BAB. I INTEGRAL. (Orang tuanya) (Anaknya)

BAB. I INTEGRAL

A. Pendahuluan.

1. Pengertian integral.

Integral adalah lawan (kebalikan) dari diferensial. Dapat diumpamakan bahwa operasi diferensial itu, diketahui orang tuanya, disuruh mencari anaknya, sedangkan operasi integral, diketahui anaknya, disuruh mencari

orang tuanya

.

Amatilah :

No. Fungsi yang diturunkan = f(x) Fungsi turunan = f ‘(x) No. Fungsi yang diturunkan = f(x) Fungsi turunan = f ‘(x)

(Orang tuanya) (Anaknya)

1. 2x 2 2. x2 _2x 3. x3 _3x2 4. 3x2_{+5x-7 6x+5} 5. x3_+x2_{-4x+3 3x}2_+2x-4 6. cos x - sin x

7. 2 sin x – 3 cos x 2 cos x + 3 sin x 8. (3x +2)4 _{+ (3x+2)}3 _12(3x+2)3_+9(3x+2)2.

Dalam diferensial, jika F(x) = x n _{maka F’(x) = n x} n -1_{. F’(x) = f (x) adalah}

fungsi turunan dari fungsi F(x). Jika F(x) = x2 _{maka F’(x) = f (x) = 2x dan jika}

F(x) = x3 _{maka F’(x) = f (x) = 3x}2_{. Untuk menentukan fungsi semula, yaitu}

fungsi yang didiferensialkan ( yang diturunkan ),bila diketahui fungsi turunannya maka menggunakan operasi lawan dari operasi diferensial, yang disebut hitung

integral.

Contoh : 1. Jika F(x) = ½ x2 _{maka F ‘(x) = f (x) = x} 2. Jika F(x) = ½ x2_{+3 maka F ‘(x) = f (x) = x} 3. Jika F(x) = ½ x2_{- 7 maka F ‘(x) = f (x) = x} 4. Jika F(x) = ½ x2 _{+ 35 maka F ‘(x) = f (x) = x} . . . Jika F(x) = ½ x2 _{+ c maka F ‘(x) = f (x) = x} Sebaliknya : Jika F ‘(x) = f (x) = x maka F(x) = ½ x2 _{+ c}

Fungsi F(x) diperoleh dengan mengintegralkan fungsi F ‘(x) = f (x) = x, ditulis dengan notasi :

∫

=

∫

=

∫

= + = F x dx f x dx xdx x c x F_{( ) '( ) ( ) 2}1 2

∫

=

∫

=

+

=

F

x

dx

x

dx

x

c

x

F

₍

₎

_'

₍

₎

2 ₃1 3

Untuk F(x) = 1/3 x3 _{+ c yang turunannya adalah F ‘(x) = x}2

2. Integral tak tentu

1. Jika turunan suatu fungsi adalah F ‘(x) = f (x) = 2x, maka fungsi yang diturunkan

∫

=

∫

=

+

=

f

x

dx

xdx

x

c

x

F

(

)

(

)

2

2

1. Jika turunan suatu fungsi adalah F ‘(x) = f (x) = 2x, maka fungsi yang diturunkan (fungsi anti turunannya) adalah F(x) = x2_{, F(x) = x}2 _{+ 1, F(x) = x}2 _{- 2, F(x) = x}2 _{+ 5}

…, secara umum adalah F(x) = x2 _{+ c, ini berarti :}

yang disebut hasil dari integral tak tentu

2. Rumus untuk integral tak tentu dari f (x) = x n _dengan

_n

_≠

₋

₁

Dari rumus diferensial :

Jika F(x) = x n _{maka F ‘(x) = n x} n – 1_{, dapat dikembangkan :}

n n n x x n n x makaF x n x JikaF + = + = + = +1 ( 1) ( +1)−1 1 1 ) ( ' 1 1 ) (

∫

∫

+ ≠ − + = = = + 1 1 1 ) ( ' ) ( x 1 cuntukn n dx x dx x F x F n n

∫

f (x)dx = F (x) + c Sebaliknya : Jika F ‘(x) = x n _maka

Secara umum, jika F(x) suatu fungsi anti turunan dari f (x), maka :

Yang merupakan himpunan semua fungsi anti turunan dari fungsi f (x). Contoh : Contoh : 1. Integralkan : a. x 3 _{b. 1/x}2 Penyelesaian :

∫

+ = + + = → x dx x + c x c x3 3 3 1 4 4 1 1 3 1

∫

∫

+ =− + − = + + − = = → − − + − c x c x c x dx x dx x x 1 1 1 1 2 1 1 1 _{2 2 1 1} 2 2 2. x dx x dx x +c = x +c = x x +c + = =

∫

+

∫

3 2 3 5 1 3 2 3 2 5 3 1 1 1 2 5 3 2 3 2

3.

∫

x− dx=

∫

x − x+ dx= x −6x +9x+c 3 4 ) 9 12 4 ( ) 3 2 ( 2 2 3 2

4. Jika F ‘(x) = 6x+5 dan F(-2) = 9 maka tentukan F(x) ! Penyelesaian : F(x) = 3x2 _{+ 5x + c} F(-2) = 3.(-2)2 _{+ 5.-2 + c} 9 = 12 – 10 + c c = 7 F(x) = 3x2 _{+ 5x + 7}

∫

=

∫

+ = F x dx x dx x F( ) '( ) (6 5) F(x) = 3x2 _{+ 5x + 7} Latihan 1. Integralkan ! 1. a. x b. x 2 _{c. x} 5 _{d. x} 8 _{e. x} p 2. a. 4x b. 6x2 _{c. 5x}4 _{d. – 8x}3 _{e. 3} 3. a. x -3 _{b. 4x} -2 _{c. 1/x} 4 _{d. – 6 / x} 5 _{e. - 2 / x} -6 4. a. x 2/5 _{b. x} 4/3 _{c. x} – ½ _{d. x V x e. 4 / Vx}

3. Beberapa penggunaan integral tak tentu

Contoh :

a. Suatu kurva dengan persamaan y = f (x). Pada setiap titik (x,y) dari kurva itu, gradien garis singgungnya adalah 2x. Kurva itu melalui titik (1,-2). Tentukan persamaan kurva itu !

x x f y dx dy 2 ) ( ' '= = = Penyelesaian :

Dengan menggunakan notasi diferensial untuk gradien suatu kurva pada setiap titik, dx

∫

=

∫

=

=

f

x

f

x

dx

xdx

y

(

)

'

(

)

2

y = x 2 _{+ c}

Kurva itu melalui titik (1,-2)
-2 = 12 _{+ c}

c = -3 Persamaan kurva itu adalah y = x2 _{- 3}

b. Sebuah benda bergerak dengan kecepatan v m / detik. Pada saat t detik, kecepatan dinyatakan oleh persamaan v = 3 – 4t. Pada saat t = 2 detik, benda telah menempuh jarak 10 meter. Tentukan persa-maan gerak benda itu !

Penyelesaian :

Dengan menggunakan notasi diferensial pada mata pelajaran fisika, jarak yang ditempuh oleh benda dinyatakan s = f (t)

t

t

f

s

dt

ds

v

=

=

'

=

'

(

)

=

3

−

4

dt

∫

=

∫

=

∫

−

=

f

t

dt

vdt

t

dt

s

'

(

)

(

3

4

)

s = 3t – 2t2 _{+ c} s = 10 untuk t = 2
10 = 3.2 – 2.22 _{+ c} 10 = 6 – 8 + c c = 12

4. Integral fungsi trigonometri

c x xdx dx y y= = = + → ∫ ' ∫cos sin ∫ ∫ = − =− − = + =

→y y'dx sinxdx . cosxdx cosx c

c ax axdx= + →∫cos 1sin Dari diferensial : Jika y = sin x maka y ‘ = cos x

Dari diferensial : Jika y = cos x maka y ‘ = - sin x

Untuk f(x) = sin ax
f ‘(x) = a . cos ax f(x) = 1/a sin ax
f ‘(x) = 1/a . a cos ax

f(x) = 1/a sin ax
f ‘(x) = cos ax

∫ =− + → sinxdx cosx c c ax a axdx= + →∫cos 1sin f(x) = 1/a sin ax
f ‘(x) = cos ax

c ax a axdx=− + ∫sin 1cos Contoh : ∫ xdx= sin2x+c 2 1 2 cos . 1 c x xdx=− + ∫ cos4 4 1 4 sin . 2 c x c x dx x =− − − + = − + − ∫ cos( 3 ) 3 1 3 cos( 3 1 . ) 3 sin( . 3 π π π c x xdx dx x− = = + ∫ ∫ sin2 2 1 2 cos ) 1 cos 2 ( . 4 2

∫2sin3xcos2xdx=∫(sin5x+sinx)dx

. 5 c x x− + − = cos5 cos 5 1 ∫ x xdx=∫ (cos2x−cos4x)dx 2 1 sin 3 sin . 6 c x x− + = sin4 8 1 2 sin 4 1

B. Luas daerah

1. Pengantar.

Untuk daerah yang berbentuk tertentu dan baku seperti persegi, persegi-panjang, segitiga, trapesium dan lingkaran, cara menghitung luas daerahnya dengan menggunakan rumus-rumus geometri.

s Bentuk persegi, L = s2 p l b a t r Bentuk persegi-panjang, L = p . l Bentuk trapesium, L = ½ (a + b) . t Bentuk lingkaran, L = 2

r

π

2. Dengan menggunakan persegi satuan.

Untuk daerah yang bentuknya tidak baku, bukan bentuk seperti bahasan 3.1, cara menghitung luasnya dengan menggunakan persegi-persegi satuan

A

L

Gb. 2

( i ) ( ii )

Pada Gb. 2 (i) kurva tertutup A membatasi daerah yang luasnya dinyatakan L. Mencari luas daerah itu, dengan mengcopy, ditaruh di kertas petak dengan per-segi satuan, seperti pada Gb. 2 (ii). Dengan menghitung, ada 46 buah perper-segi satuan yang utuh dan 19 persegi satuan tidak utuh, yang menutupi daerah itu. Berarti luas daerah itu antara 46 persegi satuan dan 65 persegi satuan.

46 < L < 65

Perhitungan itu akan lebih teliti bila menggunakan kertas petak persegi yang ukurannya lebih kecil

3. Dengan aturan trapesium

.

Untuk menghitung luas daerah seperti pada Gb. 3, alasnya dibagi menjadi sejumlah bagian yang sama (misalnya 5), yang masing-masing lebarnya h satuan

Kemudian digambar garis-garis vertikal yang panjangnya y₁, y₂,y₃,. . . ,y₆, sehing-ga luas daerah itu terbagi menjadi 5 pias. masing-masing pias luasnya mendekati luas trapesium. Luas seluruh daerah di – bawah kurva adalah :

y y5

y₆

bawah kurva adalah :

L= 1/2 h(y₁+y₂)+1/2 h(y₂+y₃)+ . . +1/2 h(y₅+y₆)

L= 1/2 h[(y₁+y₆)+2 (y₂+y3+y₄+y₅)] L= h [1/2(y₁+y₆)+ (y₂+y₃+y₄+y₅)] y₁ y2 y3 y₄ y5 h h h h h Contoh : 3 7 4 4 2 4 4 102 80 A B C P

Luas daerah ABCP adalah …..

4. Dengan notasi integral.

Daerah yang dibatasi oleh kurva y = f (x), sumbu X, garis x = a dan x = b cara menghitung luasnya adalah :

y = f (x) L f (x_i) f (xi) Y

−

∆

−

x

_i o x = a x = b x₂ x₃ x_n x₁ x_i x_i X

Interval [ a , b ] dibagi menjadi n interval dengan lebar masing-masing

n

x

x

x

x

∆

∆

∆

∆

₁

,

_{2, 3,}

..,

dengan x₁,x₂,x₃,..,x_n adalah koordinat x dari n titik Pada sumbu X, yang masing-masing terletak dalam interval itu, sehingga umumnya titik x_i terletak dalam interval yang panjangnya

i

x

Kemudian dibuat n persegi-panjang seperti gambar tadi. Pada gambar disebe-lah kanan digambar persegi panjang yang ke_i dengan skala besar. Tinggi per-segi-panjang adalah f (x_i) dengan nilai f pada x = x_i, dan lebarnya

i

x

∆

1 1). (x x f ∆ 2 2). (x x f ∆ Dengan demikian :

Luas persegi-panjang pertama = Luas persegi-panjang kedua = Luas persegi-panjang ketiga = ………. Luas persegi-panjang terakhir =

3 3). (x x f ∆ n n

x

x

f

(

).

∆

Untuk menyingkat “jumlah dari” digunakan huruf besar Yunani sigma = ∑ Untuk menyingkat “jumlah dari” digunakan huruf besar Yunani sigma = ∑

Ditulis dengan notasi :

∑

= ∆ ≈ n i i i x x f L 1 ). (

Untuk menekankan bahwa pengambilan jumlah tersebut meliputi interval [ a , b ],

Relasi itu ditulis dengan notasi :

∑

=

= ∆ ≈ b x a x x x f L ( ).

Untuk fungsi yang dapat didiferensialkan, dapat ditunjukkan bahwa :

∑

= = ∆ b x a x x x f ( ). dapat dibuat sedekat mungkin dengan L, dengan jalan membuat n cukup besar, Ini ekuivalen dengan membuat

_∆

_x

_{cukup kecil, sehingga dapat didefinisikan :}

∑

= = → ∆ ∆ = b x a x x x x f L

_lim

( ). 0

∫

= b a dx x f L ( )

∫

= 3 1 xdx L

Sebagai penyederhanaan, bentuk limit tersebut dapat ditulis dengan notasi :

Dibaca : Luas L sama dengan integral f (x) dari a ke b

Contoh : 1.

L

Luas daerah yang diarsir dinyatakan :

1 ₃ y = x L 3 2. o 2 L y = x3

∫

= 2 0 3 dx x L 3. y = sin x π 3 1 π L

∫

= π π 3 1 sin xdx L

4.

∫

3 1 2

dx

x

digambar : 1 3 y = x2 L

∫

−

+

+

−

3 1 2

)

3

2

(

x

x

dx

• 5. y = -x 2 _+2x+3 -1 3 3 • • L

satuanluas

a

D

D

L

₃2 2 2

10

6

64

)

1

(

6

16

16

6

=

−

=

=

=

C. Integral tertentu.

1. Pengertian integral tertentu

Dari notasi integral yang menyatakan luas daerah di bawah kurva y = f (x) di atas sumbu X, sebelah kiri dibatasi garis x = a, sebelah kanan oleh garis x=b seperti dalam bahasan A.4 adalah : ₌

_∫

b

a

dx x f

L ( )

Penyelesaian integral itu adalah : _{f (x)dx [F(x)]}b _{F(b) F(a)} a b a − = =

∫

Dengan F(x) merupakan anti-turunan dari f (x) yang daerah asalnya a ≤ x≤b Penyelesaian ini disebut nilai integral tertentu

Contoh : a. (2 1)

[

2

]

₁3 (32 3) (12 1) 12 2 10 3 1 = − = + − + = + = +

∫

x dx x x b.

[

2

]

2 9 2 4 1 1 1 9 4 9 4 1 2 1 9 4 2 9 4 2 1 − = =       + − = =

∫

− − +

∫

dx x dx x x x =2.3 – 2.2 = 6 – 4 = 2 c.

[

]

52 2 3 5 2 2 5 2 2 4 6 3 ) 4 12 9 ( ) 2 3 ( ₋ − − + − = + − = −

∫

∫

x dx x x dx x x x = (3.53 _{- 6.5}2 _{+ 4.5) – [3.(-2)}3 _{– 6.(-2)}2 _{+ 4.(-2)] = (375 – 150 + 20) –(-24 – 24 – 8)} = 245 + 56 = 301

2. Sifat-sifat integral tertentu

Perhatikan perhitungan integral tertentu berikut ini :

[ ] [ ]

(3 1 ) (4 3 ) (9 1) (16 9) 8 7 15 2 2 2₁3 2 4₃ 2 2 2 2 4 3 3 1 = + = − + − = − + − = + = +

∫

∫

xdx xdx x x a. … (I)

[ ]

4 1 16 1 15 2 2 ₁4 2 2 4 1 = − = − = =

∫

xdx x _{--- (ii)}

Dari (I) dan (II) ternyata :

∫

+

∫

=

∫

4 1 4 3 3 1 2 2 2xdx xdx xdx Sifat i )

∫

+

∫

=

∫

c a c b b a dx x f dx x f x f ( ) ( ) ( )

Coba beri contoh lain !

b. Hitunglah !

∫

x

dx

2 2

3

[ ]

2

∫

1 Amatilah !

₃

₃

_.

[ ]

₃

_.(

_.

₂

_.

₁

₎

₃

_.(

₎

₃

_.

₇

3 7 3 1 3 8 3 3 1 3 3 1 2 1 3 3 1 2 1 2

=

=

−

=

−

=

=

∫

x

dx

x

Sifat ii ).

∫

₌

∫

b a b a

dx

x

f

k

dx

x

kf

(

)

(

)

Buatlah contoh lainnya

c.

[

3 2

]

3₁ 3 1 2 3 1 2 5 3 ) 5 6 3 ( )] 5 2 ( ) 4 3 [( ₋ − − − + = − + = − + +

∫

∫

x x x dx x x dx x x x _{=(27+27-15) – (-1+3+5) = 46} Selesaikan !

∫

∫

− − − + + 3 1 3 1 2 ) 5 2 ( ) 4 3 ( x x dx x dx Sifat iii )

_∫

+ =

_∫

+

_∫

b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f( ) ( )] ( ) ( ) [

d. Apakah ?

∫

− =−

∫

− 2 5 2 5 2 2 ) 1 2 ( ) 1 2 ( x dx x dx

∫

∫

=− a b b a dx x f dx x f( ) ( ) =

∫

3 1 3 4 dtt Coba yang lain ! Sifat iv )

e.

∫

= 3 1 3 4 s ds

_∫

3 ₌ 1 3 4u du =

∫

3 1 3 4x dx

=

3 4

x

3

=

....

3

=

....

3

=

....

3

=

1 4

x

....

₁3

=

....

₁3

=

....

₁3

=

Lanjutkan ! Sifat v ).

∫

₍

₎

=

∫

₍

₎

=

∫

₍

₎

=

∫

₍

₎

=

_...

b a b a b a b a

du

u

f

ds

s

f

dt

t

f

dx

x

f

……. …….. ……… ………

D. Isi benda putar

1. Macam-macam benda putar.

a. tabung b. kendang c. buah pepaya d. bola e. tempolong f. cangkir, dsb.

2. Rumus volum benda putar.

∆

o

a b

L

Daerah L yang dibatasi oleh kurva y = f (x) sumbu X, garis x = a dan garis x = b dipu-tar 3600 _{mengelilingi sumbu X}

X Y

x_i f(x_i)

Persegi-panjang yang ke - i direbahkan, di-perbesar seperti gb. bawah, diputar menge-lilingi sb. X, menjadi tabung, dengan tinggi

X_{i ,} dan jari-jari f (x_i), sehinggga isinya :

x

x

f

V

=

π

[

(

)]

2

.

∆

y = f (x) i i x x f V =π[ ( )]2.∆

o

a x_i b X x_i f(x_i)

∆

i i

x

x

f

V

=

π

[

(

)]

2

.

∆

Volum benda putar yang terjadi seluruhnya adalah :

∑

= = → ∆

∆

=

b x a x x

x

x

f

V

[

(

)]

2

.

0

lim

π

∫

∫

=

=

b a b a

dx

y

dx

x

f

V

π

[

(

)]

2

π

2 . ●

Contoh :

1.

π π π π π ( .33 1₃.03) (9 0) 9 3 1 3 0 3 3 1 3 0 2 = − = − = = =

∫

x dx x V 3 0 y = x

Periksalah dengan rumus

isi kerucut !

∫

= 4 0 ydy V π 4 0 2 2 1 _y π = 3 0

_{isi kerucut !}

2. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2_,

sumbu Y dan garis y = 4 diputar 360o

mengelilingi sumbu Y.

4

E. Integral lanjutan

∫

∫

1. Integral dengan substitusi

Ciri-ciri dari integral dengan substitusi.

adalah suatu permasalahan integral yang bentuknya sebagian merupakan turunan pertama dari bagian lain

Bentuk umum : f(x){F(x)}n _{dx atau {f(x)}}n_{.f ‘(x) dx}

Contoh : _du dx x x x

∫

(2 +3)( 2 +3 )4 Contoh :

1. _{Dapat dilihat bahwa (2x+3) merupakan turunan pertama}

dari (x2 _{+ 3x)}

Dengan perumpamaan : u = (x2 <sub>+ 3x)



u’ = du/dx = 2x - 3</sub>

du = (2x+3) dx

Soal berubah menjadi :

∫

_u

_du

₌

_u

₊

_c

₌

_x

2

₊

_x

5

₊

_c

5 1 5 5 1 4

)

3

(

du u

2.

∫

_sin2 _{.cos = ?} xdx x c x c t dt t = + = + →

∫

3 ₃1 3 3 1 2 sin

∫

= − ? 1 6 3 2 x dx x

andaikan t = sin x dengan dt = cos x dx

misalkan p = x3 _{– 1
dp = 3x}2 _dx 2 dp = 6x2 _dx c x c p c p dp p p dp + − = + = + + − = = →

∫

∫

− − + 4 4 1 1 1 . 2 2 2 1 ₃ 2 1 2 1 2 1 2 1

∫

(

2

−

3

_x

)

3

(

3

_x

2

−

4

_x

)

2

_dx

=

?

Untuk 3x2 _{– 4x = U
dU = (6x – 4) dx} - ½ dU = (2 – 3x) dx c x x x x c U C U dU U dU U + = − + = − − − + + − = − = − →

∫

∫

+1 2 3 2 2 3 2 3 2 ) 3 4 ( ) 3 4 ( 10 3 5 3 . 2 1 1 1 . 2 1 2 1 2 1 3 5 3 2 3 2

2. Integral parsial

∫

udv dx dv u v dx du dx dy . . + =

Bentuknya : Dengan u = f(x) dan v = f(x)

Dari turunan : y = u . v
y ‘ = u ‘. v + u . v ‘ dx dy = v . du + u . dv Contoh : ∫ .cos = ? . 1 x xdx
u = x, dv = cos x dx ∫ = ∫ = dx dv xdx du , cos v= sin x ∫ ∫ ∫u.dv=u.v− v.du =x.sinx− sinxdx dy = v . du + u . dv dy – v . du = u . dv u . dv = dy – v . du

∫

=

∫

−

∫

→ u.dv dy v.du

∫

u.dv= y−

∫

v.du

∫

u.dv=u.v−

∫

v.du ∫ ∫ ∫u.dv=u.v− v.du =x.sinx− sinxdx = x.sin x – (- cos x) + c

∫

= + +

→ x.cosxdx x.sinx cosx c

Cara lain:

∫

. cos = ? . 1 x xdx 1 sin x 0 - cos x (-) = x sin x+cos x + c kiri kanan turunkan integralkan

∫

−1 =? . 2 x x dx

∫

=

∫

− =dx dv x dx du 2 1 ) 1 ( , 2 3 ) 1 ( 3 2 − = x v u = x , dv = (x – 1)1/2 ∫x x−1dx=∫u.dv=u.v−∫vdu dx x x x 23 _{( 1)}23 3 2 ) 1 ( 3 2 . − − − = ∫ c x x x x − + + − − − = +1 2 3 2 3 2 1 ) 1 ( 1 1 . 3 2 ) 1 )( 1 .( 3 2 c x x x x − − − − + = 2 .( 1)( 1)1 4 ( 1)5

∫

.

sin(

3

−

5

)

=

?

.

3

x

2

x

dx

2x -1/3 cos(3x-5) 2 -1/9 sin(3x-5) 0 1/27 cos(3x-5) (-1) c x x x x x − + − + − + − = .cos(3 5) 27 2 ) 5 3 sin( . 9 2 ) 5 3 cos( . 3 1 2 c x x x x − − + − + − = .sin(3 5) 9 2 ) 5 3 cos( ). 9 2 ( 3 1 2 c x x x x − − − − + = 3 5 2 1 ) 1 ( 15 4 ) 1 )( 1 .( 3 2 c x x x x x − − − − − + = 2 1 2 1 ) 1 ( ) 1 ( 15 4 ) 1 )( 3 2 3 2 ( 2 2 c x x x x x − − − + − + = _{)}.( 1)}21 15 4 15 8 15 4 ( ) 3 2 3 2 {( 2 2 c x x x + − − + = ) 1 15 4 15 4 5 2 ( 2 9 9 3 ? ) 1 2 ( 6 4 3 2 = −

∫

x xdx dx x dv x u 3 2 ) 1 2 ( , 6 = − − = 3 1 3 2 ) 1 2 ( 2 3 ) 1 2 ( 1 1 . 2 1 , 6 1 3 2₊ − = − − = = dv v x − + x du dx x x x (2 1) .6. 3 2 ) 1 2 ( 3 2 . 6 ₋ 31 _{− −} 31 = ∫ c x x x x − − − − + = 31 _{.(2 1).(2 1)}31 5 6 ) 1 2 .( 4 c x x x− + − + = _{).(2 1)}31 5 6 5 12 4 ( c x x+ − + = 3 1 2 ). 6 8 ( 5 1

Piye !

Mudheng ora ? moas , you …

Latihan :

(unjian nasional 2006) .... sin cos 2 6 6 lim 3 = − − → x x x π π π 3 . 3 . 2 3 . 3 3 3 1 . 3 2 1 . b c d − e − a 1. Nilai dari

2. Salah satu garis singgung kurva y = x2 _{+ 10x + 25 di titik yang berordinat 4,}

memotong sumbu Y di titik …. A. (0,7) b. (0,16) c. (0,- 8) d. (0,- 11) e. (0, - 12)

3. Sebuah tempat terbuat dari seng berbentuk silinder tanpa tutup, dengan volume 27 cm3_{. Supaya luas seng yang diperlukan minimum, maka jari-jari silinder . . . .}

3 . 3 . cm a π π . 3 . 2 cm b π π . 3 . ₂ 3 cm c π π . 3 . 3 2cm d π π . 3 . 3 2 2 cm e π π

....

)

(

'

0

2

8

(

sin

)

(

.

4

Turunanper

tamafungsi

f

x

=

2

x

−

π

adalahf

x

=

) 2 8 sin( 2 . x− π

a b.8sin(8x−2π) c.2sin(16x−4π) d.8sin(16x−4π) e.16sin(16x−4π)

satuanluas adalah

x 5 ....

0 ≤ ≤

5. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x2 _{dan y = x}2_{- 2x pada interval}

∫ − − + − = .... ) 1 6 )( 3 ( . 6 2 3 dx x x x Hasildari C x x a − 2 − + −4+ ) 1 6 ( 8 1 . C x x b − ( 2 −6 +1)−4+ 4 1 . C x x c − ( 2 −6 +1)−4+ 2 1 . C x x d − ( 2 − 6 + 1)− 2 + 4 1 . C x x e − ( 2 − 6 + 1)− 2 + 2 1 .

∫

x − x + xdx Hasildari ( 3 1)sin . 7.Hasildari

∫

(x2 −3x +1)sin xdx 7 2 c x x x x x a.(− 2 +3 +1)cos +(2 −3)sin + c x x x x x b.(− 2 +3 −1)cos +(2 −3)sin + c x x x x x c.( 2 −3 +1)sin +(2 −3)cos + c x x x x x d.( 2 −3 +1)cos +(2 −3)sin + c x x x x x e.( 2 −3 +3)cos +(2 −3)sin +

Ulangan Harian

∫ f x dxuntukf x = x + x + x Tentukan ( ) ( ) 12 7 4 . 1 5 3 ∫ + =3 4sin2 ( ) ! ) ( . 2 2 dx x f kan xmakatentu x x Jikaf

∫

+ + 7 3 2 3 ) 5 2 4 ( . 3 Hitung x x dx

4. Hitung luas daerah di antara kurva y = x2 _{– 2x dan y = - x}2

5. Hitung volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = - x2 _{– 2x dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X !}