Matematika

610.12.005 Matematika

Limit Fungsi dan Kekontinuan

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia

Ilustrasi

1 Nol mutlak, yaitu temperatur T_C di mana semua aktivitas

molekular berhenti, dapat didekati namun tidak pernah dapat dicapai dalam praktiknya.

2 _{Ahli ekonomi yang berbicara mengenai keuntungan dalam}

kondisi ideal atau engineer yang menggambarkan spesifikasi ideal dari suatu mesin, sesungguhnya sedang berurusan dengan perilaku limit.

Proses limit merupakan suatu perilaku dari sebuah fungsi f (x) sebagaimana x mendekati suatu nilai konstan c yang mungkin

Definisi

Definisi Limit

Limit f (x), x mendekati c sama dengan L, ditulis lim

x→cf (x) = L

jika untuk setiap x yang cukup dekat dengan c, tetapi x 6= c, maka f (x) mendekati L.

Secara geometris, pernyataan limit lim

x→cf (x) = L berarti bahwa

Contoh 1

Tentukan nilai dari

lim x→1 √ x − 1 x − 1 Solusi:

Nilai f (x) mendekati 0.5 ketika x mendekati 1, maka lim

x→1 √

x−1 x−1 = 0.5

Perlu diperhatikan bahwa limit menggambarkan perilaku dari suatu fungsi yang mendekati suatu titik tertentu, belum tentu pada titik itu sendiri.

Perilaku Limit

Fungsi di mana lim

Grafik berikut menunjukkan dua fungsi yang tidak memiliki limit ketika x mendekati 2.

Sifat-sifat Limit

Sifat-sifat Limit

Jika lim

x→cf (x) dan limx→cg(x) ada, maka 1 lim

x→c[f (x) ± g(x)] = limx→cf (x) ± limx→cg(x) 2 _lim

x→c[kf (x)] = k limx→cf (x), untuk suatu k konstan 3 _lim x→c[f (x)g(x)] = [limx→cf (x)][limx→cg(x)] 4 _lim x→c f (x) g(x) = lim x→cf (x) lim x→cg(x) , jika lim x→cg(x) 6= 0 5 _lim x→c[f (x)] p_{= [lim} x→cf (x)] p_{, jika [lim} x→cf (x)] p _ada

Contoh 2

a. Tentukan lim x→2(2x 2_{− 7x + 6).} lim x→2(2x 2_{− 7x + 6) = lim} x→22x 2_{− lim} x→27x + limx→26 = 2 lim x→2x 2_{− 7 lim} x→2x + limx→26 = 2  lim x→2x 2 − lim x→27x + limx→26 = 2 · 22− 7 · 2 + 6 = 0

b. Tentukan lim x→17x √ 2x − 1 lim x→17x √ 2x − 1 = lim x→17x · limx→1 √ 2x − 1 =7 lim x→1x  q lim x→1(2x − 1) = (7 · 1)√2 · 1 − 1 = 7

Limit Dua Fungsi Linier

Limit Dua Fungsi Linier

Untuk suatu k konstan, lim

x→ck = k dan x→climx = c

yaitu, limit dari suatu konstan adalah konstan itu sendiri, dan limit dari fungsi f (x) = x bilamana x mendekati c adalah c.

Limit Polinomial

Limit Polinomial

Jika p(x) dan q(x) adalah polinomial, maka lim x→cp(x) = p(c) dan lim x→c p(x) q(x) = p(c) q(c), jika q(c) 6= 0

Contoh 3

1 _{Tentukan lim} x→1 x2₋₁ x2_−3x+2 Solusi: lim x→1 x2−1 x2_−3x+2 = lim x→1 (x−1)(x+1) (x−1)(x−2) = lim_x→1 x+1 x−2 = 2 −1 = −2 2 _{Tentukan lim} x→1 √ x−1 x−1 Solusi: lim x→1 √ x−1 x−1 = lim_x→1 (√x−1)(√x+1) (x−1)(√x+1) = lim_x→1 x−1 (x−1)(√x+1) = lim x→1 1 √ x+1 = 1 2

Limit Kanan dan Limit Kiri

Limit Kanan

lim

x→c+f (x) = L berarti bahwa bilamana x mendekati c dari kanan,

maka f (x) dekat dengan L.

Limit Kiri

lim

x→c−f (x) = L berarti bahwa bilamana x mendekati c dari kiri,

Teorema 1

lim

x→cf (x) = L jika dan hanya jika limx→c−f (x) = lim_x→c+f (x) = L. Akibat

Jika lim

Contoh 4

Tentukan lim

x→1f (x) jika ada, dengan

f (x) = ( 2x − 1, x < 1 x3, x > 1 Solusi: Untuk x < 1, f (x) = 2x − 1, maka lim x→1−f (x) = lim_x→1−(2x − 1) = 1 Untuk x > 1,

Contoh 5

Tentukan lim x→0f (x) di mana f (x) = x |x|. Solusi:

Fungsi f (x) mempunyai dua nilai yaitu: f (x) =

(

−1, x < 0 1, x > 0

Latihan 1

1 lim x→2 x2₋₄ x−2 2 _lim x→−1 x3_−4x2_+x+6 x+1 3 _lim x→9 √ x−3 x−9 4 lim x→2 x2_−3x+2 x2₋₄ 5 lim x→1 x−1 √ x−√1 6 _lim x3+8 x4₋₁₆

Limit Menuju Tak Hingga

Limit Menuju Tak Hingga

Jika nilai dari f (x) mendekati L ketika x bertambah tanpa batas, lim

x→+∞f (x) = L

Sama halnya dengan

lim

x→−∞f (x) = M

Reciprocal Power Rules (Aturan Pangkat Berbanding Terbalik)

Jika A dan k adalah konstanta dengan k > 0 dan xk berlaku untuk semua x, maka

lim x→+∞ A xk = 0 dan _x→−∞lim A xk = 0

Langkah Pengerjaan Limit Menuju Tak Hingga dari f (x) = p(x)_q(x)

1 _{Bagi masing-masing komponen pada f (x) dengan pangkat}

terbesar dari xk yang muncul pada penyebut polinomial q(x)

2 Hitung lim

x→+∞f (x) atau x→−∞lim f (x) menggunakan sifat-sifat

Contoh 6

Hitunglah lim x→+∞ 2x2_+3x+1 3x2_−5x+2 Jawab: lim x→+∞ 2x2+ 3x + 1 3x2_{− 5x + 2} = lim_x→+∞ 2 +_x3 +_x12 3 −_x5 +_x22 = 2 + 0 + 0 3 − 0 + 0 = 2 3

Limit Tak Hingga

Limit Tak Hingga

Suatu lim

x→cf (x) disebut limit tak hingga naik atau turun tanpa

adanya batas x → c, dapat ditulis lim

x→cf (x) = +∞

Jika f (x) naik tanpa batasan seperti x → c lim

x→cf (x) = −∞

Contoh 7

Hitunglah lim x→+∞ −x3_+2x+1 x−3 Jawab: lim x→+∞ −x3_{+ 2x + 1} x − 3 = limx→+∞ −x3 x + 2x x + 1 x x x − 3 x = lim x→+∞ −x2_{+ 2 +} 1 x 1 −_x3 = −∞

Kontinuitas

Suatu fungsi f (x) dikatakan kontinu di x = c jika memenuhi tiga kondisi sebagai berikut:

1 _{f (c) terdefinisi/ada} 2 lim

x→cf (x) ada 3 lim

x→cf (x) = f (c)

Jika f (x) tidak kontinu di x = c, maka f (x) dikatakan diskontinu di titik tersebut.

Contoh 8

Tunjukkan bahwa f (x) = x+1_x−2 kontinu di x = 3 Penyelesaian: 1 _{f (3) =} 3+1 3−2= 4, ada 2 _lim x→3f (x) = limx→3 x+1 x−2 = lim_x→3 3+1 3−2 = 4, ada 3 lim x→3f (x) = 4 = f (3) ∴ f (x) kontinu di titik x = 3.

Contoh 9

Periksa kekontinuan f (x) = ( x + 1, x < 1 2 − x, x ≥ 1 Penyelesaian: 1 _{f (1) = 2 − 1 = 1, ada} 2 _lim x→1−f (x) = lim_x→1−x + 1 = 1 + 1 = 2 dan lim x→1+f (x) = lim_x→1+2 − x = 2 − 1 = 1. Karena

Latihan 2

1. Periksa kekontinuan fungsi-fungsi berikut:

a. f (x) = √ x−2 x−4 di x = 4 b. f (x) = ( x2_{+ 1, x ≤ 3} 2x + 4, x > 3 di x = 3

2. Misalkan temperatur udara pada hari tertentu adalah 30◦F . Kemudian, temperatur yang diakibatkan oleh angin (dalam

◦_{F ) dengan kecepatan v mph, diberikan dengan rumus berikut}

W (v) =      30, 0 ≤ v ≤ 4 1.25v − 18.67√v + 62.3, 4 < v < 45 −7, v ≥ 45

a. Berapakah temperatur yang diakibatkan angin dengan v = 20mph? Ketika v = 50mph?

b. Berapakah kecepatan yang dihasilkan oleh angin dengan temperatur 0◦F ?