BAB IV ISOMETRI. i. Jika p g maka T =p. ii.

BAB IV

ISOMETRI

Defenisi 1

Misalkan T suatu transformasi ,transformasi T ini disebut isometric jika dan hanya jika jika untuk setiap pasangan titik P dan Q anggota dari bidang Euclid V berlaku = di mana =T dan =T .

Untuk memahami defenisi di atas,perhatikan contoh berikut

Misalkan diketahui garis g pada bidang V dan transformasI T di tetapkan sebagai berikut: i. Jika p g maka T =p

ii. Jika p g maka T = ,sehingga g sumbu dari

Apakah tras formasi T ini merupakan suatu isometri? Penyelesaian:

Ambil dua titik sebarang P dan Q anggota V misalkan T = dan T = ,sehingga di peroleh

1. g sumbu dari dari ,misalkan g = ,maka PN=N

2. g sumbu dari ,misalkan g = ,MAKA QM=M

Perhatikan gambar berikut:

M g Q

N P

1. perhatikan PNM dengan NM. Karena PN=P NM (siku-siku),maka

PNM NM akibatnya : a. PM = P b.

2. Perhatikan PQM dengan M.

Karena PM = M, M.dan QM = M,maka PQM

,akibatnya PQ =

Pasangan titik P dan Q pada V ,di peroleh PQ sehingga transformasi T yang ditetapkan di atas adalah suatu isometri

Sipat-sipat isometric: Teorema 1

Setiap isometric bersifat:

I. Memetakan garis menjadi garis II. Mengawetkan besaran sudut III. Mengawetkan kesejajaran

Bukti:

i. Ambil sebarang isometri T dan garis g akan di tunjukan bahwa T(g) berupa sebuah garis. Perhatikan gambar ambil dua titik sebarang A dan B pada garis g misalkan T dan T(B)= dan garis lurus menghubungkan dan adalah H ii. A B g T(g) iii. Ambil A B C Andaikan = T , T(B), = T(C)

Berdasarkansifat isometri ,maka dan adalah garis lurus. Oleh karena

= BC, = CA sehingga ABC = jadi kesipulannya terbukti bahwaisometri mengawetkan sudut

iii. a b

Harus di perhatikan bahwa // andaikan memotong di sebuah titik p jadi p dan p oleh karena T sebuah transformasi maka ada p sehingga T (P)=P dengaan p a dan p b ini berarti bahwa a memotong b di p,jadi bertentangan dengan yang di ketahui bahwa a//b

Teorema 2.

Apabila garis g dan h saling tegak lurus dan T suatu isometri maka T(g) dan T(h) juga saling tegak lurus .

Bukti: karena sudut yang di bentuk oleh g dan h adalh siku-siku dan T suatu isometri.Berdasarkan teorema 1 (ii) mengakibatkan bahwa sudut yang di bentuk oleh T(g) dan T(h) jika siku-siku dengan kata lain T(g) dan T(h) saling tegak lurus.

Teprema 3.

Komposisi dua buah isometri adalah sebuah isometri .

Bukti : Ambil dua isometri , dan terjadi komposisi dari , dan yaitu: a.

b.

Karena = adlah isometric maka akan di buktikan adalah isometri Ambil dua titik sebarang A,B V,misalkan = , (B)= dan )= , )= maka

(A)= = ) =

(B)= = ) =

Karena isometri maka = AB, dan karena isometri maka karena = ,dan =AB.maka =AB.jadi suau isometric

Contoh soal:

1. Misalkan v bidang Eucilid,A sebuah titik tertentu pada v.Transpormasi T yang di tetapkan sebagai berikut:

a. T(A)=A

b. Apabila p∈ v dan p ≠ A, T(P) = Q dengan Q merupakan titik tengah ruas garis AP .apakah transformasi T ini suatu isometri ?

2. Di berikan suatu titik A dan transformasi T yang di tetapkan sebagai berikut ,p ∈ v

a. Apabila p = A maka T (p)=p

b. Apabila p ≠A maka T(p)= Q dengan A titik tengah PQ .Apakah transformasi T ini merupakan isometri ?

c. Penyelesaian:

1. Perhatikan gambar di bawah ini

P

A R

Ambil P,R v, misalkan Q = T (P) dan = T ®,maka AQ = QP dan A = R. Akibatnya = RP. Jada T bukan suatu ispmetri.

P

A R

Q

Misalkan T (P)= Q dan T (R) = ,sehingga QA = AP dan P,A,Q kolinear , dan RA = A R,A, kolinear .perhatikan RAP dan QA . karena QA = AP, PAR QA dan RA = A maka RAP QA , akibatnya PR = Q jadi T suatu isometri.

ISOMETRI LANGSUNG DAN ISOMETRI LAWAN

Suatu transformasi T yang memetakan segitiga ABC pada segitiga A1,B1,C1

misalkan sebuah pencerminan pada garis g.
Untuk lebih jelas perhatikan gambar berikut :
a).Reflexi(pencerminan)

Gambar (A B C) Berlawanan arah dengan perputaran jarum jam(memiliki orientasi positif)sedang,

Gambar (A1,B1,C1) Sesuai dengan putaran jarum jam (memiliki orientasi yang negative).

Isometri langsung adalah tidak mengubah orientasi (tetap),Jadi dalam isometric langsung apabila orientasi positif tetap positif sedangkan orientasi negative tetap negatif.

Gambarlah Isometri Langsung:

C C`

A A`

b).Rotasi (perputaran)

Orientasi (A B C) adalah positif dan orientasi (A2,B2,C2) tetap positif.

Isometri lawan adalah mengubah orientasi positif jadi negatip (kebalikan). Gambar Isometri langsung.

B C

A

• Dikatakan berorientasi positif apabila perputarannya berlawanan arah jarum dengan jarum jam.

• Dikatakan berorientasi negative apabila perputarannya searah dengan perputaran jarum jam.

Contoh Soal:

Perhatikan transformasi yang ditetapkan dalam gambar di bawah ini,sudah ditentukan bahwa transformasi T ini merupakan suatu isometri.

Pertanyaan yang timbul apakah T ini merupakan isometric langsung atau isometric lawan?

Gambar

A` A

B` B

Penyelesaian: Misalkan ambil tiga titik koliner sebarang, A,B,dan C. Kemudian kita cari T(A), T(B), dan T(C).

Misalkan : T(A)=A1, T(B)=B1, dan T(C)=C1.

Kerena (A,B,C) berorientasi positif,sedangkan (A1, B1 , C1.) berorieantasi negatif ,maka transformasi T merupakan transformasi lawan.Akibatnya T suatu isometri lawan .

Hasil Kali Transformasi

Definisi : Misalkan F dan Gdua transformasi dengan F:V →V dan G:V →V maka

komposisi dari F dan G ditulis sebagai F oG yang didefinisikan

(

GoF

)( )

P =G

(

F

( )

P

)

, ∀P∈V.

BAB IV

ISOMETRI

Defenisi 1

Misalkan T suatu transformasi ,transformasi T ini disebut isometric jika dan hanya jika jika untuk setiap pasangan titik P dan Q anggota dari bidang Euclid V berlaku = di mana =T dan =T .

Untuk memahami defenisi di atas,perhatikan contoh berikut

Misalkan diketahui garis g pada bidang V dan transformasI T di tetapkan sebagai berikut: iii. Jika p g maka T =p

iv. Jika p g maka T = ,sehingga g sumbu dari

Apakah tras formasi T ini merupakan suatu isometri? Penyelesaian:

Ambil dua titik sebarang P dan Q anggota V misalkan T = dan T = ,sehingga di peroleh

3. g sumbu dari dari ,misalkan g = ,maka PN=N

4. g sumbu dari ,misalkan g = ,MAKA QM=M

Perhatikan gambar berikut:

M g Q

N P

3. perhatikan PNM dengan NM. Karena PN=P NM (siku-siku),maka

PNM NM akibatnya : c. PM = P d.

4. Perhatikan PQM dengan M.

Karena PM = M, M.dan QM = M,maka PQM

,akibatnya PQ =

Karena P dan Q di ambil sembarang titik pada V dapat di simpulkan bahwa untuk setiap Pasangan titik P dan Q pada V ,di peroleh PQ sehingga transformasi T yang ditetapkan di atas adalah suatu isometri

Sipat-sipat isometric: Teorema 1

Setiap isometric bersifat:

IV. Memetakan garis menjadi garis V. Mengawetkan besaran sudut VI. Mengawetkan kesejajaran

Bukti:

iv. Ambil sebarang isometri T dan garis g akan di tunjukan bahwa T(g) berupa sebuah garis. Perhatikan gambar ambil dua titik sebarang A dan B pada garis g

misalkan T dan T(B)= dan garis lurus menghubungkan dan adalah H A B g T(g) v. Ambil A B C Andaikan = T , T(B), = T(C)

Berdasarkansifat isometri ,maka dan adalah garis lurus. Oleh karena

itu = maka = sedangkan = AB,

= BC, = CA sehingga ABC = jadi kesipulannya terbukti bahwaisometri mengawetkan sudut

iii. a b

Harus di perhatikan bahwa // andaikan memotong di sebuah titik p jadi p dan p oleh karena T sebuah transformasi maka ada p sehingga T (P)=P dengaan p a dan p b ini berarti bahwa a memotong b di p,jadi bertentangan dengan yang di ketahui bahwa a//b

Apabila garis g dan h saling tegak lurus dan T suatu isometri maka T(g) dan T(h) juga saling tegak lurus .

Bukti: karena sudut yang di bentuk oleh g dan h adalh siku-siku dan T suatu isometri.Berdasarkan teorema 1 (ii) mengakibatkan bahwa sudut yang di bentuk oleh T(g) dan T(h) jika siku-siku dengan kata lain T(g) dan T(h) saling tegak lurus.

Teprema 3.

Komposisi dua buah isometri adalah sebuah isometri .

Bukti : Ambil dua isometri , dan terjadi komposisi dari , dan yaitu: c.

d.

Karena = adlah isometric maka akan di buktikan adalah isometri Ambil dua titik sebarang A,B V,misalkan = , (B)= dan )= , )= maka

(A)= = ) =

(B)= = ) =

Karena isometri maka = AB, dan karena isometri maka karena = ,dan =AB.maka =AB.jadi suau isometric

Contoh soal:

3. Misalkan v bidang Eucilid,A sebuah titik tertentu pada v.Transpormasi T yang di tetapkan sebagai berikut:

c. T(A)=A

d. Apabila p∈ v dan p ≠ A, T(P) = Q dengan Q merupakan titik tengah ruas garis AP .apakah transformasi T ini suatu isometri ?

d. Apabila p = A maka T (p)=p

e. Apabila p ≠A maka T(p)= Q dengan A titik tengah PQ .Apakah transformasi T ini merupakan isometri ?

Penyelesaian:

3. Perhatikan gambar di bawah ini

P

A R

Ambil P,R v, misalkan Q = T (P) dan = T ®,maka AQ = QP dan A = R. Akibatnya = RP. Jada T bukan suatu ispmetri.

4. Perhatikan gambar di bawah ini P,Q ∈ v,misalkan

P

A R

Q

Misalkan T (P)= Q dan T (R) = ,sehingga QA = AP dan P,A,Q kolinear , dan RA = A R,A, kolinear .perhatikan RAP dan QA . karena QA = AP, PAR QA dan RA = A maka RAP QA , akibatnya PR = Q jadi T suatu isometri.

Suatu transformasi T yang memetakan segitiga ABC pada segitiga A1,B1,C1

misalkan sebuah pencerminan pada garis g.
Untuk lebih jelas perhatikan gambar berikut :
a).Reflexi(pencerminan)

Gambar (A B C) Berlawanan arah dengan perputaran jarum jam(memiliki orientasi positif)sedang,

Gambar (A1,B1,C1) Sesuai dengan putaran jarum jam (memiliki orientasi yang negative).

Isometri langsung adalah tidak mengubah orientasi (tetap),Jadi dalam isometric langsung apabila orientasi positif tetap positif sedangkan orientasi negative tetap negatif.

Gambarlah Isometri Langsung:

C C`

A A`

B B`

b).Rotasi (perputaran)

Orientasi (A B C) adalah positif dan orientasi (A2,B2,C2) tetap positif.

Isometri lawan adalah mengubah orientasi positif jadi negatip (kebalikan). Gambar Isometri langsung.

C

A

• Dikatakan berorientasi positif apabila perputarannya berlawanan arah jarum dengan jarum jam.

• Dikatakan berorientasi negative apabila perputarannya searah dengan perputaran jarum jam.

Contoh Soal:

Perhatikan transformasi yang ditetapkan dalam gambar di bawah ini,sudah ditentukan bahwa transformasi T ini merupakan suatu isometri.

Pertanyaan yang timbul apakah T ini merupakan isometric langsung atau isometric lawan?

Gambar

A` A

B` B

C` C

Penyelesaian: Misalkan ambil tiga titik koliner sebarang, A,B,dan C. Kemudian kita cari T(A), T(B), dan T(C).

Misalkan : T(A)=A1, T(B)=B1, dan T(C)=C1.

Kerena (A,B,C) berorientasi positif,sedangkan (A1, B1 , C1.) berorieantasi negatif ,maka transformasi T merupakan transformasi lawan.Akibatnya T suatu isometri lawan .

BAB V

Hasil Kali Transformasi

Definisi : Misalkan F dan Gdua transformasi dengan F:V →V dan G:V →V maka

komposisi dari F dan G ditulis sebagai F oG yang didefinisikan

(

GoF

)( )

P =G

(

F

( )

P

)

, ∀P∈V. Contoh : •P k g • Q h Diketahui garis-garis g dan h, titik P dan Q. Lukiskan :

a) A = Mg [ Mh (P) ] b) B = Mh [ Mg (P)]

c) C = Mh [ Mg (Q)], apabila diketahui titik Q(-1,2) maka berapakah nilai titik C ! Jawab: a) Mg [ Mh (P) ] = Mg (P') = A h // P P' // ┐ = ∟ k g = •Q A

b) Mh [ Mg (P)] = Mh (P'') = B h P = ┘ g = • Q B // ∟ // P¹ c) Mh [ Mg (Q)] = Mh (Q¹) = C h

C(-2,1) // ┘ // Q¹(2,1) = └ g = •Q(-1,2)