(14)

14. Sejumlah siswa terdiri atas 5 putra dan 5 putri membentuk panitia yang terdiri atas 4 orang siswa. Peluang panitia tersebut memuat paling banyak 2 siswa putri adalah ....

A. 5;_M5 B. 55_:› C. M:_RM D. :5_RM E. :]_RM

`m¦= _{(a − ¤)! ¤!}a!

k = Banyaknya cara membentuk panitia beranggotakan 4 orang, paling banyak 2 siswi putri: 0 orang perempuan + 4 orang laki-laki = ]m^ ∙]mR =_{(]g^)! ^!}]! ∙_{(]gR)! R!}]! = 1 ∙ 5 = 5

1 orang perempuan + 3 orang laki-laki = ]m5∙]m: = _{(]g5)! 5!}]! ∙_{(]g:)! :!}]! = 5 ∙ 10 = 50 2 orang perempuan + 2 orang laki-laki = ]mM ∙]mM =_{(]gM)! M!}]! ∙_{(]gM)! M!}]! = 10 ∙ 10 = 100 Jadi,

a(k) = 5 + 50 + 100 = 155

_ = Banyaknya cara membentuk panitia beranggotakan 4 orang dari 10 orang adalah: a(_) =5^mR = _{(10 − 4)! 4! = 210}10!

(15)

Mari kita sketsa dulu grafiknya.

Perpotongan kurva † = √C dan † = 6 − C

Jadi titik potong kurva dan garis tersebut adalah di C = 4 dan C = 9.

Perhatikan daerah yang diarsir, daerah tersebut adalah daerah yang dibatasi oleh kurva † = √C, garis † = 6 − C dan sumbu X.

Jadi integral yang menyatakan luas daerah arsir tersebut adalah: | = ¨ √C hCR

^ + ¨ (6 − C) hC

;

R

Lho kok di pilihan jawaban A, B, C, D, maupun E nggak ada? Yang ada bentuknya adalah (C − 6). Perhatikan yang ditandai dengan warna merah pada integral luas diatas.

Ingat: ¨ −Š(C) hC8

6 = − ¨ Š(C) hC

8

6

Sehingga, integral luas bisa diubah menjadi: | = ¨ √C hCR

Untuk download rangkuman materi, kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT dalam menghadapi SNMPTN serta kumpulan pembahasan soal SNMPTN yang lainnya jangan lupa untuk selalu mengunjungi http://pak-anang.blogspot.com.