• Tidak ada hasil yang ditemukan

Regresi Linear dengan LSM

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2018

Membagikan "Regresi Linear dengan LSM"

Copied!
20
0
0

Teks penuh

(1)

Modul 3:

Regresi Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil

A. Pendahuluan Metode Kuadrat Terkecil

Metode kuadrat terkecil, yang lebih dikenal dengan nama

Least-Squares Method, adalah salah satu metode ‘pendekatan’ yang paling penting dalam dunia keteknikan untuk: (a). regresi ataupun pembentukan persamaan dari titik-titik data diskretnya (dalam pemodelan), dan (b). analisis sesatan pengukuran (dalam validasi model).

Metode kuadrat terkecil termasuk dalam keluarga metode-metode pendekatan sesatan terdistribusi (“distributed errorapproximation methods), berdasarkan karakterisik kerjanya yang melakukan pengurangan sesatan menyeluruh (global error) yang terukur berdasarkan interval pendekatan keseluruhan (whole approximation interval) sesuai dengan order pendekatan yang meningkat. Metode ini berbeda dengan metode-metode asimptotis, khususnya yang dikembangkan melalui pendekatan melalui deret ‘Taylor’, karena metode asimptotis memiliki karakteristik kerja yang memperkecil sesatan pada beberapa titik tertentu, sesuai dengan order pendekatan yang meningkat.

(2)

B. Persamaan dan Model sebagai obyek regresi

Seperti telah dijelaskan di atas, dalam dunia keteknikan metode kuadrat terkecil ini digunakan untuk melakukan regresi dan atau pencocokan kurva yang diharapkan dapat membentuk persamaan matematis tertentu. Secara empiris, persamaan-persamaan matematis tertentu yang sering digunakan di antaranya adalah:

(a). Persamaan ‘garis lurus’ (linier): y = a x + b

(b). Persamaan parabolis (kuadratis): y = p x2 + qx + r

(c). Persamaan polinomial (secara umum):

1

1

1 1

2 3 2

1

− ∞

=

− −

=

+ +

+ +

+ +

=

k

k k

n n k

k

x c

x c x

c x

c x c c

y L L

(d). Persamaan eksponensial: y = aebx2 +cx+d

(e). Persamaan asimptotis:

d x c

x b x

a y

+ +

= 2

C. Regresi Sederhana untuk Persamaan Linier

Bentuk umum dari persamaan linier, dapat dituliskan sebagai berikut:

b x a

y = +

dengan:

a = kelandaian (slope) kurva garis lurus

(3)

Regresi yang dimaksudkan disini adalah: pencarian harga-harga tetapan a dan b berdasarkan deretan data yang ada (jumlah atau pasangan data x-y sebanyak N buah).

Sebagai contoh, di bawah ini diberikan 1 set data (x-y) sebanyak 7 buah:

Tabel 1. Set data regresi linier.

x y

-3 -0.22 -2 0.67 -1 1.55 0 1.99 1 2.55 2 3.25 3 4.11

Hasil pengaluran kurva (plotting) titik-titik tersebut di atas dapat dilihat pada Gb. 1 di bawah ini.

-0.22 0.67

1.55 1.99

2.55 3.25

4.11 y = 0.6841x + 1.9850

-1 0 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 intercept

slope

Gambar 1. Kurva regresi linier, dengan N = 7.

(4)

(

)

− −

= 2

b x a y S

Persyaratan yang harus dipenuhi untuk dapat menghitung a

dan b adalah minimisasi turunan persamaan di atas terhadap tetapan a dan b (dalam hal ini, a dan b dianggap sebagai variabel-variabel semu), sehingga membentuk persamaan-persamaan berikut:

. 0 d

d ). b (

dan ;

0 d

d ). a (

= =

b S a S

Untuk lebih jelasnya, kronologis penurunan kedua persamaan di atas adalah sebagai berikut:

(a).

[

(

)

]

0

d

d 2 =

b x a y

a , sehingga akan terbentuk

persamaan berikut:

(

)

(− ) = 0

yaxb x , atau

x + b

x =

xy

a 2 (A)

(b).

[

(

)

]

0

d

d 2 =

b x a y

b , sehingga kemudian

terbentuk persamaan berikut:

(

)

(−1) = 0

yaxb , atau

x + Nb =

y

a (B)

(5)

sebagai berikut: SPAL tersebut relatif sangat mudah dilakukan dengan metode analitis.

Dengan menggunakan aturan Cramer, solusi konstanta-konstanta a dan b adalah:

Karena hanya membentuk persamaan matriks berorder 2, maka determinan-determinan matriks di atas dapat langsung dihitung, dengan rincian sebagai berikut:

(6)

dan

[

∑ ⋅∑ − ∑ ⋅∑

]

=    

 

∑ ∑

∑ ∑

y x x y

x y

x

y x

x2 2

det

sehingga, diperoleh solusi harga-harga a dan b:

[

]

( )

[

2 2

]

∑ ⋅ ∑ − ⋅ ∑ =

x N

x

y x N

y x

a = 0,684143; dan

[

]

( )

[

2 2

]

2

∑ − ⋅ ∑

∑ ⋅ ∑ − ∑ ⋅ ∑ =

x N

x

y x x y

x

b = 1,985000

Tugas di rumah:

Coba buat program dalam FORTRAN untuk mencari harga-harga a dan b dari satu set data berikut:

No. x y

1 -1.0 5.00

2 1.0 9.00

3 3.0 13.00

4 5.0 17.00

5 7.0 21.00

6 9.0 25.00

7 11.0 29.00

D. Regresi Persamaan Parabola

Persamaan Parabola atau Persamaan Kuadrat mempunyai bentuk umum yang dapat dituliskan sebagai berikut:

r x q x

p

y = 2 + +

(7)

Persamaan sebaran (S) yang menyatakan sesatan terdistribusi dari persamaan linier tersebut dinyatakan sebagai:

(

)

∑ − − −

= 2 2

r x q x

p y S

Persyaratan yang harus dipenuhi untuk dapat menghitung p, q

dan r adalah minimisasi turunan persamaan di atas terhadap tetapan p q dan r (dalam hal ini, p, q dan r dianggap sebagai variabel-variabel semu), sehingga membentuk persamaan-persamaan minimisasi berikut:

. 0 d

d ). c (

dan ;

0 d

d ). b (

; 0 d

d ). a (

= = =

r S q S p S

Tahapan penurunan ketiga persamaan-persamaan di atas terhadap p, q, dan r adalah sebagai berikut:

(a).

(

)

0

d

d 2 2

=   

∑ ypxqxr

p , yang membentuk

persamaan berikut:

(

2

)

(− 2) = 0

ypxqxr x , atau

x + qx + rx = ∑x y

p 4 3 2 2 (E)

(b).

(

)

0

d

d 2 2

=   

∑ ypxqxr

q , yang membentuk:

(

2

)

(− ) = 0

(8)

x + qx + rx = ∑xy

Seperti halnya pada regresi persamaan linier, ketiga persamaan (E), (F), dan (G) di atas juga membentuk suatu sistem persamaan aljabar linier (SPAL) dengan oreder 3, bila disusun-ulang sebagai berikut:

Solusi SPAL di atas dapat dilakukan melalui 2 cara, yaitu: (a). analitis (aljabar) dan (b). numeris. Berbagai solusi SPAL (dengan menggunakan metode numeris) telah dijelaskan pada modul-modul pelajaran terdahulu. Sebagai catatan, determinan dari matriks bujur-sangkar dengan rank 3 dapat dihitung sebagai berikut:

12

(9)

Berdasarkan catatan tentang determinan matriks berorder 3 seperti di atas, maka determinan-determinan matriks di atas berturut-turut adalah sebagai berikut:

(10)

( )

Tugas di rumah:

Coba buat program dalam FORTRAN untuk mencari harga-harga p, q dan r berdasarkan kurva di bawah ini:

(11)

No. x y

1 -3.0 4.00

2 -2.2 -0.16

3 -0.9 -4.19

4 -0.1 -4.99

5 1.2 -3.56

6 2.5 1.25

E. Regresi Persamaan Kubus (polinomial order 3)

Persamaan Kubus atau Persamaan polinomial order 3 mempunyai bentuk umum yang dapat dituliskan sebagai berikut:

0 1

2 2 3

3 x c x c x c

c

y = + + +

Regresi yang dimaksudkan disini adalah: pencarian harga-harga parameter c0 sampai dengan c3 berdasarkan set data

yang diberikan (ingat: pasangan data x-y selalu berjumlah N

buah !).

Persamaan sebaran (S) yang menyatakan sesatan terdistribusi dari persamaan linier tersebut dinyatakan sebagai:

(

)

∑ − − − −

= y c3 x3 c2x2 c1x c0 2

S

Persyaratan yang harus dipenuhi untuk dapat menghitung parameter-parameter c0 sampai dengan c3 adalah minimisasi

turunan persamaan di atas, masing-masing terhadap setiap parameter (dalam hal ini, c0 sampai dengan c3 dianggap

(12)

0 d

d (d).

dan ;

0 d

d ). c (

; 0 d

d ). b (

; 0 d

d ). a (

3 2 1 0

= = = =

c S c

S c S c

S

Tahapan penurunan ketiga persamaan-persamaan di atas terhadap c0 sampai dengan c3 adalah sebagai berikut:

(a).

(

)

0

d

d 2

0 1

2 2 3

3 3

=   

∑ yc xc xc xc

c ,

membentuk persamaan berikut:

(

3 3 2 2 1 0

)

(− 3) = 0

yc xc xc xc x , atau

x + cx + cx + cx = ∑x y

c3 6 2 5 1 4 0 3 3 (I)

(b).

(

)

0

d

d 2

0 1

2 2 3

3 2

=   

∑ yc xc xc xc

c ,

membentuk:

(

3 3 2 2 1 0

)

(− 2) = 0

yc xc xc xc x , atau

x + cx + cx + cx = ∑x y

c3 5 2 4 1 3 0 2 2 (J)

(c).

(

)

0

d

d 2

0 1

2 2 3

3 1

=   

∑ yc xc xc xc

c ,

(13)

(

3 3 2 2 1 0

)

(− ) = 0

dihasilkan:

(

3 3 2 2 1 0

)

(−1) = 0

yc xc xc xc , atau

x + cx + cx + c N = ∑ y

c3 3 2 2 1 0 (L)

Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) yang terbentuk dari persamaan-persamaan (I), (J), (K), dan (L) adalah sebagai berikut:

Tugas Kelompok:

Buat program dalam FORTRAN untuk mencari harga-harga konstanta dari c0 sampai cn dari suatu persamaan

(14)

F. Regresi Multilinier

Beberapa persamaan aljabar dapat membentuk suatu ‘relasi linier’ atau yang sejenisnya, antara beberapa variabel bebas (independent variables) dengan sebuah variabel terikat (dependent variable). Relasi tersebut seringkali dijumpai dalam dunia keteknikan, termasuk hasil logaritmik dari persamaan-persamaan analisis adimensional ataupun relasi analogi bilangan-bilangan tak berdimensi.

Bentuk umum dari persamaan multilinier seperti di atas dapat disederhanakan dalam relasi fungsi matematis berikut:

w

k

v

k

u

c

w

v

u

y

(

,

,

)

=

1

+

2

+

3

Bila persamaan multilinier tersebut memiliki jumlah variabel bebas yang lebih besar lagi, maka secara sistematis dapat dituliskan sebagai berikut:

n n

n c x c x c x c x

x x

x

y( 1, 2,L, ) = 1 1 + 2 2 + 3 3 +L+

Persamaan sebaran (S) yang menyatakan ‘sesatan terdistribusi’ dari persamaan multilinier tersebut dapat dinyatakan sebagai:

(

)

∑ − − − − −

= 2

3 3 2

2 1

1x c x c x cnxn c

y

S L

Menarik untuk dicatat, bahwa jumlah konstanta atau parameter (c1 sampai dengan cn) yang dimiliki suatu persamaan multilinier

sekurang-kurangnya sama dengan jumlah variabel bebasnya. Seperti biasanya, persyaratan yang harus dipenuhi untuk dapat menghitung konstanta-konstanta c1 sampai dengan cn, adalah

(15)

0 d

d (d).

; 0 d

d ). c (

; 0 d

d ). b (

; 0 d

d ). a (

3 2 1

= = = =

n c

S c

S c

S c

S

M

Tahapan diferensiasi persamaan-persamaan di atas terhadap masing-masing parameternya (dari c1 sampai dengan cn) dapat

disajikan sebagai berikut:

(a).

[

(

)

]

0

d

d 2

3 3 2 2 1 1 1

= ∑ yc xc xc x − − cnxn

c

L ,

membentuk persamaan berikut:

(

1 1 2 2 3 3

) ( )

1 = 0

yc xc xc x −L− cnxn x

dan, setelah disusun-ulang menjadi:

x +cx x +cx x + +cx x = ∑x y

c1 12 2 1 2 3 1 3 L n 1 n 1 (O)

(b).

[

(

)

]

0

d

d 2

3 3 2 2 1 1 2

= ∑ yc xc xc x − − cnxn

c

L ,

membentuk persamaan berikut:

(

1 1 2 2 3 3

) ( )

2 = 0

yc xc xc x −L− cnxn x

dan, setelah disusun-ulang menjadi:

x x +cx +cx x + +cx x = ∑x y

(16)

(c).

[

(

)

]

0

membentuk persamaan berikut:

(

1 1 2 2 3 3

) ( )

3 = 0

yc xc xc x −L− cnxn x

dan, setelah disusun-ulang menjadi:

x x +cx x +cx + +cx x = ∑x y

membentuk persamaan berikut:

(

1 1 2 2 3 3

) ( )

⋅ = 0

yc xc xc x −L− cnxn xn dan, setelah disusun-ulang menjadi:

x x +cx x +cx x + +cx = ∑x y

c1 1 n 2 2 n 3 3 n L n n2 n (R)

Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) yang terbentuk dari persamaan-persamaan (O), (P), (Q), dan (R) adalah sebagai berikut:

G. Soal-soal Latihan

(17)

panas untuk metilsikloheksana, sebagai berikut (T adalah suhu absolut dalam K; dan Cp adalah kapasitas panas zat yang dinyatakan dalam kJ/kg·K):

T Cp

150 1,426 160 1,447 170 1,469 180 1,492 190 1,516 200 1,541 210 1,567 220 1,596 230 1,627 240 1,661 250 1,696 260 1,732 270 1,770 280 1,808 290 1,848 300 1,888

Lakukanlah pencocokan kurva (curve fitting), bila diinginkan persamaan Cp(T) sebagai fungsi dari temperatur dalam

persamaan kuadrat: Cp

( )

T = a + bT + cT2 !

2. Suatu model yang paling umum untuk pengungkapan laju reaksi kimia order satu tak-berdimensi adalah dC dt = −kC

dengan C(t =0) =1. Bentuk terintegrasi dari model tersebut

adalah C = exp(−kt), yang sebenarnya ‘nonlinier’ pada

parameter k. Dengan data yang diberikan di bawah ini, tentukan nilai terbaik untuk k. Kembangkan juga prosedur hitungan saudara untuk ‘nilai nonlinier’ dari k.!

t (detik) 0,2 0,5 1,0 1,5 2,0 C (mol/L.detik) 0,75 0,55 0,21 0,13 0,04

(18)

suhu reaksi (T) diberikan pada tabel di bawah ini:

Laju reaksi C T

0,0360 0,8 300

1,01 0,8 400

7,45 0,8 500

0,0231 0,4 300

0,649 0,4 400

4,79 0,4 500

0,0135 0,2 300

0,378 0,2 400

2,80 0,2 500

3. Dari tabel data laju reaksi seperti disajikan di atas, diinginkan untuk melakukan validasi data menjadi persamaan model nonlinier:

T a e C C K reaksi

Laju /

3 , 0 1

+ =

dengan cara menghitung harga-harga parameter K dan a. Coba Anda fikirkan dengan baik, kemudian berikan pendapat Anda tentang bagaimana caranya melakukan pencocokan data seperti di atas ?

4. Gilliland dan Sherwood (1934) mendapatkan data tentang perpindahan massa untuk berbagai cairan yang jatuh bebas pada dinding kolom terbasahi (wetted-wall column). Data tersebut dapat dilihat pada tabel data yang diberikan di bawah ini sehingga dapat digunakan untuk melakukan validasi model nonlinier berikut:

3 2

Re

1 B ScB B

Sh =

(19)

Jika dari hasil-hasil penelitian Gilliland dan Sherwood di atas diperoleh suatu korelasi empiris berikut:

436 , 0 789 , 0

Re 0336 ,

0 Sc

Sh =

Cobalah lakukan suatu perbandingan, mana yang terbaik antara hasil penelitian (experiment) dan hasil perhitungan (prediction) jika deviasi baku didefinisikan seperti di bawah ?

[

]

12

1

2 exp

3 dev.

std.

     

     

∑ −

= =

N Sh Sh

n

i i

pred

Tabel Data Perpindahan Massa dari Gilliland dan Sherwood.

Sh Re Sc

43,7 10,800 0,60

21,5 5,290 0,60

24,2 3,120 1,80

88,0 14,400 1,80

51,6 6,620 1,875

50,7 8,700 1,875

32,3 4,250 1,86

56,0 8,570 1,86

26,1 2,900 2,16

41,3 4,950 2,16

92,8 14,800 2,17

54,2 7,480 2,17

65,5 9,170 2,26

38,2 4,720 2,26

93,0 16,300 1,83

70,6 13,000 1,83

42,9 7,700 1,61

(20)

H. Daftar Pustaka

Atkinson, Kendal E., “An Introduction to Numerical Analysis”, John Wiley & Sons, Toronto, pp. 44-48, 1978.

Atkinson, L.V., Harley, P.J., “An Introduction to Numerical Methods with Pascal”, Addison-Wesley Publishing Co., Tokyo, pp. 49-51, 1983.

Hanna, O.T., Sandall, O.C., “Computational Methods in Chemical Engineering”, Prentice-Hall International Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, pp. 121-149, 1995.

Gambar

Gambar 1. Kurva regresi linier, dengan N = 7.
Tabel Data Perpindahan Massa dari Gilliland dan Sherwood.

Referensi

Dokumen terkait

Menurut Sawir (2000:13) menjelaskan bahwa debt to equity ratio adalah Rasio yang menggambarkan perbandingan hutang dan ekuitas dalam pendanaan.. perusahaan dan

Sehingga dari persamaan (V = I.Z ), Tegangan Jatuh pada penghantar akan mejadi lebih besar. Ketika faktor daya bernilai rendah, tegangan drop akan menjadi besar,

Untuk meningkatkan laju multiplikasi, pada percobaan III tunas in vitro yang dihasilkan dari penelitian sebelumnya disubkultur pada media WPM atau MS, yang dikombinasikan

Kesimpulan yang dapat diambil adalah ikan Cakalang yang didaratkan di PPP Sadeng memiliki sifat pertumbuhan allometrik positif dengan bentuk tubuh agak pipih,

Makanan ringan seringkali menjadi pilihan alternatif guna mengganjal perut di sela – sela rutinitas yang sibuk dan padat. Salah –satu makanan basah ringan yang cukup

S.Batahan 1.A.Situakan 2.A.Sitadung 3.A.Tanjung Balai 4.A.Rantau Panjang 5.B.Lubung 6.A.Bangko 7.A.Tira Teras 8.A.Pisusuk 9.A.Danau Bigo 10.A.Kota Puat Ketek 11.A.Kota Puat

dalam mempromosikan PPKA Bodogol ini akan cukup banyak menggunakan illustrasi untuk lebih memudahkan anak-anak menyerap informasi yang terkandung didalamnya.. 4.1.7 Teori

Setiap perubahan pada tekanan darah rata-rata akan mencetuskan refleks baroreseptor yang diperantarai secara otonom dan mempengaruhi jantung serta pembuluh darah untuk