SOAL-SOAL Carilah semua pasangan bilangan bulat (a,b) sedemikian, sehingga

(1)

1 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs

SOAL-SOAL 1

1. Carilah semua pasangan bilangan bulat (a,b) sedemikian, sehingga

2 1 1 1   b a .

2. Gantilah huruf-huruf yang berbeda pada lingkaran berikut ini dengan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7, sehingga jumlah angka-angka pada baris dari tiga lingkaran adalah sama.

3. Diberikan dua buah bilangan: x2005200520052006200620062006 dan y 2006200620062005200520052005. Hitunglah nilai dari



_{x }_y



2006_.

4. Carilah angka satuan dari hasil perjumlahan bilangan-bilangan berikut ini.

1  2 + 1  2  3 + 1  2  3  4 + + 1  2  3  4  5 + … + 1  2  3  …  2006 5. Diketahui a, b, dan c bilangan real positif dan a + b + c = 1. Tunjukkan bahwa

3 1   bc ac ab .

6. Carilah nilai a dan b dari sistem persamaan

       2492 627 373 3508 373 627 b a b a

7. Jika 0 y  xdan x2 _ y2 _10xy_{, hitunglah} y x y x   .

8. Fauzan dibayar $18 untuk satu hari kerja dan dikenakan denda $3 per hari apabila tidak bekerja. Apabila pada akhir ke 40 Fauzan menerima bersih $531, berapa harikah Fauzan tidak bekerja?

9. Dalam ABC siku-siku di C, panjang hipotenusa = 8 dan a b 72. Carilah luas ABC. g a c f e d b

(2)

10. Hitunglah luas daerah yang diarsir berikut ini.

11. Sebuah kotak panjangnya

2 1

1 kali lebarnya dan

2 1

4 kali tingginya. Jumlah semua rusuknya 40 dm dan 8 cm. Hitunglah volume dan luas permukaannya.

12. Dalam ABC besar sudut A dua kali besar sudut B. Buktikan bahwa _a2 __b(_b__c)_.

13. Diberikan tiga buah lingkaran K, L, dan M yang saling berpotongan dan melalui titik pusat, dengan jari-jari KL = LM = KM = 6 cm. Hitunglah luas daerah yang diarsir. 18 16 8 6 O X Y g h K L M

(3)

SOLUSI SOAL-SOAL 1

1. 2 1 1 1   b a ab a b 2  2 ) 2 ( 2b ba  2 2   b b a 2 4 ) 2 ( 2     b b a 2 4 2    b a .

Jika a bilangan bulat, maka b2harus merupakan faktor dari 4, yaitu 2



b 1,2,4, maka b3,1,4,6,2, sehingga a6 , 2,4,3,1. Jadi, semua pasangan (a, b) adalah (-2,1), (1, -2), (3, 6), (6,3), dan (4,4).

2. Angka yang di tengah adalah 4.

Jumlah tiga angka 12

3 7 6 5 4 3 2 1      _ 

Dengan mudah kita dapat melengkapi diagram itu.

3. x2005200520052006200620062006 =2005(100010001)2006(1000100010001) y 2006200620062005200520052005 = 2006(100010001)2005(1000100010001)

Ternyata x  y, sehingga nilaidari



_{ y}



2006_02006_0

x . 4. 1  2 = 2 1  2  3 = 6 1  2  3  4 = 24 4 1 3 5 6 7 2

(4)

1  2  3  4  5 = 120

1  2  3  4  5  6 = 720



1  2  3  …  2006 = …0

Perhatikan hasil perkalian bilangan mulai dari baris ke-4 dan seterusnya memiliki angka satuan nol. Sedangkan jumlah bilangan pada baris ke-1, ke-2, dan ke-3 adalah 2 + 6 + 24 = 32 yang memiliki angka satuan 2. Jadi, angka satuan dari hasil perjumlahan bilangan-bilangan itu adalah 2.

5. (_a_{ b})2 _0__a2 __b2 _₂_ab_{………. (1)} 0 ) (_a_{ c} 2 _ __a2 __c2 _₂_ac_{………. (2)} 0 ) (_b_{ c} 2 _ __b2 __c2 _₂_bc_{………. (3)}

Jumlahkan ketiga persamaan itu, maka kita memperoleh:





2( ) 2_a2 __b2 __c2 _ _ab__ac__bc



abc



2 2ab2ac2bcabacbc

 

12 3(abacbc) 3 1   bc ac ab (qed) 6.        2492 627 373 3508 373 627 b a b a

Jumlahkan kedua persamaan itu, maka kita memperoleh: 6000 1000 1000a b a b 6 a b 6  627a373b3508 627a373(6a)3508 627a2238373a3508 254 a 1270 a1270:2545 5  a  b 6a= 6 – 5 = 1

(5)

Jadi, nilai a dan b masing-masing adalah 5 dan 1.

7. x2 _ y2 _10xy xy xy y x ) 2 10 ( _ 2 _ _ xy y x ) 12 ( _ 2 _ _{……….(1)} xy xy y x ) 2 10 ( _ 2 _ _ xy y x ) 8 ( _ 2 _ _………(2) 2 3 8 12 ) ( ) ( 2 2     xy xy y x y x 2 3    y x y x 6 2 1 

Jadi, nilai dari

y x y x   adalah 6 2 1 .

8. Misalnya jumlah hari tidak bekerja adalah x hari, maka jumlah hari kerja adalah

) 40

( x hari.

Jumlah pendapatan – jumlah denda = 531

531 3 ) 40 ( 18 x  x 531 3 18 720 x x 189 21 x 9 21 : 189   x

Jadi, Fauzan tidak bekerja selama 9 hari. 9. Menurut Dalil Pythagoras: _a2 _{ b}2 _64

a b 72 (_a_{ b})2 _72 _a2 __b2 _2_ab_72 64 ab2 72 ab4 Luas ABC 2 2 1   ab b a A C B 8 cm

(6)

10. Persamaan garis h yang melalui titik (18,0)dan (0,6)adalah

6x y18 186

x y3 18……….. (1)

Persamaan garis g yang melalui titik (8,0)dan (0,16)adalah 16x y8 168

2x y16

y 16 2x……….(2)

Dari persamaan (1) dan (2), kita memperoleh: x3(162x)18

x486x18  x5 30 x30:(5)6

x6 y16 2x 162(6)16124 Koordinat titik potong garis g dan h adalah (6, 4).

Luas daerah yang diarsir (6 4) 6

2 1 4 ) 6 8 ( 2 1 4 6          2446 = 34

11. Misalanya ukuran kotak itu adalah panjang p, lebar l dan tinggi t, maka

p l 2 1 1   l p 3 2  p t 2 1 4   t p 9 2 

Panjang seluruh rusuknya = 40 dm + 8 cm = 408 cm.

Panjang rusuk = 4(plt)       _ _  p p p 9 2 3 2 4 408 p 9 17 102  18 16 8 6 O X Y g h (6, 4) Rumus:

(7)

102 179   p 54cm p54l p 3 2  54 36 3 2_ _  cm p54l p 9 2  54 12 9 2_ _  cm V  plt 54361223.328cm3 L2(pl ptlt)2(543654123612) 2(1944648432)6.048cm2. Jadi, volume kotak itu adalah 23.328 cm3 dan luas permukaannya adalah 6.048 cm2. 12. Perpanjang sisi CA sepanjang AD = AB, sehingga

ABD sama kaki, maka  ADB = ABD = . Akibatnya  CBD = 90o.

Perhatikan bahwa ABC sebangun dengan BDC, Sehingga berlaku hubungan:

BC AC DCBC  a b b aa  ) ( 2 _b _b _c a   (qed)

13. Segitiga-segitiga itu masing-masing adalah Segitiga sama sisi dengan panjang sisi 6 cm. Jumlah luas segitiga = 6 3

4 1

3_ _ 2

cm2

Rumus: Luas Segitiga Sama Sisi dan Luas Juring, dan Luas Tembereng 1. Luas segitiga sama sisi (L) yang mempunyai panjang sisi a ditentukan oleh

rumus: 3

4 1_a2

L 

2. Jika sudut pusat suatu lingkaran adalah o dan jari-jarinya r, maka:

a. Luas juring AOB 2

o o

π

360  r

 

b. Luas tembereng ASB = luas juring AOB – luas AOB 2 o o π 360  r   – luas AOB O A B tembereng o S

(9)

SOAL-SOAL 2

1. Jika diketahui m n3dan _m2 _{ n}2 _5_{, berapakah}_{m }4 _n4_?

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari

        9 4 1 zx yz xy 3. Hitunglah: 5414 5  122 35  3210 7 .

4. Diketahui rumus suku ke-n dari suatu barisan adalah         n n u_n log 1 . Tentukan jumlah 999 suku pertama.

5. Diberikan a + b + c = 0. Hitunglah nilai dari

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 c b a b a c a c b         . 6. Hitunglah 2007 2006 1 2006 2005 1 .... 5 4 1 4 3 1 3 2 1          

7. Tentukan nilai a dan b dari persamaan ₂6a _₃b8 _₁₈_₂a5_₃ab

8. Umur seorang pria sama dengan usia istrinya bila angka-angkanya dibalik. Jumlah umur mereka adalah 99 tahun dan umur pria tersebut 9 tahun lebih tua daripada istrinya. Berapakah umur pria itu?

9. Bulan-bulan sabit yang diarsir diperoleh dengan menggambar setengah lingkaran pada 3 sisi dari segitiga siku-siku ABC. Temukan rasio dari luas daerah yang diarsir dengan segitiga ABC.

B

C

(10)

10. Panah yang diperlihatkan pada diagram terbuat dari dua segitiga yang tumpang

tindih. Luas daerah terbesar yang diarsir berisi

15 13

dari luas segitiga terbesar dan

luas daerah yang gelap

5 4

luas segitiga yang kecil. Temukan rasio luas yang diarsir dari segitiga terkecil dengan luas yang diarsir dari yang besar.

11. Semut Fauzan berada di A dari sebuah kubus pejal dan ingin mencapai B dengan jalur terpendek. Tunjukkan untuk memperoleh jalur terpendek itu. Jika panjang rusuk kubus adalah 20 cm, hitunglah panjang jalur terpendek itu.

12. Diberikan prisma segitiga tegak ABC.DEF, dengan luas bidang alas = 84 cm2, luas sisi-sisi tegaknya adalah 52 cm2 , 56 cm2 , 60 cm2 . Carilah volume prisma itu. a. Berapakah panjang seluruh rusuk prisma itu?

b. Hitunglah luas volume prisma itu. A

(11)

13. Gambar di samping adalah dua buah bujur sangkar (persegi) dengan ukuran sisi 4

cm dan 6 cm. Titik P berjarak 2cmdari titik A. Hitunglah luas bagian daerah yang diarsir.

A P

4 cm

(12)

SOLUSI SOAL-SOAL 2

1. _m2 _{ n}2 _5 5 2 ) (_m__n 2 _ _mn_ 5 2 ) 3 ( 2 _{ mn}_ 2  mn 4 4 _n m  _



_m2 __n2



2 _₂_m2_n2_



_m2 __n2



2 __{2 mn}₍ ₎2

 

2

 

2 2 2 5   25 817 2. xyyzzx149 (_xyz)2 _36 xyz6 xy1 xyz6 1 z6 z 6

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

      _,₆ 3 2 , 2 3 . 3. 5414 5  122 35  3210 7  542 245  122 35  322 175  49 5 7 5 25 7 7 5 7 55 7 12 4.         n n u_n log 1 yz4 xyz 6 x4 6 2 3  x zx9 xyz 6 9 y6 3 2  y

(13)

n n

u_n log( 1)log

S₉₉₉ u₁u₂ u₃ ...u₉₉₈u₉₉₉

= (log 2 – log 1) + (log3 – log2) + ... + (log 999 – log 998) + (log 1000 – log 999) = log 1000 – log 1 = 3 – 0 = 3 5. abc0 c(ab) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 c b a b a c a c b         2 2 2 2 2 2 2 2 2 ₍ ₎ 1 ) ( 1 ) ( 1 b a b a b a b a a b a b             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ₂ 1 2 1 2 1 b ab a b a b a b ab a a b ab a b                ab ab a ab b 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 _  _  _  ab b a a b a b 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1       ab a b b a 2 1 1 1 ) ( 2 1           ab ab b a b a 2 1 ) ( 2 1 _          ab ab 2 1 21   = 0

Rumus: Sifat Logaritma

b a

b

a g g

(14)

6. 2007 2006 1 2006 2005 1 .... 5 4 1 4 3 1 3 2 1           2007 1 2006 1 2006 1 2005 1 ... 5 1 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1_ _ _ _ _ _ _ _ _ _  2007 1 2 1   4014 2005  7. ₂6a_₃b8 _₁₈_₂a5_₃ab ab a b a ₃ ₂ ₃ ₂ ₃ 26 _ 8 _ _ 2_ 5_ 2 1 5 8 6 ₃ ₂ ₃ 2 a b  a   ab 1 5 6a a  1 5 10 60a a  54 9 a 6  a 2 8 ab b 2 10 8 10b  ab 6 ) 6 ( 10 9b  54 9 b 6  b

Jadi, nilai a = 6 dan b = 6.

8. Misalnya Umur pria itu adalah (10t u)tahun dan umur istrinya adalah

) 10 ( u t tahun. (10t u)+ (10u t)= 99 11u t11 99 u t 9……….(1) (10t u)(10ut)9 9t u9 9 t u1

(15)

t  u1………(2)

Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh: t  u1 u t 9

u u1 9 2 u 8 u4

u 4 t  u1415. Jadi, umur pria itu adalah 54 tahun.

9. Luas daerah yang diarsir = luas bangun itu seluruhnya –

2

1 _{ luas lingkaran besar}

2 2 2 2 1 π 2 1 2 1 π 2 1 2 1 π 2 1 2 1                        AC BC AC BC AB π( ) 8 1 2 1_AC__BC_ _AC2 __BC2 __AB2  π(0) 8 1 2 1    AC BC  AC BC 2 1

Luas segitiga ABC AC BC

2 1

Luas daerah yang diarsir : luas segitiga ABC = AC BC

2 1 : AC BC 2 1 = 1 : 1.

10. Misalnya luas segitiga terkecil adalah a satuan luas dan luas segitiga terbesar adalah b satuan luas, maka

Luas daerah yang diarsir dari segitiga kecil a

5 4

 satuan luas Luas daerah yang diarsir dari segitiga besar b

15 13 

Luas daerah yang tumpang tindih a a

5 1 5 4 1        

 satuan luas yang sama dengan

b b 15 2 15 13 1        

 , maka kita memperoleh b a

2 3 

(16)

Jadi, rasio luas yang diarsir dari segitiga terkecil dengan luas yang diarsir dari yang besar b a 15 13 : 5 4  a a 2 3 15 13 : 5 4 _  3 2 13 15 5 4_ _  13 8  atau 8 : 13

11. Titik Q adalah titik tengah rusuk PR. Hubungkan garis AQ dan QB. Jalur terpendek yang ditempuh semut itu AB yang melalui pertengahan rusuk PR.

_AB _ 402 _202 _20 5_cm

Jadi, panjang jalur terpendek itu adalah 20 5 cm.

12. a. Perhatikan gambar berikut ini. Luas ABCD = c  t = 56 t c56 Luas ACFD = b  t = 52  t b 52 Luas BCFE = a  t = 60  t a 60 ( ) 2 1 c b a s   A B Q R P A B Q P R 20 cm 20 cm 20 cm A B C D E F 84 52 56 60 a b c t

(17)

t t t t s 60 52 56 84 2 1 _       _ _  Luas ABC = s(sa)(sb)(sc) 84 =       _       _       _ t t t t t t t 56 84 52 84 60 84 84 84 =                   t t t t 28 32 24 84 84 = 1344₂ t 16 84 : 1344 2 _ _ t 4 16   t cm t = 4 t c 56= 14 4 56  cm t = 4 t b 52 13 4 52   cm t = 4 t a 60 15 4 60   cm

Jadi, panjang seluruh rusuk prisma itu = 2  keliling alas + 3  tinggi prisma itu = 2(15 + 13 + 14) + 3  4

= 96 cm

b. Volume prisma itu = luas alas  tinggi = 84  4 = 336 cm3 13. Luas PQT = luas PUS

_AR_ 42_42 _4 2_cm. PR4 2 2 3 2 cm. PR  PQ 2

3 2  PQ 2 PQ = 3 cm

PQRS adalah persegi dengan panjang sisinya 3 cm. Luas PQRS = PQ2 = 32 = 9 cm2

Jadi, luas daerah yang diarsir itu adalah 9 cm2. A P 4 cm 6 cm Q R S T U

(18)

SOAL-SOAL 3

1. Sederhanakanlah _x _y y x y x y x y x x y                             1 1 1 1 2. Diberikan  1  3 w w . Buktikan bahwa 3_ 1₃ _0 w w .

3. Manakah yang paling besar di antara dua bilangan a dan b, jika _a_₃₇150_dan 100 215  b ? 4. Jika ₂ 2 2 2 2 2 b a c b b a    , tentukan b a .

5. Buktikan bahwa jika 1

     a b c a c b c b a maka 0 2 2 2       a b c a c b c b a .

6. Bagilah 192 atas 4 bagian; bagian pertama ditambah 7 = bagian ke-2 dikurangi 7 = bagian ke-3 dikalikan dengan 7 = bagian ke-4 dibagi 7. Cari ke empat bilangan itu.

7. Pecahan

7000 1997

ditulis dalam bentuk desimal. Angka apakah yang ke-1997 dari tempat desimal itu?

8. Ayah mempunyai selembar uang Rp 10.000,00. Uang ini akan ditukarkan dengan koin Rp 1.000,00 dan Rp 500,00 (tidak boleh Rp 1.000,00 semua atau Rp 500,00 semua). Ada berapa banyak cara memperoleh penukaran?

9. Di dalam kubus dibuat bola dalam dan bola luarnya. Tentukan rasio volume bola dalam dengan bola luarnya.

(19)

10. Sisi-sisi sebuah segitiga panjangnya adalah 13, 74, dan 85satuan. Berapakah

luas segitiga itu?

11. Dalam ABC, AC = 6, BC = 2, dan ACB = 120o. Garis bagi sudut C memotong AB di D. Tentukan panjang CD.

12. Diberikan ABC. Jika transversal sisi k berturut-turut memotong perpanjangan BA di P, AC di Q, dan BC di R, buktikan bahwa   1

QA QC RC RB PB PA .

3 3 3 3 3 33 3 = 0 (qed) 3. e_a_₃₇150_

 

₃₇3 50 _₅₀₆₅₃50 _b_₂₁₅100_

 

₂₁₅2 50_₄₆₂₂₅50

(21)

4. ₂2 ₂2 ₂2 b a c b b a _   _a2_b2 __b4 __a2_b2__a2_c2 _{b }4 _a2_c2 b 2 ac c b b a  5. a b c b a c a c b c b a c b a                ) ( a b c b a c b a c a c c b a b c b c b a a _ _ _            ) ( ) ( ) ( c a b c b a c b a c b a c b a _ _ _ _        2 2 2 a b c a b c b a c a c b c b a _ _ _ _ _ _      2 2 2 0 2 2 2       a b c a c b c b a (qed)

6. Misalnya keempat bilangan itu a, b, c, dan d, maka

7 7 7 7 b c d a     Misalnya a b  c d k 7 7 7 7 , maka Bilangan pertama: a k7 Bilangan ke-2: b k7 Bilangan ke-3: d 7k Bilangan ke-4: 7 k d  abcd192 192 7 7 7 7      k k k k

(22)

192 7 64 k 64 7 192   k k 21 k 21a k721714 k 21b k721728 k 21d 7k 721147 k 21 7 k d  3 7 21  

Jadi, keempat bilangan itu adalah 14, 28, 147, dan 3.

7. 0,285285714285714285714...

7000

1997  dengan enam angka 285714 terdapat dalam

satu blok yang terulang setelah tiga angka pertama.

Jadi, 1997 = 3 + 6  332 + 2, angka ke-1997 adalah angka kedua yang terulang yang terdapat dalam satu blok angka, yaitu 8.

8. 1 lembar  Rp 1.000,00 + 18 lembar  Rp 500,00 2 lembar  Rp 1.000,00 + 16 lembar  Rp 500,00 3 lembar  Rp 1.000,00 + 14 lembar  Rp 500,00 4 lembar  Rp 1.000,00 + 12 lembar  Rp 500,00 5 lembar  Rp 1.000,00 + 10 lembar  Rp 500,00 6 lembar  Rp 1.000,00 + 8 lembar  Rp 500,00 7 lembar  Rp 1.000,00 + 6 lembar  Rp 500,00 8 lembar  Rp 1.000,00 + 4 lembar  Rp 500,00 9 lembar  Rp 1.000,00 + 2 lembar  Rp 500,00

(23)

9. Misalnya jari-jari bola dalam adalah R, maka panjang rusuk kubus adalah 2R,

sehingga panjang jari-jari bola luar adalah setengah panjang diagonal ruang kubus

3

R .

Volume bola dalam : Volume bola luar 3 _π

 

₃ 3

3 4 : π 3 4 R R  1:3 3

10. Kita mengetahui bahwa ₈₅_₂2 _₉2_, ₇₄_₇2 _₅2_{, dan}₁₃_₂2 _₃2_{, sehingga}

persegi panjang itu memiliki ukuran panjang 9 satuan dan lebar 5 satuan.

Luas ABC 5 7 2 1 3 2 2 1 9 2 2 1 5 9           2 35 3 9 45    2 31  satuan

Jadi, luas segitiga itu adalah

2 31

satuan.

11. Perpanjang AC sampai ke E, sehinggaCE CB.

Perhatikan bahwa ECB adalah segitiga sama sisi dan BE //DC.

ACD dan AEB adalah sebangun, sehingga:

AE EB AC CD  AC AE EB CD  2 3 8 12 6 ) 2 6 ( 2 _ _ _  

Jadi, panjang CD adalah

2 3 . A C D B E  R t Q P T C B A R t 85 74 13 A B C 3 2 2 9 7 5

(24)

12. Perhatikan gambar berikut.

Tarik garis tegak lurus pada garis k, berturut-turut dari A dinamakan a, dari B dinamakan b, dan dari C dinamakan c, sehingga diperoleh segitiga-segitiga yang sebangun, akibatnya: b a PB PA  , c b RCRB  , dan a c QA QC  . Jadi,    QA QC RC RB PB PA 1    a c c b b a (qed)

Teorema ini dikenal dengan nama teorema Menelaos. Catatan:

a. Transversal sisi adalah sebarang garis lurus yang memotong sisi-sisi atau perpanjangan sisi sebuah segitiga. Teorema penting mengenai transversal sisi adalah Teorema Menelaos.

b. Perhatikan urutan pengambilan titik-titik sudutnya.

13. Misalnya panjang rusuk kubus besar a dm maka panjang kubus kecil b dm. Rasio rusuk dua buah kubus tanpa tutup adalah 3 : 5, maka

a : b = 5 : 3 b a 3 5 

Selisih volumenya adalah 784 liter, maka

784 3 3 _{ b} _ a A B C P Q R a b c k

(25)

784 3 5 3 3         _b _b 784 27 125_b3 _{ b}3 _ 27 784 27 125_b3 _{ b}3 _ _ 27 784 98_b3 _ _ 216 98 27 784 3 _  _ b 6 216 3 _  b dm

(26)

SOAL-SOAL 4

1. Carilah angka-angka A, B, C, dan D dari perkalian berikut ini.

2. a, b, dan c masing-masing adalah bilangan positif yang semuanya berbeda. Jika

c a b b a c b a    

, carilah rasio dari a dan b.

3. Dua kali banyak bola dalam kantong A kurang sedikit dari banyak bola dalam kantong B. Jumlah banyak bola dalam kantong A dan C adalah kurang sedikit dari banyak bola dalam kantong B. Ada lebih banyak bola dalam kantong D dari pada dalam kantong B. Ada 6 bola dalam kantong C dan 9 bola dalam kantong D. Berapa isi bola di kantong B?

4. Dua orang ingin bermain dengan beberapa bola di dalam sebuah kotak. Peraturan bermainnya adalah masing-masing orang dapat mengambil satu atau dua bola sebanyak satu kali. Setelah orang pertama mengambil bola, orang lain juga akan memiliki kesempatan yang sama. Orang yang kalah adalah orang yang mengambil bola paling teakhir.

a. Jika giliran mu mengambil bola dan hanya ada 6 bola yang tertinggal di dalam kotak, berapa banyak bola yang harus kamu ambil dengan ketentuan kamu akan menang?

b. Jika giliran mu mengambil bola dan hanya ada 8 bola yang tertinggal di dalam kotak, berapa banyak bola yang harus kamu ambil dengan ketentuan kamu akan menang?

A B C D 9 D C B A

(27)

c. Jika giliran mu mengambil bola dan hanya ada 20 bola yang tertinggal di dalam

kotak, berapa banyak bola yang harus kamu ambil dengan ketentuan kamu akan menang?

d. Sekarang kita ubah peraturannya. Ada 100 bola dan masing-masing pemain mengambil 1, 2, 3, atau 4 bola. Jika kamu mendapat giliran pertama untuk main, berapakah banyak bola yang harus kamu ambil dengan ketentuan kamu akan menang?

5. Mathman menjual jeruk dan menerima sejumlah uang. Jika Mathman menjual 10 buah lebih banyak jeruk menerima jumlah uang yang sama, harga setiap jeruk adalah 2 satuan lebih murah dari harga aslinya. Jika Mathman menjual 10 buah lebih sedikit jeruk untuk jumlah uang yang sama, harga setiap jeruk 4 satuan lebih mahal dari pada harga asli. Berapa banyak jeruk dan harga sebenarnya yang dijual Mathman?

6. Jarak kota A dan B adalah 625 km. Pada pukul 07.30 pagi, Fauzan berangkat dari A menuju B dengan kecepatan 100 km/jam. Lima belas menit kemudian, Afifah berangkat dari B menuju A dengan kecepatan 80 km/jam. Pada pukul berapa Fauzan dan Afifah ketemu?

7. Sebuah perahu berada di 60 km dari pelabuhan. Perahu itu bocor sehingga air masuk ke dalam perahu sebanyak 2 ton per 5 menit. Jika dalam perahu itu kemasukan 90 ton air, maka perahu akan tenggelam. Jika sebuah pompa air memompa keluar 12 ton air per jam, berapa km/jam kecepatan minimum perahu itu untuk mencapai pelabuhan agar tidak tenggelam?

(28)

9. Luas sebuah persegi panjang tidaklah berubah, kalau lebarnya diperpendek 5 cm

dan panjangnya diperpanjang 10 cm. Luasnya menjadi 350 cm2 lebih besar, kalau kedua ukurannnya ditambah 5 cm. Hitunglah keliling persegi panjang itu.

10. Sebuah bak air berbentuk silinder terbuka berkapasitas 30772 liter air. Diameter silinder bagian dalam adalah 28 dm. Dinding dan dasar bak memiliki ketebalan yang sama yaitu 1 dm. Jika setiap dm2 memerlukan biaya Rp 500,00 untuk pengecatan, berapa biaya untuk mengecat seluruh permukaan dari bak itu. (Perhatikan seluruh permukaan bak yang harus dicat termasuk bagian dalam bak). 11. Perhatikan gambar berikut. Panjang CP adalah….

12. Jika tiga buah transversal sudut-sudut ABC melalui satu titik O, dan transversal sudut C memotong AB di P, transversal sudut A memotong BC di Q, dan transversal sudut B memotong CA di R, maka berlakulah hubungan   1

RA RC QC QB PB PA .

13. Sebuah persegi panjang dipotong ke dalam 4 bagian, seperti diperlihatkan pada gambar.

a. Hitunglah panjang DG dan AE. b. Hitunglah luas persegi panjang itu. c. Jika mungkin potongan itu

disusun menjadi persegi, carilah keliling persegi itu?

3 5 P 160 A B C D A B C D E F G H 20 10 18 6 24

(29)

SOLUSI SOAL-SOAL 4

1. Jika A0, maka D0.

Jika A2 atau lebih, maka ABCD9akan menjadi lima angka. Dengan demikian, Jika A1dan D9.

Jika B (denganB1) adalah 2 atau lebih, maka ABCD akan lebih besar dari 1200 dan perkaliannya dengan 9 akan memberikan hasil lima angka. Dengan denikian,

0 

B . Kita memperoleh 10C999C01, sehingga haruslah C8.

Jadi, perkalian itu adalah 108999801, sehingga A = 1, B = 0, C = 8, dan D = 9.

2. c a b b a c b a     b a c b a _ ac b ab 2  _………(1) b a c ab  ac a b2  2  _………(2)

Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh:



2



2 2 _a _ab _b b    0 2 2 2 __ab_ _b _ a 0 ) )( 2 (a b ab  b

a 2 (diterima) atau a  b(ditolak, karena a, b, dan c adalah bilangan positif)

2 2   b b b a atau a: b 2:1

Jadi, rasio dari a dan b adalah 2 : 1.

3. Dari keterangan yang diberikan pada soal, kita memperoleh 2A < B ……….(1)

(30)

A + C < B ………..(2)

D > B ...(3) C = 6 ……….…(4) D = 9……….…….(5)

Dari persamaan (2) dan (4) diperoleh B  A > 6 ……(6) Dari persamaan (3) dan (5) diperoleh B < 9 …………(7) Dari persamaan (6) dan (7) diperoleh A + 6 < 9 atau A < 3 Jika A = 2, maka 8 < B < 9 tidak mungkin.

Jadi, A = 1, maka 7 < B < 9, sehingga B = 8.

4. a. Banyak bola yang harus diambil dengan ketentuan akan menang adalah 2. b. Banyak bola yang harus diambil dengan ketentuan akan menang adalah 1. c. Banyak bola yang harus diambil dengan ketentuan akan menang adalah 1. d. Banyak bola yang harus diambil dengan ketentuan akan menang adalah 4.

5. Misalnya banyak jeruk a buah dan harganya b satuan, maka ab b a10)( 2) ( ab b a ab2 10 20 20 10 2a b 10 5   b a ………(1) ab b a10)( 4) ( ab4a10b40ab 4a b10 40 2a b5 20……….(2)

Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh: a b5 10 2a b5 20  a 30 a30 a30a5b10 30 b5 10 

(31)

 b5 1030 5 40    b b8

Jadi, banyak jeruk yang dijual Mathman adalah 30 buah dan harga sebenarnya setiap jeruk adalah 8 satuan.

6. vM 100km/jam                 4 1 60 15 t t t_M jam v_N 80km/jam tM tjam v_M t_M v_N t_N 625 80 625 4 1 100           t t 100t2580t 625 180t 62525 180 600  t jam 3 1 3 

t jam = 3 jam 20 menit

Jadi, Fauzan dan Afifah bertemu pada pukul adalah 07.30 + 3 jam + 20 menit + 15 menit = 11.05. 7. S 60km v_air 2ton/5menit = 60 5 1 2  ton/jam = 24 ton/jam v_pompa12ton/jam.

(32)

Air akan memenuhi perahu selama 7,5

12

90  jam.

Jadi, kecepatan minimum perahu itu untuk mencapai pelabuhan agar tidak tenggelam = 8

5 ,

760  km/jam.

8. Banyak segitiga yang terdapat pada gambar itu adalah 47 buah.

9. Perhatikan gambar berikut ini.

(x10)(y5)xy xy5x10y50 xy x y2 10………(1) (x5)(y5) xy350 xy5x5y25xy350 x y65 ……….……….(2)

Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh: x y2 10 x y65 3y = 75 y = 25 y = 25 x y65 x25 65 x = 40 K 2(xy)2(4025)130cm

Jadi, keliling persegi panjang itu adalah 130 cm. x + 10 y  5 y + 5 x + 5 x y 

(33)

10. V d2h 4 π  ₂₈2 ₂ 4 14 , 3 30772   h ₂ ₂ 28 14 , 3 4 30772    h 50 dm h1  h2 1= 50 dm + 1 dm = 51 dm Dd2b2821 = 30 dm L1 = luas alas bagian luar

= luas alas bagian dalam + luas bagian atas L2 = luas selimut luar

L3 = luas selimut dalam

L2L₁ L₂ L₃ 2 _π ₁ _π ₂ 4 π 2 D  Dh  dh  50 28 14 , 3 51 30 14 , 3 30 4 14 , 3 2_ _ 2 _ _ _ _ _ _  L 14134804,24396 10613,2 dm2.

Jadi, biaya untuk mengecat seluruh permukaan dari bak itu = 10613,2 dm2  Rp 500,00/dm2 = Rp 530.660,00

11. Perhatikan gambar di bawah ini.

Menurut Dalil Pythagoras:

d = 28 dm b = 1 dm h1 h2 D 3 5 P 160 A B C D c a d b x

(34)

₅2 __{a }2 _c2 ₃2 __{b }2 _c2 ₅2 _₃2 __{a }2 _b2_{……….(1)}

 

2 2 2 160 a d _CP2 __b2 __d2 ₁₆₀__CP2 __a2 __b2_………(2)

Dari persamaan (1) dan (2) , kita memperoleh:

2 2 2 ₅ ₃ 160 CP   9 25 160 2 _ _ _ CP = 144 12 144   CP Jadi, CP = 12 cm

12. Transversal sudut k, l, dan m berpotongan di titik O. Garis k memotong AB di P, l memotong BC di Q, dan m memotong AC di R.

Bila P di antara AB, maka

PB PA

diberi nilai negatif (ruas garis PA dan PB berada di

sebelah menyebelah). Jika P di luar AB maka

PB PA

diberi nilai positif.

Perhatikan PBC dengan transversal sisi AOQ atau garis l. Berdasarkan teorema Menelaos berlaku:   A B C P Q R l m k O

(35)

1    OP OC QC QB AB AP ……….(1)

Perhatikan APC dengan transversal sisi BOR atau garis m. Berdasarkan teorema Menelaos berlaku: 1    RA RC OC OP BP BA ……….(1) Hasil kali persamaan (1) dan (2):

   OP OC QC QB AB AP 1    RA RC OC OP BP BA 1    RA RC QC QB BP AP 1                       RA RC QC QB PB PA 1     RA RC QC QB PB PA . (qed)

Teorema ini dikenal dengan nama teorema De Ceva. Catatan:

Transversal sudut adalah sebarang garis lurus yang melalui titik sudut sebuah segitiga. Garis bagi, garis berat, dan garis tinggi dapat dipandang sebagai suatu transversal sudut. Teorema penting mengenai transversal sudut adalah Teorema De Ceva.

14. a. Menurut Dalil Pythagoras:

_DG_ _AG2 __AD2 _ ₍₁₀_₂₀₎2 _₁₈2 _ _{576 }₂₄_cm

Perhatikan AEF dan GDA adalah sebangun, maka GA AF GDAE  30 10 24  AE AE 8cm

(36)

c. Panjang AB = 8 + 24 = 32 cm

Panjang AD = 18 cm

Luas persegi panjang ABCD = AB  AD = 32  18 = 576 cm2.

d. Karena luas persegi panjang ABCD = 576 = 242 cm2, maka persegi panjang itu memungkinkan untuk dikonstruksi menjadi menjadi persegi. Kita menyusun bagian-bagian dari potongan itu menjadi persegi yang diminta seperti ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Misalnya panjang sisi persegi panjang adalah c, maka 576 2 _ c 24 576   c cm

Jadi, keliling persegi itu = 4  24 = 96 cm2.

A B H D E N G M 12 10 18 6 24 6 6

(37)

SOAL-SOAL 5

1. Carilah semua pasangan bilangan bulat (a,b) sedemikian, sehingga

2 1 1 1   b a .

2. Fauzan, Afifah, dan Annisa bekerja bersama dan menerima gaji seluruhnya Rp 2.620.000,00. Fauzan menerima 125% dari gaji Afifah, yang juga merupakan

90% dari gaji Annisa. Siapakah yang gajinya lebih besar Afifah atau Annisa? Berapa rasio gaji Afifah dan Annisa?

3. Yuda memiliki 288 buku dan disumbangkan ke 4 sekolah. Ketika Yuda mengecek buku yang disumbangkan ke setiap sekolah, dia melihat bahwa selisih banyaknya buku yang diterima oleh sekolah A dan sekolah B adalah 4, selisih banyaknya buku yang diterima oleh sekolah B dan sekolah C adalah 3 dan selisih banyaknya buku yang diterima oleh sekolah C dan sekolah D adalah 2. Sekolah A menerima paling banyak tetapi kurang dari 40 buku. Ada berapa cara Yuda dapat menyumbangkan buku-bukunya ke sekolah B dan ke sekolah D? Berapa banyak buku yang diterima masing-masing oleh sekolah B dan sekolah D?

4. Jika x y10dan _x3 _{ y}3 _2725_{, temukan nilai dari}_{x }2 _y2_.

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari:

a. 6x513 c. x2(1x)x8 e. 3x25x116 b. 3x24x7 d. 32x19 f. 6 4 3 3 2 6 4 2x   x x

6. Buktikan bahwa _P₍_n₎_₆n _₂n _₃n1 _₂n_₃n2_{habis dibagi 13 untuk setiap n}

(38)

7. Untuk a, b, c  Q+, jika ₂ 2 2 2 2 2 b a c b b a _   , maka c b b

a  . Buktikan bahwa jika

2 2 2 2 2 2 a c c b b a _   , maka 2 2 2 4 4 b c a c a _   . 8. Pertaksamaan 3 2 1

2xa x axmempunyai penyelesaian x5. Carilah nilai a.

9. a. Jika x menyatakan suhu dalam derajat Fahrenheit dan y menyatakan suhu dalam derajat celcius. Diperoleh data sebagai berikut:

Suhu didih = 212o F = 100o C. Suhu beku = 32o F = 0o C.

Carilah persamaan yang menghubungkan x dan y. b. Berapa tanjakan (gradien/koefisien arah) persamaan itu? c. Suhu badan 105,8o F, berapa dalam derajat celcius? d. Suhu runagan 20o C, berapa dalam derajat Fahrenheit?

10. Jika rasio volume dua kubus adalah 8:27, berapakah rasio luas permukaannya?

11. Pada persegi panjang ABCD yang luasnya 2007 cm2, titik M, N, P dan Q terletak pada AB, BC, CD dan DA. Rasio panjang masing-masing adalah sebagai berikut: AM : MB = 3 : 5

BN : NC = 1 : 3 CP : PD = 4 : 5 DQ : QA = 1 : 8

Berapa rasio luas MBNPDQ terhadap luas ABCD? Hitunglah luas MBNPDQ.

12. Diberikan ABC, dengan AB = 40 cm, BC = 42 cm, dan AC = 26 cm. Carilah jari lingkaran singgung dalam, jari-jari lingkaran luar, dan jari-jari lingkaran singgung luar pada sisi BC.

(39)

13. Diberikan ABC sama sisi, dengan AB = 8 cm. Di dalam segitiga itu dibuat 3 buah

lingkaran kongruen yang saling bersinggungan. Ketiga lingkaran ini juga menyinggung sisi-sisi ABC dari dalam seperti dipertunjukkan pada gambar.

a. Hitunglah luas daerah yang diarsir yang dibatasi oleh 3 buah lingkaran. b. Hitunglah luas daerah yang diarsir pada setiap pojok segitiga.

c. Hitunglah seluruh luas daerah yang diarsir.

A

C

B 8 cm

(40)

SOLUSI SOAL-SOAL 5

1. 2 1 1 1   b a 2b 2aab 2b ba( 2) 2 2   b b a 2 4 ) 2 ( 2     b b a 2 4 2    b a

Jika a bilangan bulat, maka b2harus merupakan faktor dari 4, yaitu 2



b 1,2,4, maka b3,1,4,6,2, sehingga a6 , 2,4,3,1.

Jadi, semua pasangan (a, b) adalah (-2,1), (1, -2), (3, 6), (6,3), dan (4,4).

2. Misalnya gaji Fauzan, Afifah, dan Annisa berrurut-turut adalah a, b, dan c satuan, maka: 2620000   b c a ……… (1) c b a125% 90% c b a    10 9 4 5 a b 5 4  ……….(2) a c 9 10  ……… (3)

Dari persamaan (1), (2), dan (3), kita memperoleh:

2620000 9 10 5 4    a a a 2620000 45 50 36 45    a

(41)

131 45 2620000   a 900.000 000 . 720 000 . 900 5 4 5 4 000 . 900       b a a 000 . 000 . 1 000 . 900 9 10 9 10 000 . 900       c a a

Jadi, gaji Afifah adalah Rp 720.000,00 dan gaji Annisa adalah Rp 1.000.000,00. Di antara Afifah dan Annisa, gajinya yang paling besar adalah Annisa. Sedangkan rasio gaji Afifah dan Annisa = 720.000 : 1.000.000 = 18 : 25.

3. Misalnya banyak buku yang diterima sekolah A, B, C, dan D adalah a, b, c, dan d, maka 144    b c d a ………..(1) 4   b a 4   b a ………..(2) c b3 c b3 ……….(3) c d 2 d  c2 ……… (4) Dari persamaan (3) dan (4) kita memperoleh d  b3 2

d  b1………. (5)

Dari persamaan (1), (2), (3), dan (5), kita memperoleh: b4bb3b1288

4b8288 4 b 280 b70

b70d b170171

Karena ab,c b,dan cd, maka Yuda dapat menyumbangkan buku-bukunya ke sekolah B dan ke sekolah D dengan 1 cara.

(42)

Banyak buku yang diterima masing-masing oleh sekolah B dan sekolah D berturut- turut adalah 70 dan 71 buah.

4. ₍_x__y₎3 __x3 __y3 _₃_x2_y_₃_xy2 (_x__y)3 __x3 __y3 _3_xy(_x_ _y) (10)3 _2725_3_xy(10) 1000272530xy xy57,5 _x2 __y2 _(_x__y)2 _2_xy_(10)2 _2(_57,5)_100_115_215_. 5. a. 6x513 6x135 6 x 18 6 18  x x3



xx3



. b. 3x24x7

3x x4 72  x9

(44)

4 3 3  x 2) 6 4 3 3 2 6 x x 728x9x72  x17 0 x0

Dari 1) dan 2) kita memperoleh:

4 3 3

0 x .

        4 3 3 0 x x . 6. _P₍_n₎_₆n _₂n_₃n1_₂n _₃n2 6n 6n 36n 9 6n(139) __{13 }₆n

Jadi, terbukti bahwa _P₍_n₎_₆n _₂n _₃n1_₂n _₃n2_{habis dibagi 13 untuk setiap n}

bilangan asli. 7. ₂ 2 2 2 2 2 a c c b b a    _a4 __a2_b2 __b2_c2 __c4 _a4 __c4 __a2_b2 __b2_c2 _a4 __c4 __b2



_a2 __c2



2 2 2 4 4 b c a c a    (qed) 8. 3 2 1 2xa x ax ax x a x 6 3( 1) 2 12     ax x a x 6 3 3 2 12    

(45)

3 6 2 9x ax a 3 6 ) 2 9 (  a  a x a a x 2 9 3 6   

Karena penyelesaianya adalah x5, maka haruslah:

5 2 9 3 6    a a a a 3 45 10 6    48 16 a 3  a

Jadi, nilai a adalah 3.

9. a. Misalnya hubungan itu adalah ymxn.

Dari data titik didih diperoleh: 100 212m n…………(1) Dari data titik beku diperoleh: 0 32m n………..(2) Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh:

9 5  m dan 9 160   n m y mxn        9 1609 5 9 160 95   x atau 5x y9 160

b. Tanjakan (gradien/koefisien arah)

9 5  . c. x105,85x y9 160 5105,89y 160  y9 160529  y9 369 y = 41o C d. y20 5x y9 160 5x920160

(46)

5x160180

5 x 340 x = 68o C

10. Misalnya panjang rusuk-rusuk kubus itu adalah a dan b, maka volume kubus pertama adalah 3

1 a

V  dan volume kubus kedua 3 2 b V  , sehingga V1:V2 8:27 _a3:_b3 _8:27 _a3_:_b3 _₂3 _:₃3 a: b 2:3 a b 3 2  2 2 2 1 :L a :b L  2 2 : 3 2 b b       :1 4:9 9 4 _ 

Jadi, rasio luas permukaannya adalah 4 : 9.

11. Perhatikan gambar di bawah ini.

Lsegi4ABCD ABBC8c9k 72ck

Lsegi6MBNPDQLsegi4ABCD(LAMQLCPN)

      _ _ _    AB BC AM AQ CP CN 2 1 2 1 A _B C D M N P Q k 8k k 4 9 k 4 27 c 3 5 c c 9 40 _c 9 32

(47)

      _ _ _ _ _    c k c k c k 4 27 9 32 2 1 8 3 2 1 9 8 72ck



12ck12ck



72ck 24 ck 48ck

Rasio luas MBNPDQ terhadap luas ABCD =48ck:72ck 2:3. Luas MBNPDQ 2007 3 2   = 1.338 cm2. 12. AB = c = 40 cm, BC = a = 42 cm, BC = b = 26 cm.

Setengah keliling ABC adalah

( ) 2 1 c b a s   (42 26 40) 54 2 1     s cm

Luas segitiga ABC (= L) ditentukan Dengan rumus Heron:

L s(sa)(sb)(sc) (Rumus Heron)

L 54(5442)(5426)(5440)  54(12)(28)(14)  ₂6_₃4_₇2

_23_32_7_504_cm2

Jari-jari lingkaran uar (R) ditentukan oleh rumus:

L abc R 4  3 2 21 504 4 40 26 42      R cm.

Jari-jari lingkaran singgung dalam (r) ditentukan oleh rumus:

s L r  3 1 9 54 504   r cm.

Jari-jari lingkaran singgung luar pada sisi BC = a (ra) ditentukan oleh rumus:

a s L r_a   lingkaran singgung dalam lingkaran singgung luar lingkaran luar A _B C

(48)

42 42 54504   a r cm. 13. 8 4 2 1 2 1     AC AD cm AD AC 3 4 3cm Luas ACD = AD CD 2 1 4 4 3 2 1    8 3cm2 ( ) 2 1 CD AC AD s  



4 8 4 3

 

6 2 3



2 1 _ _ _ _  s cm s L r  3 3 3 3 3 3 3 4 3 2 6 3 8        r 6 12 3 12   



2 32



cm LM = 2r 



4 34





πcm2

(49)

= 6



8 312



π



2 32



2

=



48 37216π8π 3



cm2 c. Luas seluruh daerah yang diarsir = 20 332 + 48 37216 π 8π 3